2021年高中《数学学科知识》教师资格证考试统考真题及答案

上半
一、单项选择题(本大题共8小題，毎小题5分，共40分).
1・设函数/(.r) = £ ln(2 + /) = ^.那么厂(x)的零点个数是()
A.O
B.l
C.2
D.3 1.【答案】解折:= ln(2 + 0c//): =2xln(2+ x 2) = 0.只有 x-0 •个解。

7 7 ZT A0<Z(a 、b) v £
C0<Z(d.6)< |
B 2 v Z(Q ,) < TT rr ■* D — < Z(d,b) < n 所以OSv 評为扶的夾角)
3设|力| =()44是线性方程组A =0的一个根底解条.听以/q =力勺丰0.那么以下向虽中不是矩阵八 的特征向虽是(〉
A3ai+a? Bai-3a2 Cai+3a3 D3a3
3•【答案］Co 解析：因为a 】朋是线性方程组Ax-0的一个根底解系，所以Aai=Aa 2=0^对于选项A 有 A (3ai-a2)-3・\出=皿=>0(3血+盹),所以足A 的特征向址：同样选项I 〕也是矩阵A 是特性向琏：对 于选项D.白于Aa 厂址K0,所以A (3AaJ 二3血尸3®故D 也是矩阵A 的特征向量；至于选项C, 人(6-喝)-人屯・3八％-38刃不能写成皿(％+3亦的形式■所以C 不是矩阵A 的特征向星。

2设a.b^两个不共线的向鱼,
那么 a+b > a- 的充要条件是()
2•【答案】解析: 不等式两边同时平方得(：+F )* > (a- b )1 化简的 a- h = <v| b cosO > 0. Rp cos>0,
4•【答案］C.解析:联立xsin&vl + cos4消去$得Q+y2+2尸0,可知选C y1 cos 〃和z 二-sin 亍联立消去〃可得x 2+2y -0.
5函数列｛£&〕｝与函数张〕都是左闭区间［么方］肓定艾 那么在［久引上伉〔刃｝-致收敛于血〕的充要条件 是〔〉
A W A 0,* € ［a 上归正整数N,使得当n > N 时.有仁〔X 〕- /〔x 〕| < £
BVr>0,3x o e\a.b ［3 正整数 N,使得当n>N 时， 有\f x 〔x 〕- f 〔x 〕 vw
C3 正整数 N, 0c > O.3r 0 € \a,b\ 他得当 n>N 时， 有X 〔x 〕_/〔x 〕l < c
DVff >0,3iE 整数 N ，使得当 n>1\ 时,\>xG\a 9b\,有无〔兀〕-/〔x 〕| < £
5.【答案】IX 餚析：根据定义可得。

6设P 为三阶方阵.将P 的第一列与第 冽交换得到T,再把T 的第二列加到第三列得到R,那么满足
PQ-R 的矩阵Q 足〔：〕
[0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 1 1
1 0 0
? B. 1 0 1
* C 1 0 0 > D. 1 0 0
1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 1 6・【答案】D 。

解析，列变换相当于右乘相应的初等矩阵。

•1在空间直角他标系中, 田参数方丹丿 y = -1 + cos<9(0 <0<—)确定的曲线的•般方秤是 4
Z = sill — 2 J X 2+2^=0
Z1[y 2 +2y+z l = 0
+/ +2y = 0 [z z +2y = Q
y l + z 2 + 2z = 0
;[x 1 +2x + y 2 =0 +2z = 0
7.发现勾股定理的希腊数学家是〔〕
A.泰勒斯
B.毕达哥拉斯
C.欧几里得
D.阿基米德
8.?普通高中数学课程标准〔实验〕?提出五种根本能力，没有包含在其中的是〔〕
A.推理论证能力
B.运算求解能力
C.数据处理能力D•几何做图能力
二乙简答题〔本大题共5小题，每题7分，共35分〕
9在空间直角坐标系厂 试判断直线丿2x* + "U 。

