高中数学 3.1.2指数函数(一)配套课件 苏教版必修1

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研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高效
3.1.2（一）
问题 1 图象分布在哪几个象限？这说明了什么？
答 图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}．
问题 2 图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数 a 有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？
答 它们的图象都在 x 轴上方，向上无限伸展，向下无限 接近于 x 轴；当底数大于 1 时图象上升，为增函数；当底 数大于 0 小于 1 时图象下降，为减函数．
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(2)如果 a＝0，当当xx≤>00时时，，aax＝x无0意义 ；
3.1.2（一）
(3)如果 a＝1，y＝1x＝1，是个常值函数，没有研究的必要；
(4)如果 0<a<1 或 a>1 即 a>0 且 a≠1，x 可以是任意实数．为了便 于研究，所以规定：a>0 且 a≠1.
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跟踪训练 1 指出下列函数哪些是指数函数： (1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝(－4)x； (4)y＝xx；(5)y＝(2a－1)xa>12，且a≠1.
解 (1)、(5)为指数函数；
(2)自变量在底数上，所以不是；
(3)底数－4<0，所以不是；
1
x
a＝ 3 ，于是 f(x)＝ 3 ，
1
所以 f(0)＝π0＝1，f(1)＝ 3
＝3 π，f(－3)＝π－1＝1π.
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小结 要求指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)的解析式，只需要求出 a 的值，要求 a 的值，只需一个已知条件即可．
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效
问题 2 从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至
今大部分还能发芽开花．这些古莲子是多少年以前的遗物呢？
要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在动植物体内都含
有微量的放射性 14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再
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跟踪训练 2 已知指数函数 y＝(2b－3)ax 经过点(1,2)，求 a，b 的值． 解 由于函数 y＝(2b－3)ax 是指数函数， 所以 2b－3＝1，即 b＝2.
将点(1,2)代入 y＝ax，得 a＝2.
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问题 5 函数 y＝2x 和函数 y＝x2 有什么区别？ 答 函数 y＝2x 的指数是变量，是指数函数；函数 y＝x2 的指 数是常数，是二次函数．
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探究点二 指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质
导引 分别在同一坐标系内画出 y＝2x 与 y＝(12)x 的图象及 y＝3x 与 y＝(13)x 的图象，如何通过观察具体的指数函数的图象，归
纳、抽象出 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质？
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小结 比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两 个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、 (2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的 过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来 过渡的值有 0 或±1 等，根据实际问题也可能是其它数值．
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3.1.2（一）
问题 5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数 y＝ax 的哪些性 质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)
答 定义域为 R，值域为{y|y>0}，过(0,1)点，a>1 时为增函数，0<a<1 时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数．
3.1.2（一）
3.1.2 指数函数(一)
【学习要求】 1．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数
函数的图象； 2．初步学会运用指数函数解决问题． 【学法指导】 通过了解指数函数的实际背景，认识数学与现实生活及其他学 科的联系；通过展示函数图象，用数形结合的方法从具体到一 般地探索，概括指数函数的性质.
(4)底数 x 不是常数，所以不是．
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效
例 2 已知指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)的图象过点(3，π)，求 f(0)，
f(1)，f(－3)的值．
解 将点(3，π)，代入 f(x)＝ax，得到 f(3)＝π，即 a3＝π，解得：
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研一研•问题(wèntí)探究、课堂更高 效跟踪训练 3 比较下列各组数中两个值的大小：
3.1.2（一）
(1)30.8，30.7；(2)0.75－0.1，0.750.1；(3)1.012.7，1.013.5；
(4)0.993.3，0.994.5.
解 (1)考虑函数 y＝3x，∵3>1，
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问题 3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？
答 不论底数 a>1 还是 0<a<1，图象都过定点(0,1)． 问题 4 函数 y＝2x 与 y＝(12)x 或者 y＝3x 与 y＝(13)x 图象有什么关系？
可否利用 y＝2x 或 y＝3x 的图象画出 y＝12x 或 y＝13x 的图象？ 答 通过图象看出 y＝2x 与 y＝12x 的图象关于 y 轴对称，y＝3x 与 y＝13x 的图象也关于 y 轴对称．所以能利用 y＝2x 或 y＝3x 的图象通过对称性画 出 y＝12x 或 y＝13x 的图象．
产生，且原有的 14C 会自动衰变，经过 5 730 年(14C 的半衰期)，
它的残余量只有原始量的一半．若 14C 的原始含量为 1，经过 x
年后的残留量为 y，则 y 与 x 的函数关系是什么？
答
y
与
x
的函数关系是
y＝
x
0.55 730
＝0.999
879x.
