数学初三九年级上册 压轴解答题综合测试卷(word含答案) 汇编经典

数学初三九年级上册 压轴解答题综合测试卷（word 含答案） 汇编经典
一、压轴题
1．阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l 与⊙O ，直线l 与⊙O 相离，P 为直线l 上一动点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，连接OM 、OP ，当△OPM 的面积最小时，称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A 的半径为1，A(0，2) ，分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ，切点分别是M 、P 、Q ，下列三角形中，是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 ．(填序号)
①ABM ；②AOP ；③ACQ
（2）如图2，⊙A 的半径为1，A(0，2)，直线y=kx （k≠0）与⊙A 的“最美三角形”的面积为
1
2
，求k 的值． （3）点B 在x 轴上，以B 为圆心，3为半径画⊙B ，若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于
3
，请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围．
2．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点
P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速
度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点
P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时
间为ts ． （1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38
83
a t ==
，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
3．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 4．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣1
3
x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，
以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作
CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．
（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．问题发现：
（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E 不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．
7．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．
（1）求证△AEF ∽△BCE ；
（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；
（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．
8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段
AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .
（1）若28A ∠=︒，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；
①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求
a
b
的值. 9．如图1，有一块直角三角板，其中AB 16=，ACB 90∠=，CAB 30∠=，A 、B 在x 轴上，点A 的坐标为()20,0，圆M 的半径为33，圆心M 的坐标为(5,33-，圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动，运动时间为t 秒；
()1求点C 的坐标；
()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时，求t 的值；
()3如图2，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点，连接EM 、FM ，在运动过程中，是否存在某一
时刻，使EMF 90∠=？若存在，直接写出t 的值，若不存在，请说明理由．
10．如图，Rt △ABC ，CA ⊥BC ，AC ＝4，在AB 边上取一点D ，使AD ＝BC ，作AD 的垂直平分线，交AC 边于点F ，交以AB 为直径的⊙O 于G ，H ，设BC ＝x ． （1）求证：四边形AGDH 为菱形； （2）若EF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）连结OF ，CG ．
①若△AOF 为等腰三角形，求⊙O 的面积；
②若BC ＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．
11．如图 1，抛物线2
1:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于
C ，且OB OC =．
（1）求抛物线1C 的解析式；
（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围
∠为锐角，且
（3）在图3中，M为抛物线1C在第一象限内的一点，若MCB
∠＞，直接写出点M横坐标M x的取值范围___________
3
tan MCB
12．如图，抛物线y＝﹣(x+1)(x﹣3)与x轴分别交于点A、B(点A在B的右侧)，与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．
(1)直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求⊙P的半径；
(3)点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；
(4)E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜33或733
-＜B x ＜23-- 【解析】 【分析】
（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．
（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围． 【详解】
（1）如下图所示：
∵PM 是⊙O 的切线， ∴∠PMO=90°，
当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-， ∵1
=2
PMO
S
PM OM ••， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．
（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：
按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ．
则由已知可得：111=1222
AEF
S
AE EF EF ••=⨯⨯=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE ==．
∵A(0,2)，即OA=2，
∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==， ∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)， 将F 点代入y=kx 可得：1k =-． ②当k ＞0时，同理可得k=1． 故综上：1k =±．
（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：
在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC
ODC OD
∠=
=ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形， ∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°， 在直角△BDN 中，sin BN
BDN BD
∠=， 故23
=
sin sin 60?BN BN BD BN BDN =∠．
∵⊙B 3， ∴3BM =．
当直线CD 与⊙B 相切时，3BN BM ==
