2022-2021学年高二物理粤教版选修3-1 第一章 第6讲 电场强度与电势差的关系 学案

第6讲 电场强度与电势差的关系
[目标定位] 1.知道匀强电场中电势差与电场强度的定量关系，会用E ＝U
d 进行计算.2.记住电场线与等势面的
关系，并能利用其关系解决相关问题.
一、探究场强与电势差的关系
1.匀强电场中场强与电势差的关系：U ＝Ed .沿着电场强度的方向，任意两点之间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积.
2.在匀强电场中，电场强度E ＝U
d 在数值上等于沿场强方向距离为单位长度的两点间的电势差.场强的另一个单
位为：V/m.
想一想 匀强电场中A 、B 两点间的电势差大，那么两点间场强确定大吗？
答案 场强在数值上等于沿电场线方向每单位长度上的电势差，A 、B 两点间的距离不清楚，所以两点间场强大小不能确定.
二、电场线与等势面的关系 1.电场线跟等势面垂直.
2.沿着电场线的方向各等势面上的电势减小，逆着电场线的方向各等势面上的电势增大.
3.电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏. 想一想 同一个等势面上各点场强大小是否确定相等？
答案 不愿定，等势面的疏密程度反映了场强的大小，同一个等势面上，不能确定其疏密程度，所以不能确定场强的大小关系.
一、关于U ＝Ed 和E ＝U
d 的进一步理解
1.关于公式的几点留意
(1)公式 U ＝Ed 和E ＝U
d 只适用于匀强电场的定量计算.
d 为顺着电场线方向的距离.
(2)依据U ＝Ed 可以得出：匀强电场中电势差与d 成正比，但不能由E ＝U
d
而说E 与d 成反比.
2.在非匀强电场中，公式E ＝U d 可用来定性分析问题，由E ＝U
d
可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的
地方场强就越大，如图1甲所示.如图乙所示，a 、b 、c 为某条电场线上的三个点，且距离ab ＝bc ，由于电场
线越密的地方场强越大，故U ab <U bc .
甲 乙
图1
例1 如图2所示，在xOy 平面内有一个以O 为圆心、半径R ＝0.1 m 的圆，P 为圆周上的一点，O 、P 两点连线与x 轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小E ＝100 V/m ，则O 、P 两点的电势差可表示为( )
图2
A.U OP ＝－10sin θ (V)
B.U OP ＝10sin θ (V)
C.U OP ＝－10cos θ (V)
D.U OP ＝10cos θ (V) 答案 A
解析 在匀强电场中，U OP ＝－E ·R sin θ＝－10sin θ(V)，故A 对.
借题发挥 正确理解公式U ＝Ed 或E ＝U
d 中各量的物理含义，特殊是d 的物理意义，是分析场强与电势差关
系的关键.
例2 (双选)如图3所示，A 、B 两板间电压为600 V ，A 板带正电并接地，A 、B 两板间距离为12 cm ，C 点离A 板4 cm ，下列说法正确的是( )
图3
A.板间场强E ＝2 000 V/m ，φC ＝200 V
B.板间场强E ＝5 000 V/m ，φC ＝－200 V
C.电子在C 点具有的电势能为－200 eV
D.电子在C 点具有的电势能为200 eV 答案 BD
解析 A 板接地带正电，则其电势为零，又由于A 、B 两板间的电压为600 V ，则B 板电势为－600 V ，由此知C 点电势为负值，则A 、B 两板间场强E ＝U d ＝600 V
12 cm ＝50 V /cm ＝5000 V/m ，φC ＝E ×d C ＝50 V/cm ×(－4 cm)
＝－200 V ，A 错误，B 正确；电子在C 点具有的电势能为200 eV ，故C 错误，D 正确. 二、电场线与等势面的关系 1.等势面的特点及与电场线的关系 (1)电场线跟等势面垂直.
(2)沿着电场线的方向各等势面上的电势减小，逆着电场线的方向各等势面上的电势增大. (3)电场线密的区域等势面密，电场线疏的区域等势面疏. (4)两电场线不相交，两等势面也不相交. 2.熟记常见的几种等势面
例3 图4中虚线表示某一电场的等势面，cd 为过O 点的等势面的切线，现用非电场力将负电荷q 从a 点沿着aOb 匀速移到b 点，当电荷通过O 点时，关于外力的方向，下列说法正确的是(忽视重力)( )
图4
A.Od 方向
B.Oc 方向
C.Oa 方向
D.以上说法都不对 答案 D
解析 负电荷受力方向与该点场强方向相反，依据等势面的性质可知负电荷在O 点受到的电场力方向应垂直于cd 向左，由q 匀速运动可知负电荷q 受到的外力方向应垂直于cd 向右，故选D.
