上海澳大利亚国际中学高三数学文测试题含解析

上海澳大利亚国际中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在数列中，，，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 已知向量m、n满足||=2，||=3，，则|+|=( )
A．B．3 C．D．
参考答案：
B
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得，|﹣|2+|+|2=22+22=26，从而求得|+|的值．
解答：解：由，||=2，||=3，∴|﹣|2+|+|2=22+22=26，∴|+|=3，
故选：B．
点评：本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求，属于基础题．
3. 若α∈，且，则的值等于()
A. B. C. D. 参考答案：
D
4. 如果实数满足不等式组则的最小值是
A．25 B．5 C．4 D．1
参考答案：
B
5. 如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）
A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.
B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.
C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.
D. 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.
参考答案：
D
分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．
详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误
.
故选D.
点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．
6. 则 ( )
A．<< B．<< C． D．<<
参考答案：
C
7. 若，，，，则( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
8. （5分）若不等式a＞|t﹣1|﹣|t﹣2|对任意t∈R恒成立，则函数的单调递减区间为（）
．B ．
D 参考答案：
B
设y=|t﹣1|﹣|t﹣2|，由t﹣1=0，得t=1；由t﹣2=0，得t=2．
当t≥2时，y=t﹣1﹣t+2=1；
当1≤t＜2时，y=t﹣1﹣2+t=2t﹣3∈[﹣1，1）；
当t＜1时，y=1﹣t﹣2+t=﹣1．
∴y=|t﹣1|﹣|t﹣2|的值域是[﹣1，1]．
∵不等式a＞|t﹣1|﹣|t﹣2|对任意t∈R恒成立，∴a＞1．∴0＜＜1．
∵函数，∴x2﹣5x+6＞0，解得x＞3，或x＜2．
∵m=x2﹣5x+6是开口向上，对称轴为x=的抛物线，
∴函数的单调递减区间为（3，+∞）．
故选B．
9. 定义表示不超过的最大整数，，例如，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）
A．－1.4 B．－2.6 C．－2.8 D．－4.6
参考答案：
D
10. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c的关系，计算即可得到所求值．
解答：解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，
由一条渐近线为y=﹣x，可得=，
即b=a，
即有e====．
故选A．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的展开式中，含x项的系数为______________．
参考答案：
5
略
12. 函数在的零点个数为_________.
参考答案：
3
【分析】
将函数化简为，判断或的解的个数得到答案.
【详解】函数
函数零点为：或故答案为3
【点睛】本题考查了函数的零点，三角函数的化简，意在考查学生的计算能力.
13. 给出定义:若(其中为整数),则叫做与实数“亲密的整数”,
记作,在此基础上给出下列关于函数的四个命题:①函数在上是增函数;②函数的图象关于直线对称;③函数
是周期函数,最小正周期为1;④当时，函数有两个零点. 其中
正确命题的序号是____________.
(A) ②③④(B) ①③(C) ①②(D) ②④
参考答案：
A
略
14. 如果是函数图像上的点，是函数图像上的点，且两点之间的距离
能取到最小值，那么将称为函数与之间的距离.按这个定义，函数和
之间的距离是.
