福建省莆田市一中、泉州五中、漳州一中2015届高三数学上学期联考期末试卷 理

俯视图
（第3题图）
某某五中、某某一中、某某一中2015届高三
上学期期末考试 理科数学试卷
(全卷满分150分，考试时间120分钟.)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.) 1、设集合A={x|0<x<2}，集合
2{|log 0}
B x x =>，则A B ⋂等于( )
A.{|2}x x <
B.{|0}x x >
C.{|02}x x <<
D.{|12}x x <<
2、已知函数()sin(2)()
4f x x x R π
=+∈的最小正周期为π，为了得到函数()sin 2g x x =的
图象，只要将()y f x =的图象( )
A.向左平移8π个单位长度
B. 向右平移8π
个单位长度 C.向左平移4π个单位长度
D. 向右平移4π
个单位长度
3、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A.
C. D.
4、已知向量a = (m2，4)，b =(1，1)则“m= -2”是“a //b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5、若2log 3
a =，
3log 2
b =，
4log 6
c =,则下列结论正确的是( )
A.b a c <<
B.a b c <<
C.c b a <<
D.b c a <<
6、已知数列
{}n a 满足1n n a a n ++=，若11,a =则84a a -=( )
A. —1
B. 1
C. 2
D. 4
7、若实数a,b 满足a2+b2≤1，则关于x 的方程x2-2x+a+b=0无实数根的概率为( )
x
A.14
B.34
C.3π24π
D.π24π
8、双曲线)0,0(122
22>>=-b a b x a y 的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离
心率等于( )
A.25
B.5
C.6
D.26
9、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0,且在[3，4]上是增函数，A 、B 是锐角三角形的两个内角，则( )
A. f(sinA)<f(cosB)
B.f(sinA)>f(cosB)
C. f(sinA)>f(sinB)
D.f(cosA)>f(cosB)
10、如图：已知方程为22
142x y +=的椭圆，,A B 为顶点，过
右焦点的弦MN 的长度为y ，中心O 到弦MN 的距离为d ，点M 从右顶点A 开始按逆时针方向在椭圆上移动到B 停止，当090MFA ︒≤∠≤︒时，记x d =，当
90180MFA ︒<∠≤︒记x d =，函数()y f x =图像是( )
x
y A 1
2
3
4
1
234O
x
y B 1
2
3
4
1
234O
x
y
C 1
2
3
4
1
234x
y
D
1
2
3
4
1
234O
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11、已知i 是虚数单位，复数
i i
z ++=
121= .
12、在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos bc A 的值为 .
13、从6名候选人中选派出3人参加A 、B 、C 三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A 活动，则不同的选派方法有 种.
14、正偶数列有一个有趣的现象：①246+=；②810121416++=+；
③
18202224262830,
+++=++
按照这样的规律，则2012在第 个等式中。

15、定义一个对应法则:(,))g o m n o n '→(0)m ≥，现有点(1,3)A '-与(9,5)B '，点M '
是线段B A ''上一动点，按定义的对应法则:g M M '→，当点M '在线段B A ''上从点的A '
开始运动到点B '结束时，则点M '的对应点M 所形成的轨迹与x 轴围成的面积为
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16
、已知函数21
()cos cos (0)
2f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π.
(I)求ω值及()f x 的单调递增区间；
(II)在△ABC 中，a b c 、、分别是三个内角C B A 、、所对边，若1a =
，b =
，
()22A f =，求B 的大小.
17、如图, ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，
3DE DA AF ==.
(Ⅰ) 求证：AC ⊥BE ；
(Ⅱ) 求面FBE 和面DBE 所形成的锐二面角的余弦值.
18、抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品123
A A A 、、，假定1A 正面向上的概率为1
2，2A 正面向上的概率为13，3A
正面向上的概率为t(0<t<1)，把这三枚金属制品各抛掷一次，
设ξ表示正面向上的枚数。

(1)求ξ的分布列及数学期望E ξ(用t 表示)；
(2)令*6(21)cos(
)()56n n a n E n N t π
ξ=-∈+,求数列{}n a 的前n 项和.