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例 1 在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ (1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx； (5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且 a≠2)． 解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义； (1)中解析式可变形为 y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式； (2)中底数为负，所以不是； (3)中解析式中多一负号，所以不是； (5)中指数为常数，所以不是； (6)中令 b＝a－1，则 y＝bx，b>0 且 b≠1，所以是．
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3.1.2（一）
例 3 比较下列各组数中两个值的大小： (1)1.52.5，1.53.2；(2)0.5－1.2，0.5－1.5；(3)1.50.3，0.81.2.
解 (1)考虑指数函数 f(x)＝1.5x.因为 1.5>1， 所以 f(x)＝1.5x 在 R 上是单调增函数． 因为 2.5<3.2，所以 1.52.5<1.53.2. (2)考虑指数函数 f(x)＝0.5x.因为 0<0.5<1， 所以 f(x)＝0.5x 在 R 上是单调减函数． 因为－1.2>－1.5，所以 0.5－1.2<0.5－1.5. (3)由指数函数的性质知 1.50.3>1.50＝1，而 0.81.2<0.80＝1，所以 1.50.3>0.81.2.
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小结 指数函数的图象与性质
3.1.2（一）
a>1
0<a<1
图象
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性质
定义域：R
值域：(0，＋∞) 图象过点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
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填一填·知识(zhī shi)要点、记下 疑难点
3.1.2（一）
1．指数函数的定义：一般地，函数___y_＝__a_x_(a__>_0_，__a_≠__1_)__叫做 ____指 ___数__函__数______，其中____x____是自变量，函数的定义域 为R .
2． 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象过一定点 __(_0_,_1_)____．
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探究点一 指数函数的概念 问题 1 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4
个，4 个分裂成 8 个……一个细胞分裂 x 次后，得到细胞 的个数为 y，则 y 与 x 的函数关系是什么？ 答 y＝2x .
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3.1.2（一）
问题 4 指数函数定义中为什么规定了 a>0 且 a≠1? 答 将 a 如数轴所示分为：a<0，a＝0,0<a<1，a＝1 和 a>1 五部分进行讨论：
(1)如果 a<0，比如 y＝(－4)x，这时对于 x＝14，x＝12等，在实 数范围内函数值不存在，所以没有研究的价值；
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研一研•问题探究(tànjiū)、课堂更高 效 例 4 (1)已知 3x≥30.5，求实数 x 的取值范围；
3.1.2（一）
(2)已知 0.2x<25，求实数 x 的取值范围．
解 (1)因为 3>1，所以指数函数 f(x)＝3x 在 R 上是单调增函数，
由 3x≥30.5，可得 x≥0.5，即 x 的取值范围为[0.5，＋∞)．
∴指数函数 y＝3x 在 R 上是增函数．
∵0.8>0.7，∴30.8>30.7. (2)考虑函数 y＝0.75x，∵0<0.75<1，
∴指数函数 y＝0.75x 在 R 上是减函数．
∵－0.1<0.1，∴0.75－0.1>0.750.1.
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问题 3 问题 1 和问题 2 有什么共同特征？
3.1.2（一）
答 这两个函数的共同特征为：底数是一个正数，自变量为
指数，即都可以用 y＝ax(a＞0 且 a≠1 来表示)．
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3.1.2（一）
小结 指数函数的定义：一般地，函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)叫做指 数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R.
(3)考虑函数 y＝1.01x，∵1.01>1， ∴指数函数 y＝1.01x 在 R 上是增函数． ∵2.7<3.5，∴1.012.7<1.013.5. (4)考虑函数 y＝0.99x，∵0<0.99<1， ∴指数函数 y＝0.99x 在 R 上是减函数． ∵3.3<4.5，∴0.993.3>0.994.5.
3． 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)，当 a>1 时，在(－∞，＋∞)上是
单调__增____函数；当 0<a<1 时，在(－∞，＋∞)上是单调__减____
函数.
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3.1.2（一）
[问题情境] 印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人．这位 聪明的大臣说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏 给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四 粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍．直到摆满 棋盘上 64 格”，国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”．于 是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了．还 没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国 王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快 看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发 明人许下的诺言．想一想，共需要多少粒麦子？