解决问题的利器-------导数

解决问题的利器------导数
导数是新教材的一个亮点，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。

今年考试大纲将导数的位置由去年的“了解”提高到今年的“理解和熟记”，可见今年高考导数仍会占有一定份量，高考的学子应引起足够的重视。

要学好导数，可从以下几方面突破。

一、 突破复合函数的求导这一难点。

在求导过程中，对复合函数的导数同学们往往容易求错，要突破此难点可用换元法。

例1、 求函数y =s i n 3(2x +3)的导数。

解：令t =2x +3, u =s i n t , y =u 3
则
32
2
'(23)'(sin )'()'2cos 3 =6cos(23)sin (23)x x t u y x t u t u x x =+=++g g g g 注意最后将各变量换回自变量x 的形式。

突破此难点的另一方法是把握好整体自变量，在每一次求导后都要再乘以整体自变量的导数，直到最后只剩下单个自变量为止。

例1另解：
[]32
'sin (23)'3sin (23)sin(23)' 2x+1(23)cos(23)()' x y x x x x x x x ⎡⎤=+=++⎣⎦
++g g g g g 22将sin(2x+3)看成整体自变量 =3sin (2x+3)cos(2x+3)(2x+3)' 将看成整体自变量
=6sin 是单个自变量 =(23)cos(23) x x ++g 26sin 到此为止
二、把握好导数能解决的各类问题，做到心中有数，举一反三，触类旁通。

1、 导数在解析几何中的应用。

根据导数的几何意义：函
数在某处的导数就是函数在此点的切线的斜率，因此利用导数可解决与切线有关的问题。

但要注意的是解析几何中的二次曲线要能转化成函数的形式，才能利用导数求解，否则只能利用解析几何的求切线的方法，根据判别式为零求解。

例2求抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0的最短距离。

22
0020 (x ,)
x y y x x --==解：根据题意可知，与直线平行的抛物线的切线到直线x-y-2=0的最短距离.设切点坐标为
0001 '|2 1 2
11
()24
x x y x x ====
∴那么所以切点坐标为，。

故切点到直线x-y-2=0的最短距离为
8= 例3、(2004年浙江高考题)设曲线y =e -x (x ≥0)点M (t ,e -t )
处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为s (t ). (1)求切线l 的方程; (2)求s (t )的最大值。

''- t
-t 2 (1) ()() K= -e (),(1)0 (2)y=0x=t+1, x=0y=e (1)
1
1 ()(1)(1)(1) (0)
2
2 x x t t t t t t f x e e l l y e e x t e x y e t t s t t e t t e t --------==-∴-=--+-+=+=++=+≥Q g 解：
切线的斜率故切线的方程为：即令得令得所以222-t 1
1 '()[(1)]'(1)()'
2
21
1 =(22)(1)()
2
21
=e (1)(1)
2
'()01,1() () 1()t t t t s t t e t e t e t e t t s t t t s t t s t s ----=++++++-+-===-∴=Q 从而令得舍去只有一个极值
当时，取得最大值，最大值为2(1)e
=
2、 利用导数解决与函数的单调性有关的问题。

(1) 利用导数求函数的单调区间，不要忘记函数的定义域，在求解过程中为了避免错误可列不等式组进行求解。

例4、求函数y =x -l n (1+x )的单调增区间。

1'1111+x>0 x 01+x
(0+)x y x x =-
=
++⎧⎪⎨>⎪⎩∞解：由得x>0
所以函数y=x-ln(1+x)的单调增区间为，
(2) 给出函数的单调性，求有关变量的取值范围。

这
类问题，首先应弄清给出的是函数的整个单调区间，还是整个单调区间的一部分，然后再去求解。

例5、（1）已知f (x )=k x -l n (1+x )的单调增区间为（0，＋∞）求K 的值。

2()02000f x ax a a =-∞（）已知　(>0)在区间（，＋）上是单调函数，
求的取值范围。

（年全国高考题）
分析：(1)给出的是函数的整个单调区间，而(2)只
是部分单调区间，解是有区别的。

11
(1) '() 1+x>0111+x>0 (0+)
kx+k-101+x
kx k f x k x x +-=-
=++⎧⎪
∞⎨>⎪⎩∴Q 解：， 依题意知的解集为，x=0为方程kx+k-1=0的解
故k=1
(2) () (0+) (0+) 0 0 1 1
(0+)1
(0f x a
a x a a =
-∞∞>∞>=
=∴<
<∴≥∞≥Q Q 解：’当函数f(x)在，上为减函数时，只要f'(x)<0在(0,+)上恒成立。

