北师大版高中数学必修2 专题 3 正弦定理、余弦定理的应用

北师大版高中数学必修2 专题 3 正弦定理、余弦定理的应用
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若c2+2ab=a2+b2+6，C=2π
3
，则△ABC的面积是( )
A．3B．3√3
2C．√3
2
D．3√3
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60∘，b=1，S△ABC=√3，
则a+2b+c
sinA+2sinB+sinC
=( )
A．2√39
3B．26√3
3
C．8√3
3
D．2√3
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积．若ccosB+ bcosC=asinA，S=√3
4
(b2+a2−c2)，则B=( )
A．90∘B．60∘C．45∘D．30∘
4.在△ABC中，cos2B
2=a+c
2c
（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为
( )
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )
A．若A>B，则sinA>sinB
B．若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形
C．若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形
D．若B=π
3
，AB=2，且该三角形有两解，则边AC的范围是(√3,+∞)
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若ac=8，a+c=7，B=π
3
，则b=．
7.在△ABC中，已知a=8，b=5，面积为12，则cos2C=．
8. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ．若 c 2=(a −b )2+4，C =π3
，则 △ABC 的面积是 ( ) A ． 3
B ． √3
C ． 3√3
D ．
3√3
2
9. 已知 △ABC 是等腰直角三角形，点 D 在线段 BC 的延长线上．若 BC =AD =2√2，则 CD = ( ) A ． 1
B ． √2
C ． √6−√3
D ． √6−√2
10. 如图，为了测量某湿地 A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点 C ，D ，E ．从
D 点测得 ∠ADC =67.5∘，从 C 点测得 ∠ACD =45∘，∠BC
E =75∘，从 E 点测得 ∠BEC =60∘．若测得 DC =2√3，CE =√2（单位：百米），则 A ，B 两点间的距离为 ( )
A ． √6
B ． 2√2
C ． 3
D ． 2√3
11. 已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，点 M 在边 AB 上，且 AM =1
3AB ，
b =2，CM =2√73
，2sinA−sinB
sin2B =c
b ，则 S △ABC = ( )
A ．
3√3
4
B ． √3
C ． 2√3
D ．
8√3
3
12. 如图，在 △ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC =
2√2
3
，AB =3√2，AD =3，
则 BD = ．
13. 在 △ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠BAD =∠DAC =60∘，BC =7，且 △ABD 与 △ADC 面积
之比为 5
3，则 AD = ．
14. 已知 △ABC 同时满足下列四个条件中的三个：
① A =π
3；② cosB =−2
3；③ a =7；④ b =3． (1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积．
15. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 ccosB +bcosC =3acosB ．
(1) 求 cosB 的值；
(2) 若 c =2，△ABC 的面积为 2√2，求 b 的值．
16. 一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75∘ 距塔 68 海里的 M 处，下
午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 ( ) A ．17√6
2
海里/小时 B ．34√6 海里/小时 C ．
17√22
海里/小时
D ．34√2 海里/小时
17. 如图所示，为了测量 A ，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A ，B 分别在 D 处的北偏西 15∘，
北偏东 45∘ 方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60∘ 方向，则 A ，B 两处岛屿间的距离为 ( )
A ． 20√6 海里
B ． 40√6 海里
C ． 20(1+√3) 海里
D ． 40 海里
18. 中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好
处在坡度 15∘ 的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60∘ 和 30∘，第一排和最后一排的距离为 10√2 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 ( )
A ．
3√3
23
（米/秒） B ．
5√3
23
（米/秒） C ．
7√3
23
（米/秒） D ．
8√3
23
（米/秒）
19. 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到
C ．另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ．然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从
A
处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min ．在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，
在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min ，山路 AC 长为 1260 m ，经测量，cosA =12
13，cosC =3
5．当乙出发 min 时，乙在缆车上与甲的距离最短．
20. 已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 满足 cos2A +cos2B =1+cos2C ，且 2sinAsinB =sinC ，则下列
结论正确的是 ( ) A ． A =B ，C ≠π
2 B ． A ≠B ，C =π
2 C ． A ≠B ，C ≠π
2
D ． A =B ，C =π
2
21. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 b 2+c 2−a 2=bc ，a =√3，
则 b +c 的取值范围是 ( ) A ． (1,√3)
B ． (√3,2√3]
C ． (√3,3√3)
D ． (√3,
3√33
]
22. 在 △ABC 中，B =60∘，AC =√3，则 AB +2BC 的最大值为 ．
23.如图，在△ABC中，AC=BC，C=π
，点O是△ABC外一点，OA=2，OB=1，则平面四
2
边形OACB面积的最大值是．
24.在平面四边形ABCD中，已知AB=2√6，AD=3，∠ADB=2∠ABD，∠BCD=π
．
3
(1) 求BD；
(2) 求△BCD周长的最大值．
25.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=1，A=2π
，且△ABC的面
3
.
