北师大版高中数学必修2 专题 3 正弦定理、余弦定理的应用

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北师大版高中数学必修2 专题 3 正弦定理、余弦定理的应用
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2+2ab=a2+b2+6,C=2π
3
,则△ABC的面积是( )
A.3B.3√3
2C.√3
2
D.3√3
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=60∘,b=1,S△ABC=√3,
则a+2b+c
sinA+2sinB+sinC
=( )
A.2√39
3B.26√3
3
C.8√3
3
D.2√3
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积.若ccosB+ bcosC=asinA,S=√3
4
(b2+a2−c2),则B=( )
A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘
4.在△ABC中,cos2B
2=a+c
2c
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为
( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的有( )
A.若A>B,则sinA>sinB
B.若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形
C.若acosB−bcosA=c,则△ABC一定为直角三角形
D.若B=π
3
,AB=2,且该三角形有两解,则边AC的范围是(√3,+∞)
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若ac=8,a+c=7,B=π
3
,则b=.
7.在△ABC中,已知a=8,b=5,面积为12,则cos2C=.
8. 在 △ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c .若 c 2=(a −b )2+4,C =π3
,则 △ABC 的面积是 ( ) A . 3
B . √3
C . 3√3
D .
3√3
2
9. 已知 △ABC 是等腰直角三角形,点 D 在线段 BC 的延长线上.若 BC =AD =2√2,则 CD = ( ) A . 1
B . √2
C . √6−√3
D . √6−√2
10. 如图,为了测量某湿地 A ,B 两点间的距离,观察者找到在同一条直线上的三点 C ,D ,E .从
D 点测得 ∠ADC =67.5∘,从 C 点测得 ∠ACD =45∘,∠BC
E =75∘,从 E 点测得 ∠BEC =60∘.若测得 DC =2√3,CE =√2(单位:百米),则 A ,B 两点间的距离为 ( )
A . √6
B . 2√2
C . 3
D . 2√3
11. 已知 △ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,点 M 在边 AB 上,且 AM =1
3AB ,
b =2,CM =2√73
,2sinA−sinB
sin2B =c
b ,则 S △ABC = ( )
A .
3√3
4
B . √3
C . 2√3
D .
8√3
3
12. 如图,在 △ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD ⊥AC ,sin∠BAC =
2√2
3
,AB =3√2,AD =3,
则 BD = .
13. 在 △ABC 中,D 是 BC 边上一点,∠BAD =∠DAC =60∘,BC =7,且 △ABD 与 △ADC 面积
之比为 5
3,则 AD = .
14. 已知 △ABC 同时满足下列四个条件中的三个:
① A =π
3;② cosB =−2
3;③ a =7;④ b =3. (1) 请指出这三个条件,并说明理由; (2) 求 △ABC 的面积.
15. 在 △ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且 ccosB +bcosC =3acosB .
(1) 求 cosB 的值;
(2) 若 c =2,△ABC 的面积为 2√2,求 b 的值.
16. 一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75∘ 距塔 68 海里的 M 处,下
午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为 ( ) A .17√6
2
海里/小时 B .34√6 海里/小时 C .
17√22
海里/小时
D .34√2 海里/小时
17. 如图所示,为了测量 A ,B 处岛屿的距离,小明在 D 处观测,A ,B 分别在 D 处的北偏西 15∘,
北偏东 45∘ 方向,再往正东方向行驶 40 海里至 C 处,观测 B 在 C 处的正北方向,A 在 C 处的北偏西 60∘ 方向,则 A ,B 两处岛屿间的距离为 ( )
A . 20√6 海里
B . 40√6 海里
C . 20(1+√3) 海里
D . 40 海里
18. 中华人民共和国国歌有 84 个字,37 小节,奏唱需要 46 秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好
处在坡度 15∘ 的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60∘ 和 30∘,第一排和最后一排的距离为 10√2 米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为 ( )
A .
3√3
23
(米/秒) B .
5√3
23
(米/秒) C .
7√3
23
(米/秒) D .
8√3
23
(米/秒)
19. 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到
C .另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B .然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两位游客从
A
处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,
在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量,cosA =12
13,cosC =3
5.当乙出发 min 时,乙在缆车上与甲的距离最短.
20. 已知 △ABC 的内角 A ,B ,C 满足 cos2A +cos2B =1+cos2C ,且 2sinAsinB =sinC ,则下列
结论正确的是 ( ) A . A =B ,C ≠π
2 B . A ≠B ,C =π
2 C . A ≠B ,C ≠π
2
D . A =B ,C =π
2
21. 在 △ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且满足 b 2+c 2−a 2=bc ,a =√3,
则 b +c 的取值范围是 ( ) A . (1,√3)
B . (√3,2√3]
C . (√3,3√3)
D . (√3,
3√33
]
22. 在 △ABC 中,B =60∘,AC =√3,则 AB +2BC 的最大值为 .
23.如图,在△ABC中,AC=BC,C=π
,点O是△ABC外一点,OA=2,OB=1,则平面四
2
边形OACB面积的最大值是.
24.在平面四边形ABCD中,已知AB=2√6,AD=3,∠ADB=2∠ABD,∠BCD=π

