求标准正交基的矩阵初等变换法

作者： 翟铁倪
作者机构： 锦州师范专科学校副教授
出版物刊名： 中国大学教学
页码： 39-41页
主题词： 初等变换;标准正交基;欧氏空间;高等代数;列向量;正交化;单位化;施密特;行向量;师范专科学校
摘要： 在许多高等代数教材中,通常介绍的施密特（Schmidt）方法,使我们可以从欧氏空间R n 的任意一个基出发,求出一个正交基来,再单位化,求出一个标准正交基。

本文给出一种运用矩阵初等变换,从欧氏空间 R n 的任意一个基求标准正交基的方法,比较直接简单。

设 a i=(a1i,a2i,…,a ni),i=1,2,…,n 是 R n 任意一个基,以 a′为列向量构成矩阵 A=(a ii),则 A′A 是一个 n 阶正定矩阵,必与单位矩阵 E 合同,即存在 n 阶可逆矩阵 Q,使得Q′（A′A）Q=E（1）即（Q′A′）
（AQ）=E（2）（1）式说明,对矩阵 A′A 施行一系列的列初等变换（相应的初等矩阵的乘积为Q）及一系列的行初等变换(相应的。