与平面〞：3x-j+2z-l = 0的位置关系，并求 x+2v-z-2=0 出直线1与半面兀的夹角1E 弦值。

【答案】相交；sin/z=%/42 •解析：平面n 的法向虽为,;=〔3厂1,2 〕：平面2x+y+T 〕的法向境为
齐=(2丄1),平而x+2y ・z ・2P 的法向虽为w = (L2-l) 1 =-3；+3」+込=(-3,3,3)
一1
加・〃 =一9-3 + 6 = -6、可知直线1与平面n 相父。

10袋了中有70个红球，30个黑球，从袋了中连续摸球两次，每次按•个球.而1L 是不放回的換球： <1〕求两次検球均为红球的概率。

〔2〕 假设第一次模到红球，求第二次摸到黑球的概率。

【答案】〔1〕—〔2〕—.解析：〔1〕白分步乘法原理可知卩=_空_ +竺二竺
330 33 70 + 30 99 330
〔3〕 由己知易得：第二次摸出为熙球的槪率为—=— 99 33
11请简述如何估算c 的近似值,使其误差不超过1〔〕-3
【答瘵】解析：利用Taylor 公式展开可得：X =1+K +牛+ ... +凡〔Q 那么有？
g+] +丄+ ... +丄二竺“7⑻ 2! 7! 504
12•请列举数学课堂教学导入的两种方式，并举例说明。

【答案】解析：方式一：直接导入法举例：在学习函数单调性的证明时，直接提出函数 单调性的定义，告诉学生直接从图像观察出来的单调性并不精确，只有通过定义证明才 行，提出用定义证明法的步骤，进行证明。

这种方法直截了当，让学生容易理解。

方式 二：复习导入法，例如，等比数列的概念及计算公式可以先复习等差数列的概念及计算 公式再来导入。

13•学生数学学习评价主体应该是多元化，请列举四种评价的主体，并简述评价主体多 元化的意义。

【答案】教师、家长、学生、社会；意义：〔1〕强调评价过程中主体间的 双向选择，通过沟通和协商，能够关注评价结果的认同问题。

〔2〕通过加强自评、互评, 能使评价成为教师、管理者、学生、家长共同积极参与的交互活动。

〔3〕增进双方的了 解和理解，形成积极、友好、平等和民主的评价关系，进而使评价者在评价过程中能有 效地对被评价者的开展过程进行监控和指导，帮助被评价者认同评价结果，最终促进 其不断改良，获得开展。

三、解答题〔本大题1小题,10分〕
14•设A 是一个m 切矩阵，证明：矩阵A 的行空间维数等于它的列空间维数。

• ・
d|i °i2 …
那么巨线1的方向向呈为 V42
设宜线】平面n 的夹角为仇sin&二
V14x-^7| 21
【答案】证明：设矩阵A = 如•〞 ％ ,设行空间的錐数为「列空何维数为弘％…％
••• ••• ••• •••
为矩阵A 的行向量组,不妨设知％…出为一组基，所以方程俎 z 严灿+・・・+xq 二0只有零解,即线 + a n x 2 + ... + a t ,l x r =0 务】••• ^rl
GH+a ］斗+・..+幺用=0 只有劣解，那么貝系数矩阵 a.、 a 〞 ... a , 性方程组 • • •
12 22 rl • • • ••・ ・♦• •••
的行向呈空间的 牛启亦巧+・・・ +备兀 a 2n ・・・/
维数Mr.因此它的行向虽纽可以 找到r 个线性无关的向量.不妨设为
< g,轴…5 〕 , 〔a 2i , •••a.J, •••, 〔a lr , a-,, —a…〕 线 性 无 关， 那么
<a n ,他,•••%〞 —a B1〕 , 〔a 血a®…氐,…心，…〔a,… %……一〕也线性无关，他们正好是矩阵A 的 r 个列向虽，那么护阵A 的列空间的维数r22rn,
同理可证r>rl
所以r=rl,即矩阵A 行空间的维数等于它列空间的维数。

