九年级数学上册2.4二次函数的应用第1课时最大面积问题同步练习

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4 第1课时最大面积问题
知识点 1 几何图形的面积与二次函数
1.如图2-4-1,假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A.60 m2B.63 m2
C.64 m2D.66 m2
2-4-1
2-4-2
2.[2016·衢州] 某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图2-4-2).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.
图2-4-3
3.如图2-4-3,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C 以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过________s,四边形APQC的面积最小.
4.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图2-4-4).设绿化带的BC边长为x m,绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当x为何值时,绿化带的面积最大?
图2-4-4
知识点 2 二次函数与抛物线形问题
5.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图2-4-5所示的平面直角
坐标系,其函数关系式为y=-1
25
x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为( )
图2-4-5
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
6.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt,其图象如图2-4-6.若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是第( )
A.3 s B.3.5 s C.4 s D.6.5 s
2-4-6 2-4-7 7.如图2-4-7,一场篮球赛中,篮球运动员跳起投篮,已知球出手时离地面2.2 m,与篮圈中心的水平距离为8 m,当球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m,篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分,篮圈中心距离地面3 m,运动员发现未投中,若假设出手的角度和力度都不变,要使此球恰好通过篮圈中心,运动员应该跳得( )
A.比开始高0.8 m B.比开始高0.4 m
C.比开始低0.8 m D.比开始低0.4 m
图2-4-8
8.如图2-4-8,小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5 m,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为________m.
9.[2016·内江] 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃,其中一边靠墙,另外三边由长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m(如图2-4-9所示),设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃的面积为72 m2,求x.
(2)若平行于墙的一边长不小于8 m,这个苗圃的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.
(3)当这个苗圃的面积不小于100 m2时,直接写出x的取值范围.
图2-4-9
10.如图2-4-10,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的距离是11 m.以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)已知从某时刻开始的40 h内,水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)的变化满足函
数表达式h=-
1
128
(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5 m时,需禁
止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,禁止船只通行的时间是多少?
图2-4-10
11.有这样一个例题:有一个窗户形状如图2-4-11①,上部是一个半圆,下部是一个矩形.如果制作窗框的材料总长为6 m,如何设计这个窗户,才能使其透光面积最大?
这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35 m时,透光面积的最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2-4-11②,材料总长仍为6 m.利用图2-4-11③,解答下列问题:
(1)若AB为1 m,求此时窗户的透光面积;
(2)与例题比较,改变窗户的形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.
图2-4-11
详解详析
1.C [解析] 设BC =x m ,则AB =(16-x )m ,矩形ABCD 的面积为y m 2
, 根据题意,得y =(16-x )x =-x 2
+16x =-(x -8)2
+64, 当x =8时,y 最大=64,
则所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2
. 故选C.
2.144 [解析] 如图,设总占地面积为S (m 2
),CD 的长度为x (m),
由题意知AB =CD =EF =GH =x , ∴BH =48-4x . ∵0<BH ≤50,CD >0, ∴0<x <12,
∴S =AB ·BH =x (48-4x )=-4(x -6)2
+144, ∴x =6时,S 可取得最大值,最大值为144 m 2
.
3.3 [解析] 设P ,Q 同时出发后,经过的时间为t s ,四边形APQC 的面积为S mm 2
, 则有S =S △ABC -S △PBQ =12×12×24-12×4t ×(12-2t )=4t 2-24t +144=4(t -3)2
+108.
∵4>0,
∴当t =3时,S 取得最小值.故答案为3.
4.[解析] (1)由矩形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度,再根据矩形的面积公式即可得出y 与x 之间的函数关系式;
(2)利用配方法将二次函数关系式由一般式变形为顶点式,进而即可得出结论. 解: (1)∵四边形ABCD 为矩形,BC =x m , ∴AB =40-x 2
m.
根据题意,得y =AB ·BC =
40-x 2·x =-12
x 2
+20x (0<x ≤25). (2)∵y =-12x 2+20x =-12(x -20)2
+200,
∴当x =20时,绿化带的面积最大.
5.C [解析] 根据题意,得点A ,B 的纵坐标为-4, 把y =-4代入y =-125x 2
,得x =±10,
∴A (-10,-4),B (10,-4),∴AB =20 m. 即这时水面宽度AB 为20 m. 故选C.
6.C [解析] 由题意可知当t =2和t =6时,h 的值相等,则函数h =at 2
+bt 的对称轴为直线t =6+2
2
=4,故在第4 s 时,小球的高度最高.故选C.
7.A [解析] 由题意可得,球出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样,
∴球出手的位置距地面的高度应为3 m. ∵3-2.2=0.8(m),
∴要使此球恰好通过篮圈中心,运动员应该跳得比开始高0.8 m .故选A.
8.0.5 [解析] 以左边树与地面的交点为原点,地面水平线为x 轴,左边树为y 轴建立平面直角坐标系,
由题意可得A (0,2.5),B (2,2.5),C (0.5,1). 设函数表达式为y =ax 2
+bx +c .
把A ,B ,C 三点的坐标分别代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧c =2.5,4a +2b +c =2.5,0.25a +0.5b +c =1,解得⎩⎪⎨⎪
⎧a =2,b =-4,c =2.5.
∴y =2x 2
-4x +2.5=2(x -1)2
+0.5. ∵2>0,∴当x =1时,y 最小值=0.5. 即绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.
9.解:(1)苗圃与墙平行的一边长为(30-2x )m.依题意可列方程,得
x (30-2x )=72,即x 2-15x +36=0.
解得x 1=3(不合题意,舍去),x 2=12. 即x 的值为12.
(2)依题意,得8≤30-2x ≤18,解得6≤x ≤11. 面积S =x (30-2x )=-2(x -152)2+225
2(6≤x ≤11).
①当x =152时,S 有最大值,S 最大=2252
m 2