因为直线CD 与⊙B 相离，故BN 3BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞23． 由已知得：113=3222BMN
S
MN BM MN MN ••=•=＜3
2
，故MN ＜1． 在直角△BMN 中，2223BN MN BM MN =+=+1+3=2，此时可利用勾股定理算得BD ＜
33，OB BD OD =- ＜333-33
，
则2＜B x
＜
3
． ②当⊙B 在直线CD
左侧时，同理可得：B x
＜2-
故综上：2＜B x
B x
＜2- 【点睛】
本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
2．（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；
【详解】
解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，
∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①
5 1.54t at -=-②
由①②可得 1.1a =， 2.5t =．
当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，
由③④可得0.5a =，2t =．
综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与
PCN △全等；
②AP BD ⊥， 90BEP ∴∠=︒，
90APB CBD ∴∠+∠=︒，
90ABC ∠=︒，
90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，
在ABP △和BCD 中，
BAP CBD AB BC
ABC BCD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
(
)ABP BCD ASA ∴≅△△，
BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；
（2）当38a =，8
3
t =时，1DN at ==，而4CD =，
DN CD ∴<，
∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，
如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，
AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CD
BAC DCA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AOM COD ASA ∴≅△△，
OA OC ∴=，
ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=， ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．（1）4；（2）t 为4s ，203s ，283
s 时，⊙P 与⊙Q 外切． 【解析】
试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；
（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t为4时，四边形APQD为矩形
（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）；
②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离；
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，
⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=20
3
（s）；
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，
解得t=28
3
（s），
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要
20s，而28
3
＜11，
∴当t为4s，20
3
s，
28
3
s时，⊙P与⊙Q外切．
考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．
4．(1)证明见解析；(2)2
【解析】
【分析】
(1)根据△ABC是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C，结合圆周角定理即可证明；
(2)过点A作AG⊥BC于点G，根据△ABC是等边三角形，可以得到BG、AG的值，由
BF∥AG可得到AF BG
EF EB
=，求出BE，最后利用勾股定理即可求解；
(3)过点O作OM⊥BC于点M，由题(2)知AF BG
EF EB
=，CG=BG=
11
22
AC a
=，可以得到BM
的值，根据BF∥AG，可证得△EBF∽△EGA，列比例式求出BF，从而表示出△OFB的面积．【详解】
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，
∴∠DEB=∠D ， ∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6，
∴BG=11322
BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==，
∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ，
∴
AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2，
∴BE=23BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5，
在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=
(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知
AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2
AF BG EF EB =， ∴22113323
EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=11142233
a a a a ++=，
∴EM=12EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=
211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ， ∴123=115
32
a BF BE AG EG a a ==+，
∵2AG a ==
，
∴25BF ==， ∴△OFB
的面积＝
211223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】 本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
5．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)．
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90︒，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45︒，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45︒，所以∠OEF ＝45︒，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．
（2）由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN ＝45︒，由直线AC 解析式可设M 点坐标为
（x ，122
x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标． 【详解】
解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，
在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝BC ，
∵CE ⊥x 轴，
∴∠ACK +∠ECB ＝90︒，∠ECB +∠CBE ＝90︒，
∴∠ACK ＝∠CBE
在△AKC 和△CEB 中，
AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△AKC ≌△CEB （AAS ）
∴AK ＝CE ，CK ＝BE ，
∵四边形AOEK 是矩形，
∴AO ＝EK ＝BE ，
由直线l ：y ＝﹣
13x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）
∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4），
∵∠CDB ＝∠CEB ＝90︒，
∴B 、C 、D 、E 四点共圆，
∵CD CD =，∠CBA ＝45︒，
