2019-2020学年人教A版数学必修一课件：第2章 2.3 幂函数
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1
x2)图象与性质的关系． 3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用
幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．
第三十二页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
当堂达标 固双基
第三十三页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．
第十九页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
1
(2)函数y＝x2－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A
B
C
D
第二十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
(1)B
(2)B
[(1)令a＝2，b＝
1 2
，c＝－
1 3
，d＝－1，正好和题目所
给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数
奇
偶
_奇__
1
y＝x2 _[_0_，__＋__∞_)_ _[0_， __＋ __∞__)
__非__奇__非__偶__
y＝x－1 _{_x_|x_≠__0_}__ _{_y_|y_≠__0_}__
_奇___
第六页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
单调性
x∈[0，＋∞)
x∈(0，＋∞)
时，增函数
时，_减___函数
质，培养逻辑推理的
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大
小．(重点)
数学素养.
第二页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
自主预习 探新知
第三页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是 常数． 思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？ [提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数 函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．
第四十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
增函数
_增__函数 _增__函数
x∈(－∞，0]
x∈(－∞，0)
时，_减__函数
时，减函数
第七页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ x
B．y＝x3
C．y＝3x
D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
第八页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
幂函数性质的综合应用
[探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0 时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关 系如何？
提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数 f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的 大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值， 因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
增大，所以a>b>c>d.故选B.
1
(2)y＝x 2 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，
1
1
函数y＝x 2 －1的图象可看作由y＝x 2 的图象向下平移一个单位得到的(如选
1
项A中的图所示)，将y＝x2－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
第四页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x12，y＝x－1的图象如图所示：
第五页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
3．幂函数的性质
y＝x
y＝x2 y＝x3
定义域 值域 奇偶性
R
R
R
R [0，＋∞) _R__
A．y＝x－1
1
B．y＝x2
C．y＝x2
D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝ 2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.选B.]
第三十五页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
5
3．函数y＝x4的图象是( )
A
B
C
D
C
[∵函数y＝x
5 4
是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又
5 4
>1，
故选C.]
解得nm＝＝32－，3，所以m＝－3，n＝32.
第十二页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常 数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为 常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
第十三页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
即α＝－12，
∴f(4)＝4－12＝12.]
第十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
合作探究 提素养
第十一页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求 m，n的值．
m2＋2m－2＝1，
[解] 由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
1.(1)在函数y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数
为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f
1 2
的值等于
________．
第十四页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
(1)B (2)13 [(1)∵y＝x12＝x－2，∴是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的 图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴ f12＝12log23＝13.]
第三十六页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
4．比较下列各组数的大小：
第三十七页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
第三十八页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
课时分层 作 业
点击右图进入…
第三十九页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
Thank you for watching !
2．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝( )
A．2
B．1
C．3
D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
第九页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点2，
22，则f(4)＝________．
1 2
[由f(2)＝ 22可知2α＝ 22，
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
【例3】 比较下列各组中幂值的大小：
1
1
(1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；(3)22，1.83；
(4)1.212，0.9－12， 1.1.
思路点拨：构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解．
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.3 幂函数
第一页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
学习目标
核心素养
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析 式．(重点、易混点)
1．结合幂函数的图 象，培养直观想象的
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
1 x
，y
数学素养．
1
2．借助幂函数的性
＝x2的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以250.5>130.5. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以－23－1>－35－1.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
[解] (1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
1
1
1
(3)∵函数y＝x2是增函数，且2＞1.8，∴22>1.82.
又∵y＝1.8x是增函数，且12>13，
1
1
1
1
∴1.82>1.83，∴22>1.83.
第十七页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上， 指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞) 上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在
()
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．
()
(3)当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα是增函数．
()
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．
[答案] (1)于星期六：二十二点 五十八 分。
2．幂函数的图象过点(2， 2)，则该幂函数的解析式是( )
第十五页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
幂函数的图象及应用
【例2】 点( 2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图 象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
第十六页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象 知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)．
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
(4)0.9－12＝19012，
1
1.1＝1.12.
∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系： (1)250.5与130.5； (2)－23－1与－35－1； (3)2334与3423.
1
较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.82.
第三十一页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依 据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α 为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分 析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝
1
第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x2或y＝x3)来判断．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中 的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(3)因为函数y1＝23x为R上的减函数，又34>23， 所以2323>2334. 又因为函数y2＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23， 所以3423>2323，所以3423>2334.