例4 (双选)如图5所示，真空中等量异种点电荷放置在M 、N 两点，在MN 的连线上有关于O 点的对称点a 、c ，MN 连线的中垂线上有关于O 点的对称点b 、d ，则下列说法正确的是( )
图5
A.a 点场强与c 点场强确定相同
B.a 点电势确定低于c 点电势
C.负电荷在c 点电势能确定大于在a 点电势能
D.正电荷从d 点移到b 点电场力不做功 答案 AD
解析 依据真空中等量异种点电荷电场线分布特点，在MN 的连线上关于O 点的对称点a 、c 场强确定相同，
故A 正确；因沿着电场线方向电势渐渐降低，但电场方向未知，则a 点电势不愿定低于c 点电势，故B 错误；电荷从a 点移到c 点，电场力做功正负未知，则不能推断电势能增减，负电荷在c 点电势能不愿定大于在a 点电势能，故C 错误；而MN 连线的中垂线是等势线，其上的点b 、d 电势相等，则正电荷从d 点移到b 点电场力不做功，故D 正确.
借题发挥 等势面的应用
(1)利用等势面和电场线垂直以及沿电场线的方向电势降低的特点可推断电场线的方向.(2)利用等势面的密集
程度也可以比较场强大小，密大疏小.(3)在等势面上移动电荷时，或者带电粒子从一个等势面运动又返回到这个等势面上时，电场力均不做功.
对公式U ＝Ed 和E ＝U
d
的理解与应用
1.如图6所示，匀强电场的电场强度E ＝100 V/m ，A 、B 两点相距0.1 m ，A 、B 连线与电场线的夹角θ＝60°，则A 、B 两点的电势差为________.
图6 答案 5 V
解析 AB 沿电场强度方向上的投影的长度 d ＝AB cos θ＝0.1×cos 60° m ＝0.05 m ，
U AB ＝Ed ＝100×0.05 V ＝5 V.
2.如图7所示，a 、b 、c 是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a 至c ，a 、b 间的距离等于b 、c 间的距离，用φa 、φb 、φc 和E a 、E b 、E c 分别表示a 、b 、c 三点的电势和电场强度，可以断定( )
图7
A.E a ＞E b ＞E c
B.φa ＞φb ＞φc
C.φa －φb ＝φb －φc
D.E a ＝E b ＝E c
答案 B
解析 由“沿着电场线的方向，电势降低”知：φa ＞φb ＞φc ，断定选项B 对；因这一电场线不能确定就是匀强电场中的电场线，故选项C 、D 不能断定是否正确；这一电场线也不能断定就是正点电荷形成的电场中的一条电场线，故选项A 不能断定是否正确.正确答案为选项B.
3.如图8所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa ＝50 V ，φc ＝20 V ，则a 、c 连线中点b 的电势φb ( )
图8
A.等于35 V
B.大于35 V
C.小于35 V
D.等于15 V
答案 C
解析 从电场线疏密可以看出E a ＞E b ＞E c ，由公式U ＝Ed 可以推断U ab ＞U bc ，所以φb ＜φa ＋φc
2＝35 V.
电场线与等势面的关系
4.位于A 、B 处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图9所示，图中实线表示等势线，则( )
图9
A.a 点和b 点的电场强度相同
B.正电荷从c 点移到d 点，电场力做正功
C.负电荷从a 点移到c 点，电场力做正功
D.正电荷在e 点的电势能大于在f 点的电势能 答案 C
解析 a 、b 两点场强方向不同，A 错.c 点电势低于d 点，正电荷从c 点移到d 点，即正电荷向高电势处移动、
电场力做负功，B 错.a 点电势低于c 点，从a 到c ，负电荷向高电势处移动，电场力做正功，C 对.因e 和f 等势，故电荷在两点电势能相等，D 错.
(时间：60分钟)
题组一 对公式U ＝Ed 和 E ＝U
d 的理解与应用
1.对公式E ＝U ab
d 的理解，下列说法正确的是( )
A.此公式适用于计算任何电场中a 、b 两点间的电势差
B.a 点和b 点间距离越大，则这两点间的电势差也越大
C.公式中d 是指a 点和b 点之间的距离
D.公式中的d 是a 、b 两个等势面间的垂直距离 答案 D
解析 公式E ＝U ab
d 只适用于匀强电场，A 错；公式中的d 是a 、b 两个等势面间的垂直距离，a 点和b 点之间
距离大，等势面间的垂直距离不愿定大，故B 、C 错，D 正确.
2.如图1所示，A 、B 两点相距10 cm ，E ＝100 V/m ，AB 与电场线方向的夹角θ＝120°，则A 、B 两点间的电势差为( )
图1
A.5 V
B.－5 V
C.10 V
D.－10 V
答案 B
解析 A 、B 两点在场强方向上的距离d ＝AB ·cos (180°－120°)＝10×1
2 cm ＝5 cm.由于φA ＜φB ，则依据U ＝
Ed 得U AB ＝－Ed ＝－100×5×10－2 V ＝－5 V.