∴∠CED ＝45︒，
∴FE 平分∠CEO ，
过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ．
∴PH ＝PQ ，
∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ，
∴OE ＝4，
∴AP +PQ ≥4，
∴AP +PQ 的最小值为4．
（2）∵A 点坐标为（0，2），C 点坐标为（4，4），
设直线AC 解析式为：y ＝kx+b
把（0，2），（4，4）代入得244b k b =⎧⎨=+⎩
解得122
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
∴直线AC 解析式为：y ＝122
x +， 设M 点坐标为（x ，122
x +），N 坐标为（0，y ）． ∵MN ∥AB ，∠CAB ＝45︒，
∴∠CMN ＝45︒，
△CMN 为等腰直角三角形有两种情况：
Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC ＝90︒，MN ＝CN ．
同（1）理过N 点构造利用等腰直角△MNC 构造K 字形全等，同（1）理得：SN ＝CR ，MS ＝NR ．
∴
4
1
24
2
x y
x y
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
8
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴M点坐标为（﹣12，﹣4）
Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90︒，MN＝CN．
过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．
∴
44
1
244
2
x y
x
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
12
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴M点坐标为（12，8）
综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．
【点睛】
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题．
6．（1）4；（2）52；（3）600（2+1）．
【解析】
【分析】
（1）如图①中，证明△EOB≌△FOC即可解决问题；
（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．
（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝（2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．
【详解】
解：（1）如图①中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOF＝∠BOC，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（SAS），
∴S△EOB＝S△OFC，
∴S四边形OEBF＝S△OBC＝1
4
•S正方形ABCD＝4，
故答案为：4；
（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．
∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DBC＝∠DAC，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠DBQ ＝45°，
根据垂线段最短可知，当QD ⊥BD 时，QD 的值最短，DQ 的最小值＝
2BQ ＝52． （3）如图③中，将△BDC 绕点D 顺时针旋转90°得到△EDA ，
∵∠ABC +∠ADC ＝180°，
∴∠BCD +∠BAD ＝∠EAD +BAD ＝180°，
∴B ，A ，E 三点共线，
∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°，
∴BE 2BD ，
∴AB +BC ＝AB +AE ＝BE 2BD ，
∴BC +BC +BD 2+1）BD ，
∴当BD 最大时，AB +BC +BD 的值最大，
∵A ，B ，C ，D 四点共圆，
∴当BD 为直径时，BD 的值最大， ∵∠ADC ＝90°，
∴AC 是直径，
∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝6002+1）．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（1）详见解析；（2）21y 32x x =-,302AF ≤≤；(3)3. 【解析】
【分析】 （1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得AF AE BE BC =，232
y x x =，即2132y x x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由
A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，
360AH sin AB =︒=，可进一步求AH. 【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°，
∴∠AEF +∠AFE =90°，
∵EF ⊥CE ，
∴∠AEF +∠BEC =90°，
∴∠AFE =∠BEC ，
∴△AEF ∽△BCE ；
（2）由（1）△AEF ∽BEC 得 AF AE BE BC =，23y x x -=， ∴2132y x x =-
+， ∵2132y x x =-
+=213(3)22x --+， 当3x =时，y 有最大值为32
， ∴302
AF ≤≤； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ，
在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点，
∴∠EHF =90°，
∴ME =MF =MH ，
在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ，
∴MA =ME =MF =MH ，
则A 、E 、H 、F 在同一圆上；
如图2，连接AH ，
∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30°
∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°，
如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，
在直角三角形ABH 中，
602
AH sin AB =︒=，
∵AB =
∴AH =3， 所以点H 移动的距离为3．
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．
8．（1）ACD ∠＝31︒；（2）①是；②
34
a b =. 【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可；
②根据勾股定理列出算式，计算即可．
【详解】
（1）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒.
∴90B A ∠=︒-∠ 9028=︒-︒
62=︒，
∵BC BD =， ∴1802
B BCD BD
C ︒-∠∠=∠= 180622
︒-︒= 59=︒.
∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠
9059=︒-︒
31=︒.
（2）①BD BC a ==，
∴AD AB BD =-
AB a =-.
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，
AB =
=
∵2220x ax b +-=，
∴x =
a =-
a AB =-±.
∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.
②∵AE AD =，
又∵AD EC =， ∴2b AE EC ==
， ∴2
b AD =. 在Rt ABC ∆中，
222AB AC BC =+， ∴2
222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 2
2224b a ab b a ++=+， ∴234
b ab =. ∵0b >， ∴
34b a =， ∴34
a b =. 【点睛】
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
9．（1）(C 8,；（2）t=18s ；（3）t 15=
【解析】
【分析】
（1）如图1中，作CH ⊥AB 于H ．解直角三角形求出CH ，OH 即可．
（2）如图1﹣1中，设⊙M 与直线BC 相切于点N ，作MH ⊥AB 于H ．求出OH 的长即可解决问题．
（3）设M （﹣5+t ，），EF 12
=
