2021年江西省九年级中考数学重点题型专题突破4 实物情景应用题

中考重点题型专题突破卷4 实物情景应用题
(解答题共13小题，每小题8分) 类型1 直角三角形模型
1．(8分)图1所示的是一种大型风力发电机，三个风叶在同一个平面中，风叶随风旋转．图2所示的是该发电机的简易平面图，在旋转过程中，当其中一片风叶旋转到最高点时，最高点距地面145 m ，当其中一片风叶旋转到最低点时，最低点距地面55 m ．发电机的塔身OD 垂直于水平地面MN .
(1)求风叶OA 的长度；
(2)在某一时刻，风叶OA 与塔身OD 的夹角α＝14.4°，求此时风叶OB 的顶点B 距地面的高度． (结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 14.4°≈0.25，cos 14.4°≈0.97，sin 44.4 °≈0.70，cos 44.4°≈0.71)
2．(8分)某电水壶采用的是蒸汽智能感应控温，具有水沸腾后自动断电、防干烧断电的功能．如图1，将壶盖打开时，壶盖与闭合时盖面之间的夹角可抽象为∠AOB ，壶身侧面与底座(壶盖及底座厚度忽略不计)之间的夹角可抽象为∠ODC (如图2)．若壶嘴及手柄部分不考虑，量得壶盖直径和底座直径分别为8 cm ，12 cm ，∠ODC ＝80°.
(1)求底座周长比壶盖周长长多少(结果保留π)；
(2)将壶盖打开时，若量得∠AOB ＝74°，求壶盖最高点A 距离底座所在平面的高度．(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 74°≈4850 ，sin 80°≈4950 ，tan 74°≈349100 ，tan 80°≈567
100
)
3．(8分)如图1所示的是初心园的实景图，图2是它的示意图，它是一个正五角星，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且CI∥MN，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH＝HI＝IJ＝JA，∠A＝∠C＝∠DEF＝∠FGH＝∠I＝36°，∠FEG＝∠FGE＝36°，现测得AB＝1 m.
(1)求BJ的长；
(2)求点A到地面MN的距离[计算时可用(1)中的计算结果]．
(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95)
图1图2
4．(8分)为营造安全出行的良好的交通氛围，实时监控道路交通，南昌市在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆AM与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，已知AC＝5.5 m，CD＝3 m，EF＝0.4 m，∠CDE＝162°.
(1)求∠MCD的度数；
(2)求摄像头下端点F到地面AB的距离．(参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
5．(8分)如图1是家用“垂直式蒸汽除皱熨烫机”，由底座(主机)、支撑杆、活动衣架和熨烫头组成. 图2是其平面抽象示意图，矩形ABMN为底座，CF为支撑杆，CF⊥AB.现测得底座高AN＝34 cm，固定杆CD＝38 cm，DE是可伸缩杆，衣架宽GH＝46 cm，且GH⊥DF，∠G＝∠H＝15°.衣架E处的左右是活扣，解开E处左活扣后，FG可绕点F逆时针旋转至支撑杆，EG可绕点G顺时针旋转的最大角度是105°(如图3).
(1)在图2中，求衣架的高EF;
(2)解开E处活扣后，FG自然旋转至支撑杆，EG旋转至最大角度，伸缩杆ED完全缩起，求此时点E离地面的高度．
(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
6．(8分)如图1是一款红外线监控摄像头，图2是其简单抽象示意图，点O为摄像头在墙面上的安装固定点，由光源O射出的红外线形成光线OB，OC，摄像头上下平移时，红外线的张角∠BOC不变，已知∠BOC＝60°，∠AOB＝15°，OA＝3 m.
(1)求该摄像头监控到地面上的宽度BC；
(2)若距离墙面OA的18 m处有一辆汽车，要使摄像头能监控到该辆汽车，摄像头应该沿墙面向上平移多少米？
(不考虑其他因素，结果精确到0.01 m，参考数据：sin 15°≈0.26，sin 75°≈0.97，tan 15°≈0.27，tan 75°≈3.73)
图1图2
7．(8分)陈老师在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB＝OA＝25 cm，OE⊥AD于点E，OE ＝12.5 cm.
