三角形数阵换序求和公式的一些应用Ξ
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© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
3 8 高等数学研究 第 2001 年 6 月
6 6 修正后总费用为 F = co st +
1 2
mm
sgn (Αjkg jk -
j= 1 k= 1
[ Αjkg jk ]) × 0. 1。
(2) 模型的求解:
求解图二所示网络模型: 邻接矩阵 G 21×21 为一稀疏矩阵, 其中为 1 的元素为: g j, (j+ 1) = g 9, 16 = g 11, 17 = g 17, 18 = g 17, 19 = g 19, 20 = g 17, 19 = g 19, 20 = g 20, 21 ( j = 1, …, 14) , 边长矩阵D = (d jk ) 21×21 中的
2 4 高等数学研究 第 2001 年 6 月
由于
n
6 al -
l= 1
a1 + 2a2 + … + nan n+ 1
nl→im∞ a1 +
2a2 + n+
…+ 1
nan =
nl→im∞ a1 +
2a2 + … +
n
nan
n n+
(下转第 38 页)
Ξ
这里用到若 lim a
n→∞
n
=
A , 则 lim a1 +
n→∞
2a2 + … + n
nan =
A 。参见吉米多维奇“数学分析习题集”一一编者。
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
注: 文[ 1 ] 在解答此题时, 用了一段文字上的说明。公式 (1) 的应用, 使任何文字上的解释都显
得多余了。
6 6 6 6 ∞
例 3[2 ] 如果 an 收敛, 命 bn =
n= 1
a1 +
2a2 + … + n (n + 1)
∞
∞
nan , 那么 bn 也收敛, 且 bn =
n= 1
n= 1
∞
a n。
n= 1
证明 我们知道, 级数收敛意味着其部分和有极限, 因此, 我们考察
6 6 n
bk =
k= 1
n a1 +
k= 1
2a2 + … + k (k + 1)
应用换序求和公式 (1) 得
kak =
n
61
k= 1 k (k +
k
6 1)
lal =
l= 1
6 6 n k
la l
k= 1 l= 1 k (k + 1)
x kl
k= 1 l= 0
n
6 当然S 也可用另一种办法写出来: 先把第 l 列的和写出来得 x kl, l = 0, 1, …, n, 再把这 n + 1 列的 k= l
和加起来得
因而得求和公式
nk
6 6 S =
x kl
l= 0 k= l
nk
nn
6 6 6 6 x kl =
x kl
(1)
k= 0 l= 0
l= 0 k= l
让我们看一个简单的例子。求下列表中所有数的和
1
11 22
111 333 …………
1 1 1…1
nnn
n
如果我们先把每一行加起来, 再把 n 行的和加起来, 很容易求得表中所有数的和S = n。例如我们先
对列相加, 再把这 n 列的和加起来, 我们一时还难以算出结果, 由此可见, 交换求和顺序对某些问题
n
e
a1 +
2a2 + … + n (n + 1)
nan =
e
bn
∞
∞
6 6 由例 3 知 bn 收敛, 根据正项级数的比较判别法知, (a1a2…an) 1 n 收敛。
n= 1
n= 1
例 4 就是著名的 Ca rlem an 不等式[4]:
∞
6 设 an > 0 (n ∈ N ) , 且级数 an 收敛, 则 n= 1
Ξ
1
=
0
∞
∞
故
6 6 bk =
al
k= 1
l= 1
注: 此题还有另外的解法 (不用公式 (1) )。
∞
∞
6 6 例 4[3] 设 an > 0 (n ∈ N ) , 证明: 若 an 收敛, 则 (a1a2…an) 1 n 也收敛。
n= 1
n= 1
证明 先证一个不等式。我们知道, 数列{ (1 +
22 STUD IES
IN
高等数学研究
COLL EGE M A TH
EM
A
T
IC S
VMo
l14, a r. ,
N o12 2001
三角形数阵换序求和公式的一些应用Ξ
张国铭 (牡丹江师范学院数学系 黑龙江牡丹江 157012)
设{x kl} 是一个带两个下标的数列, 其中 k ≥ l ≥ 0, 具体地写出来便是
的计算确实是有益的。下面我们把换序求和公式 (1) 应用到数学分析中的几个题目上去。
n
6 例 1 已知多项式 P (x ) = akx k , 试将其表示成以 (x - x 0) 为幂的多项式。 k= 0
Ξ 收稿日期: 2000- 07- 26。 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
l= 0 k= l
n
n
6 6 l= 0
(
k=
ak
l
l!
k! (k -
l)
!
x
k0
l)
(x
-
x 0) l =
n
n
6 6 l= 0
1 l!