AB =8，由∠EMF =90°，可得EM 2+MF 2=EF 2，由此构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，作CH⊥AB于H．
∵A（20，0），AB=16，∴OA=20，OB=4．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=16，
∠CAB=30°，∴BC
1
2
=AB=8，CH=BC•sin60°=43，BH=BC•cos60°=4，∴OH=8，∴C
（8，43）．
（2）如图1﹣1中，设⊙M与直线BC相切于点N，作MH⊥AB于H．
∵MN=MH3MN⊥BC，MH⊥BA，∴∠MBH=∠MBN=30°，∴BH3
==9，∴点M的运动路径的长为5+4+9=18，∴当点M在∠ABC的内部且⊙M与直线BC相切时，t的值为18s．
（3）∵C（8，3B（4，0），A（20，0）．
∵CE=EB，CF=FA，∴E（6，3），F（14，3），设M（﹣5+t，3），
EF
1
2
=AB=8．
∵∠EMF=90°，∴EM2+MF2=EF2，∴（6+5﹣t）2+32+（14+5﹣t）2+32=82，整理得：t2﹣30t+212=0，解得：t=1513
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了平移变换，解直角三角形，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
10．（1）证明见解析；（2）y＝1
8
x2（x＞0）；（3）①
16
3
π或8π或
（17）π；②21
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB
，可得AE EF
AC BC
=解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，
∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，
∴四边形AGDH是菱形．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF AC BC
=，
∴1
2
4
x y
x
=
，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH垂直平分线段AD，
∴FA＝FD，
∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，
∴AB＝83
3
，
∴⊙O的面积为16
3
π．
如图2中，当AF＝AO时，
∵AB＝22
AC BC
+＝2
16x
+，
∴OA＝
2 16
2
x +，
∵AF＝22
EF AE
+＝
22
2
11
82
x
⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
∴
2
16x
+＝22
2
11
82
x
⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
解得x＝4（负根已经舍弃），
∴AB＝42，
∴⊙O的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝2
164x
+，
∵△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴16＝2
164x
+
解得x2＝
217﹣2（负根已经舍弃），∴AB2＝16+4x2＝817+8，
∴⊙O的面积＝π•1
4
•AB2＝（217+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2，
∴AE＝3
2，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
2
5
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
21
2
，
∵EF＝1
8
x2＝
9
8
，
∴FG 21﹣9
8
，AF22
AE EF
+
15
8
，AH22
AE EH
+
30，
∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，
∴GF CG AF AH
=，
∴219
28
1530 8
-
=
∴CG ＝5﹣10，
＝．
故答案为
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
11．（1）()221y x =--；（2）1023n <<
；（3）552
M x << 【解析】
【分析】
(1)由题意可得对称轴方程，有二次函数对称性，由A 点坐标可求B 点坐标，代入解析式可得；
(2)根据函数图像平移可得新抛物线解析式，画出图像可得交点P ，由题意可得ACB BCP ∠>∠，过点C 作//l x 轴.作PD l ⊥，可得ACO PCD ∠=∠，设
()2,43P t t t -+，由13
tan ACD tan PCD ∠=∠=可得关于t 的方程，解得t, 再将P 代入2C 解析式中得n 的值，根据Q,P 在第一象限内得n 的取值范围；
(3) 当MCB ∠为直角时，可求直线CB 的解析式为：y=-x+3,直线CM 的解析式为：y=x+3，运用直线与曲线联立，可求CM 与抛物线的交点M 横坐标为：x=5；当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN
=，设M 点坐标为()2,43t t t -+，直线CB 解析式为y=-x+3,可求直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，将直线MN 与直线CB 解析式联立可得：N 221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
， 由两点间距离公式可得2MN = 2213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；2CN =221522
2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由3MN CN =可得：52t =，进而可得满足已知条件的点M 横坐标M x 的取值范围.
【详解】
解：()1对称轴为422a x a
-=-= ()3,0B ∴
()0,1C ∴
代入
()2
24321y x x x ∴=-+=--
()()222:21C x n ---
()2423x n x =-++
CAP ∆的内心I 在CAB △内部
,ACB BCP ∴∠>∠
∴当ACB BCP ∠=∠时
过C 作//l x 轴.作PD l ⊥
,ACB BCP ∠=∠
90,OCD ∠=
45,DCB ∠=
,ACO PCD ∴∠=∠
13
tan ACD tan PCD ∠=∠= 设()
2,43P t t t -+ 13
PD CD ∴= 3p y DP OC +==
214333
t t t ∴-++= 113
t = 将P 代入2C 解析式中
103n ∴=
又P 在第一象限内
h AB ∴>
2n ∴>
1023n ∴<<
(3) 552
M x <<; 当MCB ∠为直角时，如下图所示：
由(1)(2)可得：直线CB 的解析式为：y=-x+3,
MCB ∠为直角，C(0,3)，
∴直线CM 的解析式为：y=x+3，
则CM 与抛物线的交点坐标M 横坐标为：
2343x x x +=-+，
解得：x=5或0(舍去)，
所以，当MCB ∠为直角时，5M x =；
当MCB ∠为锐角且3tan MCB ∠=时，如下图所示：
过点M 作MN CB ⊥于N,则3MN CN
=，
设M 点坐标为()
2,43t t t -+， MN CB ⊥，直线CB 解析式为y=-x+3,
∴MN 解析式可设：y=x+b,
将P ()2,43t t t -+代入解析式可得：
b=253t t -+,
则直线MN 解析式为：253y x t t =+-+，
将直线MN 与直线CB 解析式联立可得： N 点坐标为221515,32222t t t t ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
， ∴2MN =2222215154332222t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = 2
213222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 2CN = 22
2215152222t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2
215222t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 由3MN CN
=可得：
2213221522
t t t t --=3； 解得：52
t =或0(舍去) ； ∴MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞时，点M 的横坐标M x 的取值范围为：
552M x <<. 【点睛】
本题综合考查了二次函数的图像和性质，题目较难，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用数形结合解决二次函数综合问题是解题的关键.