即，上恒成立。

故当函数在，上为单调减函数时，当函数f(x)在
, (0+) 0 0 1 <0 0
(01(0,)a x a a a ∞∞∞>=
=∴<
<∴>∞∈∅≥+∞Q +)上为单调增函数时，只要f'(x)>0在(0,+)上恒成立。

即，上恒成立。

但已知故当函数在,+)上为增函数时，a 综上所述，当时函数在上为单调函数。

3、 利用导数求函数的最值。

(1) 连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。

求解步骤：先求定义域内的极值点，然后比较端点值与极值可解。

[]22
1
6f(x)=ln(1+x)-0,2(2004)
4
112'()=01()
1222x x x f x x x x x
--=-==++例、求函数在上的最大值和最小值。

年全国高考题解：函数的定义域为x>-1 ,
令得，x=-2舍去
当x =1时，函数f (x )取得最大值，最大值为 1
ln 24
-
(2) 连续函数在开区间上只有一个极值，则此极值变成最值。

这种现象也称单锋现象，是近年高考的热点。

求解时只需求出极值即可。

例7、求函数f (x )=l n (1+x )-x 的最大值。

(2004年全国高考题)
'1'()111 f (x)=0x=0
x f x x x
-=-=++解：函数的定义域为x>-1, 令得因为f(x)只有一个极值，所以当x=0时函数f(x)取得最大值，最大值为f(0)=0.
又如例2 的第(2)问，也是求开区间的最值。

4、 利用导数证明不等式。

证明不等式的问题，可以转化求函数的最值问题，如要证f (x )>g (x ),只需证明函数F (x )=f (x )-g (x )的最小值大于O ；如要证f (x )<g (x ),只需证明函数F (x )=f (x )-g (x )的最大值小于O 。

例8 求证e x >x
x x
() (x)=e 1 (x)=e 1=00
x f x e x x =---=''
解：设则f 令f 得
x (-,0) ∴∈∞∈∞当时函数f(x)为增函数，f(x)>f(0)=1 当x (0,+)时函数f(x)为减函数,f(x)>f(0)=1
()1,10 x
f x x e x
∴->>∴>x 函数的最小值为故f(x)=e
例9、设函数f (x )=x -l n (x +m ),其中常数m 为整数， 当m 为何值时，f (x )≥0 (2004年广东高考题)
()()0,11
'()1 '()0 1 (,1)'()0,()(1) ( 1+)'()>0,()(1) x m x m f x x m x m
f x x m x m m f x f x f x f m x m f x f x f x f m ≥≥>-+-=-
=++==-∈--<>-∈-∞>-Q 分析：要使f(x)0成立，只要f(x)的最小值即可。

解：函数的定义域为令得当时，为减函数，当，时，为增函数，所以函(- 1()0.f x ∴∞≥≤≤≥数f(x)只有一个极小值f(1-m)=1-m 函数f(x)在m,+)的最小值为1-m 因此当1-m 0即m 1
故当整数m 时,
5、 解决恒成立问题中变量的取值范围。

解决此类问题可以换先分离变量，再转化为求函数的最值问题。

例10、当m 取何值时,不等式e x >x +m 恒成立？ 解：原不等式可化为m <e x -x x x () (x)=e 1
(x)=e 1=00
x (-,0) ()1,
x f x e x x f x =---=∴∈∞∈∞∴'' 设则f 令f 得 当时函数f(x)为增函数，f(x)>f(0)=1 当x (0,+)时函数f(x)为减函数,f(x)>f(0)=1函数的最小值为
故要使不等式e x >x +m 恒成立，只要m ≤1
1m x m ∴≤>+x 当时，不等式e 恒成立。