第三十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相 同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函 数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比
x2)图象与性质的关系． 3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用
幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题．
第三十二页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
当堂达标 固双基
第三十三页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
1．思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．
第十九页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
1
(2)函数y＝x2－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A
B
C
D
第二十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
(1)B
(2)B
[(1)令a＝2，b＝
1 2
，c＝－
1 3
，d＝－1，正好和题目所
给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数
奇
偶
_奇__
1
y＝x2 _[_0_，__＋__∞_)_ _[0_， __＋ __∞__)
__非__奇__非__偶__
y＝x－1 _{_x_|x_≠__0_}__ _{_y_|y_≠__0_}__
_奇___
第六页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
单调性
x∈[0，＋∞)
x∈(0，＋∞)
时，增函数
时，_减___函数
质，培养逻辑推理的
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大
小．(重点)
数学素养.
第二页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
自主预习 探新知
第三页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是 常数． 思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？ [提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数 函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．
第四十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
增函数
_增__函数 _增__函数
x∈(－∞，0]
x∈(－∞，0)
时，_减__函数
时，减函数
第七页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ x
B．y＝x3
C．y＝3x
D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
第八页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
幂函数性质的综合应用
[探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0 时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关 系如何？
提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数 f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的 大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值， 因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
增大，所以a>b>c>d.故选B.
1
(2)y＝x 2 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，
1
1
函数y＝x 2 －1的图象可看作由y＝x 2 的图象向下平移一个单位得到的(如选
1
项A中的图所示)，将y＝x2－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
第四页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝x12，y＝x－1的图象如图所示：
第五页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
3．幂函数的性质
y＝x
y＝x2 y＝x3
定义域 值域 奇偶性
R
R
R
R [0，＋∞) _R__
A．y＝x－1
1
B．y＝x2
C．y＝x2
D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝ 2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.选B.]
第三十五页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
5
3．函数y＝x4的图象是( )
A
B
C
D
C
[∵函数y＝x
5 4
是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又
5 4
>1，
故选C.]
解得nm＝＝32－，3，所以m＝－3，n＝32.
第十二页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常 数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为 常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
第十三页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
即α＝－12，
∴f(4)＝4－12＝12.]
第十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
合作探究 提素养
第十一页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求 m，n的值．
m2＋2m－2＝1，
[解] 由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
1.(1)在函数y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数
为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f
1 2
的值等于
________．
第十四页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
(1)B (2)13 [(1)∵y＝x12＝x－2，∴是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的 图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴ f12＝12log23＝13.]
第三十六页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
4．比较下列各组数的大小：
第三十七页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
第三十八页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
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第三十九页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
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2．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝( )
A．2
B．1
C．3
D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
第九页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点2，
22，则f(4)＝________．
1 2
[由f(2)＝ 22可知2α＝ 22，
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
【例3】 比较下列各组中幂值的大小：
1
1
(1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；(3)22，1.83；
(4)1.212，0.9－12， 1.1.
思路点拨：构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解．
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.3 幂函数
第一页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
学习目标
核心素养
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析 式．(重点、易混点)
1．结合幂函数的图 象，培养直观想象的
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝
1 x
，y
数学素养．
1
2．借助幂函数的性
＝x2的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以250.5>130.5. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以－23－1>－35－1.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
[解] (1)∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
(2)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
1
1
1
(3)∵函数y＝x2是增函数，且2＞1.8，∴22>1.82.
又∵y＝1.8x是增函数，且12>13，
1
1
1
1
∴1.82>1.83，∴22>1.83.
第十七页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上， 指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞) 上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在
()
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．
()
(3)当幂指数α取1，3，12时，幂函数y＝xα是增函数．
()
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．
[答案] (1)于星期六：二十二点 五十八 分。
2．幂函数的图象过点(2， 2)，则该幂函数的解析式是( )
第十五页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
幂函数的图象及应用
【例2】 点( 2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图 象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
第十六页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ. ∵( 2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象 知， (1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)．
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
(4)0.9－12＝19012，
1
1.1＝1.12.
∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系： (1)250.5与130.5； (2)－23－1与－35－1； (3)2334与3423.
1
较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.82.
第三十一页，编辑于星期六：二十二点 五十八 分。
1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依 据．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α 为常数)的形式．
2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分 析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝
1
第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x2或y＝x3)来判断．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
2.(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中 的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(3)因为函数y1＝23x为R上的减函数，又34>23， 所以2323>2334. 又因为函数y2＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且34>23， 所以3423>2323，所以3423>2334.
第三十页，编辑于星期六：二十二点 五十八分。
比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相 同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函 数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比