②当x =11时,S 有最小值,S 最小=11×(30-22)=88(m 2
). (3)令x (30-2x )=100,得x 2
-15x +50=0. 解得x 1=5,x 2=10. ∴x 的取值范围是5≤x ≤10.
10.解:(1)依题意可得,顶点C 的坐标为(0,11),设抛物线的函数表达式为y =ax 2
+11.
由抛物线的对称性可得,点B 的坐标为(8,8),
∴8=64a +11,解得a =-
364
, ∴抛物线的函数表达式为y =-364
x 2
+11.
(2)当水面到顶点C 的距离不大于5 m 时,h ≥6,把h =6代入h =-1128(t -19)2

8(0≤t ≤40),得t 1=35,t 2=3.
∴禁止船只通行的时间为|t 1-t 2|=32 h. 答:禁止船只通行的时间为32 h. 11.解:(1)由已知得AD =5
4 m ,
∴此时窗户的透光面积为54 m 2
.
(2)设AB =x m ,则AD =(3-7
4x )m.
∵3-7
4x >0,
∴0<x <127
.
设窗户的透光面积为S ,由已知得
S =AB ·AD =x (3-7
4x )=-74x 2+3x =-74(x -67)2+97
.
∵x =67在0<x <12
7的范围内,
∴当x =67时,S 最大值=97
m 2>1.05 m 2