(1)求∠OAE的度数；
(2)若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上，如图2中的B′O′A所示，则显示屏顶部B′比原来顶部B大约下降了多少？
(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，2≈1.41，3≈1.73)
类型2特殊四边形模型
8．(8分)图2、图3是某公共汽车双开门的俯视图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时(如图2)，A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启．已知AB＝50 cm，CD＝40 cm.
(1)如图3，当∠ABE＝30°时，求BC的长(结果保留根号)；
(2)在(1)的基础上，当A向M方向继续滑动15 cm时，四边形ABCD的面积为________cm2.
9．(8分)如图，升降平台由五个边长为1.2 m的菱形和两个腰长为1.2 m的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为2.4 m，B，B0分别在AM和A0N上滑动，且始终保持点B0，C1，A1成一条直线．
(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的________性；
(2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(AA0)的最大值．
(参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，结果保留小数点后一位)
10．(8分)如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2所示，晾衣架伸缩时，点G 在射线DP上滑动，点D和点A间的距离随之变化，∠CED的大小也随之发生变化．已知每个菱形边长均等于20 cm，且AH＝DE＝EG＝20 cm.当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少厘米？(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732)
类型3圆模型
11．(8分)如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝80 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝40 cm，∠B1D1C1＝120°.
(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为________cm；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，求出D1D2的长度．
12．(8分)如图，有一时钟，时针OA长为6 cm，分针OB长为8 cm，△OAB随着时间的变化不停地改变形状．求：
(1)13点时，△OAB的面积是多少？
(2)14点时，△OAB 的面积比13点时增大了还是减少了？为什么？ (3)问多少整点时，△OAB 的面积最大？最大面积是多少？请说明理由；
(4)设∠BOA ＝α(0°≤α≤180°)，试归纳α变化时△OAB 的面积的变化规律(不必证明)．
13．(8分)图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD 的长AB ＝16 cm ，宽AD ＝12 cm ，圆弧盖板侧面DC ︵
所在圆的圆心O 是矩形ABCD 的中心，绕点D 旋转开关．(所有结果保留小数点后一位)
(1)求DC ︵ 所在⊙O 的半径长及DC ︵
所对的圆心角度数；
(2)如图3，当圆弧盖板侧面DC ︵ 从起始位置DC ′︵ 绕点D 旋转90°时，求DC ︵
在这个旋转过程中扫过的面积． (参考数据：tan 36.87°≈0.75，tan 53.13°≈1.33，π取3.14)
图1
图2
图3
答案
中考重点题型专题突破卷4 实物情景应用题
(解答题共13小题，每小题8分) 类型1 直角三角形模型
1．(8分)图1所示的是一种大型风力发电机，三个风叶在同一个平面中，风叶随风旋转．图2所示的是该发电机的简易平面图，在旋转过程中，当其中一片风叶旋转到最高点时，最高点距地面145 m ，当其中一片风叶旋转到最低点时，最低点距地面55 m ．发电机的塔身OD 垂直于水平地面MN .
(1)求风叶OA 的长度；
(2)在某一时刻，风叶OA 与塔身OD 的夹角α＝14.4°，求此时风叶OB 的顶点B 距地面的高度． (结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 14.4°≈0.25，cos 14.4°≈0.97，sin 44.4 °≈0.70，cos 44.4°≈0.71)
解：(1)由题意可知风叶的旋转轨迹是圆，如图，PD ＝145 m ，QD ＝55 m. ∴PQ ＝145－55＝90(m).∴OA ＝1
2
PQ ＝45 m ；
(2)如图，过点O 作OF ∥MN ，过点B 作BE ⊥OF 于点E .
由题意可知∠AOB ＝120°，∠AOE ＝∠FOQ －∠AOQ ＝90°－α＝75.6°. ∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝120°－75.6°＝44.4°.
在Rt △BOE 中，sin ∠BOE ＝BE
OB ，∴BE ＝OB ·sin ∠BOE ＝45sin 44.4°≈31.5(m).
