18,2 特殊的平行四边形 第四课时八年级数学下册课件(人教版)
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例1 如图,□ ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,且 AB=5,AO=4,BO=3.求证: □ ABCD 是菱形.
证明: ∵AB =5,AO =4,BO =3, ∴AB 2=AO 2+BO 2. ∴△OAB 是直角三角形, AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形.
总结
证明一个四边形是菱形的方法: 若已知要证的四边形的对角线互相垂直,则要考
D.∠1=∠2
4 如图,将▱ABCD 沿AE 翻折,使点B 恰好落在AD上的点 F 处,则下列结论不一定成立的是( C ) A.AF=EF B.AB=EF C.AE=AF D.AF=BE
5 如图,在△ABC 中,点D 是边BC 上的点(与B,C 两点 不重合),过点D 作DE∥AC,DF∥AB, 分别交AB,AC 于E,F 两点,下列说
总结
判定菱形的方法: ①若用对角线进行判定:先证明四边形是平行四边形,再证明 对角线互相垂直,或直接证明四边形的对角线互相垂直平分; ②若用边进行判定:先证明四边形是平行四边形,再证明一组 邻边相等,或直接证明四边形的四条边都相等.
1 一个平行四边形的一条边长是9,两条对角线的长分别 是12和 6 5 ,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么? 求出它的面积.
其中正确的是__①__②__③___④___(只填写序号).
知识点 2 由边的数量关系判定菱形
思考 我们知道,菱形的四条边相等. 反过来,四条边
相等的四边形是菱形吗?
例2 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AB=CD, 点E,F,G,H 分别是AD,BD,BC,AC 的中 点.试说明:四边形EFGH 是菱形.
∴同E理H可为证△A:CEDF=的中12 A位B线,,FG∴=EH12=C12D,CDH.G=
1 2
AB.
∵AB=CD,
∴EH=EF=FG=HG,
∴四边形EFGH 是菱形.
总结
有较多线段相等的条件时,我们可考虑通过证明四条 边相等来证明这个四边形是菱形.注意:本例也可以通过
先证四边形EFGH 是平行四边形,再证一组邻边相等,只
解:四边形CDEF 是菱形.理由如下: ∵CH⊥AB,DE⊥AB,∴CF∥DE,∠4+∠5=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠2+∠3=90°,DC⊥AC. 又∵AD 平分∠BAC,DE⊥AB, ∴∠3=∠4,DC=DE,∴∠2=∠5.
又∵∠1=∠5,∴∠1=∠2.
∴CF=CD,∴CF=DE,即CF =∥ DE. ∴四边形CDEF 是平行四边形. 又∵DC=DE,∴四边形CDEF 是菱形.
导引:由于点E,F,G,H 分别是AD,BD, BC,AC 的中点,可知EH,HG,GF,FE 分别是△ACD,△ABC,△BCD,△ABD 的中 位线,又∵AB=CD,∴EH=HG=GF=FE,
根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形
EFGH 是菱形.
解:∵点E,H 分别为AD,AC 的中点,
不过步骤复杂一点,读者不妨试一试.
例3 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D,CH⊥AB 于点H,交AD 于点F,DE⊥AB 于点E, 那么四边形CDEF 是菱形吗?说说你的理由.
导引:要证明一个四边形是菱形, 一般先证明它是平行四边 形,再证明它的一组邻边 相等或对角线互相垂直.
S菱形ABCD=
1 2
AC·BD= 1
2
×6
5 ×12=36
5
.
2 如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 互相垂直,则 下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是( B ) A.BA=BC B.AC,BD互相平分 C.AC=BD D.AB∥CD
3 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,添加 下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( C ) A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD
D
已知:在 ABCD 中有对角线AC⊥BD,
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且相交于点O 求证: ABCD 是菱形
A
O
C
证明:∵四边形ABCD 是平行四边形. ∴BO=DO
又∵AO=AO,∠AOD=∠AOB
B
∴△AOD ≌ △AOB. ∴AD=AB
∴ ABCD 是菱形
归纳
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 提示:此方法包括两个条件 —— (1)是一个平行四边形; (2)两条对角线互相垂直.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
法正确的是( D )
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF 是矩形 B.若AD 垂直平分BC,则四边形AEDF 是矩形 C.若BD=CD,则四边形AEDF 是菱形 D.若AD 平分∠BAC,则四边形AEDF 是菱形
根据定义得:一组邻边相等的平行四边形是菱形.
还有其它 的方法吗?
平行四边形
菱形
用一长一短两根细木条,在它 们的中点处固定一个小钉,做成一 个可以转动的十字,四周围上一根 橡皮筋,做成一个四边形. 转动木 条,这个四边形什么时候变成菱形?
猜想一:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
判定一:对角线互相垂直的平行四形是菱形.
虑证明这个四边形是平行四边形.
1 如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的
四边形ABCD 是一个菱形吗?为什么?
解:四边形ABCD 是一个菱形.
理由:由题意易得
AB=BC=CD=AD, 所以四边形ABCD 是菱形.
2 如图,四边形 ABCD 是轴对称图形,且直线 AC 是对 称轴,BD与AC 交于点O,AB∥CD,则下列结论: ①AC⊥BD;②AD∥ BC; ③四边形 ABCD 是菱形; ④△ABD ≌ △CDB.
18.2 特殊的平行 四边形
第4课时
D
O
A
C
B
(1)菱形具有平行四边形的一切性质; (2)菱形的四条边都相等;
(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
知识点 1 由对角线的位置关系判定菱形
同学们想一想,我们在学习平行四边形的判定和矩形的判 定时,我们首先想到的第一种方法是什么?那么类比着它们, 菱形的第一种判定方法是什么?
解:这是一个特殊的平行四边形,是菱形.
如图,在平行四边形ABCD中, AB=9,BD=12,AC= 6 5, 所以OB=OD=6, OA=OC=3 5.
因为62+( 3 5 )2=92,即OB 2+OA 2=AB 2,
所以△AOB 是直角三角形,
所以AO⊥BO,即AC⊥BD,
所以平行四边形ABCD 是菱形.