从图形变换角度探究几何题的解法

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上海中学数学• 2020年第9期
从图形变换角度探究几何题的解法
201808 上海市嘉定区徐行中学许曦韵
摘要：图形运动思想在初中几何中占有重要地位，笔者以一道经典几何题为例解析从图形运动角 度解决几何题的方法，阐述在教学中渗透图形变换思想的策略.关键词：图形变换；几何题；一题多解
数学新课程突出了几何变换的地位，一方面，以 沪教版初中数学教材为例，三大图形变换平移、 翻折、旋转作为独立的一章“图形的运动”写人教材； 另一方面，以三大几何变换为背景的几何题几乎占 据压轴题的半壁江山.若学生能够从图形运动的观 点观察图形，将静态的图形动态化，则有助于发展几 何直观能力和空间观念.虽然基本图形分析法可以 提供线索，但图形变换仍然是作辅助线的重要思维 来源[1].笔者以一道经典几何题为例，解析图形运动 在解题中的作用.1
问题呈现
已知：如图l,R t A A B C 中，Z A C B = 90°,C 4 = C B ,点P 是A A B C 内部一点，且
30°,当 PA =
CA 时，求证：P B = P C .
A
2
问题思考
111
证明线段相等的方法有很多，一般有如下的思 考方向：
(1) 两条线段在同一个三角形中，通常运用等角 对等边；
(2) 两条线段在两个三角形中，证明这两条线段 是全等三角形的对应边；(3)
运用等腰三角形三线合一、线段垂直平分线 性质定理、角平分线性质等定理证明；
(4) 平行四边形的判定或性质；(5) 等量代换；(6) 其他.
观察图1,线段P B 、P C 在同一A P B C 中，由题 目已知易证Z P C B =15°,在不添辅助线的情况下无 法证明Z P B C =15°，若换一种思路，将线段P B 、PC 放到两个三角形中，证明所在的两个三角形全等也 无法实现，图中更没有线段的垂直平分线、角平分线 等特殊的图形，似乎已然“山穷水尽”，观察到图形中
条件比较集中，能否从图形运动的角度添加辅助线 使集中的条件分散化，将已知和未知建立起桥梁，这 是思考的路径.3
解法展示
3. 1运用平移变换解法1:如图2,过点A 分别作P B 的平行线交PA 的平行线于点D ,得四边形
A D
B P 是平行四边形，所以
可得 B P = A D , A P = B D ，
c
Z /lB D =z ：P A B = 15°，易
阁2
得Z C B D =60°，B C =B D ，
则A B C D 是等边三角形，故CJD = BC = A C = A P ，
Z D C B = 60°，易证Z A C D = z X A P = 30°，通过“边
角边”判定定理可以证明A A C P 和A CA D 全等，得
P C =A D ，所以 PB = P C .
解法2:如图3,过点A 作A C 的垂线交的 垂线于点D .通过四边形A D B C 是正方形得到AC =
=
又因为 A C = A P ，易证 Z P A D =60°，
则A /M D 是等边三角形，证明A C A A B D P ，进
而得到P B
= P C .解法分析：从图形运
动的角度看，解法1通过
构造平行四边形分别将
<
P B 平移到A D ，将A D 、
P C 置于两个三角形中，
证明它们所在的A A C T 和A C A D 全等.解法2
图3
则有异曲同工之妙，通过构造正方形将A C 平移到
B D ，证明P
C 、P B 所在的A C A P 和A J 3
D P 全等.在
图中可以通过构造平行四边形或者构造正方形来实 现线段的平移.
3.2运用翻折变换
解法3:如图4,将A A P B 沿A B 翻折至
A A D
B ，易得A
C 4
D 是等边三角形，则Z A C D
=
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B D =P D
n
图5
60%C D =A C =B C ，Z D C B =
c
30°，Z C D B = 75°,易证
A A P D ^A C
B D ,B D =P D ,
由A C 4P 笤A I M P 得到CT =D P ，则 Z ： PD C = z ： PCD =15°,再次通过“有一角是60°的等腰三角形是等边三角形”证明A P B D 是等边三角形，则
P C .