积为√3
2
(1) 求a的值；
(2) 若D为BC上一点，且，求sin∠ADB的值．
从① AD=1，② ∠CAD=π
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
6
答案
1. 【答案】C
【解析】由c2+2ab=a2+b2+6，可得c2=a2+b2−2ab+6．由C=2π
3
及余弦定理可知c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2+ab，所以a2+b2−2ab+6=a2+b2+ab，
所以ab=2．
多以S△ABC=1
2absinC=√3
2
．
【知识点】余弦定理2. 【答案】A
【解析】由题知S△ABC=1
2bcsinA=√3
4
c=√3，
所以c=4，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA=1+16−4=13，所以a=√13．
由正弦定理a
sinA =b
sinB
=c
sinC
，
得a+2b+c
sinA+2sinB+sinC =a
sinA
=√13
√3
2
=2√39
3
．
故选A．
【知识点】余弦定理、正弦定理
3. 【答案】D
【解析】由ccosB+bcosC=asinA及正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=sin2A，则sin(C+
B)=sin2A，即sinA=sin2A．
又sinA≠0，所以sinA=1．
又因为0∘<A<180∘，所以A=90∘．
由余弦定理、三角形面积公式及S=√3
4(b2+a2−c2)，得1
2
absinC=√3
4
(b2+a2−c2)，即1
2
ab⋅
sinC=√3
4
⋅2abcosC，整理得tanC=√3．又0∘<C<90∘，所以C=60∘，故B=30∘．【知识点】余弦定理、正弦定理
4. 【答案】B
【解析】因为cos2B
2=1+cosB
2
，cos2B
2
=a+c
2c
，
所以(1+cosB)⋅c=a+c，
所以 a =cosB ⋅c =
a 2+c 2−
b 2
2a
，
所以 2a 2=a 2+c 2−b 2， 所以 a 2+b 2=c 2， 所以 △ABC 为直角三角形． 【知识点】判断三角形的形状
5. 【答案】A ；C
【解析】由正弦定理及大边对大角可知A 正确； 由 sin2A =sin2B 可得 A =B 或 A +B =π
2，
则 △ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误； 由正弦定理可得 sinAcosB −sinBcosA =sinC ， 又 sinC =sin (A +B )=sinAcosB +sinBcosA ， 则 cosAsinB =0． 因为 0<B <π， 所以 sinB ≠0， 所以 cosA =0， 因为 0<A <π， 所以 A =π
2，故C 正确；
D 结合 ABsinB =√3 及画圆弧法可知，只有 √3<AC <2 时满足条件，故D 错误． 【知识点】正弦定理
6. 【答案】 5
【解析】由题知 ac =8，a +c =7，B =π
3， 由余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ，
得 b 2=a 2+c 2−ac =(a +c )2−3ac =72−3×8=25，则 b =5． 【知识点】余弦定理
7. 【答案】
725
【解析】由题知在 △ABC 中，a =8，b =5，面积为 12，则 12
absinC =20sinC =12，解得 sinC =3
5，所以 cos2C =1−2sin 2C =1−2×9
25=7
25． 【知识点】正弦定理
8. 【答案】B
【解析】由 c 2=(a −b )2+4 可得 c 2=a 2+b 2−2ab +4，又由余弦定理得 c 2=a 2+b 2−
2abcos π
3
=a 2+b 2−ab ，
所以 −2ab +4=−ab ，解得 ab =4．则 S △ABC =12
absinC =1
2
×4×
√32
=√3．
【知识点】余弦定理
9. 【答案】D
【解析】由 △ABC 是等腰直角三角形及 BC =AD =2√2 可知 △ABC 是以 ∠BAC 为直角的等腰直角三角形，如图． 所以 AC =2． 又因为 ∠ACD =135∘， 所以 cos135∘=
CD 2+4−84CD
