九年级数学上册2.4二次函数的应用第1课时最大面积问题同步练习

4 第1课时最大面积问题
知识点 1 几何图形的面积与二次函数
1．如图2－4－1，假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A．60 m2B．63 m2
C．64 m2D．66 m2
2－4－1
2－4－2
2．[2016·衢州] 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图2－4－2)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.
图2－4－3
3．如图2－4－3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C 以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________s，四边形APQC的面积最小．
4．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图2－4－4)．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当x为何值时，绿化带的面积最大？
图2－4－4
知识点 2 二次函数与抛物线形问题
5．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图2－4－5所示的平面直角
坐标系，其函数关系式为y＝－1
25
x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为( )
图2－4－5
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
6．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图2－4－6.若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第( )
A．3 s B．3.5 s C．4 s D．6.5 s
2－4－6 2－4－7 7．如图2－4－7，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面2.2 m，与篮圈中心的水平距离为8 m，当球出手后水平距离为4 m时达到最大高度4 m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3 m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得( )
A．比开始高0.8 m B．比开始高0.4 m
C．比开始低0.8 m D．比开始低0.4 m
图2－4－8
8．如图2－4－8，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________m.
9．[2016·内江] 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边由长为30 m的篱笆围成．已知墙长为18 m(如图2－4－9所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃的面积为72 m2，求x.
(2)若平行于墙的一边长不小于8 m，这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
(3)当这个苗圃的面积不小于100 m2时，直接写出x的取值范围．
图2－4－9
10．如图2－4－10，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m．以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h(m)随时间t(h)的变化满足函
数表达式h＝－
1
128
(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁
止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，禁止船只通行的时间是多少？
图2－4－10
11．有这样一个例题：有一个窗户形状如图2－4－11①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，才能使其透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2－4－11②，材料总长仍为6 m．利用图2－4－11③，解答下列问题：
(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；
(2)与例题比较，改变窗户的形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
图2－4－11
详解详析
1．C [解析] 设BC ＝x m ，则AB ＝(16－x )m ，矩形ABCD 的面积为y m 2
， 根据题意，得y ＝(16－x )x ＝－x 2
＋16x ＝－(x －8)2
＋64， 当x ＝8时，y 最大＝64，
则所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2
. 故选C.
2．144 [解析] 如图，设总占地面积为S (m 2
)，CD 的长度为x (m)，
由题意知AB ＝CD ＝EF ＝GH ＝x ， ∴BH ＝48－4x . ∵0＜BH ≤50，CD ＞0， ∴0＜x ＜12，
∴S ＝AB ·BH ＝x (48－4x )＝－4(x －6)2
＋144， ∴x ＝6时，S 可取得最大值，最大值为144 m 2
.
3．3 [解析] 设P ，Q 同时出发后，经过的时间为t s ，四边形APQC 的面积为S mm 2
， 则有S ＝S △ABC －S △PBQ ＝12×12×24－12×4t ×(12－2t )＝4t 2－24t ＋144＝4(t －3)2
＋108.
∵4＞0，
∴当t ＝3时，S 取得最小值．故答案为3.
4．[解析] (1)由矩形的性质结合BC 的长度可得出AB 的长度，再根据矩形的面积公式即可得出y 与x 之间的函数关系式；
(2)利用配方法将二次函数关系式由一般式变形为顶点式，进而即可得出结论． 解： (1)∵四边形ABCD 为矩形，BC ＝x m ， ∴AB ＝40－x 2
m.
根据题意，得y ＝AB ·BC ＝
40－x 2·x ＝－12
x 2
＋20x (0＜x ≤25)． (2)∵y ＝－12x 2＋20x ＝－12(x －20)2
＋200，
∴当x ＝20时，绿化带的面积最大．
5．C [解析] 根据题意，得点A ，B 的纵坐标为－4， 把y ＝－4代入y ＝－125x 2
，得x ＝±10，
∴A (－10，－4)，B (10，－4)，∴AB ＝20 m. 即这时水面宽度AB 为20 m. 故选C.
6．C [解析] 由题意可知当t ＝2和t ＝6时，h 的值相等，则函数h ＝at 2
＋bt 的对称轴为直线t ＝6＋2
2
＝4，故在第4 s 时，小球的高度最高．故选C.
7．A [解析] 由题意可得，球出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样，
∴球出手的位置距地面的高度应为3 m. ∵3－2.2＝0.8(m)，
∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8 m ．故选A.