3
(1) 求BD;
(2) 求△BCD周长的最大值.
25.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,A=2π
,且△ABC的面
3
.
积为√3
2
(1) 求a的值;
(2) 若D为BC上一点,且,求sin∠ADB的值.
从① AD=1,② ∠CAD=π
这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
6
答案
1. 【答案】C
【解析】由c2+2ab=a2+b2+6,可得c2=a2+b2−2ab+6.由C=2π
3
及余弦定理可知c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2+ab,所以a2+b2−2ab+6=a2+b2+ab,
所以ab=2.
多以S△ABC=1
2absinC=√3
2

【知识点】余弦定理2. 【答案】A
【解析】由题知S△ABC=1
2bcsinA=√3
4
c=√3,
所以c=4,
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA=1+16−4=13,所以a=√13.
由正弦定理a
sinA =b
sinB
=c
sinC

得a+2b+c
sinA+2sinB+sinC =a
sinA
=√13
√3
2
=2√39
3

故选A.
【知识点】余弦定理、正弦定理
3. 【答案】D
【解析】由ccosB+bcosC=asinA及正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=sin2A,则sin(C+
B)=sin2A,即sinA=sin2A.
又sinA≠0,所以sinA=1.
又因为0∘<A<180∘,所以A=90∘.
由余弦定理、三角形面积公式及S=√3
4(b2+a2−c2),得1
2
absinC=√3
4
(b2+a2−c2),即1
2
ab⋅
sinC=√3
4
⋅2abcosC,整理得tanC=√3.又0∘<C<90∘,所以C=60∘,故B=30∘.【知识点】余弦定理、正弦定理
4. 【答案】B
【解析】因为cos2B
2=1+cosB
2
,cos2B
2
=a+c
2c