(
k=
l
akk
(k
-
1) … (k -
l+
1)
x
k0
l) )
(x
-
x 0) l =
n
n
n
6 6 6 l= 0
1 l!
(
k= l
(akx
k
)
( l) x=
x
k= l
1 l! (k -
l) !
f
( l) 1
(x 0)
f
(k2
l)
(x 0)
=
n
n
6 6 l= 0
1 l!
f
( l) 1
(x 0)
k= l
1 (k - l) !
f
(k2
l) (x 0)
≤
n
n
6 6 l= 0
1 l!
f
( l) 1
(x 0)
j= 0
1 j!
f
(j) 2
(x 0)
= N (f 1)N (f 2)
∞
∞
6 6 (a1a2…an) 1 n ≤ e an
n= 1
n= 1
以上我们谈了离散型变量交换求和顺序的问题, 对于连续型变量, 求和相当于求积分, 三角形
数阵的求和相当于在三角形区域上求积分, 换序求和相当于交换积分顺序, 假定 f (x , y ) 是定义在
三角形区域
△ = {x , y : 0 ≤ y ≤ x ≤ a}
第 4 卷第 2 期 张国铭: 三角形数阵换序求和公式的一些应用 23
n
n
6 6 解 由于 P (x ) =
akx k =
ak (x 0 + (x - x 0) ) k , 作二项式展开, 得到
k= 0
k= 0
n
k
nk
6 6 6 6 P (x ) =
κ 上的连续函数, 这时二重积分 f (x , y ) dx dy 可以用两种方式化成累次积分, 即 △
∫∫ ∫∫ a x
aa
( f (x , y ) dy ) dx = ( f (x , y ) dx ) dy
(2)
00
0y
参考文献
1 裴礼文 1 数学分析中的典型问题与方法 1 北京: 高等教育出版社, 1993, 135～ 136
)
0
)
(x
-
x 0) l =
l= 0
1 l!
P
( l)
(x
0)
(x
-
x 0) l
这就是熟知的多项式的 T ay lo r 展开式。
例 2[1] 设 f 1 (x ) , f 2 (x ) 在 x 0 及其附近有定义, 在 x 有直到 n 阶导数, 记 N (f ) =
n
61
k= 0 k!
f (k) (x 0)
ak
C
L K
x
k0
l (x
-
x 0) l =
a
kC
L K
x
k0
l (x
-
x 0) l
k= 0 l= 0
k= 0 l= 0
由换序求和公式 (1) 得
nn
n
n
6 6 6 6 P (x ) =
a
kC
K L
x
k0
l (x
-
x 0) l =
(
a kC LK
xk0ຫໍສະໝຸດ l) (x-x 0) l =
l= 0 k= l
(x
0)
f
(k2
l) (x 0)
l= 0
≤
k= 0
1 k!
l= 0
(C
K L
)
f
( l) 1
(x 0)
nk
6 6
1
k= 0 l= 0 l! (k -
l) !
f
( l) 1
(x 0)
f
(k2
l)
(x 0)
由换序求和公式 (1) 得
f
(k 2
1)
(x 0)
=
nn
6 6 N
(f 1f 2)
≤
l= 0
出现小数, 因此, 我们对所求出的最小费用进行了必要的修正。
缺点:
由于铁路运费是阶梯函数, 为了求解方便, 我们所建立的模型对此进行了线性化近似, 由此可
能引起误差。
附录: 图 1, 图 2。
图 1 图 2 说明: 本图中 B 7 点即为 S 1 点, B 14 点即为 S 6 点, B 17 点即为 S 7 点, 下同。
, 试证明
N (f 1f 2) ≤N (f 1)N (f 2)
证明 按N 的定义 N (f 1f 2) =
由求高阶导数的L eibn iz 公式, 可得
n
61
k= 0 k!