3.如图2所示，三个同心圆是一个点电荷四周的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列.A 、B 、C 分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上.A 、C 两点的电势依次为φA ＝10 V 和φC ＝2 V ，则B 点的电势是( )
图2
A.确定等于6 V
B.确定低于6 V
C.确定高于6 V
D.无法确定
答案 B
解析 由于E A ＞E B ＞E C ，又AB ＝BC 由公式U ＝Ed 可以推断U AB ＞U BC ，所以φB ＜6 V .
4.如图3所示，实线为电场线，虚线为等势线，且MN ＝NP ，电场中的M 、N 、P 三点的电场强度分别为E M 、E N 、E P ，电势分别为φM 、φN 、φP ，MN 、NP 间的电势差分别为U MN 、U NP ，则下列关系中错误．．
的有( )
图3
A.φM ＞φN ＞φP
B.E P ＞E N ＞E M
C.U MN ＜U NP
D.U MN ＝U NP
答案 D
解析 M 、N 、P 三点处在同一电场线上，沿着电场线的方向电势降低，故φM ＞φN ＞φP ，选项A 正确；由电场线的密集程度可看出电场强度大小关系为E P ＞E N ＞E M ，选项B 正确；电场线密集的地方电势降落较快，故U MN ＜U NP ，选项C 正确，选项D 错误.
5.如图4所示，匀强电场的场强大小为1×103 N/C ，ab 、dc 与电场方向平行，bc 、ad 与电场方向垂直，ab ＝dc ＝4 cm ，bc ＝ad ＝3 cm ，则下述计算结果正确的是( )
图4
A.a 、b 之间的电势差为4 000 V
B.a 、c 之间的电势差为50 V
C.将q ＝－5×10－
3 C 的点电荷沿矩形路径abcda 移动一周，电场力做的功为零 D.将q ＝－5×10－3 C 的点电荷沿abc 或adc 从a 移动到c ，电场力做的功都是－0.25 J 答案 C
解析 U ab ＝E ·ab ＝1×103×0.04 V ＝40 V ，选项A 错误；U ac ＝U ab ＝40 V ，选项B 错误；将带负电的点电
荷移动一周，电势差为零，电场力做功为零，选项C 正确；W ac ＝qU ac ＝－5×10－3×40 J ＝－0.2 J ，选项D 错误.
6.平行的带电金属板A 、B 间是匀强电场，如图5所示，两板间距离是5 cm ，两板间的电压是60 V.
图5
(1)两板间的场强是________；
(2)电场中有P 1和P 2两点，P 1点离A 板0.5 cm ，P 2点离B 板也是0.5 cm ，P 1和P 2两点间的电势差U 12＝________. 答案 (1)1.2×103 V/m (2)48 V
解析 (1)两板间是匀强电场，由U ＝Ed 可得两板间的场强E ＝U d ＝60 V
5×10－2 m ＝1.2×103 V/m. (2)P 1、P 2两点间沿场强方向的距离：d ′＝4 cm.
所以U 12＝Ed ′＝1.2×103×4×10－2 V ＝48 V. 题组二 等势面和电场线的关系
7.(双选)如图6所示，实线表示一簇关于x 轴对称的等势面，在轴上有A 、B 两点，则( )
图6
A.A 点场强小于B 点场强
B.A点场强方向指向x轴负方向
C.A点场强大于B点场强
D.A点电势高于B点电势
答案AD
解析由于电场线与等势面总是垂直，所以B点电场线比A点密，B点场强大于A点场强，故A正确，C错误.电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误.由图中数据可知D正确.
8.如图7所示的状况中，a、b两点的电场强度和电势均相同的是()
图7
A.甲图：离点电荷等距的a、b两点
B.乙图：两个等量异种点电荷连线的中垂线上，与连线中点等距的a、b两点
C.丙图：两个等量同种点电荷连线上，与连线中点等距的a、b两点
D.丁图：带电平行金属板两板间分别靠近两板的a、b两点
答案B
解析电场强度是矢量，在甲图中，电势相同，电场强度大小相同，方向不同，A项错误；由等量异种电荷电场线的特点可知两点的电场强度的大小和方向相同，且a、b两点在同一等势面上，电势相等，B项正确；由等量同种电荷的电场特点可知：丙图中两点电场强度大小相同，但方向相反，C项错误；丁图中两极板为匀强电场，电场强度处处相等相同，沿电场线方向电势降低，所以a点的电势较高，D错项误.
