人教版高中数学选修1-1教学案讲义与课后作业-定积分的简单应用

人教版高中数学选修1-1教学讲义
年 级 ： 上 课 次 数 ：
学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ： 课 题 定积分的简单应用
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教 学 内 容
定积分的简单应用
【学习目标】
1.会用定积分求平面图形的面积。

2.会用定积分求变速直线运动的路程
3.会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】
要点一、应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：
()[()()]b b
a
a
S f x dx f x g x dx ==-⎰⎰
2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：
()()[()()]b
b b
a
a
a
S f x dx f x dx g x f x dx =
=-=-⎰
⎰⎰
3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间
[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：
()c
a
S f x dx =
+
⎰
()b
c
f x dx ⎰
＝()c a
f x dx -⎰＋()b
c
f x dx ⎰.
4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：
1212[()()]()()b b b
a
a
a
S f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰
要点诠释：
研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；
② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；
要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
（1）画出图形；
（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；
（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

要点三、定积分在物理中的应用
① 变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()b
a
S v t dt =
⎰
.
②变力作功
物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()b
a
F x dx ⎰
.
要点诠释：
1.
利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。

应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。

2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。

【典型例题】
类型一、求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线2
y x =和2
y x =所围成的图形的面积.
【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

【解析】 2
01y x
x x y x
⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），
面积S=1
1
20
xdx x dx =-⎰
⎰，
所以1
311
2
320
0021211d d 3
3333S x x x x x x ⎛⎫=
-=-=-= ⎪⎝⎭⎰
⎰
【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤： ⑴．作图象；
⑵．求交点，定积分上、下限； ⑶．用定积分表示所求的面积； ⑷．微积分基本定理求定积分。

举一反三：
【变式】求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。

【答案】所求图形的面积为
dy dy y f y g S y ⎰
⎰
⨯-=
-1
1
224)()()(【＝
e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（
例2．求抛物线2
y x =与直线230x y --=所围成的图形的面积. 【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。

【解析】
解法一：解方程组2,230,y x x y ⎧=⎨--=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩
或93x y =⎧⎨=⎩
即交点(1,1),(9,3)A B -.
由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。

过A 点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和. 1
91201
1
[()][(3)]2
S S S x x dx x x dx =+=--+--⎰⎰ ＝1
999
111
132
22xdx xdx xdx dx +-+⎰
⎰⎰⎰
＝33
2199922
01114233342x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝
32
3
. 【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。

解法二：
若选y 为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
3
21
[(23)]S y y dy -=+-⎰
＝223331
1
1
3233
3
y y
y
---+-=
. 【总结升华】需要指出的是，积分变量不一定是x ，有时根据平面图形的特点，也可选y 作为积分变量，以简化计算。

但要注意积分上限、下限的确定. 举一反三：
【变式1】计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.
作出直线4y x =-，曲线2y x =
的草图，所求面积为
【答案】
上图阴影
部分的面积．
解方程组2,
4
y x y x ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩
得直线4y x =-与曲线2y x =
的交点的坐标为（8,4) .
直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2
4
8
8
4
4
2[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰
⎰
⎰
33
482822044
2222140||(4)|3323
x x x =+-=. 【变式2】求抛物线2
2y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积. 【答案】
由方程组⎩⎨⎧-==x
y x
y 422解出抛物线和直线的交点为（2, 2）及（8, －4）
解法一:选x 作为积分变量，由图可看出S=A 1+A 2 在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为2y x =
，下半支方程为2y x =-，所以
112
2
2
[2(2)]22A S x x dx x dx =--=⎰⎰
3
16
3
2
2220
2
3
=
⋅=x 282[4(2)]A S x x dx =---⎰
8
（ ） 2
, 2
其中G 为引力常数．
则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·
2
()Mm
k x +故该物体从地面
升到h 处所做的功为 0()h
W f x =⎰d x =2
()h
Mm G k x ⋅
+⎰·d x = GMm 2
01()h k x +⎰dx = GMm 01()|h
k x -+ =11()()
Mnh
GMm G k h k k k h -
+=⋅
++． 类型四、定积分的综合应用 例5．已知抛物线
2y px qx =+（其中0,0p q <>）在第一象限内与
直线
5x y +=相切，
且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.问p 和q 为何
值时，S 达到最大值？求出此最大值.
【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出S 。

【解析】依题意知，抛物线如图所示，求得它与
x 轴的交点横坐标为120,
q
x x p
==-⇒面积
2
()q
p
S px qx dx -
=+⎰
3
2
.6q p
= 因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点.由方程组2
5,
,
x y y px qx +=⎧⎨
=+⎩得
2(1)50px q x ++-=，其判别
式必等于零，因而有
21
(1)20
p q =-+.
从而得到32200()2(1)q S q q =⇒+32
200(3)
()3(1)
q q S q q -'=+解得 3.q = 当03q <
<时，()0;S q '>当3q >时，()0.S q '<
于是当3q =时，()S q 取得极大值，即最大值.
此时
45p =-
，从而最大值为225.32
S = 【总结升华】这是一道综合了导数与定积分等概念的题目.利用定积分求出S 的面积(,)S p q ，再利用抛物线与直线相切的条件，确定p 和q 的关系，从而将求(,)S p q 的极值化为一元函数极值问题. 举一反三：
【变式】已知抛物线)0(2
>=a ax y ，将以（0，0），（b ，0），（b ，h ），（0，h ）为顶点的矩形分成两部分，其面积之比为1：2，试求抛物线方程中的系数a
【答案】如图分两种情况讨论：
（1）如图一：⎰
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=
a h a h a a h h dx ax h S 0
3
213
)(，
⎰
⎰+=a
h b
a
h hdx dx ax S 0
2
2
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h b h a h a 3
31，由已知2121=S S ，解得24b h a =. （2）如图二：
⎰-=-=
b
ab hb dx ax h S 032131)(，⎰==b ab dx ax S 0
32
231 由题意知：
1221=S S ，解得2b
h
a =。