四、论述题〔本大题1小题，15分〕
15数学教育家弗赖登塔尔〔Hans.Freudental 〕认为，人们在观察认识和改造客观世界的 过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象，从客观世界的对 象及其关系中抽象并形成数学的槪念、法那么和定理，以及为解决实际问题而构造的数 学模型等，就是一种数学化的过程。

〔1〕请举出一个实例，并简述其“数学化〞的过程。

〔6分〕
⑵
分析经历上述“数学化〞过程对培养学生“发现问题，提出问题〞以及“抽象概括〞能力 的作用〔9分〕
【参考答案】〔1〕实例：老鼠的繁殖率：假设老鼠每胎产鼠6只，其中3雌3雄，两胎之 间间隔时间40天，小鼠从出生到发育成熟需要120天，现假设在理想情况下〔即不考虑 死亡、周期变化、突发事件等〕，一对老鼠开始生育，估计一年后老鼠的总数将达多 少只？
“数学化〞：①从实际问题中，抽象出有关的数学模型，并对这些数学成分用图式法表 示。

②从图式法表示中，寻找并发现问题的有关的关系和规律。

③从所发现的关系中 ,建立相应的公式，以求得某种一般化的规律。

④运用其它不同方法〔数学模型〕解 决这一问题。

⑶经历上述“数学化〞过程，对于培养学生“发现问题，提出问题〞以及“抽象槪括〞能力 有以下作用：①充分考虑学生的认知规律，己有的生活经验和数学的实际，灵活处理 教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。

通过设计与生活现实密切相关的问题， 帮助学生认识到数学与生活有密切联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大 的帮助，无形中产生了学习数学的动力，有利于快速的发现问题。

②山“数学化“过程可以看出发现问题是直观的，容易引起学生想象的数学问题，进而 提出问题。

而这些数学问题在中的数学背景是学生熟悉的事物和具体情景，而且与学 生己经了解或学习过的数学知识相关联，特别是要与学生生活中积累的常识性知识和 那些学生己经具有的。

③通过一个充满探索的过程去学习数学，让己经存在于学生头 脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升开展为科学的结论，从中感受数学发现 的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新怠识，从而到达素质教育的□的 ,对于学生抽象概括能力明显增强。

第五题图片在网站中。

问题：
教师1主要按照教科书提供的解决问题方法组织课堂教学，教师2没有完全按照教科书组织教学，请对两位教师的做法加以评价；〔5分〕
为了引发学生积极思考、领悟教学思想，从从处理好课堂教学中预设与生成关系的视角，对两位教师的教学作评析；〔10分〕
给出运用函数证明该不等式的方法，并简要说明该方法的数学教学价值。

〔5分〕
【参考答案】〔1〕教师1的教学方法是传统的教学方法，比拟死板，没有认识到学生的认知水平，没有考虑到学生之间的个体差异。

优点是在一个例题结束后，教师布置一道练习题进行稳固练习。

教师2的教学完全符合新课标下的教学方式，将课堂交给学生 ,以学生为主体，老师为主导，引导学生诱发思考，循环渐进的启发学生，充分考虑到学生的个体差异，帮助学生翻开思路。

在课堂中，采用师生互动合作的学习方式，并将学生解答方法展现在黑板上，最后让学生补充其他的解题方法，充分弊重每一个学生的想法。

但是这位老师的缺乏是在教学设讣时没有考虑到用函数的方法解决不等式，课前没有考虑到解不等式的函数思想方法。

教师1没有辩证的理解“预设与生成〞的关系，只有“预设〞，完全封闭，一切尽在“教师的掌控之中〞的现象，没有结合学生的认知水平和学生间的个体差异，致使造成不适当的“生成〞，缺乏教师引导的责任，影响课堂教学质量。

教师2表达了对教学过程的“预设〞，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地表达根本理念和内容标准规定的要求。

并把“预设〞转化为实际的教学活动，在这个案例的过程中，师生双方的互动“生成〞一些新的教学资源，教师2能够及时把握，因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效果。

但是教师2缺乏的是没有仔细专研教材，忽略了用函数问题解答此不等式，没有把本节课进行适当拓展和深化。