∵OD ＝PD －OP ＝145－45＝100(m)，
∴此时风叶OB 的顶点B 距地面的高度约为100＋31.5＝131.5(m).
2．(8分)某电水壶采用的是蒸汽智能感应控温，具有水沸腾后自动断电、防干烧断电的功能．如图1，将壶盖打开时，壶盖与闭合时盖面之间的夹角可抽象为∠AOB ，壶身侧面与底座(壶盖及底座厚度忽略不计)之间的夹角可抽象为∠ODC (如图2)．若壶嘴及手柄部分不考虑，量得壶盖直径和底座直径分别为8 cm ，12 cm ，∠ODC ＝80°.
(1)求底座周长比壶盖周长长多少(结果保留π)；
(2)将壶盖打开时，若量得∠AOB ＝74°，求壶盖最高点A 距离底座所在平面的高度．(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 74°≈4850 ，sin 80°≈4950 ，tan 74°≈349100 ，tan 80°≈567
100
)
解：(1)由题意得壶盖及底座的周长分别为8π cm ，12π cm. ∴底座周长比壶盖周长长12π－8π＝4π(cm)；
(2)过点A 作AE ⊥OB 于点E ，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，则△AOE 和△ODF 均为直角三角形． ∵壶盖和底座的直径分别为8 cm ，12 cm ，∴OA ＝8 cm ，DF ＝(CD －BO )÷2＝2(cm). ∵∠AOB ＝74°，∠ODC ＝80°，
∴AE ＝OA ·sin 74°≈8×4850 ＝7.68(cm)，OF ＝DF ·tan 80°≈2×567
100 ＝11.34(cm).
∴壶盖最高点A 距离底座所在平面的高度为AE ＋OF ≈7.68＋11.34≈19.0(cm).
3．(8分)如图1所示的是初心园的实景图，图2是它的示意图，它是一个正五角星，已知A ，B ，D ，E 四点共线，A ，J ，H ，G 四点共线，C ，B ，J ，I 四点共线，C ，D ，F ，G 四点共线，E ，F ，H ，I 四点共线，且CI ∥MN ，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ＝HI ＝IJ ＝JA ，∠A ＝∠C ＝∠DEF ＝∠FGH ＝∠I ＝36°，∠FEG ＝∠FGE ＝36°，现测得AB ＝1 m.
(1)求BJ 的长；
(2)求点A 到地面MN 的距离[计算时可用(1)中的计算结果]．
(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95)
图1
图2
错误!
解：(1)连接BJ ，过点A 作AK ⊥BJ 于点K .
∵AB ＝AJ ＝1 m ，∠BAJ ＝36°，∴∠BAK ＝18°.∴BK ＝AB ·sin 18°≈1×0.31＝0.31(m). ∴BJ ＝2BK ≈0.6 m ；
(2)连接BD ，过点A 作AL ⊥MN 于点L ，则BD ＝BJ ≈0.6 m ．∴AE ≈1＋0.6＋1＝2.6(m). 在Rt △AEL 中，AL ＝AE ·cos 18°≈2.6×0.95≈2.5(m). ∴点A 到地面MN 的距离约为2.5 m ．
4．(8分)为营造安全出行的良好的交通氛围，实时监控道路交通，南昌市在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆AM 与地面AB 垂直，斜拉杆CD 与AM 交于点C ，横杆DE ∥AB ，摄像头EF ⊥DE 于点E ，已知AC ＝5.5 m ，CD ＝3 m ，EF ＝0.4 m ，∠CDE ＝162°.
(1)求∠MCD 的度数；
(2)求摄像头下端点F 到地面AB 的距离．(参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
解：(1)延长 ED 交AM 于点P .