解法4:如图5,将A A P C 沿A C 翻折至A A D C ，Z P A C = Z D A C =30°,A D = A P ,C D
= C P ，易得A A P D 是等边三 角形，所以BC = A C = A P =
P D , 由 AD = A P ,C D = C P 得 P D 垂直平分A C ，即Z D £C =
Z A C B = 90°,所以 P D //B C ，又因为 B C = P D ，所以
四边形P B C D 是平行四边形，P B = C D =PC .
解法5:如图6,过点A 作
A E ±C P =F ^E ，Y f Z A C D =
15°交A E 于点D ,易得CD =
A D 且A C D P 是等边三角形，
则C D =C T ,又因为A C =B C ,
Z A C D =Z f C B = 15°,所以
A A C D 2A
B
C T ,则 P B = A
D ，又因为 AO P C ，M P B =P C .
解法6:如图7,过点P 作P D 丄B C 于点D , P £丄
A C 于点£，易证四边形 P £C F 是矩形，贝ij CD = P £,
设P £ = a ,又
因
为
=
90°,Z C A P =30°,P A = 2P £
= 2a ,B C =A C =P A = 2a ,B D = B C -C D = 2a
图6
A C
图7
a ，C D =B D ，即 PD 垂直平分B C ，则 P B =PC .
解法7:如图8,过点P 作
P D 丄于点D ,过点C 作
(：£丄仙于点£，易得 = Z D C P = 15°，又因为Z C D P =Z P E C ，C P = C 73,所以
A P C D 2A £C P ,即 C D =C £，
设 C £ = a ，又因为 Z = 90°，Z C A P = 30°，AC =
2C E =2a ,B C =A C =2a ,B D = B C -C D =2a -a =a ,
CD =B D ，即P D 垂直平分BC \则7^=/^.
解法分析：从翻折变换的角度看，解法3和解法 4是观察到图中含15°、30°角，翻折后将会出现30°、 60°的特殊角，从而构造了全等三角形、等腰三角形
和等边三角形证明问题的正确性.解法5、解法6以 及解法7则是观察到图中的已知或需证的等腰三角 形.或是构造了•角平分线，充分运用其轴对称性质解 题.当条件或者问题中出现或者构造二倍角、等腰三 角形、角平分线、线段的垂直平分线等条件，可以考 虑用翻折变换，运用其轴对称性质解决问题.
3.3运用旋转变换
解法8:如图9,以为
边作等边三角形，易得Z D A C = Z P A B =15°，又因为 A C =
A P ，AD = A
B ，所以 A A
C
D 2 A A P B .因为 DA = D B ,A C =BC \ DC = D C ，所以△ A CD g A B C D ，则 Z A D C = Z ：B D C =
30°，即 Z A B P = Z A D C =30°，易得 Z P B C = 15°，所
解法9:如图10,以C T 为 边作A C D P ,易得Z A C D =
Z B C T = 15°,又因为 CT =C D , CB = C A ,所以 A A C D 竺 A JB C T ,贝i j B P = A D ,易证
Z A C D = 15°,又因
为 CP = C D ,A C = A P ,所以
A A C D 2 A A P D ，则 Z C A D
Z C A D = Z D C A ,所以 AD = C D ，又因为 A D =
P D ，C D =P C JJf W B P = C P .
解法分析：从图形运动的角度看，解法8实质上 将绕点A 逆时针旋转60°,构造了等边三角形， 从而得到了与相等的角，相当于构造了与
A A P
B 全等的A A
C
D .将转化为Z A D C ，
通过证明Z A D C =30°得到Z P B C =15°，根据“等边 对等角”从而解决问题.解法9将C P 绕点C 顺时针 旋转60°，实际上构造了Z A C D = Z P C B ，再通过全 等三角形等知识将问题解决.总之，当题目中含有等 边三角形、等腰三角形等图形时，或需要构造等腰、 等边三角形，可以考虑通过图形的旋转解决.4
感悟反思
学生在尝试解题时，曾想通过构造全等三角形、 平行四边形等构造基本图形的方法证明线段相等， 当学生在静态的图形中苦思冥想而不得其果时，能 否给予学生一个新的视角呢？鲍建生先生提出“把 几何变换作为解题的依据和工具，从而为几何论证 开辟一条新的路径”[2].图形变换可以帮助学生将静 态的图形动态化，理解图形本质.解决几何问题.
