9.1.2分层抽样课件高一下学期数学人教A版

总样本量n 总体的个体数N
每一层抽取的样本数= 该层个体数 ×总样本量 =抽样比例×该层个体数 总体个体数
典例解析
例 某单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及以 上的有95人.为了了解该单位的职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工 作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解：用分层随机抽样的方法来抽取样本，步骤如下: 第一步：分层.按年龄将500名职工分成三层，即不到35岁的职工，35岁至49岁的职工 和50岁及以上的职工. 第二步：计算抽样比.
1 男生样本的平均数 170.0 女生样本的平均数 162.2
总样本的平均数 165.8
2
170.7 160.3 165.1
3
169.8 159.7 164.3
抽样序号 456
171.7 172.7 171.9 158.1 161.1 158.4 164.3 166.4 164.6
7
171.6 159.7 165.2
（4）如何避免这种“极端样本”？ 分组抽样，减少组内差距
能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？
新知探究
问题2 对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应分 别分配？
为了使样本的结构与总体的分布相近,人数多的群体应多抽一些,人数少
的群体应少抽一些. 即可按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配：
490 510
490 510
∴样本平均数为 49 70.2 51 160.8 165.4(cm).
100
100
(2) 应按(1)的方法进行改进更合理，即高二年级全体学生的平均身高估计为
49 170.2 51 160.8 165.4(cm).100100认知升华
简单随机抽样和分层随机抽样异同：
解：这种说法有道理. 因为一个好的抽样方法，一般随着样本量的增 加，抽样调查结果会越来越接近于普查的结果. 因此，只要根据误差控 制范围的要求取相应的样本量进行调查,就可以节省人力、物力和财力.
巩固练习
课本P184
3. 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层,通过分
层随机抽样的方法,得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160. 8 cm.
新知探究 第1层
总体平均数
第2层
总体
M
N
Xi Yi M X N Y
W i1
i 1
MN
MN
样本平均数
m
n
xi yi m x n y
w i1
i 1
mn
mn
新知探究 在比例分配的分层随机抽样中：
m n mn M N MN
M m MN mn
N
n
=
MN mn
可得
M x N y m x n y w
男生样本量
男生人数 全体学生数
总样本量
女生样本量
女生人数 全体学生数
总样本量
追问 每个学生被抽到的可能性（概率）相等 吗无？论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等.
当总样本量为50时，我们就可以计算出从男生、女生分别应抽取的人数为
n男
326 712
50
23
n女
386 50 712
27
新知探究
女生 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
164 163.5
163 162.5
12345678
简单随机抽样 分层随机抽样 实际值
9 10
1. 分层抽样的样本平均的 围绕总体平均数波动，与简 单随机抽样的结果相比分层 抽样并没有明显优于简单随 机抽样。
2. 相对而言，分层抽样的 样本平均数波动幅度更均 匀，简单随机抽样的样本平 均数有的偏离总体平均数的 幅度比较大的极端数据。
性别是影响身高的其中一个主要因素.
按照性别变量
高中男生的身高普遍高于女生的身高，而 相同性别的身高差异相对较小.
子总体1 男生
子总体2 女生
我们可利用性别和身高的这种关系，把高一 年级学生分成男生和女生两个身高有明显差 异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽
抽样
男生 样本
抽样
女生 样本
样，然后汇总作为总体的一个样本。
第四步：在各层中用简单随机抽样方法依次抽取25人、56人、19人 第五步：把抽取的个体组合在一起，组成样本量为100的样本 .
归纳小结
分层随机抽样的步骤：
分层
按某种特征将总体分成若干互不交叉的层
计算 抽样比
定数
按抽样比确定每层抽取的个体数
抽样
各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本
汇总
综合各层抽样，组成样本
3. 分层随机抽样的结果并不是每一次都优于简单随机抽样。
新知讲解 实际上，在个体之间差异较大的情形下, 只要选取的分层变量合适，使
得各层间差异明显、层内差异不大, 分层随机抽样的效果一般会好于简单 随机抽样，也好于很多其他抽样方法. 分层随机抽样的组织实施也比简单 随机抽样方便, 而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计.