课 后 作 业
A．ln
b
k
a
B．ln
b
a
C．(ln ln)
k b a
+
D．ln
k b
7．定积分
12
(1(1))d
x x x
---
⎰等于（）
A．
2
4
π-
B．1
2
π
-C．
1
4
π-
D．
1
2
π-
二、填空题
8.由曲线y=x2+1,x+y=3,及x轴,y轴所围成的区域的面积
为: .
9．如左上图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为________。

（弹簧的劲度系数为k）
10.如右图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部
分,则k= .
11.列车以72 km／h的速度行驶，制动时列车获得加速度a=－0.4 m／s2，问列车应在进站前________ s,且离车站________m处开始制动？
三、解答题
12．求曲线x
x
x
y2
2
3+
+
-
=与x轴所围成的图形的面积．
13．一物体在变力)
(
36
)
(
2
N
x
x
F=作用下沿坐标平面内x轴正方向由8
=
x m处运动到18
=
x m处，求力)
(x
F做的功.
14．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且'()22f x x =+。

（1）求()y f x =的表达式；
（2）求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积。

（2）依题意，所求面积0
32
1
111(221)d 33
S x x x x x x --⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭⎰。

15．某电厂冷却塔的外形，是如图所示的双曲线的一部分，是绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A 、A ＇是双曲线的顶点，C 、C ＇是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ＇是下底直径的两个端点，已知AA ＇=14 m ，CC ＇=18 m ，BB ＇=22 m ，塔高20 m 。

（1）建立坐标系并写出该双曲线方程；
（2）求冷却塔的容积。

（精确到10 m 3，塔壁厚度不计，π取3.14）
【答案与解析】
1.【答案】A
【解析】由定积分的几何意义可知：所指图形就是()()f x g x -，所以选A 。

2.【答案】D
【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：3
3
23
33270
vdt t dt t
===⎰
⎰
3．【答案】C
【解析】 1
1
23233132(32)d 333
x x x x x x --⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭⎰。

4．【答案】A
【解析】 由物理学知识易得被积函数为()f x x ρ=，x ∈[2，3]。

5．【答案】B 【解析】 0
1
2
2
1
()d ()d 1S x x x x
x x -=-+
-=⎰
⎰。

6．【答案】A
【解析】 由物理学知识易得，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即pV=k ，因为V=xS （x 指活塞与底的距离），
所以k k p V xS =
=，所以作用在活塞上的力k k
F p S S xS x =⋅=⋅=，所以气体压力所做的功为
d ln ln b b
a a k
b W x k x k x a
==⋅=⎰。

7．【答案】A
【解析】本题由于方程过于复杂，因而可采用定积分的几何意义表示，如图
1
11
2200
[1(1)]d 1(1)d d x x x x x x x ---=---⎰
⎰⎰。

1
20
1(1)d x x --⎰表示圆(x －1)2+y 2=1与x=0，x=1，y=0围成的图形面积
14
S π
=。

10
d x x ⎰
表示y=x 与x=0，x=1，y=0围成的图形面积21
2
S =。

∴122
4
S S S π-=-=。

8. 【答案】
103
【解析】如图,S=3
10dx )x 3(dx )x 1(3
11
2=
-++⎰
⎰。

9．【答案】
2
1(J)2
kl 【解析】 在弹性限度内，拉伸（压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（压
缩）的长度成正比，即()F x kx =。

由变力做功公式得22
00
11d (J)22l
l
W kx x kx kl ===⎰。

10. 【答案】1-
2
43
. 【解析】 抛物线y=x-x 2
与x 轴所围成图形面积S=6
1dx )x x (1
2=
-⎰,直线y=kx 与抛物线y=x-x 2
的交点的横坐标为x=0,1-k,∴S 上=6)k 1(dx )kx x x (3k 102
-=--⎰-,又S=2S 上⇒6
)k 1(2613-⨯=⇒k=1-243.
11. 【答案】50，500
【解析】已知列车速度v 0=72 km ／h=20 m ／s ，列车制动时获得加速度a=－0.4 m ／s 2。

设列车由开始制动到
经过t s 后的速度为v ，则v=v 0+at=20―0.4t 。

令v=0， 得t=50（s ）。

设列车由开始制动到停止所走的路程为s ，则
5050
d (200.4)d 500(m)s v t t t ==-=⎰⎰。

所以列车应在进站前50 s ，离车站500 m 处开始制动。

12．【解析】首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .
又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ⎰
-++--
=0
1
23)2(dx x x x ⎰
++-+
2
23)2(12
37
=
13．【解析】由题意知力)(x F 做的功为：
2
181********()()()8882
W F x dx dx J x x ===-=⎰⎰ 14．【解析】（1）设2
()(0)f x ax bx c a =++≠，则'()2f x ax b =+。

又已知'()22f x x =+，∴a=1，b=2。

∴2
()2f x x x c =++。

又方程()0f x =有两个相等的实根， ∴判别式Δ=4―4c=0，即c=1。

故2
()21f x x x =++。

15．【解析】
（1）如答图9所示建立直角坐标系xOy ，AA ＇的中点为坐标原点O ，
CC ＇ 与BB ＇平行于x 轴。

设双曲线方程为22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），则1
'72
a AA ==，
又设B （11，y 1），C （9，y 2），因为点B 、C 在双曲线上，。