∴与例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大了.
第2课时 相似三角形周长和面积的性质
知识点 1 有关周长的计算
1.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且AB =4,A 1B 1=6,则△ABC 的周长和△A 1B 1C 1的周长之比是( )
A.9∶4 B.4∶9 C.2∶3 D.3∶2
图4-7-10
2.如图4-7-10,在▱ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F,则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5
3.2016·贵阳期末如果△ABC∽△DEF,其相似比为3∶1,且△ABC的周长为27,那么△DEF的周长为( )
A.9 B.18 C.27 D.81
4.如图4-7-11,在▱ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC 的延长线于点F,BG⊥AE于点G,BG=4 2,求△FCE的周长.
图4-7-11
知识点 2 有关面积的计算
5.2017·重庆已知△ABC∽△DEF,且相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的面积比为( ) A.1∶4 B.4∶1 C.1∶2 D.2∶1
图4-7-12
6.2017·永州如图4-7-12,在△ABC中,D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.教材例2变式题如图4-7-13,把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置,它们
重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的1
4
,若AB=2,则△ABC平移的距离是
________.
4-7-13
4-7-14
8.如图4-7-14,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,∠AED=∠B,若AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,则AB的长为________.
9.如图4-7-15所示,在▱ABCD中,AE∶EB=1∶2.
(1)求△AEF与△CDF的周长的比;
(2)若S△AEF=6 cm2,求S△CDF.
图4-7-15
10.若两个相似三角形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶16
11.如图4-7-16,DE是△ABC的中位线,延长DE至点F,使EF=DE,连接CF,则S ∶S四边形BCED的值为( )
△CEF
A.1∶3 B.2∶3 C.1∶4 D.2∶5
4-7-16
4-7-17
12.2017·贵阳期末(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现,每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形),如图4-7-17,小明在制作视力表时,测得l1=14 cm,l2=7 cm,他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸,刚好可以剪得第②个小“E”形图.那么下面四张正方形卡纸中,能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )
A.面积为8 cm2的卡纸
B.面积为16 cm2的卡纸
C.面积为32 cm2的卡纸
D.面积为64 cm2的卡纸
13.如图4-7-18,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,E是AB的中点,连接EF.
(1)求证:EF∥BC;
(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.
图4-7-18
14.如图4-7-19所示,M是△ABC内一点,过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,求△ABC 的面积.
图4-7-19
15.某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草.如图4-7-20,他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花,当△AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在△CMB地带种植同样的太阳花,资金是否够用,并说明理由.
图4-7-20
16.如图4-7-21,在△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,PQ∥AB,点P在CA上(与点A,C不重合),点Q在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.
(3)试问:在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若存在,请求出PQ 的长;若不存在,请简要说明理由.
图4-7-21
1.C 2.A
3.A [解析] ∵△ABC ∽△DEF ,其相似比为3∶1,∴△ABC 的周长△DEF 的周长=3
1,
∴△DEF 的周长=1
3×27=9.
故选A.
4.解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,
∴∠BAE =∠F ,∠EAD =∠AEB . ∵AE 平分∠BAD , ∴∠BAE =∠EAD , ∴∠BAE =∠AEB , ∴BE =AB =6, ∴CE =BC -BE =3.
∵∠AEB =∠FEC ,∠BAE =∠F , ∴△ABE ∽△FCE , ∴
△ABE 的周长△FCE 的周长=BE
CE
=2.
∵BG ⊥AE ,
∴AE =2AG =2 AB 2
-BG 2
=4, ∴△ABE 的周长=AB +BE +AE =16, ∴△FCE 的周长=1
2×△ABE 的周长=8.
5.A
6.C [解析] ∵∠ACD =∠B ,∠A =∠A , ∴△ACD ∽△ABC ,∴
S △ACD S △ABC =(AD AC )2=1
4
.
∵S △ACD =1,∴S △ABC =4,∴S △BCD =S △ABC -S △ACD =3.
7.1 [解析] 如图,∵把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置,∴AC ∥A ′C ′,∴△ABC ∽△A ′BD .∵S △ABC ∶S △A ′BD =4,∴AB ∶A ′B =2.
∵AB =2,∴A ′B =1,∴AA ′=2-1=1. 8.3 [解析] ∵∠AED =∠B ,∠A 是公共角, ∴△ADE ∽△ACB ,∴
S △ADE S △ACB =(AE AB
)2
. ∵△ADE 的面积为4,四边形BCED 的面积为5,∴△ABC 的面积为9. ∵AE =2,∴49=(2AB )2
,解得AB =3.
9.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB =CD ,AB ∥CD ,
∴∠AEF =∠CDF ,∠FAE =∠FCD , ∴△AEF ∽△CDF . ∵AE ∶EB =1∶2, ∴AE ∶AB =AE ∶CD =1∶3,
∴△AEF 与△CDF 的周长的比为1∶3. (2)由(1)知,△AEF ∽△CDF ,相似比为1∶3, ∴它们的面积比为1∶9. ∵S △AEF =6 cm 2
, ∴S △CDF =54 cm 2. 10.A 11.A
12.B [解析] ∵每个“E ”形图近似于正方形,
∴P 2D 2∥P 1D 1,
∴∠PP 2D 2=∠PP 1D 1,∠P 2D 2P =∠P 1D 1P , ∴△PP 2D 2∽△PP 1D 1. ∵l 1=14 cm ,l 2=7 cm , ∴P 2D 2∶P 1D 1=1∶2.
∵第②个小“E ”形图是面积为4 cm 2
的正方形卡纸, ∴第①个大“E ”形图的面积=4×4=16(cm 2
). 故选B.
13.解:(1)证明:∵DC =AC ,CF 是∠ACB 的平分线,∴CF 是△ACD 的中线, ∴F 是AD 的中点. 又∵E 是AB 的中点, ∴EF ∥BD ,即EF ∥BC . (2)由(1)知,EF ∥BD , ∴△AEF ∽△ABD ,
∴S △AEF S △ABD =⎝ ⎛⎭
⎪⎫AE AB 2. 又∵AE =1
2
AB ,
S △AEF =S △ABD -S 四边形BDFE =S △ABD -6, ∴S △ABD -6S △ABD =⎝ ⎛⎭
⎪⎫122,
∴S △ABD =8.
14.解:根据题意,容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC .
因为△1、△2、△3的面积分别是4,9和49,所以它们之间的相似比为2∶3∶7,即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3,则△1与△ABC 的相似比为2∶12=1∶6,所以它们的面积比为1∶36,求得△ABC 的面积是144.
15.解:不够用.理由如下: 在梯形ABCD 中,∵AD ∥BC , ∴△AMD ∽△CMB , ∴
S △AMD S △CMB =(AD BC
)2
. ∵AD =10 m ,BC =20 m , ∴
S △AMD S △CMB =(1020)2=1
4
. ∵S △AMD =500÷10=50(m 2
). ∴S △CMB =50×4=200(m 2
). 还需要资金200×10=2000(元),
而剩余资金为2000-500=1500(元)<2000元, ∴资金不够用.
16.解:(1)∵PQ ∥AB ,∴△PQC ∽△ABC . ∵S △PQC =S 四边形PABQ , ∴S △PQC ∶S △ABC =1∶2, ∴CP CA =
12=22, ∴CP =
2
2
·CA =2 2. (2)∵△PQC ∽△ABC , ∴CP CA =CQ CB =
PQ AB ,即CP 4=CQ
3