∵DE ∥AB ，MA ⊥AB ，∴EP ⊥MA ，即∠CPD ＝90°. ∵∠CDE ＝162°，∴∠MCD ＝162°－90°＝72°；
(2)在Rt △PCD 中，CD ＝3 m ，∠MCD ＝72°，∴PC ＝CD ·cos ∠MCD ＝3cos 72°≈0.93(m). ∵AC ＝5.5 m ，EF ＝0.4 m ，∴PC ＋AC －EF ≈0.93＋5.5－0.4＝6.03(m). ∴摄像头下端点F 到地面AB 的距离约为6.03 m .
5．(8分)如图1是家用“垂直式蒸汽除皱熨烫机”，由底座(主机)、支撑杆、活动衣架和熨烫头组成. 图 2是其平面抽象示意图，矩形ABMN 为底座，CF 为支撑杆，CF ⊥AB .现测得底座高AN ＝34 cm ，固定杆 CD ＝38 cm ，DE 是可伸缩杆，衣架宽GH ＝46 cm ，且GH ⊥DF ，∠G ＝∠H ＝15°.衣架E 处的左右是活扣，解开E 处左活扣后，FG 可绕点F 逆时针旋转至支撑杆，EG 可绕点G 顺时针旋转的最大角度是105°(如图3).
(1)在图2中，求衣架的高EF;
(2)解开E 处活扣后，FG 自然旋转至支撑杆，EG 旋转至最大角度，伸缩杆ED 完全缩起，求此时点E 离地面的高度．
(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27)
解：(1)图2中，∵∠G ＝∠H ＝15°，∴FG ＝FH . ∵GH ⊥DF ，∴GE ＝EH ＝12) GH ＝1
2
×46＝23 cm.
在Rt △FGE 中，∵tan 15°＝EF
GE
，∴EF ＝GE ·tan 15°＝23tan 15°≈6.2(cm).
∴衣架的高EF 约为6.2 cm ；
(2)如图，在Rt △FGE 中，GF ＝GE cos 15° ＝23cos 15°
≈23.7(cm). ∴G ′F ＝GF ≈23.7 cm.∴G ′D ＝G ′F －EF ≈23.7－6.2＝17.5(cm).
由题意知∠FG ′E ′＝105°＋15°＝120°.过点E ′作E ′P ⊥CF 于点P ，则∠E ′＝30°.
∴G ′P ＝12 G ′E ′＝12
GE ＝11.5 cm.∴CP ＝CD －G ′D －G ′P ≈38－17.5－11.5＝9.0(cm). 9＋34＝43.0(cm).
∴此时点E 离地面的高度约为43.0 cm .
6．(8分)如图1是一款红外线监控摄像头，图2是其简单抽象示意图，点O 为摄像头在墙面上的安装固定点，由光源O 射出的红外线形成光线OB ，OC ，摄像头上下平移时，红外线的张角∠BOC 不变，已知∠BOC ＝60°，∠AOB ＝15°，OA ＝3 m.
(1)求该摄像头监控到地面上的宽度BC ；
(2)若距离墙面OA 的18 m 处有一辆汽车，要使摄像头能监控到该辆汽车，摄像头应该沿墙面向上平移多少米？ (不考虑其他因素，结果精确到0.01 m ，参考数据：sin 15°≈0.26，sin 75°≈0.97，tan 15°≈0.27，tan 75°≈3.73)
图1 图2 错误!
解：(1)在Rt △AOB 中，OA ＝3 m ，∠AOB ＝15°，
∴AB ＝OA ·tan ∠AOB ＝3tan 15°≈0.81(m).
在Rt △AOC 中，∠AOC ＝75°，∴∠ACO ＝15°.
∴AC ＝OA tan ∠ACO ) ＝3tan 15°
≈11.11(m). ∴BC ＝AC －AB ≈11.11－0.81＝10.30(m)；
(2)如图，设摄像头向上平移x m 到点P ，刚好能监控到该辆汽车点Q .
由题意可知，OB ∥PD ，OC ∥PQ ，∠DPQ ＝∠BOC ＝60°，∠APD ＝∠AOB ＝15°.
在Rt △APQ 中，AP ＝3＋x (m)，∠APQ ＝∠APD ＋∠DPQ ＝15°＋60°＝75°.