所以(1+cosB)⋅c=a+c,
所以 a =cosB ⋅c =
a 2+c 2−
b 2
2a

所以 2a 2=a 2+c 2−b 2, 所以 a 2+b 2=c 2, 所以 △ABC 为直角三角形. 【知识点】判断三角形的形状
5. 【答案】A ;C
【解析】由正弦定理及大边对大角可知A 正确; 由 sin2A =sin2B 可得 A =B 或 A +B =π
2,
则 △ABC 是等腰三角形或直角三角形,故B 错误; 由正弦定理可得 sinAcosB −sinBcosA =sinC , 又 sinC =sin (A +B )=sinAcosB +sinBcosA , 则 cosAsinB =0. 因为 0<B <π, 所以 sinB ≠0, 所以 cosA =0, 因为 0<A <π, 所以 A =π
2,故C 正确;
D 结合 ABsinB =√3 及画圆弧法可知,只有 √3<AC <2 时满足条件,故D 错误. 【知识点】正弦定理
6. 【答案】 5
【解析】由题知 ac =8,a +c =7,B =π
3, 由余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ,
得 b 2=a 2+c 2−ac =(a +c )2−3ac =72−3×8=25,则 b =5. 【知识点】余弦定理
7. 【答案】
725
【解析】由题知在 △ABC 中,a =8,b =5,面积为 12,则 12
absinC =20sinC =12,解得 sinC =3
5,所以 cos2C =1−2sin 2C =1−2×9
25=7
25. 【知识点】正弦定理
8. 【答案】B
【解析】由 c 2=(a −b )2+4 可得 c 2=a 2+b 2−2ab +4,又由余弦定理得 c 2=a 2+b 2−
2abcos π
3
=a 2+b 2−ab ,
所以 −2ab +4=−ab ,解得 ab =4.则 S △ABC =12
absinC =1
2
×4×
√32
=√3.
【知识点】余弦定理
9. 【答案】D
【解析】由 △ABC 是等腰直角三角形及 BC =AD =2√2 可知 △ABC 是以 ∠BAC 为直角的等腰直角三角形,如图. 所以 AC =2. 又因为 ∠ACD =135∘, 所以 cos135∘=
CD 2+4−84CD
=−
√22
, 化简得 CD 2+2√2CD −4=0,
解得 CD =√6−√2 或 CD =−√6−√2(舍去).
【知识点】余弦定理
10. 【答案】C
【解析】在 △ADC 中,∠ACD =45∘,∠ADC =67.5∘,则 ∠DAC =180∘−45∘−67.5∘=67.5∘, 所以 AC =DC =2√3.
在 △BCE 中,∠BCE =75∘,∠BEC =60∘,则 ∠EBC =180∘−75∘−60∘=45∘,由正弦定理
CE sin∠EBC
=BC
sin∠BEC ,得 BC =
CEsin∠BEC sin∠EBC
=√2×√3
2
√2
2=√3.则在 △ABC 中,AC =2√3,BC =√3,
∠ACB =180∘−∠ACD −∠BCE =60∘,由余弦定理得 AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BCcos∠ACB =9,则 AB =3.
【知识点】解三角形的实际应用问题
11. 【答案】B
【解析】由题知在 △ABC 中,
2sinA−sinB sin2B
=c
b ,所以 2sinA−sinB sin2B
=sinC
sinB ,
所以 2sinCcosB =2sinA −sinB ,
所以 2sinCcosB =2(sinBcosC +cosBsinC )−sinB , 解得 cosC =1
2.
又 0∘<C <180∘,所以 C =60∘.
又 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 3CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 9CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 28=16+a 2+4a ,解得 a =2 或 a =−6(舍去), 所以 △ABC 的面积 S △ABC =1
2×2×2×sin60∘=√3. 【知识点】平面向量的数量积与垂直、正弦定理
12. 【答案】 √3
【解析】因为 sin∠BAC =sin (π2+∠BAD)=cos∠BAD ,
所以 cos∠BAD =2√2
3
. 由余弦定理得
BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos∠BAD =(3√2)2
+32−2×3√2×3×
2√23
=3.
所以 BD =√3. 【知识点】余弦定理
13. 【答案】
158
【解析】因为 ∠BAD =∠DAC =60∘,且 △ABD 与 △ADC 面积之比为 53
, 所以 AD 为 ∠BAC 的平分线,∠BAC =120∘,且 AB AC
=
BD DC
=5
3

设 AB =5k ,AC =3k ,k >0.
由余弦定理 AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos120∘=BC 2, 得 25k 2+9k 2+15k 2=49, 解得 k =1.
所以 AB =5,AC =3, 故 cosB =
AB 2+BC 2−AC 2
2AB⋅BC =1314

因为 BD
DC =5
3,且 BD +DC =7, 故 BD =35
8
,DC =218


AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcosB
=25+1225
64−2×5×35
8
×13
14
=225
64
,
所以AD=15
8

【知识点】余弦定理
14. 【答案】
(1) △ABC同时满足①,③,④.理由如下:
若△ABC同时满足①,②,
因为cosB=−2
3<−1
2
,且B∈(0,π),
所以B>2
3
π,
所以A+B>π,矛盾,
所以△ABC只能同时满足③,④,
所以a>b,
所以A>B,
故△ABC不满足②,
故△ABC满足①,③,④.
(2) 因为a2=b2+c2−2bccosA,
所以72=32+c2−2×3×c×1
2

