八年级(下)学期3月份质量检测数学试卷含解析

一、选择题
1．如图，点A 的坐标是(2)2，
，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）
A ．（2，0）
B ．（4，0）
C ．（－22，0）
D ．（3，0） 2．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）
A ．3
B ．23
C ．4
D ．32
3．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 1＝2；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( )
A 2016
B 2017
C 2018
D 20194．在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是a b c 、、，下列条件中，不能说明ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．222b a c =-
B ．;
C A B ∠=∠-∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．::5:12:13a b c =
5．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )
A ．3
B ．5
C ．4.2
D ．4
6．下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形
B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形
D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形 7．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A ．5 B ．7 C ．5
D ．5或7 8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC D
E BC ︒∠=⊥于点E ，B
F ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点
G ，下列结论：①12
CE BE = ；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④
9．如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，B C '交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）
A ．3
B ．154
C ．5
D ．152
10．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）
A ．217
B ．25
C ．42
D ．7
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．
12．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．
13．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
14．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
15．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．
16．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222
()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________
17．如图所示，圆柱体底面圆的半径是2π
，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______
18．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ， 且 BD=3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．
19．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM 为Rt △ABM 的较长直角边，AM ＝7EF ，则正方形ABCD 的面积为_______.
20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．
三、解答题
21．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒
∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．
（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；
（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；
（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
22．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．
（1）求BF的长；
（2）求CE的长．
23．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；
（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD36，求线段AB 的长．
24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
25．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
26．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
27．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
28．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．
(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；
(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；
(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)
29．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠；
（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
30．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．
（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【详解】
解：（1）当点P 在x 轴正半轴上，
①以OA 为腰时，
∵A 的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，OA=2
∴P 的坐标是（4，0）或（220）；
②以OA 为底边时，
∵点A 的坐标是（2，2），
∴当点P 的坐标为：（2，0）时，OP=AP ；
（2）当点P 在x 轴负半轴上，
③以OA 为腰时，
∵A 的坐标是（2，2），
∴OA= 22
∴OA=AP=2
∴P 的坐标是（-220）．
故选D ．
2．D
解析：D
【分析】
先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得．
【详解】
如图，作QE AD ⊥，交AC 于点E ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=∠CAD ，
AD ∴是线段QE 垂直平分线（等腰三角形的三线合一）
PQ PE ∴=
PB PQ PB PE ∴+=+
由两点之间线段最短得：当点,,B P E 共线时，PB PE +最小，最小值为BE 点,P Q 都是动点
BE ∴随点,P Q 的运动而变化
由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值
在Rt BCE ∆中，456,C C B ∠=︒=
2322
BE CE BC ∴=== 即PB PQ +的最小值为32
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.
【详解】∵OP=1，OP 12OP 23OP 34=2，
∴OP 45
…，
OP 20182019
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种：
①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；
②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数； 根据上面两种情况进行判断即可．
【详解】
解：A 、由222b a c =-得a 2=b 2+c 2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC 为直角三角形，不符合题意；
B 、由
C A B ∠=∠-∠得∠C +∠B=∠A ，此时∠A 是直角，能够判定△ABC 是直角三角形，不符合题意；
C 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC 不是直角三角形，故此选项符合题意；
D 、a ：b ：c=5：12：13，此时c 2=b 2+ a 2，符合勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
5．C
解析：C
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：
x 2+42=（10-x ）2，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA 是4.2尺．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】
A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222
345x x x +=，是直角三角形；
C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
故选：C
本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；
（1）有一个角是直角的三角形；
（2）三边长满足勾股定理逆定理.