∵tan ∠APQ ＝AQ AP ，∴tan 75°＝183＋x
，即3.73(3＋x )≈18. ∴x ≈1.83.
∴摄像头应该沿墙面向上平移约1.83 m．
7．(8分)陈老师在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB＝OA＝25 cm，OE⊥AD于点E，OE ＝12.5 cm.
(1)求∠OAE的度数；
(2)若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上，如图2中的B′O′A所示，则显示屏顶部B′比原来顶部B大约下降了多少？
(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，2≈1.41，3≈1.73)
解：(1)∵OE⊥AD于点E，OA＝OB＝25 cm，OE＝12.5 cm，
∴在Rt△OEA中，sin ∠OAE＝
OE
OA＝
12.5
25＝
1
2.∴∠OAE＝30°；
(2)如图，过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B′作B′F⊥AD，交AD的延长线于点F，则∠MOE＝90°.
由(1)可知∠OAE＝30°，∴∠AOE＝60°.
而∠BOA＝135°，∴∠BOH＝360°－∠BOA－∠AOE－∠MOE＝75°.
∴在Rt△BOH中，BH＝BO·sin ∠BOH＝25sin 75°≈24.25 cm.
∵∠B′O′A＝135°，B′O′＝BO，∴∠B′O′F＝45°.
∴在Rt△B′O′F中，B′F＝B′O′·sin 45°＝25×
2
2≈17.63(cm).
∴BH＋OE－B′F≈24.25＋12.5－17.63≈19.1(cm).
∴显示屏顶部B′比原来顶部B大约下降了19.1 cm.
类型2特殊四边形模型
8．(8分)图2、图3是某公共汽车双开门的俯视图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时(如图2)，A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启．已知AB＝50 cm，CD＝40 cm.
(1)如图3，当∠ABE＝30°时，求BC的长(结果保留根号)；
(2)在(1)的基础上，当A向M方向继续滑动15 cm时，四边形ABCD的面积为________cm2.
解：(1)∵AB＝50 cm，CD＝40 cm，∴EF＝50＋40＝90(cm).
由题意可得B，C两点滑动的路程之比为5∶4.
当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝
3
2 AB＝25
3 cm.
∴点B滑动的路程为(50－253) cm.同理，点C滑动的路程为(40－203) cm.
∴BC＝(50－253)＋(40－203)＝90－453(cm)；
(2)2 256
9．(8分)如图，升降平台由五个边长为1.2 m的菱形和两个腰长为1.2 m的等腰三角形组成，其中平台AM与底座A0N平行，长度均为2.4 m，B，B0分别在AM和A0N上滑动，且始终保持点B0，C1，A1成一条直线．
(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的________性；
(2)为了安全，该平台在作业时∠B1不得超过40°，求平台高度(AA0)的最大值．
(参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，结果保留小数点后一位)
解：(1)不稳定；
(2)由题意得AA0≤1.2sin 20°×12≈4.896≈4.9(m).
∴平台高度(AA0)的最大值为4.9 m．
10．(8分)如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2所示，晾衣架伸缩时，点G 在射线DP上滑动，点D和点A间的距离随之变化，∠CED的大小也随之发生变化．已知每个菱形边长均等于20 cm，且AH＝DE＝EG＝20 cm.当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少厘米？(结果精确到0.1 cm，参考数据：3≈1.732)
解：图2中，连接AD .根据题意得AB ＝BC ＝CD .
当∠CED ＝60°时，△CED 是等边三角形，AD ＝3CD ＝60 cm ；
当∠CED ＝120°时，过点E 作EH ⊥CD 于点H (如图)，则∠CEH ＝60°，CH ＝HD .
在Rt △CHE 中，sin ∠CEH ＝CH CE
，
∴CH ＝CE ·sin ∠CEH ＝20sin 60°＝20×32
＝103 (cm). ∴CD ＝203 cm.∴AD ＝3×203 ＝603 ≈103.9(cm).
∴103.9－60＝43.9(cm).
∴点A 向左移动了约43.9 cm.