解得c=8或c=−5(舍),
所以△ABC的面积S=1
2
bcsinA=6√3.
【知识点】余弦定理、正弦定理
15. 【答案】
(1) 在△ABC中,由正弦定理及ccosB+bcosC=3acosB,得sinCcosB+sinBcosC=
3sinAcosB,
所以sin(C+B)=3sinAcosB,
又因为sin(C+B)=sinA,
所以sinA=3sinAcosB,
因为A∈(0,π),
所以sinA>0,
所以cosB=1
3

(2) 因为角B是△ABC的内角,
所以sinB>0,sinB=√1−cos2B=2√2
3

又S△ABC=1
2
acsinB,
所以1
2a⋅2×2√2
3
=2√2,解得a=3,
在△ABC中,由余弦定理得2accosB=a2+c2−b2,所以2×3×2×1
3
=32+22−b2,解得b=3.【知识点】余弦定理、正弦定理
16. 【答案】A
【解析】如图所示,
在△PMN中,PM
sin45∘=MN
sin120∘

所以MN=√3
√2
=34√6,
所以v=MN
4=17
2
√6(海里/小时).
【知识点】解三角形的实际应用问题
17. 【答案】A
【解析】在△ACD中,∠ADC=15∘+90∘=105∘,∠ACD=90∘−60∘=30∘,所以∠CAD=45∘.
由正弦定理可得CD
sin∠CAD =AD
sin∠ACD

解得AD=CDsin∠ACD
sin∠CAD =40×
1
2
√2
2
=20√2.
在Rt△DCB中,∠BDC=45∘,
所以BD=√2CD=40√2.
在△ABD中,由余弦定理可得
AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB
=800+3200−2×20√2×40√2×1
2 =2400,
解得AB=20√6(海里).
所以A,B两处岛屿间的距离为20√6海里.
【知识点】解三角形的实际应用问题
18. 【答案】B
【解析】如图,
由题得 ∠HAB =45∘,∠HBA =105∘, 所以 ∠AHB =30∘.
在 △HAB 中,由正弦定理得 HB sin∠HAB
=
AB sin∠AHB
,即
HB sin45∘
=
10√2sin30∘

解得 HB =20,
则在 △BHD 中,OH =HBsin∠HBO =20sin60∘=10√3, 所以升旗的速度应为
10√346
=
5√3
23
(米/秒).
【知识点】解三角形的实际应用问题
19. 【答案】
3537
【解析】在 △ABC 中,因为 cosA =1213
,cosC =3
5

所以 sinA =5
13
,sinC =4
5

从而
sinB =sin [π−(A +C )]=sin (A +C )
=sinAcosC +cosAsinC
=513×35
+1213
×4
5
=
6365
.
由正弦定理得 AB sinC
=
AC sinB
, 得 AB =
AC⋅sinC sinB
=
1260×
45
6365
=1040,
所以乙在 AB 段的时间 0≤t ≤1040130
,即 0≤t ≤8.
假设乙出发 1 分钟时,甲,乙两游客的距离为 d , 此时,甲行走了 100+50t ,乙距离 A 处的距离为 130t ,
由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2−2×130t⋅(100+50t)⋅12
13 =200(37t2−70t+50)
=200[37(t−35
37)
2
+625
37
].
因为0≤t≤8,
所以当t=35
37
时,乙在缆车上与甲的距离最短.
【知识点】解三角形的实际应用问题
20. 【答案】D
【解析】因为cos2A+cos2B=1+cos2C,
所以1−2sin2A+1−2sin2B=1+1−2sin2C,可得sin2A+sin2B=sin2C,
所以由正弦定理得a2+b2=c2,
所以C=π
2

又因为sinC=2sinAsinB,A+B=π
2

所以2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1,可得sin2A=sin2B=1,由于A,B为锐角,
可得A=B=π
4