9.两异种点电荷电场中的部分等势面如图8所示，已知A点电势高于B点电势.若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为q a和q b，则()
图8
A.a处为正电荷，q a＜q b
B.a处为正电荷，q a＞q b
C.a处为负电荷，q a＜q b
D.a处为负电荷，q a＞q b
答案B
解析若把该图与等量异种点电荷电场中的部分等势面图比较，可以得到：靠近正电荷的点，电势高，靠近负电荷的点，电势低.故a处为正电荷.等量异种点电荷电场中的等势面左右对称，无穷远处的电势为0.该图的左侧的等势线比较密，无穷远处的电势为0，所以无穷远处到两点之间的电势差相比，与a点之间的电势差比较大，所以a点的点电荷所带的电荷量就大.故选B.
10.(双选)一带电粒子射入一固定在O点的点电荷的电场中，粒子运动轨迹如图9中虚线ABC所示，图中实线是同心圆，表示电场的等势面，不计重力，可以推断()
图9
A.此粒子先受到静电引力后受到静电斥力作用
B.粒子在A点和C点的速度大小确定相等
C.粒子在B点的动能确定大于在A点的动能
D.粒子在B点的电势能确定大于在C点的电势能
答案BD
解析如题图所示，轨迹向左弯曲，带电粒子所受的电场力方向向左，则带电粒子受到了排斥力作用，故A 错误.
A、C两点处于同一等势面上，从A到C，电场力做功为零，则A、C两点动能相等，速度相等，故B正确.从A到B过程中，电场力做负功，可知电势能增大，动能减小，粒子在B点的动能确定小于在A点的动能.故C错误.
从B到C过程中，电场力做正功，可知电势能减小，粒子在B点的电势能确定大于在C点的电势能，故D 正确.故选：B、D
题组三综合应用
11.如图10所示，在匀强电场中，有A、B两点，它们之间的距离为2 cm，两点的连线与场强方向成60°角.将一个电荷量为－2×10－5 C的电荷由A移到B，其电势能增加了0.1 J.问：
图10
(1)在此过程中，电场力对该电荷做了多少功；
(2)A、B两点的电势差U AB为多大；
(3)匀强电场的场强为多大.
答案 (1)－0.1 J (2)5 000 V (3)5×105 V/m
解析 (1)电势能增加多少，电场力就做多少负功，故电场力对电荷做了－0.1 J 的功. (2)由W ＝qU ，
得U AB ＝W AB
q ＝－0.1－2×10－5 V ＝5 000 V.
(3)由U ＝Ed ，
得E ＝U AB d ＝U AB
AB cos 60°
＝5×105 V/m.
12.如图11所示，平行金属带电极板A 、B 间可看成匀强电场，场强
E ＝1.2×102 V/m ，极板间距离
d ＝5 cm ，
电场中C 点和D 点分别到A 、B 两板的距离均为0.5 cm ，B 板接地，求：
图11
(1)C 和D 两点的电势、两点间电势差各为多少；
(2)用外力将点电荷q ＝2×10－
2 C 从C 点匀速移到D 点时此外力做多少功. 答案 (1)－5.4 V －0.6 V －4.8 V (2)9.6×10－
2 J
解析 (1)因正极板接地，故板间各点电势均小于零，则U BD 、U BC 均大于零，由U ＝Ed 得 U BD ＝Ed BD ＝1.2×102×0.5×10－2 V ＝0.6 V ， 即φD ＝－0.6 V .
由于d CB ＝5 cm －0.5 cm ＝4.5 cm ＝4.5×10－2 m ， 所以U CB ＝－Ed CB ＝－1.2×102×4.5×10－2 V ＝ －5.4 V ＝φC .
所以U CD ＝φC －φD ＝－5.4 V －(－0.6 V)＝－4.8 V.
(2)由于匀速移动，外力所做的功等于克服电场力所做的功W 外＝|qU CD |＝2×10－2×4.8 J ＝9.6×10－2 J. 13.把一个带正电荷q 的小球用细线悬挂在两块面积很大的竖直平行板间的O 点，小球质量m ＝2 g ，悬线长L ＝6 cm ，两板间距离d ＝8 cm ，当两板间加上U ＝2×103 V 的电压时，小球自悬线水平的A 点由静止开头向下运动到达O 点正下方的B 点时的速度刚好为零，如图12所示，以后小球始终在A 、B 之间来回摇摆.取g ＝10 m/s 2，求小球所带的电荷量.
图12
答案 8×10－
7 C
解析 取小球为争辩对象，可知重力mg 竖直向下，电场力Eq 水平向左，绳的拉力为F T ，在小球由A 向B 运动的过程中，重力mg 对小球做正功，电场力Eq 对小球做负功，拉力F T 不做功，依据动能定理mgL －qEL ＝0，
又由于E ＝U
d
，
由以上两式可得：q ＝8
×10－7 C.。