青岛版九年级数学下册5.4 二次函数的图象和性质(3)同步练习

二次函数的图象和性质
一.选择题(每一个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结
论的代号写在题后的括号)
1. 抛物线 y ＝x 2
－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ）
A 、0
B 、4
C 、－4
D 、2
2. 形状与抛物线22
--=x y 相同，对称轴是2-=x ，且过点（0，3）的抛物线是（ ）
A ．342
++=x x y B ．342
+--=x x y
C ．342++-=x x y
D ．342
++=x x y 或342
+--=x x y
3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24 这四个代数式中，值为正的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
4.已知二次函数34922
++=x x y ，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时,函数值相等，则当自变
量x 取x 1+x 2时的函数值与（ ） A ．x=1时的函数值相等
B ．x ＝0时的函数值相等
C ．x ＝
1
4时的函数值相等 D ．x ＝9
4
-
时的函数值相等 5.在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）
6.已知二次函数y =x 2
－x ＋a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中
正确的是（ ）
A ．m －1的函数值小于0
B ．m －1的函数值大于0
C ．m －1的函数值等于0
D ．m －1的函数值与0的大小关系不确定 7. 已知实数a 、b 、c 满足：a ＜0，a －b ＋c ＞0,则一定有（ ）
A ．b 2
－4ac ＞0 B ．b 2
－4ac ≥0
C ．b 2－4ac ≤0
D ．b 2
－4ac ＜0
A
8. 抛物线c bx x y ++-=2
的部分图象如图所示，若0>y ， 则x 的取值范围是（ ）
A ．14<<-x
B ．13<<-x
C ．4-<x 或1>x
D ．3-<x 或1>x
9. 二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10. 已知二次函数1)1(2
++-=x m x y ，当x ≥1时，y 随x 的增大 而增大，则m 的取值范围是
（ ） A ．m ≤1 B ．m ≥1 C ．m ≥－3 D ．m ≤－3
二.填空题
11. 已知二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，对称轴方程为2=x ，若AB ＝6，且此二次函数的最
大值为5，则此二次函数的解析式为 ．
12. 已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2
向下平移1个单位，再向左平移5个单
位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），则原抛物线的解析式是 ．
13. 二次函数542
+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增
大而增大．则当1-=x 时，y 的值是 ．
14. 已知抛物线n mx x m y +--=4)2(2
2
的对称轴是2=x ，且它的最高点在直线12
1
+=
x y 上，则它的顶点为
15. 将抛物线5632
+-=x x y 绕顶点旋转180°，再沿对称轴平移，得到一条与直线2--=x y 交
于点（2，m ）的新抛物线，新抛物线的解析式为 ．
16. 已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角
三角形，请写出符合要求的一个．．
二次函数解析式： 17. 已知抛物线k x k x y -++=)1(22
与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x ＝1的两侧，
则k 的取值范围是
18. 抛物线c bx x y ++=2
与x 轴的正半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，
△ABC 的面积为1，则b 的值为
三.解答题(解答题写出文字说明、证明过程或计算步骤)
19. 已知抛物线c bx ax y ++=2
交x 轴于A 、B 两点，点A 在y 轴左侧，该图像对称轴为1-=x ，最高点的纵坐标为4，且a
OA 12-
=．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M 在x 轴上方的抛物线上，且6=∆MAB S ，求点M 的坐标．
20. 设抛物线c bx ax y ++=2
经过A （－1，2），B （2，－1）两点，且与y 轴相交于点M ． （1）求b 和c （用含a 的代数式表示）；
（2）求抛物线12-+-=c bx ax y 上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线c bx ax y ++=2
上，试判断直线AM 和x 轴的位置关系，并说明理由．
21.已知抛物线y＝ax2＋x＋2．
(1)当a＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2)若代数式－x2＋x＋2的值为正整数，求x的值；
(3)当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y
＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0)．若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小．
22. 抛物线2