【知识点】正弦定理
21. 【答案】B
【解析】因为b2+c2−a2=bc,
所以cosA=b 2+c2−a2
2bc
=bc
2bc
=1
2

由A∈(0,π),可得A=π
3

因为由正弦定理得b
sinB =c
sinC
=√3
sinπ
3
=2,
所以
b+c=2sinB+2sinC
=2sinB+2sin(2π
3
−B)
=2sinB+2(√3
2cosB+1
2
sinB)
=3sinB+√3cosB
=2√3sin(B+π
6
).
因为B+C=2π
3

所以B∈(0,2π
3
),
可得B+π
6∈(π
6
,5π
6
),
所以sin(B+π
6)∈(1
2
,1],
所以b+c=2√3sin(B+π
6
)∈(√3,2√3].
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理、余弦定理22. 【答案】2√7
【解析】在△ABC中,由AB
sinC =AC
sinB
=BC
sinA

得AB=AC
sinB ⋅sinC=√3
√3
2
=2sinC,
同理BC=2sinA.
所以
AB+2BC
=2sinC+4sinA
=2sinC+4sin(120∘−C)
=4sinC+2√3cosC
=2√7sin(C+φ)(tanφ=√3
2
,且φ是第一象限角),
又因为0∘<C<120∘,
所以AB+2BC的最大值为2√7.
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理
23. 【答案】√2+5
4
【解析】由题意可知△ABC为等腰直角三角形,设AC=BC=m,则AB=√2m.
设∠AOB=θ,则△AOB中,由OA=2,OB=1及余弦定理可知12+22−2m2=4cosθ,
所以m2=5−4cosθ
2

所以S△OAB=1
2×2×1×sinθ=sinθ,S△ABC=m2
2
=5
4
−cosθ.
记平面四边形OACB的面积为S,
则S=5
4−cosθ+sinθ=5
4
+√2sin(θ−π
4
).
因为0<θ<π,
所以−π
4<θ−π
4
<3π
4

所以当θ−π
4=π
2

即θ=3π
4
时,
平面四边形 OACB 面积的最大值是 √2+54
. 【知识点】余弦定理、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
24. 【答案】
(1) 在 △ABD 中,设 BD =x ,∠ABD =α,则 ∠ADB =2α. 由正弦定理得 AB
sin2α=AD
sinα,即 2√6
2sinα⋅cosα=3
sinα. 因为 sinα≠0, 所以 cosα=
√63
, 由余弦定理得 cosα=22×2√6⋅x
=
√63
, 整理得 x 2−8x +15=0,解得 x =5 或 x =3.
当 x =3 时,可得 ∠ADB =2α=π
2,与 AD 2+BD 2≠AB 2 矛盾,故舍去, 所以 BD =5.
(2) 在 △BCD 中,设 ∠CBD =β,则 BD
sin π
3
=
BC
sin(2π
3
−β)
=CD
sinβ,
所以 BC =10√33sin (2π3
−β),CD =
10√33
sinβ,
所以
BC +CD =10√33[sin (2π
3−β)+sinβ]
=
10√33
×(√32cosβ+1
2sinβ+sinβ)=10√33
(32
sinβ+√3
2
cosβ)
=10sin (β+π
6)
≤10.
(当且仅当 β=π
3 时,等号成立), 所以 △BCD 周长的最大值为 15.
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理、余弦定理
25. 【答案】
(1) 因为 c =1,A =2π3
,S △ABC =12
bcsinA =
√32
, 所以 b =2,
由余弦定理得 a 2=b 2+c 2−2bccosA , 解得 a =√7. (2) AD =1
①当 AD =1 时,在 △ABC 中,由正弦定理 b
sinB =BC
sin∠BAC ,
即2
sinB =√7
√3
2

所以sinB=√21
7

因为AD=AB=1,
所以∠ADB=B,
所以sin∠ADB=sinB,
所以sin∠ADB=√21
7

∠CAD=π
6
②当∠CAD=π
6
时,
在△ABC中,由余弦定理知,cosB=AB 2+BC2−AC2
2AB⋅BC
=
2√7
=2√7
7

因为A=2π
3

所以∠DAB=2π
3−π
6

2

所以B+∠DAB=π
2

所以sin∠ADB=cosB,
所以sin∠ADB=2√7
7

【知识点】余弦定理、正弦定理。

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