2020高考数学 函数、导数及其应用特训 函数模型及其应用(含解析)(文)新人教A版

课下层级训练(十二) 函数模型及其应用
[A 级 基础强化训练]
1．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A ．3米
B ．4米
C ．6米
D ．12米
A [设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x
2
＝2x (6－
x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．]
2．(2019·宁夏银川月考)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )
A ．3 000元
B ．3 800元
C ．3 818元
D ．5 600元
B [由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0，x ≤8000.14x －800，800<x ≤4 000，0.11x ，x >4 000
显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3 800.]
3．(2019·福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留的污垢不超
过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.3 010)( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
B [设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1
100
，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此需4次．]
4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3
的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3
的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )
A ．13 m 3
B ．14 m 3
C ．18 m 3
D ．26 m 3
A [设该职工用水x m 3
时，缴纳的水费为y 元，
由题意得y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
mx 0<x ≤10，
10m ＋x －10·2m x >10，
则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.]
5．(2019·广西柳州联考)设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )
D [y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A ，C ．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ．]
6．(2019·河北唐山联考)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A ．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 ________.(用常数a 表示)
14a 2 [令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋1
4a 2，∴当t ＝12a ，即A ＝14
a 2
时，D 取得最大值．] 7．(2019·河北唐山联考)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为__________元．
4．24 [∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.]
8．(2019·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿__________千克．
190
9
[前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨
⎪⎧
10＝k ＋b ，
30＝10k ＋b ，
解得k ＝209，b ＝70
9
，
所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝190
9
.]
9．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t
＋2
1－t
(t ≥0，并且m >0)．
(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t
＋2
1－t
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，
当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t
＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，
即2x 2
－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，
此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立． 亦m ·2t
＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．
令12t ＝x ，则0<x ≤1，所以m ≥2(x －x 2
)， 由于x －x 2
≤14，所以m ≥12
.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.
10．(2019·云南昆明月考)A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．
(1)求x 的取值范围；
(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；
(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解 (1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2
(10≤x ≤90)．
(3)因为y ＝5x 2＋52
(100－x )2
＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003
，
所以当x ＝1003时，y min ＝50 000
3
.
故核电站建在距A 城100
3
km 处，能使供电总费用y 最少．
[B 级 能力提升训练]
11．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝1
2＝k 2，
所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝1
2
x (x ≥0)．
(2)设投资债券产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (x )＋
g (20－x )＝x 8＋1
2
20－x (0≤x ≤20)．
令t ＝20－x (0≤t ≤25)， 则y ＝20－t 2
8＋12t ＝－18
(t －2)2
＋3，
所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．
12．某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝
10x －2
＋4(x －6)2
，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；
(2)试确定产品A 的销售价格，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)
解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2
＝21，
此时该店每日销售产品A 所获得的利润为 (4－2)×21＝42千元．
(2)该店每日销售产品A 所获得的利润
f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10
x －2
＋4x －62
＝10＋4(x －6)2(x －2)
＝4x 3－56x 2
＋240x －278(2<x <6)， 从而f ′(x )＝12x 2
－112x ＋240 ＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．
令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．
所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝10
3≈3.3时，
函数f (x )取得最大值．
故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．
13．某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
解 设该养殖场x (x ∈N *
)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2
－3x )元．
从而有y ＝1x
(3x 2
－3x ＋300)＋200×1.8
＝
300
x ＋3x ＋357≥2
300
x
·3x ＋357＝417，
当且仅当300
x
＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平
均每天支付的总费用最少．
14．(2018·上海普陀区一模)某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝1600x 2
＋x
＋150万元．
(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图)，
经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧
815
m 60－m
1≤m ≤30
480m ＞30
(单位：
件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
解 (1)由总成本p (x )＝
1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p x
x
＝1600x 2
＋x ＋150x ＝1600x ＋150
x ＋1≥2
1600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150
x
，即x ＝300时，上式等号成立．
∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．
(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
815m 60－m 1≤m ≤30，
480m ＞30
当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2
＋9 600m ， ∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000. 当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000.
∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为144 0001 200
＝120人．
∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120
＝75%.。