18,2 特殊的平行四边形 第四课时八年级数学下册课件(人教版)

例1 如图，□ ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3.求证： □ ABCD 是菱形.
证明： ∵AB =5，AO =4，BO =3， ∴AB 2=AO 2+BO 2. ∴△OAB 是直角三角形， AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形.
总结
证明一个四边形是菱形的方法： 若已知要证的四边形的对角线互相垂直，则要考
D．∠1＝∠2
4 如图，将▱ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD上的点 F 处，则下列结论不一定成立的是( C ) A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE
5 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B，C 两点 不重合)，过点D 作DE∥AC，DF∥AB， 分别交AB，AC 于E，F 两点，下列说
总结
判定菱形的方法： ①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明 对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； ②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组 邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．
1 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别 是12和 6 5 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？ 求出它的面积.
其中正确的是__①__②__③___④___(只填写序号).
知识点 2 由边的数量关系判定菱形
思考 我们知道，菱形的四条边相等. 反过来，四条边
相等的四边形是菱形吗?
例2 如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD， 点E，F，G，H 分别是AD，BD，BC，AC 的中 点．试说明：四边形EFGH 是菱形．
∴同E理H可为证△A：CEDF＝的中12 A位B线，，FG∴＝EH12＝C12D，CDH.G＝
1 2
AB.
∵AB＝CD，
∴EH＝EF＝FG＝HG，
∴四边形EFGH 是菱形．
总结
有较多线段相等的条件时，我们可考虑通过证明四条 边相等来证明这个四边形是菱形．注意：本例也可以通过
先证四边形EFGH 是平行四边形，再证一组邻边相等，只
解：四边形CDEF 是菱形．理由如下： ∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC. 又∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB， ∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.
又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.
∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF ＝∥ DE. ∴四边形CDEF 是平行四边形． 又∵DC＝DE，∴四边形CDEF 是菱形．
导引：由于点E，F，G，H 分别是AD，BD， BC，AC 的中点，可知EH，HG，GF，FE 分别是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD 的中 位线，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH 是菱形．
解：∵点E，H 分别为AD，AC 的中点，
不过步骤复杂一点，读者不妨试一试．
例3 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，CH⊥AB 于点H，交AD 于点F，DE⊥AB 于点E， 那么四边形CDEF 是菱形吗？说说你的理由．
导引：要证明一个四边形是菱形， 一般先证明它是平行四边 形，再证明它的一组邻边 相等或对角线互相垂直．
S菱形ABCD＝
1 2
AC·BD＝ 1
2
×6
5 ×12＝36
5
.
2 如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 互相垂直，则 下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是( B ) A．BA＝BC B．AC，BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD
3 如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，添加 下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( C ) A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD
D
已知：在 ABCD 中有对角线AC⊥BD，
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且相交于点O 求证： ABCD 是菱形
A
O
C
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形. ∴BO=DO
又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB
B
∴△AOD ≌ △AOB. ∴AD=AB
∴ ABCD 是菱形
归纳
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 提示：此方法包括两个条件 —— (1)是一个平行四边形； (2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
法正确的是( D )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形 B．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形 D．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形
根据定义得：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
还有其它 的方法吗？
平行四边形
菱形
用一长一短两根细木条，在它 们的中点处固定一个小钉，做成一 个可以转动的十字，四周围上一根 橡皮筋，做成一个四边形. 转动木 条，这个四边形什么时候变成菱形?
猜想一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
判定一：对角线互相垂直的平行四形是菱形.
虑证明这个四边形是平行四边形．
1 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的
四边形ABCD 是一个菱形吗？为什么？
解：四边形ABCD 是一个菱形．
理由：由题意易得
AB＝BC＝CD＝AD， 所以四边形ABCD 是菱形．
2 如图，四边形 ABCD 是轴对称图形，且直线 AC 是对 称轴，BD与AC 交于点O，AB∥CD，则下列结论： ①AC⊥BD；②AD∥ BC； ③四边形 ABCD 是菱形； ④△ABD ≌ △CDB.
18.2 特殊的平行 四边形
第4课时
D
O
A
C
B
(1)菱形具有平行四边形的一切性质； (2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
知识点 1 由对角线的位置关系判定菱形
同学们想一想，我们在学习平行四边形的判定和矩形的判 定时，我们首先想到的第一种方法是什么？那么类比着它们， 菱形的第一种判定方法是什么？
解：这是一个特殊的平行四边形，是菱形．
如图，在平行四边形ABCD中， AB＝9，BD＝12，AC＝ 6 5， 所以OB＝OD＝6， OA＝OC＝3 5.
因为62＋( 3 5 )2＝92，即OB 2＋OA 2＝AB 2，
所以△AOB 是直角三角形，
所以AO⊥BO，即AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD 是菱形．