类型3 圆模型
11．(8分)如图1是小明制作的一副弓箭，点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC ＝80 cm.沿AD 方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1＝40 cm ，∠B 1D 1C 1＝120°.
(1)图2中，弓臂两端B 1，C 1的距离为________cm ；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，求出D 1D 2的长度．
解：(1)403 ；[图2中，连接B 1C 1交AD 1于点H .
∵AD 1＝D 1B 1＝40 cm ，∴D 1是B 1AC 1⌒所在圆的圆心，在Rt △B 1HD 1中，HB 1＝40sin 60°＝203 (cm). ∴B 1C 1＝2HB 1＝403 (cm).]
(2)图3中，连接B 1C 1交AD 1于点H ，连接B 2C 2交AD 2于点T .
由题意得120π×40180 ＝π·B 2T ，∴AT ＝B 2T ＝803
(cm). 在Rt △B 2TD 2中，D 2T ＝402－⎝⎛⎭⎫8032 ＝4053
(cm). ∵AH ＝HD 1＝20 cm ，∴HT ＝AT －AH ＝803 －20＝203
(cm). ∴D 1D 2＝HD 2－HD 1＝4053 ＋203 －20＝4053 －403
(cm).
12．(8分)如图，有一时钟，时针OA 长为6 cm ，分针OB 长为8 cm ，△OAB 随着时间的变化不停地改变形状．求：
(1)13点时，△OAB 的面积是多少？
(2)14点时，△OAB 的面积比13点时增大了还是减少了？为什么？
(3)问多少整点时，△OAB 的面积最大？最大面积是多少？请说明理由；
(4)设∠BOA ＝α(0°≤α≤180°)，试归纳α变化时△OAB 的面积的变化规律(不必证明)．
解：(1)如图①，过点B作BE⊥OA于点E.
在13点时，∠BOA＝30°，∴BE＝
1
2 OB＝4(cm).∴S△OAB＝
1
2 OA·BE＝
1
2×6×4＝12(cm2)；
(2)增大了．理由：如图②，过点B作BE⊥OA于点E.
在14点时，∠BOA＝60°，∴BE＝OB·sin 60°＝8×
3
2＝43(cm).
∴S△OAB＝
1
2×6×43＝123(cm2).
∵123＞12，∴14点时比13点时△OAB的面积增大了；
(3)3点(即15时)时或9点(即21时)时△OAB的面积最大，如图③、图④所示．
此时BE最长，BE＝OB＝8 cm，OA不变，∴最大面积为
1
2 OA·OB＝
1
2×6×8＝24(cm2)；
(4)当α＝0°或180°时不构成三角形；当0°＜α≤90°时，S△OAB的值随α增大而增大；
当90°＜α＜180°时，S△OAB的值随α增大而减小．
13．(8分)图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB＝16 cm，宽AD＝12 cm，圆弧盖板侧面DC
︵
所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关．(所有结果保留小数点后一位)
(1)求DC
︵
所在⊙O的半径长及DC
︵
所对的圆心角度数；
(2)如图3，当圆弧盖板侧面DC
︵
从起始位置DC′
︵
绕点D旋转90°时，求DC
︵
在这个旋转过程中扫过的面积．(参考数据：tan 36.87°≈0.75，tan 53.13°≈1.33，π取3.14)
图1 图2 图3
解：(1)图2中，连接AC ，BD 相交于点O ，O 为矩形ABCD 的中心． ∵四边形ABCD 为矩形，AB ＝16 cm ，AD ＝12 cm ，∴∠BAD ＝90°. ∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2 ＝162＋122 ＝20(cm).
∴⊙O 的半径长OD ＝12 BD ＝12 ×20＝10(cm)，tan ∠ADB ＝AB AD ＝1612
≈1.33. ∴∠ADB ≈53.13°.∴∠DOC ＝2∠ADB ≈2×53.13°≈106.3°；
(2)图3中，∵S 弓形DmC ＝S 弓形DnC ′，
∴DC ︵ 扫过的面积为S 扇形CDC ′＝90π×162360
≈201.0(cm 2).。