高三数学不等式的证明方法之一比较法教案

城东蜊市阳光实验学校不等式的证明
方法之一：比较法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
二、典型例题：
例1、设b a ≠，求证：)(2322b a b b a +>+。

例2、假设实数1≠x
，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：
=3242422221333x x x x x x x
------++ =)1(234+--x x x
=)1()
1(222++-x x x =].43)21[()
1(222
++-x x ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++
讨论：假设题设中去掉1≠x
这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例3、,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥
此题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进展。

证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a
0)(0
≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a
b a b a b a b a ，从而原不等式得证。

2〕商值比较法：设,0>≥b a
,0,1≥-≥b a b
a .1)(≥=∴-
b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最根本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差〔或者者作商〕、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一道路走到同一地点。

甲有一半时间是是以速度m 行走，另一半时间是是以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。

假设n m ≠，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间是是分别为21,t t 。

要答复题目中的问题，只要比较21,t t 的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间是是分别为21,t t ，根据题意有S n t m t =+2211，222t n S m S =+，可得n m S t +=21，mn
n m S t 2)(2+=， 从而mn
n m S n m S t t 2)(221+-+=-mn n m n m mn S )(2])(4[2++-=mn n m n m S )(2)(2+--=， 其中n m S ,,都是正数，且n m ≠。

于是021
<-t t ，即21t t <。

从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：假设n m =，甲、乙两人谁先到达指定地点？
例5、设.1,0,12)(2=+>+=q p pq x x f 求证；对任意实数b a ,，恒有
).()()(qb pa f b qf a pf +≥+〔1〕
证明考虑〔1〕式两边的差。

＝]1)(2[)12()12(222++-+++qb pa b q a p
＝.14)1(2)1(222-++--+-q p pqab b q q a p p 〔2〕
即〔1〕成立。

三、小结：
四、练习：
五、作业：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
〔1〕2x 与12+-x x
；〔2〕12++x x 与2)1(+x . 2．.1≠a 求证：〔1〕;122->a a 〔2〕.1122
<+a a 3．假设0>≥≥c b a ，求证.)(3c
b a
c b a abc c b a ++≥
4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．
解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)
=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2) =-(a-b)20323322≤⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号) ∴a4-b4≥4a3(a-b)。

5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．
6．x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．
7．假设x>0，比较
()21-x 与()21+x 的大小． 8．a≠0，比较()()121222+-++a a a a 与()()1122+-++a a a a 的大小．
9．设x ≥1，比较x3与x2-x+1的大小．
说明：“变形〞是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成假设干个平方和等是“变形〞的常用方法。

阅读材料：琴生不等式
例5中的不等式)()()(qb pa f b qf a pf +≥+有着重要的数学背景，
它与高等数学中的一类凸函数有着亲密的关系，也是琴生〔Jensen 〕不等式的特例。

琴生在1905年给出了一个定义：
设函数)(x f 的定义域为[a,b]，假设对于[a,b]内任意两数21,x x ，都有
.2)()(22121x f x f x x f +≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛+〔1〕 那么称)(x f 为[a,b]上的凸函数。

假设把〔1〕式的不等号反向，那么称这样的
)(x f 为[a,b]上的凹函数。

凸函数的几何意义是：过
)(x f y =曲线上任意两点作弦，那么弦的中点必在该曲线的上方或者者在曲线上。

其推广形式是：假设函数)(x f 的是[a,b]上的凸函数，那么对[a,b]内的任意数n x x x ,,21，都有 .)()()(2121n x f x f x f n x x x f n n +++≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++ 〔2〕 当且仅当n x x x === 21时等号成立。

一般称〔2〕式为琴生不等式。

更为一般的情况是：设)(x f 是定义在区间[a,b]上的函数，假设对于[a,b]上的任意两点21,x x ，有),()()(2121qx px f x qf x pf +≥+
其中1,,=+∈+q p R q p ，那么称)(x f 是区间[a,b]上的凸函数。

假设不等式反向，即有),()()(2121qx px f x qf x pf +≤+那么称)(x f 是[a,b]上的凹函数。

其推广形式，设1,,,,2121=+++∈+n n
q q q R q q q ，)(x f 是[a,b]上的凸函数，那么对任意],,[,,,21b a x x x n ∈ 有)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ，
当且仅当n x x x === 21
时等号成立。

假设)(x f 是凹函数，那么上述不等式反向。

该不等式称为琴生〔Jensen 〕不等式。

把琴生不等式应用于一
些详细的函数，可以推出许多著名不等式。