8．0.5 [解析] 以左边树与地面的交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A (0，2.5)，B (2，2.5)，C (0.5，1)． 设函数表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c .
把A ，B ，C 三点的坐标分别代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2.5，4a ＋2b ＋c ＝2.5，0.25a ＋0.5b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝2.5.
∴y ＝2x 2
－4x ＋2.5＝2(x －1)2
＋0.5. ∵2＞0，∴当x ＝1时，y 最小值＝0.5. 即绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.
9．解：(1)苗圃与墙平行的一边长为(30－2x )m.依题意可列方程，得
x (30－2x )＝72，即x 2－15x ＋36＝0.
解得x 1＝3(不合题意，舍去)，x 2＝12. 即x 的值为12.
(2)依题意，得8≤30－2x ≤18，解得6≤x ≤11. 面积S ＝x (30－2x )＝－2(x －152)2＋225
2(6≤x ≤11)．
①当x ＝152时，S 有最大值，S 最大＝2252
m 2
；
②当x ＝11时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88(m 2
)． (3)令x (30－2x )＝100，得x 2
－15x ＋50＝0. 解得x 1＝5，x 2＝10. ∴x 的取值范围是5≤x ≤10.
10．解：(1)依题意可得，顶点C 的坐标为(0，11)，设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2
＋11.
由抛物线的对称性可得，点B 的坐标为(8，8)，
∴8＝64a ＋11，解得a ＝－
364
， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－364
x 2
＋11.
(2)当水面到顶点C 的距离不大于5 m 时，h ≥6，把h ＝6代入h ＝－1128(t －19)2
＋
8(0≤t ≤40)，得t 1＝35，t 2＝3.
∴禁止船只通行的时间为|t 1－t 2|＝32 h. 答：禁止船只通行的时间为32 h. 11．解：(1)由已知得AD ＝5
4 m ，
∴此时窗户的透光面积为54 m 2
.
(2)设AB ＝x m ，则AD ＝(3－7
4x )m.
∵3－7
4x >0，
∴0<x <127
.
设窗户的透光面积为S ，由已知得
S ＝AB ·AD ＝x (3－7
4x )＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97
.
∵x ＝67在0<x <12
7的范围内，
∴当x ＝67时，S 最大值＝97
m 2>1.05 m 2
，
∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了．
第2课时 相似三角形周长和面积的性质
知识点 1 有关周长的计算
1．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且AB ＝4，A 1B 1＝6，则△ABC 的周长和△A 1B 1C 1的周长之比是( )
A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2
图4－7－10
2．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
3．2016·贵阳期末如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )
A．9 B．18 C．27 D．81
4．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 2，求△FCE的周长．
图4－7－11
知识点 2 有关面积的计算
5．2017·重庆已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( ) A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
图4－7－12
6．2017·永州如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们
重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的1
4
，若AB＝2，则△ABC平移的距离是
________．
4－7－13
4－7－14
8．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．
9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.
(1)求△AEF与△CDF的周长的比；
(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.
图4－7－15
10．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16
11．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S ∶S四边形BCED的值为( )
△CEF
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5
4－7－16
4－7－17
12．2017·贵阳期末(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )
A．面积为8 cm2的卡纸
B．面积为16 cm2的卡纸
C．面积为32 cm2的卡纸
D．面积为64 cm2的卡纸
13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
图4－7－18
14．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC 的面积．
图4－7－19
15．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．
图4－7－20
16．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ 的长；若不存在，请简要说明理由．
图4－7－21
1．C 2.A
3．A [解析] ∵△ABC ∽△DEF ，其相似比为3∶1，∴△ABC 的周长△DEF 的周长＝3
1，
∴△DEF 的周长＝1
3×27＝9.
故选A.
4．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴∠BAE ＝∠F ，∠EAD ＝∠AEB . ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE ＝∠EAD ， ∴∠BAE ＝∠AEB ， ∴BE ＝AB ＝6， ∴CE ＝BC －BE ＝3.
∵∠AEB ＝∠FEC ，∠BAE ＝∠F ， ∴△ABE ∽△FCE ， ∴
△ABE 的周长△FCE 的周长＝BE
CE
＝2.
∵BG ⊥AE ，
∴AE ＝2AG ＝2 AB 2
－BG 2
＝4， ∴△ABE 的周长＝AB ＋BE ＋AE ＝16， ∴△FCE 的周长＝1
2×△ABE 的周长＝8.