参考答案：
略
15. 已知向量，，，则向量与向量的夹角
是．
参考答案：
16. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=2S n﹣1，则a2017=．
参考答案：
2017
【分析】a n≠0，a n a n+1=2S n﹣1，n≥2时，a n﹣1a n=2S n﹣1﹣1，相减可得：a n+1﹣a n﹣1=2，可得：数列{a n}的奇数项成等差数列，利用通项公式即可得出．
【解答】解：∵a n≠0，a n a n+1=2S n﹣1，
∴n≥2时，a n﹣1a n=2S n﹣1﹣1，∴a n a n+1﹣a n﹣1a n=2a n，
∴a n+1﹣a n﹣1=2，
∴数列{a n}的奇数项成等差数列，公差为2，首项为1．
∴a2017=1+1008×2=2017．
故答案为：2017．
17. 已知向量，向量，则在方向上的投影为__ _。

参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （15分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的长轴长为4，焦距为，以A 为圆心的圆（x﹣
2）2+y2=r2（r＞0）与椭圆相交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）设P是椭圆C长异于B、C的任一点，直线PB、PC与x轴分别交于M、N，
求S△POM?S△PON的最大值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）椭圆的长轴长，焦距，及a2=b2+c2，求得a、b即可．
（Ⅱ）设B（x0，y0）则C（x0，﹣y0），可得
==，由﹣2＜x0＜2，求得
的取值范围．
（Ⅲ）设P（x1，y1）（y1≠±y0），得到直线PB，PC的方程，分别令y=0得，
，得=，
依据﹣1≤y1≤1，求得S△POM?S△PON取得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的长轴长为4，焦距为，∴2a=4，2c=2，
∴a=2，b2=a2﹣c2=1
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设B（x0，y0）则C（x0，﹣y0）且，
∴==，
因为﹣2＜x0＜2，所以的取值范围为．
（Ⅲ）设P（x1，y1）（y1≠±y0），则，
直线PB，PC的方程分别为：，，
分别令y=0得，，
所以==，
于是=，
因为﹣1≤y1≤1，所以S△POM?S△PON取得最大值为1．
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积，面积的范围，属于中档
题．
19. 已知a为实数，函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，
①求实数a的取值范围；
②证明：．
参考答案：
（1）见解析；（2）①，②证明见解析．
（1），
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得，
①若，则，函数在上单调递增；
②若，则，函数在上单调递减．
（2）①由（1）知，当时，在上单调递增，没有两个不同的零点，当时，在处取得极小值，
所以，得，所以的取值范围为．
②由，得，得，
所以，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，要证，只需证，
因为在上单调递增，所以只需证，
因为，所以只需证，即证，
令
，
则，
因为，当且仅当时等号成立，所以当时，
，即在上单调递减，所以，即，所以
得证．
20. （本小题满分12分）
设函数，其中为常数．
（Ⅰ）证明：对任意，的图象恒过定点；
（Ⅱ）当时，判断函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值．
参考答案：
解：（Ⅰ）令，得，且，
所以的图象过定点； -----------------（2分）
（Ⅱ）当时，，
令，经观察得有根，下证明无其它根．
，当时，，即在上是单调递增函数．
所以有唯一根；且当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数；
所以是的唯一极小值点．极小值是． -----（8分）
（Ⅲ），令
由题设，对任意，有，，
又
当时，，是减函数；当时，，是增函数；所以当时，有极小值，也是最小值，
又由得，得，即的最大值为．--（12分）
略
21. 已知如图：三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱均相等，AA1⊥平面ABC，E为AA1的中点．
（1）求证：平面BC1E⊥平面BCC1B1；
（2）求二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）连接CB1交BC1于点O，连接EC，EB1，推导出EO⊥CB1，EO⊥BC1，从而EO⊥平面BCC1B1，由此能证明平面EBC1⊥平面BCC1B1．
（2）由EO、BC1、CB1两两互相垂直，建立空间直角坐标系，令棱长为2a，利用向量法能求出二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值．
【解答】证明：（1）如图1，连接CB1交BC1于点O，则O为CB1与BC1的中点，
连接EC，EB1依题意有；EB=EC1=EC=EB1…∴EO⊥CB1，EO⊥BC1，
∴EO⊥平面BCC1B1，OE?平面BC1E
∴平面EBC1⊥平面BCC1B1．…
解：（2）如图2，由（1）知EO⊥CB1，EO⊥BC1，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱均相等，
∴BC1⊥CB1，即EO、BC1、CB1两两互相垂直，
∴可建立如图2所示的空间直角坐标系，令棱长为2a，
则，，，，…
=（0，，），=（﹣，，0），
依题意得向量为平面C1BE的一个法向量，
令平面BEA1的一个法向量为，
则，
∴，设f=1，则，∴，…
令二面角C1﹣BE﹣A1的平面角为θ
则=
所以二面角C1﹣BE﹣A1的余弦值为…
22. 选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：
解：（1）不等式
或
得
（2），此题可转化为
由均值不等式，
得。