男生 173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
男生身高的样本平均数为170.6 估计 男生身高的总体平均数约为170.6
m
n
xi yi
i 1
i1
m
x
n
y.
mn
mn mn
证明：∵
x
1 m
m i 1
xi ,y
1 n
n i 1
yi .
m
n
m
n
∴ m
x
n
xi
yi
xi yi
y i1 i1 i1
i1 .
mn mn mn mn mn
巩固练习
课本P184
2. 有人说:“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名 学生进行视力普查的结果差不多，而且对于想要掌握学生视力状况的教育 部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法 有道理吗 为什么
女生身高的样本平均数为160.6 估计 女生身高的总体平均数约为160.6
根据男生、女生身高的样本平均数以及它们各自的人数，可以估计总体平均数为
170.6 326 + 160.6 386 165.2 712
所以树人中学高一年级学生的平均身高大约在165.2cm左右.
概念生成
分层随机抽样
一般地，按 一个或多个 变量把总体划分成若干个 子总体 ，
MN MN mn mn
新知探究
问题4 与考察简单随机抽样估计效果类似,小明也想通过多次抽样考察一下 分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级 的学生中抽取了10个样本量为50的样本,计算出样本平均数如下表所示,与 上一小节P179的“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较,小明 有了一个重要的发现.你是否也有所发现
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.2 分层抽样
学习目标
学习 目标
一 掌握分层抽样的概念 二 掌握各层样本量的比例分配方法 三 掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差
复习回顾
1. 简单随机抽样的概念:
设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的 方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就 称这样的抽样为简单随机抽样.
注意：当总体是由差异明显的几个部分组成时, 往往选用分层随机抽样的方法.
新知探究
问题3 在简单随机抽样中如何估计总体平均数？ 用样本平均数估计总体平均数
那么在分层随机抽样中，还能用样本平均数估计总体平均数吗？
先来了解一下在分层随机抽样中，总体平均书和样本平均数是如何表示的 在分层随机抽样中，如果层数分别为2层， 第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n. • 第1层总体的各个个体的变量值为：X1，X2，…，XM； 第1层样本的各个个体的变量值为：x1，x2，…，xm； • 第2层总体的各个个体的变量值为：Y1，Y2，…，YN； 第2层样本的各个个体的变量值为：y1，y2，…，yn.
总样本
新课导入
示例 在高一年级的712名学生中. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高, 要从中抽取一个容量为50的样本,可以采取简单随机抽样的方式.
思考：（1）抽样调查最核心的问题是什么？ 样本的代表性
（2）会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？ 会
（3）为什么会出现这种“极端样本”？ 抽样结果的随机性个体差异较大
8
170.6 160.0 164.9
9
172.6 160.6 166.1
10
170.9 160.2 165.1
我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的 平均数用下图形进行表示,其中粉红线表示整个年级学生身高的平均数.
新知探究
167 166.5
166 165.5
165 164.5
每个个体 属于且仅属于 一个子总体，在每个子总体中独立地进
行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作
为 总样本 ，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都
与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为 比例分配 .
比例分配：
每层样本量m 每层的个体数M
(1) 如果张华在各层中按比例分配样本,总样本量为100，那么在男生、女生
中分别抽取了多少名 在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身
高.
(2) 如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况
下解，：(如1)男何生估应计抽高取二年10级0 全体4学90 生 4的9人平,女均生身应高抽更取合理100 510 51人.
方法 要点
简单随机抽样 随机→“搅拌均匀”→抽取
分层随机抽样 分层→比例→抽取
共同点
不同 点
相互 联系 适用 范围
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
从总体中逐个随机抽取
将总体分成不交叉的若干层， 各层中按比例抽取
各层的抽样可采用简单随机抽样
总体中的个体总数较少 总体由差异明显的几个部分组成
选择抽样方法的规律： (1)当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法. (2)当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法. (3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽 样.
巩固练习
课本P184
1. 数据x1,x2, ,xn的平均数为x,数列y1,y2, ,yn的平均数为y,证明：
• 简单随机抽样的特点: ①总体个数有限； ②逐个进行抽取； ③机会均等抽样.
2. 简单随机抽样的常用方法：
①抽签法； ②随机数表法.
3. 总体均值与样本均值
Y
Y1 Y2 YN N
1 N
N
Yi
i 1
y
用样本的平均数估计总体的平均数
y1
y2
n
yn
1 n
n i 1
yi
新知探究
问题1 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名. 能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现， 从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？ 总体 高一年级的学生