5．A
6．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴
S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝1
4
.
∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3.
7．1 [解析] 如图，∵把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，∴AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′BD .∵S △ABC ∶S △A ′BD ＝4，∴AB ∶A ′B ＝2.
∵AB ＝2，∴A ′B ＝1，∴AA ′＝2－1＝1. 8．3 [解析] ∵∠AED ＝∠B ，∠A 是公共角， ∴△ADE ∽△ACB ，∴
S △ADE S △ACB ＝(AE AB
)2
. ∵△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，∴△ABC 的面积为9. ∵AE ＝2，∴49＝(2AB )2
，解得AB ＝3.
9．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，
∴∠AEF ＝∠CDF ，∠FAE ＝∠FCD ， ∴△AEF ∽△CDF . ∵AE ∶EB ＝1∶2， ∴AE ∶AB ＝AE ∶CD ＝1∶3，
∴△AEF 与△CDF 的周长的比为1∶3. (2)由(1)知，△AEF ∽△CDF ，相似比为1∶3， ∴它们的面积比为1∶9. ∵S △AEF ＝6 cm 2
， ∴S △CDF ＝54 cm 2. 10．A 11.A
12．B [解析] ∵每个“E ”形图近似于正方形，
∴P 2D 2∥P 1D 1，
∴∠PP 2D 2＝∠PP 1D 1，∠P 2D 2P ＝∠P 1D 1P ， ∴△PP 2D 2∽△PP 1D 1. ∵l 1＝14 cm ，l 2＝7 cm ， ∴P 2D 2∶P 1D 1＝1∶2.
∵第②个小“E ”形图是面积为4 cm 2
的正方形卡纸， ∴第①个大“E ”形图的面积＝4×4＝16(cm 2
)． 故选B.
13．解：(1)证明：∵DC ＝AC ，CF 是∠ACB 的平分线，∴CF 是△ACD 的中线， ∴F 是AD 的中点． 又∵E 是AB 的中点， ∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ， ∴△AEF ∽△ABD ，
∴S △AEF S △ABD ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫AE AB 2. 又∵AE ＝1
2
AB ，
S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6， ∴S △ABD －6S △ABD ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122，
∴S △ABD ＝8.
14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC .
因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC 的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC 的面积是144.
15．解：不够用．理由如下： 在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴△AMD ∽△CMB ， ∴
S △AMD S △CMB ＝(AD BC
)2
. ∵AD ＝10 m ，BC ＝20 m ， ∴
S △AMD S △CMB ＝(1020)2＝1
4
. ∵S △AMD ＝500÷10＝50(m 2
)． ∴S △CMB ＝50×4＝200(m 2
)． 还需要资金200×10＝2000(元)，
而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元， ∴资金不够用．
16．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC . ∵S △PQC ＝S 四边形PABQ ， ∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶2， ∴CP CA ＝
12＝22， ∴CP ＝
2
2
·CA ＝2 2. (2)∵△PQC ∽△ABC ， ∴CP CA ＝CQ CB ＝
PQ AB ，即CP 4＝CQ
3
，
∴CQ ＝34CP .
同理：PQ ＝5
4
CP ，
∴C △PQC ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋3
4
CP ＝3CP ，
C 四边形PABQ
＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝4－CP ＋AB ＋3－CQ ＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－
1
2
CP .
由C △PQC ＝C 四边形PABQ ，得3CP ＝12－1
2CP ，
∴72CP ＝12，∴CP ＝247
.
(3)存在．∵CA ＝4，AB ＝5，BC ＝3， ∴△ABC 中AB 边上的高为125
.
①如图(a)所示，当∠MPQ ＝90°且PM ＝PQ 时，∵△CPQ ∽△CAB ，
∴PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高△CAB 中AB 上的高
， ∴PQ 5＝125－PQ 125，∴PQ ＝6037
； ②当∠PQM ＝90°时与①相同；
③如图(b)所示，当∠PMQ ＝90°且PM ＝MQ 时，过点M 作ME ⊥PQ ，则ME ＝1
2PQ ，
∴△CPQ 中PQ 上的高为125－ME ＝125－1
2
PQ .
∵PQ AB ＝△CPQ 中PQ 上的高
△CAB 中AB 上的高
，
∴PQ 5＝125－12PQ 125
，∴PQ ＝12049
. 综上可知，存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，此时PQ 的长为6037或120
49
.。