(f 1f 2) (k) (x 0)
n
k
n
k
6 6 6 6 N (f 1f 2) =
1 k= 0 k!
C
K L
f
( l) 1
非零元素对应 20 条铺设管道路线。求出最小费用为 14016631 亿元。
优缺点分析:
优点:
(1) 本文给出的一般模型中, 由于我们引入了邻接矩阵概念, 使得我们的模型不但可以用于求
解树形结构的情况, 并且可以推广到复杂的网状结构。
(2) 由于本模型对铺设线路段的运输费是用二次函数来计算的, 在铺设线路段的运费有可能
x 00
x 10 x 11
x 20 x 21 x 22
x 30 x 31 x 32 x 33
… … … ……
x n0 x n1 x n2 x n3 … x nn
k
6 第 k 行的和可写成 x kl, k = 0, 1, …, n, 再把这 n + 1 行的和加起来得表中所有数的和 l= 0
nk
6 6 S =
1 n
)
n}
严格递增且趋于
e,
借助这一事实,
得
( 2 )1 1
( 3 )2 2
( 4 )3 3
…
(n + 1) n < en n
由此导出
1 (n! ) 1
n
<
e n+ 1
下面我们看例 4。因为
0 < (a1a2…an) 1 n = (a1
2a2 … n!
nan) 1
n
≤
1 (n! ) 1
n
a1 + 2a2 + … + nan <
n
nn
n
n
n
n
6 6 6 6 6 6 6 bk = k= 1
l= 1
k= l
la l k (k +
1)
=
la l
l= 1
k= l
1 k (k +
1) =
l=
1
la l
(
1 l
-
n
1 +
) 1
=
(al -
l= 1
n
la l +
) 1
=
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参考文献
1 刘振宏, 蔡茂诚 1 组合最优化 1 北京: 清华大学出版社, 1988 2 何建坤等 1 实用线性规划及计算机程序 1 北京: 清华大学出版社, 1985
(上接第 24 页)
2 常庚哲, 史济怀 1 数学分析教程, 第三册 1 南京: 江苏教育出版社, 1999, 41 3 常庚哲, 史济怀 1 数学分析教程, 第一册 1 南京: 江苏教育出版社, 1998, 65 4 Gab riel K lam bauer 著, 孙本旺译 1 数学分析 1 长沙: 湖南人民出版社, 1981, 117～ 119
3 8 高等数学研究 第 2001 年 6 月
6 6 修正后总费用为 F = co st +
1 2
mm
sgn (Αjkg jk -
j= 1 k= 1
[ Αjkg jk ]) × 0. 1。
(2) 模型的求解:
求解图二所示网络模型: 邻接矩阵 G 21×21 为一稀疏矩阵, 其中为 1 的元素为: g j, (j+ 1) = g 9, 16 = g 11, 17 = g 17, 18 = g 17, 19 = g 19, 20 = g 17, 19 = g 19, 20 = g 20, 21 ( j = 1, …, 14) , 边长矩阵D = (d jk ) 21×21 中的
2 4 高等数学研究 第 2001 年 6 月
由于
n
6 al -
l= 1
a1 + 2a2 + … + nan n+ 1
nl→im∞ a1 +
2a2 + n+
…+ 1
nan =
nl→im∞ a1 +
2a2 + … +
n
nan
n n+
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Ξ
这里用到若 lim a
n→∞
n
=
A , 则 lim a1 +
n→∞
2a2 + … + n
nan =
A 。参见吉米多维奇“数学分析习题集”一一编者。
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
注: 文[ 1 ] 在解答此题时, 用了一段文字上的说明。公式 (1) 的应用, 使任何文字上的解释都显
得多余了。
6 6 6 6 ∞
例 3[2 ] 如果 an 收敛, 命 bn =
n= 1
a1 +
2a2 + … + n (n + 1)
∞
∞
nan , 那么 bn 也收敛, 且 bn =
n= 1
n= 1
∞
a n。
n= 1
证明 我们知道, 级数收敛意味着其部分和有极限, 因此, 我们考察
6 6 n
bk =
k= 1
n a1 +
k= 1
2a2 + … + k (k + 1)
应用换序求和公式 (1) 得
kak =
n
61
k= 1 k (k +
k
6 1)
lal =
l= 1
6 6 n k
la l
k= 1 l= 1 k (k + 1)