(下转第32页）
C
图10
Z P A D = 15。

，
即
32上海中学数学• 2(>2()年第9期
的编制过程.在数学教育的过程中.把握数学基本思想是极为重要的，W为无论是情境的创设.还是问题的提出、思维的引导、都应该源于数学的本质2 .命 题也是按照抽象、推理、模型这个本质过程来编制实施的.回顾这组习题的创编过程，疑问使然，从不断改变背景图形条件探究实验中，这组习题的本质规律和基本图形渐清晰起来，找出了哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，又依据规律创编习题，使规律为己所用.
经过一段时间探究实验.从中体会到慢研究、去浮躁的乐趣，以己为师，向未知领域探究实验•在缜
密的思维中，发现数学的美.教师在研制习题的过程中，不时会遭逢“山穷水尽”，坚持下去又会“柳暗花明”，令人回味无穷、乐趣无穷.
参考文献
[1]上海市教育委员会.上海市中小学数学课程标准[S].
上海：上海教育出版社，2004.
[2]史宁中.数学基本思想与教学[M].北京：商务印书馆.
2018.
(上接第13页）
当然，这种视角的开拓、思维的培养、能力的提升并不是一蹴而就的，需要从以下几方面人手.
4.1借助几何画板，开拓图形变换的视角
想要发展学生运用图形变换思想的能力，学生的直观想象能力是基础.在传统化教学中.教师在黑板上用语言抽象描述图形的运动.P P T也只能呈现“一闪而过”的动画，图形运动的规律总带有一种只可意会不可言传之感.而几何画板能动态展示图形对象的位置关系和变化规律，对几何直观的作用是尤n丨比拟的.在首次接触“图形的运动”这一章节内容时，学生可通过观察、动手操作感知平移和翻折两种图形变换的方式，在头脑中却难以想象旋转的过程并总结规律.此时教师可借助几何画板的“追踪”功能，直观地把图形运动的每个时刻展现给学生，学 生在此过程中探究旋转的本质.
在这一阶段，学生以感性认识为主，以自主作图与几何画板辅助相结合的方式来巩固基础，提升空间观念和直观想象的能力.有条件的学校，还可以开设“几何画板”的拓展课程，学生学习几何画板.辅助几何学习，对他们而言会大有裨益.
4.2积累解题经验，培养图形变换的思维
数学教育家波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌 握数学就意味着善于解题.也就是说，学好数学需要在解题的过程中积累解题经验.形成解题策略.在引导学生掌握辅助线的常见作法时，不仅要知其然，还要知其所以然.例如.在归纳遇到三角形的中线时，往往需要采用“倍长中线”的方式，其实质是运用旋转变换的方式.将一个三角形绕中点旋转180°.将分散的元素集中到一个三角形中去.再比如遇到
角平分线有关辅助线时.常常根据其对称性将图形
进行翻折.正如波利亚所说：“解题的价值不是答案
本身，而是在于弄清‘怎样想到这个解法的，是什么
促使你这样想、这样做的？’”:1
4.3通过一题多解，提升图形变换的能力
一题多解，在数学教学中随处可见，研究一题多
解，有利于沟通知识的内涵与外延.比如本文中的这
个问题，沟通了全等三角形、等腰三角形、四边形等
知识，深化知识，培养学生发散性和创造性思维；多
解归一.有利于提炼分析问题和解决问题的策略.从
众解中择优.教师在提升学生运用图形变换能力时.
若依赖所谓的题海战术，定会使学生产生疲劳感，降
低学习兴趣.积极尝试“一题多解.多解归一”的教 学，是激发学生兴趣，开拓解题思路.培养思维品质
的有效方法"，唯有如此.教师方能做到“以题会类”，把培养学生的思维能力落到实处.
参考文献
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究.2018(8):32.
[2]鲍健生.运用几何变换的个层次[J].数学教师.1995
(7)：31-33.
[3]崔恒刘.用波利亚思想教学生解题案例与反思[J].中
学数学（初中），2〇17(9):93.
[4]波利亚.怎样解题[M].涂泓.冯承天，译.上海：上海科
技教育出版社.2011:序言2.
[5]严榕娇.践行一题多思体悟数学思维[J].中学数学
教学参考（中旬），2018(3):48.
|攻逑奵阄《上海中学教学》\ % Q。