=−
√22
， 化简得 CD 2+2√2CD −4=0，
解得 CD =√6−√2 或 CD =−√6−√2（舍去）．
【知识点】余弦定理
10. 【答案】C
【解析】在 △ADC 中，∠ACD =45∘，∠ADC =67.5∘，则 ∠DAC =180∘−45∘−67.5∘=67.5∘， 所以 AC =DC =2√3．
在 △BCE 中，∠BCE =75∘，∠BEC =60∘，则 ∠EBC =180∘−75∘−60∘=45∘，由正弦定理
CE sin∠EBC
=BC
sin∠BEC ，得 BC =
CEsin∠BEC sin∠EBC
=√2×√3
2
√2
2=√3．则在 △ABC 中，AC =2√3，BC =√3，
∠ACB =180∘−∠ACD −∠BCE =60∘，由余弦定理得 AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BCcos∠ACB =9，则 AB =3．
【知识点】解三角形的实际应用问题
11. 【答案】B
【解析】由题知在 △ABC 中，
2sinA−sinB sin2B
=c
b ，所以 2sinA−sinB sin2B
=sinC
sinB ，
所以 2sinCcosB =2sinA −sinB ，
所以 2sinCcosB =2(sinBcosC +cosBsinC )−sinB ， 解得 cosC =1
2．
又 0∘<C <180∘，所以 C =60∘．
又 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，
所以 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 3CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 9CM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 28=16+a 2+4a ，解得 a =2 或 a =−6（舍去）， 所以 △ABC 的面积 S △ABC =1
2×2×2×sin60∘=√3． 【知识点】平面向量的数量积与垂直、正弦定理
12. 【答案】 √3
【解析】因为 sin∠BAC =sin (π2+∠BAD)=cos∠BAD ，
所以 cos∠BAD =2√2
3
． 由余弦定理得
BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos∠BAD =(3√2)2
+32−2×3√2×3×
2√23
=3.
所以 BD =√3． 【知识点】余弦定理
13. 【答案】
158
【解析】因为 ∠BAD =∠DAC =60∘，且 △ABD 与 △ADC 面积之比为 53
， 所以 AD 为 ∠BAC 的平分线，∠BAC =120∘，且 AB AC
=
BD DC
=5
3
．
设 AB =5k ，AC =3k ，k >0．
由余弦定理 AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos120∘=BC 2， 得 25k 2+9k 2+15k 2=49， 解得 k =1．
所以 AB =5，AC =3， 故 cosB =
AB 2+BC 2−AC 2
2AB⋅BC =1314
．
因为 BD
DC =5
3，且 BD +DC =7， 故 BD =35
8
，DC =218
．
又
AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcosB
=25+1225
64−2×5×35
8
×13
14
=225
64
,
所以AD=15
8
．
【知识点】余弦定理
14. 【答案】
(1) △ABC同时满足①，③，④．理由如下：
若△ABC同时满足①，②，
因为cosB=−2
3<−1
2
，且B∈(0,π)，
所以B>2
3
π，
所以A+B>π，矛盾，
所以△ABC只能同时满足③，④，
所以a>b，
所以A>B，
故△ABC不满足②，
故△ABC满足①，③，④．
(2) 因为a2=b2+c2−2bccosA，
所以72=32+c2−2×3×c×1
2
，
解得c=8或c=−5（舍），
所以△ABC的面积S=1
2
bcsinA=6√3．
【知识点】余弦定理、正弦定理
15. 【答案】
(1) 在△ABC中，由正弦定理及ccosB+bcosC=3acosB，得sinCcosB+sinBcosC=