x kl
k= 1 l= 0
n
6 当然S 也可用另一种办法写出来: 先把第 l 列的和写出来得 x kl, l = 0, 1, …, n, 再把这 n + 1 列的 k= l
和加起来得
因而得求和公式
nk
6 6 S =
x kl
l= 0 k= l
nk
nn
6 6 6 6 x kl =
x kl
(1)
k= 0 l= 0
l= 0 k= l
让我们看一个简单的例子。求下列表中所有数的和
1
11 22
111 333 …………
1 1 1…1
nnn
n
如果我们先把每一行加起来, 再把 n 行的和加起来, 很容易求得表中所有数的和S = n。例如我们先
对列相加, 再把这 n 列的和加起来, 我们一时还难以算出结果, 由此可见, 交换求和顺序对某些问题
n
e
a1 +
2a2 + … + n (n + 1)
nan =
e
bn
∞
∞
6 6 由例 3 知 bn 收敛, 根据正项级数的比较判别法知, (a1a2…an) 1 n 收敛。
n= 1
n= 1
例 4 就是著名的 Ca rlem an 不等式[4]:
∞
6 设 an > 0 (n ∈ N ) , 且级数 an 收敛, 则 n= 1
Ξ
1
=
0
∞
∞
故
6 6 bk =
al
k= 1
l= 1
注: 此题还有另外的解法 (不用公式 (1) )。
∞
∞
6 6 例 4[3] 设 an > 0 (n ∈ N ) , 证明: 若 an 收敛, 则 (a1a2…an) 1 n 也收敛。
n= 1
n= 1
证明 先证一个不等式。我们知道, 数列{ (1 +
22 STUD IES
IN
高等数学研究
COLL EGE M A TH
EM
A
T
IC S
VMo
l14, a r. ,
N o12 2001
三角形数阵换序求和公式的一些应用Ξ
张国铭 (牡丹江师范学院数学系 黑龙江牡丹江 157012)
设{x kl} 是一个带两个下标的数列, 其中 k ≥ l ≥ 0, 具体地写出来便是
的计算确实是有益的。下面我们把换序求和公式 (1) 应用到数学分析中的几个题目上去。
n
6 例 1 已知多项式 P (x ) = akx k , 试将其表示成以 (x - x 0) 为幂的多项式。 k= 0
Ξ 收稿日期: 2000- 07- 26。 © 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
l= 0 k= l
n
n
6 6 l= 0
(
k=
ak
l
l!
k! (k -
l)
!
x
k0
l)
(x
-
x 0) l =
n
n
6 6 l= 0
1 l!
(
k=
l
akk
(k
-
1) … (k -
l+
1)
x
k0
l) )
(x
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n
n
n
6 6 6 l= 0
1 l!
(
k= l
(akx
k
)
( l) x=
x
k= l
1 l! (k -
l) !
f
( l) 1
(x 0)
f
(k2
l)
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=
n
n
6 6 l= 0
1 l!
f
( l) 1
(x 0)
k= l
1 (k - l) !
f
(k2
l) (x 0)
≤
n
n
6 6 l= 0
1 l!
f
( l) 1
(x 0)
j= 0
1 j!
f
(j) 2
(x 0)
= N (f 1)N (f 2)
∞
∞
6 6 (a1a2…an) 1 n ≤ e an
n= 1
n= 1
以上我们谈了离散型变量交换求和顺序的问题, 对于连续型变量, 求和相当于求积分, 三角形
数阵的求和相当于在三角形区域上求积分, 换序求和相当于交换积分顺序, 假定 f (x , y ) 是定义在
三角形区域
△ = {x , y : 0 ≤ y ≤ x ≤ a}
第 4 卷第 2 期 张国铭: 三角形数阵换序求和公式的一些应用 23
n
n
6 6 解 由于 P (x ) =
akx k =
ak (x 0 + (x - x 0) ) k , 作二项式展开, 得到
k= 0
k= 0
n
k
nk
6 6 6 6 P (x ) =
κ 上的连续函数, 这时二重积分 f (x , y ) dx dy 可以用两种方式化成累次积分, 即 △
∫∫ ∫∫ a x
aa
( f (x , y ) dy ) dx = ( f (x , y ) dx ) dy
(2)
00
0y
参考文献
1 裴礼文 1 数学分析中的典型问题与方法 1 北京: 高等教育出版社, 1993, 135～ 136
)
0
)
(x
-
x 0) l =
l= 0
1 l!