∴CQ =34CP .
同理:PQ =5
4
CP ,
∴C △PQC =CP +PQ +CQ =CP +54CP +3
4
CP =3CP ,
C 四边形PABQ
=PA +AB +BQ +PQ =4-CP +AB +3-CQ +PQ =4-CP +5+3-34CP +54CP =12-
1
2
CP .
由C △PQC =C 四边形PABQ ,得3CP =12-1
2CP ,
∴72CP =12,∴CP =247
.
(3)存在.∵CA =4,AB =5,BC =3, ∴△ABC 中AB 边上的高为125
.
①如图(a)所示,当∠MPQ =90°且PM =PQ 时,∵△CPQ ∽△CAB ,
∴PQ AB =△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高
, ∴PQ 5=125-PQ 125,∴PQ =6037
; ②当∠PQM =90°时与①相同;
③如图(b)所示,当∠PMQ =90°且PM =MQ 时,过点M 作ME ⊥PQ ,则ME =1
2PQ ,
∴△CPQ 中PQ 上的高为125-ME =125-1
2
PQ .
∵PQ AB =△CPQ 中PQ 上的高
△CAB 中AB 上的高

∴PQ 5=125-12PQ 125
,∴PQ =12049
. 综上可知,存在点M ,使得△PQM 为等腰直角三角形,此时PQ 的长为6037或120
49
.。

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