19、已知椭圆的焦点坐标为1
F (-1,0)，
2
F (1,0)，过
2
F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，
且|PQ|=3，
(1) 求椭圆的方程； (2) 过
2
F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△
1
F MN 的内切圆的面积是否存在最大
值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
F E
D
C
B A
20、已知函数
)0(21)(,ln )(2
≠+=
=a bx ax x g x x f
(Ⅰ)若2-=a 时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值X 围； (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下，设函数)(],2ln ,0[,)(2x x be e
x x x
ϕϕ求函数∈+=的最小值；
(Ⅲ)设函数)(x f 的图象C1与函数)(x g 的图象C2交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴 的垂线分别交C1、C2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C1在M 处的切线与C2在N 处的切
线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
21、本题设有(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.
(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换
若二阶矩阵M 满足
127103446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭. (Ⅰ)求二阶矩阵M ；
(Ⅱ)把矩阵M 所对应的变换作用在曲线
22
3861x xy y ++=上，求所得曲线的方程.
(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C
的参数方程sin x y αα⎧=⎪
⎨
=⎪⎩(α
为参数)
(I)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半
轴为极轴)中，点P 的极坐标
(4, )
2π
，判断点P 与直线l 的位置关系； (II)设点Q 为曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
(3)(本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 已知关于x 的不等式：1
2≤-m x 的整数解有且仅有一个值为2.
(Ⅰ)求整数m 的值;
(Ⅱ)已知R c b a ∈,,，若m c b a =++4
4
4
444，求2
2
2
c b a ++的最大值
2014届高三上学期期末理科数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.D
2.B
3.C
4.A
5.D
6.C
7.D
8.A
9.A 10.B 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11.3122i
+ 12．432 13．100 14.31 15. 4
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
16、解：（I
）
1cos 21()2sin(2)226x f x x x ωπ
ωω+=
-=+，……（3分）
∵()f x 最小正周期为π，∴1ω=，
…………（4分）
()sin(2)6f x x π=+，()f x 增区间是[,]()36k k k ππ
ππ-+∈Z ；…………（7分） （II
）∵
()22A f =，a b <，∴6A π
=， …………（9分）
∵1a =
，b =
，由正弦定理
sin sin 2b A B a =
=，
…………（11分）
∵a b <，∴
4B π
=
或
34B π
=
．
…………（13分）
17、(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ， 所以AC DE ⊥. ……………………1分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，
所以AC ⊥平面BDE , …………………3分 从而 AC ⊥BE ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，
F E
D
C
B A
所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示. …………5分 设3=AD ，可知1,3==AF DE . ……………………6分
则)0,0,0(D ,(3,0,0)A ，)1,0,3(F ，)3,0,0(E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， 所以)1,3,0(-=BF ，)2,0,3(-=EF ， ………………7分
设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎩⎨⎧=-=+-．023,03z x z y ，
令3=z ，则=n )3,1,2(. …………………10分 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，
所以
14
7,cos =
⋅=
><CA
n CA n CA n …………………………12分
所以面FBE 和面DBE 所形成的锐二面角的余弦值为147
. …………13分
18、
19、 解：（1）设椭圆方程为22
2
2x y a b +=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1由PQ|=3，可得2
2b a =3，……………………………………………2分
解得a=2，33分
故椭圆方程为22
4
3x y +
=1……………………………………………4分 （2）设M
11(,)x y ，N 22(,)x y ,不妨1y >0, 2y <0,设△1F MN 的内切圆的径R ，
则△1F MN 的周长=4a=8，
11
2F MN
S
=
（MN+1F M+1F N ）R=4R
因此
1F MN
S
最大，R 就最大，………………………………………6分
1212121
()2AMN S F F y y y y =
-=-，
由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x=my+1，
由22
1143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)m y ++6my-9=0，………………………8分
得212
36134m m y m -++=+222361
34m m y m --+=+，
则
12AMN
S
=
AB （12y y -）=12y y -2212134m m ++，……………9分
令
则t ≥1,
则
212121
313AMN
t S
t t t ===++,………………………10分
令f （t ）=3t+1t ，则f ′(t) =3-2
1
t ，
当t ≥1时，f ′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，
有f(t)≥f(1)=4,
AMN S ≤12
3=3,
即当t=1,m=0时，AMN S ≤12
3=3,
AMN S =4R ，∴max R =3
4，
这时所求内切圆面积的最大值为9
16π.