=y ax bx c ++(0)a ≠过点(13)(33)(15)A B C ---，，，，，，顶点为M 点． （1）求该抛物线的解析式．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P ，使∠POM ＝90˚．若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．
23. 某同学研究抛物线322
++=x ax y （a ≠0）时发现：①当实数a 变化时，它的顶点都在某条
直线上；②把它的顶点横坐标减少a 1，纵坐标增加a
1
，得到A 点的坐标，点A 仍在这条抛物线上．
⑴请你求出①中直线的解析式；⑵试证明②中的结论；⑶试将②中的结论进行推广，写出一个新的结论，不必证明．
24.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(A在B 的左侧)，与y轴交于C点．AB＝4，且当抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象向左平移一个单位时，其顶点在y轴上．
⑴求原抛物线的解析式；
⑵设P是线段OB上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交原抛物线于E点，交直线BC于点F．问：是否存在P点，使直线BC把△PCE分成面积之比为3∶1的两部分？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．B 5．A 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 二、填空题
11．5)2(952+--=x y 12．1)3(4
12+--
=x y 13．
－7 14. （2，2）15．4632
-+-=x x y 16．12
-+=x x y 提示：答案有无数个，只要0=c 或1-=ac 就行 17.3-<k 提示：由数形结合可判断只要x ＝1时的函数值小于零即可．18．－3提示：由S △ABC ＝
2
1
×1×c ＝1得c ＝2，设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1，x 2是方程x 2
＋bx ＋2＝0的根，解得x 1，2＝
2
82-±-b b ，由AB ＝82
21-=-b x x ＝1得b ＝±3（正值舍去） 三、解答题
19．（1）322
+--=x x y ；（2）M （0，3）或（－2，3） 20．（1）1--=a b ，a c 21-=-；（2）（1，1），（－2，－2）；
（3）点（1，1）在抛物线c bx ax y ++=2
时，直线AM ∥x 轴；点（－2，－2）在抛物线
c bx ax y ++=2时，直线AM 与x 轴相交．
21．⑴抛物线的顶点坐标为（
21，49），对称轴为直线2
1
=x ⑵∵代数式22++-x x 的值为正整数，∴函数22
++-=x x y 的值为正整数 又∵函数的最大值为
4
9
，∴y 的正整数值只能为1或2 当y ＝1时，122=++-x x 解得2511+=
x ，2
5
12-=x 当y ＝2时，222=++-x x 解得01=x ，12=x ∴x 的值为
251+、2
5
1-、0、1 ⑶∵当1a a =时，抛物线22
++=x ax y 过x 轴正半轴上的点M （m ，0）， ∴022
1=++m m a ，m ≠0，∴212m m a +-
=，同理2
22
n
n a +-= =-21a a 22m m +-－（2
2
n
n +-）＝22222222n m m n m n m n ++-- ＝
2
2)
22)((n
m n m mn n m ++- ∵点M 、N 在x 轴的正半轴上，且点M 在点N 的左边
∴0＜m ＜n ，∴m －n ＜0，∴
2
2)
22)((n m n m mn n m ++-＜0，即a 1＜a 2
22．（1）抛物线的解析式为2
4y x x =-． （2）抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90˚．
x =22
42=--=-a b ，4416442-=-=-=
a b ac y . ∴ 顶点M 的坐标为(24)-，．
设抛物线上存在一点P ，满足OP ⊥OM ，其坐标为2
(4)a a a -，． 过P 点作PE ⊥y 轴，垂足为E ；过M 点作MF ⊥y 轴，垂足为F ．
则 ∠POE ＋∠MOF ＝90˚，∠POE ＋∠EPO ＝90˚． ∴ ∠EPO ＝∠FOM ． ∵ ∠OEP ＝∠MFO ＝90˚， ∴ Rt △OEP ∽Rt △MFO ． ∴ OE ∶MF=EP ∶OF ．
即2
(4)24a a a -=::． 解，得10a =（舍去），292a =
． ∴ P 点的坐标为9924⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 23.⑴求出顶点坐标为（a
1
-，a 13-），看出纵坐标比横坐标大3，得直线解析式为3+=x y ⑵求
得A （a
2-
，3），在322
++=x ax y 中，a x 2-=时，33)2(2)2(2=+-+-=a a a y 故点A 在抛
物线322
++=x ax y 上；⑶如：把抛物线322
++=x ax y 的顶点横坐标增加
a 1，纵坐标增加a
1
，得到B 点的坐标，点B 仍在这条抛物线上；把抛物线c bx ax y ++=2
的顶点横坐标减少
a
1
，纵坐标增加
a
1
，得到C 点的坐标，点C 仍在这条抛物线上 24．⑴由已知得抛物线的对称轴为直线x ＝1，又AB ＝4，∴A （－1，0），B （3，0），
∴原抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －3)，即y ＝－x 2
＋2x ＋3
⑵假设存在符合条件的P 点，设P （m ，0）．可求得BC 的解析式为y=－x+3， ∴E （m ，－m 2
＋2m ＋3），F （m ，－m+3），
∴EF ＝－m 2
＋2m ＋3－(－m+3)＝－m 2
＋3m ，FP ＝－m+3 由面积关系得EF ＝3FP 或3EF ＝FP
∴－m 2＋3m ＝3（－m+3）①或3（－m 2
＋3m ）＝－m+3② 由①解得m ＝3（不合，舍去），由②解得3
1
m 或m ＝3（不合，舍去） ∴存在符合条件的点P ，坐标为（
3
1
，0）。