12．(1)点B 的坐标为(﹣1，0)，点A 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)；抛物线的对称轴为直线x ＝1；(2)⊙P
；(3)1＜y ＜2；(4)3
﹣
2
． 【解析】
【分析】
(1)分别代入y ＝0、x ＝0求出与之对应的x 、y 的值，进而可得出点A 、B 、C 的坐标，再由二次函数的对称性可找出抛物线的对称轴；
(2)连接CP 、BP ，在Rt △BOC 中利用勾股定理可求出BC 的长，由等腰直角三角形的性质及圆周角定理可得出∠BPC ＝90°，再利用等腰直角三角形的性质可求出BP 的值即可；
(3)设点D 的坐标为(1，y)，当∠BDC ＝90°时，利用勾股定理可求出y 值，进而可得出：当1＜y ＜2时，∠BDC ＞90°；
(4)将△ACO 绕点A 逆时针方向旋转45°，点C 落在点C ′处，点O 落在点O ′处，根据旋转的性质可找出点C ′的坐标及∠AC ′O ′＝45°，进而可找出线段C ′O ′所在直线的解析式，由点E 在CO 上可得出点F 在C ′O ′上，过点O 作OF ⊥C ′O ′于点F ，则△OC ′F 为等腰直角三角形，此时线段OF 取最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求出此时OF 的长即可.
【详解】
(1)当y ＝0时，﹣(x+1)(x ﹣3)＝0，
解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，
∴点B 的坐标为(﹣1，0)，点A 的坐标为(3，0)；
当x ＝0时，y ＝﹣(0+1)×(0﹣3)＝3，
∴点C 的坐标为(0，3)；
∵抛物线与x 轴交于点(﹣1，0)、(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x ＝1；
(2)连接CP 、BP ，如图1所示，
在Rt △BOC 中，BC
=
∵∠AOC ＝90°，OA ＝OC ＝3，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，
∴∠BPC＝2∠OAC＝90°，
∴CP＝BP＝2
BC＝5，
∴⊙P的半径为5；
(3)设点D的坐标为(1，y)，当∠BDC＝90°时，BD2+CD2＝BC2，
∴[(﹣1﹣1)2+(0﹣y)2]+[(0﹣1)2+(3﹣y)2]＝10，
整理，得：y2﹣3y+2＝0，
解得：y1＝1，y2＝2，
∴当1＜y＜2时，∠BDC＞90°；
(4)将△ACO绕点A逆时针方向旋转45°，点C落在点C′处，点O落在点O′处，如图2所示．
∵AC＝2232
OA OC
+=，∠ACO＝45°，
∴点C′的坐标为(3﹣32，0)，∠AC′O′＝45°，
∴线段C′O′所在直线的解析式为y＝﹣x+3﹣32，
∵点E在线段CO上，
∴点F在线段C′O′上．
过点O作OF⊥C′O′于点F，则△OC′F为等腰直角三角形，此时线段OF取最小值，
∵△OC′F为等腰直角三角形，
∴OF＝
2
2
OC′＝
2
2
(32﹣3)＝3﹣
32
2
．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理、勾股定理、旋转以及等腰直角三角形，解题的关键是：(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标；(2)利用圆周角定理找出∠BPC＝90°；(3)利用极限值法求出点D纵坐标；(4)利用点到直线之间垂直线段最短确定点F的位置．。