故直线l:x=1，△AMN 内切圆面积的最大值为9
16π………………13分
20、解：（1）依题意：
.ln )(2
bx x x x h -+= ∵),0()(+∞在x h 上是增函数，
∴
),0(021
)(+∞∈≥-+=
x b x x x h 对恒成立，……………………2分
∴
.21x x b +≤
∵.2221
,0≥+>x x x 则∴b 的取值X 围为].22,(-∞………4分
（2）设]2,1[,,2
∈+==t bt t y e t x 则函数化为，即
2
2()24b b y t =+-,[1,2]t ∈…5分 ∴当]2,1[,222,12在函数时即y b b
≤≤-≤-
上为增函数，
当t=1时，.1min +=b y …6分
当
,2,24,221时当时即b
t b b -=-<<-<-<;
42min b y -=…………7分
当2,4,[1,2]
2b b y -
≥≤-即时函数在上为减函数， 当t=2时，min 42.y b =+……………8分 综上所述，当.1)(,222+≤≤-b x b 的最小值为时ϕ 当
.2)(,242
b x b --<<-的最小值为时ϕ b x b 24)(,4+-≤的最小值为时当ϕ…9分
（3）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=
C1在M 处的切线斜率为.2211x x k +=
C2在点N 处的切线斜率.2)(212b x x a k ++= 假设C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线平行，则21k k = 即.2)(22121b x x a x x ++=+ 则)(2)()(21221222112x x b x x a x x x x -+-=+-)2()2(121222bx x a bx x a +-+=
12y y -=12ln ln x x -=12ln x x =，12
122112121)1(
2)(2ln x x x x x x x x x x +-=+-=∴………12分 设212(1)1,ln ,11x u u u u x u -=
>=>+则…………………………① 令.1,1)1(2ln )(>+--=u u u u u r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='u u u u u u r
∵1>u ∴.0)(>'u r
所以),1[)(+∞在u r 上单调递增，故0)1()(=>r u r ， 则1)1(2ln +->u u u
这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线不平行.……14分
21、（1）解：（Ⅰ）记矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2A =-，故
1213122A --⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭. ……2分 由已知得121710710123146461122M A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……3分
（Ⅱ）设二阶矩阵M 所对应的变换为1211x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y x y '=+⎧⎨'=+⎩
， 解得2x x y y x y ''=-+⎧⎨''=-⎩
， ……5分 又223861x xy y ++=，故有223(2)8(2)()6()1x y x y x y x y ''''''''-++-+-+-=，化简得2221x y ''+=.故所得曲线的方程为2221x y +=. ……7分
（2）解：（I ）把极坐标系下的点(4,)2P π化为直角坐标，得P （0，4）。

……1分
因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=，
所以点P 在直线l 上. ……3分 （II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q
的坐标为,sin )αα，……4分
从而点Q 到直线l
的距离为2cos()4d πα++==
)6πα=++ ……6分 由此得，当cos()16π
α+=-时，d
……7分
（3）（I ）1|2|≤-m x 由，得 212
1+≤≤-m x m
不等式的整数解为2， 21221+≤≤-∴m m 53≤≤⇒m 又不等式仅有一个整数解2，4=∴m ……3分
（Ⅱ）显然14
44=++c b a
由柯西不等式可知：
])()())[(111()(2222222222222c b a c b a ++++≤++ 所以3)(2222≤++c b a 即3222≤++c b a 当且仅当
33222=
==c b a 时取等号，最大值为3………7分。