3sinAcosB，
所以sin(C+B)=3sinAcosB，
又因为sin(C+B)=sinA，
所以sinA=3sinAcosB，
因为A∈(0,π)，
所以sinA>0，
所以cosB=1
3
．
(2) 因为角B是△ABC的内角，
所以sinB>0，sinB=√1−cos2B=2√2
3
，
又S△ABC=1
2
acsinB，
所以1
2a⋅2×2√2
3
=2√2，解得a=3，
在△ABC中，由余弦定理得2accosB=a2+c2−b2，所以2×3×2×1
3
=32+22−b2，解得b=3．【知识点】余弦定理、正弦定理
16. 【答案】A
【解析】如图所示，
在△PMN中，PM
sin45∘=MN
sin120∘
，
所以MN=√3
√2
=34√6，
所以v=MN
4=17
2
√6（海里/小时）．
【知识点】解三角形的实际应用问题
17. 【答案】A
【解析】在△ACD中，∠ADC=15∘+90∘=105∘，∠ACD=90∘−60∘=30∘，所以∠CAD=45∘．
由正弦定理可得CD
sin∠CAD =AD
sin∠ACD
，
解得AD=CDsin∠ACD
sin∠CAD =40×
1
2
√2
2
=20√2．
在Rt△DCB中，∠BDC=45∘，
所以BD=√2CD=40√2．
在△ABD中，由余弦定理可得
AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcos∠ADB
=800+3200−2×20√2×40√2×1
2 =2400,
解得AB=20√6（海里）．
所以A，B两处岛屿间的距离为20√6海里．
【知识点】解三角形的实际应用问题
18. 【答案】B
【解析】如图，
由题得 ∠HAB =45∘，∠HBA =105∘， 所以 ∠AHB =30∘．
在 △HAB 中，由正弦定理得 HB sin∠HAB
=
AB sin∠AHB
，即
HB sin45∘
=
10√2sin30∘
，
解得 HB =20，
则在 △BHD 中，OH =HBsin∠HBO =20sin60∘=10√3， 所以升旗的速度应为
10√346
=
5√3
23
（米/秒）．
【知识点】解三角形的实际应用问题
19. 【答案】
3537
【解析】在 △ABC 中，因为 cosA =1213
，cosC =3
5
，
所以 sinA =5
13
，sinC =4
5
，
从而
sinB =sin [π−(A +C )]=sin (A +C )
=sinAcosC +cosAsinC
=513×35
+1213
×4
5
=
6365
.
由正弦定理得 AB sinC
=
AC sinB
， 得 AB =
AC⋅sinC sinB
=
1260×
45
6365
=1040，
所以乙在 AB 段的时间 0≤t ≤1040130
，即 0≤t ≤8．
假设乙出发 1 分钟时，甲，乙两游客的距离为 d ， 此时，甲行走了 100+50t ，乙距离 A 处的距离为 130t ，
由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2−2×130t⋅(100+50t)⋅12
13 =200(37t2−70t+50)
=200[37(t−35
37)
2
+625
37
].
因为0≤t≤8，
所以当t=35
37
时，乙在缆车上与甲的距离最短．
【知识点】解三角形的实际应用问题
20. 【答案】D
【解析】因为cos2A+cos2B=1+cos2C，
所以1−2sin2A+1−2sin2B=1+1−2sin2C，可得sin2A+sin2B=sin2C，
所以由正弦定理得a2+b2=c2，
所以C=π
2
．
又因为sinC=2sinAsinB，A+B=π
2
，
所以2sinAsinB=2sinBcosB=2sinAcosA=1，可得sin2A=sin2B=1，由于A，B为锐角，
可得A=B=π
4
．
【知识点】正弦定理
21. 【答案】B
【解析】因为b2+c2−a2=bc，
所以cosA=b 2+c2−a2
2bc
=bc
2bc
=1
2
，
由A∈(0,π)，可得A=π
3
．
因为由正弦定理得b
sinB =c
sinC
=√3
sinπ
3
=2，
所以
b+c=2sinB+2sinC
=2sinB+2sin(2π
3
−B)
=2sinB+2(√3
2cosB+1
2
sinB)
=3sinB+√3cosB
=2√3sin(B+π
6
).