P
( l)
(x
0)
(x
-
x 0) l
这就是熟知的多项式的 T ay lo r 展开式。
例 2[1] 设 f 1 (x ) , f 2 (x ) 在 x 0 及其附近有定义, 在 x 有直到 n 阶导数, 记 N (f ) =
n
61
k= 0 k!
f (k) (x 0)
ak
C
L K
x
k0
l (x
-
x 0) l =
a
kC
L K
x
k0
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x 0) l
k= 0 l= 0
k= 0 l= 0
由换序求和公式 (1) 得
nn
n
n
6 6 6 6 P (x ) =
a
kC
K L
x
k0
l (x
-
x 0) l =
(
a kC LK
xk0ຫໍສະໝຸດ l) (x-x 0) l =
l= 0 k= l
(x
0)
f
(k2
l) (x 0)
l= 0
≤
k= 0
1 k!
l= 0
(C
K L
)
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( l) 1
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nk
6 6
1
k= 0 l= 0 l! (k -
l) !
f
( l) 1
(x 0)
f
(k2
l)
(x 0)
由换序求和公式 (1) 得
f
(k 2
1)
(x 0)
=
nn
6 6 N
(f 1f 2)
≤
l= 0
出现小数, 因此, 我们对所求出的最小费用进行了必要的修正。
缺点:
由于铁路运费是阶梯函数, 为了求解方便, 我们所建立的模型对此进行了线性化近似, 由此可
能引起误差。
附录: 图 1, 图 2。
图 1 图 2 说明: 本图中 B 7 点即为 S 1 点, B 14 点即为 S 6 点, B 17 点即为 S 7 点, 下同。
, 试证明
N (f 1f 2) ≤N (f 1)N (f 2)
证明 按N 的定义 N (f 1f 2) =
由求高阶导数的L eibn iz 公式, 可得
n
61
k= 0 k!
(f 1f 2) (k) (x 0)
n
k
n
k
6 6 6 6 N (f 1f 2) =
1 k= 0 k!
C
K L
f
( l) 1
非零元素对应 20 条铺设管道路线。求出最小费用为 14016631 亿元。
优缺点分析:
优点:
(1) 本文给出的一般模型中, 由于我们引入了邻接矩阵概念, 使得我们的模型不但可以用于求
解树形结构的情况, 并且可以推广到复杂的网状结构。
(2) 由于本模型对铺设线路段的运输费是用二次函数来计算的, 在铺设线路段的运费有可能
x 00
x 10 x 11
x 20 x 21 x 22
x 30 x 31 x 32 x 33
… … … ……
x n0 x n1 x n2 x n3 … x nn
k
6 第 k 行的和可写成 x kl, k = 0, 1, …, n, 再把这 n + 1 行的和加起来得表中所有数的和 l= 0
nk
6 6 S =
1 n
)
n}
严格递增且趋于
e,
借助这一事实,
得
( 2 )1 1
( 3 )2 2
( 4 )3 3
…
(n + 1) n < en n
由此导出
1 (n! ) 1
n
<
e n+ 1
下面我们看例 4。因为
0 < (a1a2…an) 1 n = (a1
2a2 … n!
nan) 1
n
≤
1 (n! ) 1
n
a1 + 2a2 + … + nan <
n
nn
n
n
n
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6 6 6 6 6 6 6 bk = k= 1
l= 1
k= l
la l k (k +
1)
=
la l
l= 1
k= l
1 k (k +
1) =
l=
1
la l
(
1 l
-
n
1 +
) 1
=
(al -
l= 1
n
la l +
) 1
=
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参考文献
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