因为B+C=2π
3
，
所以B∈(0,2π
3
)，
可得B+π
6∈(π
6
,5π
6
)，
所以sin(B+π
6)∈(1
2
,1]，
所以b+c=2√3sin(B+π
6
)∈(√3,2√3]．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理、余弦定理22. 【答案】2√7
【解析】在△ABC中，由AB
sinC =AC
sinB
=BC
sinA
，
得AB=AC
sinB ⋅sinC=√3
√3
2
=2sinC，
同理BC=2sinA．
所以
AB+2BC
=2sinC+4sinA
=2sinC+4sin(120∘−C)
=4sinC+2√3cosC
=2√7sin(C+φ)(tanφ=√3
2
,且φ是第一象限角),
又因为0∘<C<120∘，
所以AB+2BC的最大值为2√7．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理
23. 【答案】√2+5
4
【解析】由题意可知△ABC为等腰直角三角形，设AC=BC=m，则AB=√2m．
设∠AOB=θ，则△AOB中，由OA=2，OB=1及余弦定理可知12+22−2m2=4cosθ，
所以m2=5−4cosθ
2
，
所以S△OAB=1
2×2×1×sinθ=sinθ，S△ABC=m2
2
=5
4
−cosθ．
记平面四边形OACB的面积为S，
则S=5
4−cosθ+sinθ=5
4
+√2sin(θ−π
4
)．
因为0<θ<π，
所以−π
4<θ−π
4
<3π
4
，
所以当θ−π
4=π
2
，
即θ=3π
4
时，
平面四边形 OACB 面积的最大值是 √2+54
． 【知识点】余弦定理、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质
24. 【答案】
(1) 在 △ABD 中，设 BD =x ，∠ABD =α，则 ∠ADB =2α． 由正弦定理得 AB
sin2α=AD
sinα，即 2√6
2sinα⋅cosα=3
sinα． 因为 sinα≠0， 所以 cosα=
√63
， 由余弦定理得 cosα=22×2√6⋅x
=
√63
， 整理得 x 2−8x +15=0，解得 x =5 或 x =3．
当 x =3 时，可得 ∠ADB =2α=π
2，与 AD 2+BD 2≠AB 2 矛盾，故舍去， 所以 BD =5．
(2) 在 △BCD 中，设 ∠CBD =β，则 BD
sin π
3
=
BC
sin(2π
3
−β)
=CD
sinβ，
所以 BC =10√33sin (2π3
−β)，CD =
10√33
sinβ，
所以
BC +CD =10√33[sin (2π
3−β)+sinβ]
=
10√33
×(√32cosβ+1
2sinβ+sinβ)=10√33
(32
sinβ+√3
2
cosβ)
=10sin (β+π
6)
≤10.
（当且仅当 β=π
3 时，等号成立）， 所以 △BCD 周长的最大值为 15．
【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理、余弦定理
25. 【答案】
(1) 因为 c =1，A =2π3
，S △ABC =12
bcsinA =
√32
， 所以 b =2，
由余弦定理得 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 解得 a =√7． (2) AD =1
①当 AD =1 时，在 △ABC 中，由正弦定理 b
sinB =BC
sin∠BAC ，
即2
sinB =√7
√3
2
，
所以sinB=√21
7
．
因为AD=AB=1，
所以∠ADB=B，
所以sin∠ADB=sinB，
所以sin∠ADB=√21
7
．
∠CAD=π
6
②当∠CAD=π
6
时，
在△ABC中，由余弦定理知，cosB=AB 2+BC2−AC2
2AB⋅BC
=
2√7
=2√7
7
．
因为A=2π
3
，
所以∠DAB=2π
3−π
6
=π
2
，
所以B+∠DAB=π
2
，
所以sin∠ADB=cosB，
所以sin∠ADB=2√7
7
．
【知识点】余弦定理、正弦定理。