7．D
解析：D
【分析】
分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．
【详解】
当4是直角边时，斜边，
当4是斜边时，另一条直角边=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
8．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．
【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，
∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE
∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；
∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，
∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确
故选B ．
【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
首先根据题意得到BE=DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：设ED=x ，则AE=6-x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6-x）2，
解得：x=
15
4
，
∴ED=15
4
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
10．A
解析：A
【解析】
试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
{
BAD CBE AB BC
ADB BEC
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得25+9=34，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得342=217.故选A．
考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．
二、填空题
11．1或
78
【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：分为3种情况：
①当PB PQ =时，
4=OA ，3OB =，
∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，
BAO BCO ∴∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠，
BPQ BCO ∴∠=∠，
APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，
APQ CBP ∴∠=∠，
在APQ 和CBP 中，
BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩
， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，
∴5AP BC ==，
1OP AP OA ∴=-=；
②当BQ BP =时，
BPQ BQP ∠=∠，
BPQ BAO ∠=∠，
BAO BQP ∴∠=∠，
根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，
∴这种情况不存在；
③当QB QP =时，
QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，
PB PA ∴=，
设OP x =，则4PB PA x ==-
在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，
222(4)3x x ∴-=+， 解得：78
x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或
78； 【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．
12．
【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直
角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ∆中
求出2CE CD ==12DE ==，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．
【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，
∴60C ∠=°，
∴30E ∠=︒，
在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，
∴28BE AB ==，
AE ∴=．
在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，CD =
2CE CD ∴==
12DE ∴=，
∴142
ABE S ∆=⨯⨯= 1
122
CDE S ∆=⨯=
CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=四边形．
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．413
【分析】
延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．
【详解】
解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，
∵D是BC边中点，
∴BD＝CD，
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝6，
又∵AB＝10，
∴AE2＋BE2＝AB2，
∴∠E＝90°，
∴在Rt△BED中，2222
=+=+=，
BD BE DE
64213
∴BC＝2BD＝413，
故答案为：413．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
14．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．
15．4或2510
【分析】
分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．
【详解】
①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．
∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=2+2=4；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．
连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°．
又∵DE ⊥CE ，
∴∠DEC =90°，
∴∠CDE =45°，
∴CE =DE =222⨯=． 在Rt △BAC 中，BC 2222=
+= 22，∴BD 22222222BE DE （）（）=+=++= 25；
③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，如图3．
∵∠ADC =90°，AD =DC ，且AC =2，
∴AD =DC =AC sin45°=2222
⨯=． 又∵△ABC 、△ADC 是等腰直角三角形，
∴∠ACB =∠ACD =45°，
∴∠BCD =90°．
又∵在Rt △ABC 中，BC 2222=
+= 22， ∴BD 222222210BC CD =+=+=（）（）．
故BD 的长等于4或510．
故答案为4或510．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，
16．等腰直角三角形
【解析】
根据非负数的意义，由()2222
0c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角
形是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.
17．5 【分析】 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•
2π=2，CB=1． ∴AC= 22AB ＋BC = 222=5＋1，
故答案为：5.
【点睛】 圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 18．3或3或15
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC ，勾股定理求出AB ，根据直角三角形的性质列式计算即可．
【详解】
解：如图
∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=12AC=12
×8=4， 由勾股定理得，22228443AC BC -=-=
43333AD ∴==
当点P 在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD ，
∴∠ADP=90°，
则AD 2+PD 2=AP 2，即（32=（2PD ）2-PD 2，
解得，PD=3，
当点P 在AB 上时，AP=2PD ，
∴
当点P 在BC 上时，AP=2PD ，
设PD=x ，则AP=2x ，
由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，
()(22
223x x ∴-=-
解得，
故答案为：3
【点睛】
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
19．32
【分析】
由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．
【详解】
解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋
由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，
∵AM EF ，
2,,a a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，
∴24b =，
∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==
故答案为32.
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
20．【分析】 根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14
BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.
【详解】
∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，
∴
12AC•BE＝12
BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4， ∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，
∴BD＝DC ＝
12
BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，
∴AC 2＝14BC 2+36， ∴22
1364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648
⨯， 解得：BC
＝
∴△ABC 的面积为12
×
cm 2
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）出发2秒后，线段PQ
的长为2）当点Q 在边BC 上运动时，出发
83
秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.
【分析】
（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度； （2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答； （3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．
【详解】
(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：PQ=2222
4652213
BQ BP
+=+==
∴出发2秒后，线段PQ的长为213；
(2)BQ=2t，BP=8−t
由题意得：2t=8−t
解得：t=8 3
∴当点Q在边BC上运动时，出发8
3
秒后，△PQB是等腰三角形；
(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=22
68
+=10.
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；
②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
∴BE=
6824
105 AB BC
AC
⋅⨯
==，
所以22
BC BE
-=18
5
=3.6，
故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【点睛】
本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．
22．（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt△ABF中，可由勾股定理求出BF的长；
（2）设CE=x，根据翻折可知，EF=DE=8-x，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt△CEF中，可由勾股定理求出CE的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10，
又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：2222
BF=AF-AB=10-8=6，
故BF的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，
又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，
∴FE=DE=8-x，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
CF+CE=EF，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：222
∴222
4+x=(8-x)，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
23．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；
（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形
∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°
∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD
∴∠ACE ＝∠BCD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD ．
（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，
∴∠CAE ＝∠CBD ，
又∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，
∴∠EAD ＝90°，
在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，
∴BD 2+AD 2＝ED 2，
∵ED ＝2CD ，
∴BD 2+AD 2＝2CD 2，
（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，
∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，
∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，
∴DF ＝EF ，
由 （1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，
EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，
∴222(223)2(36)x x x ++=，
解得x ＝1，
∴AB ＝2+4．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.
24．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194
时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】
（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC
上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12
t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作
PE BC ⊥于E ，求得194
t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程
2234352
t --=
⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，
4AC cm ∴=，
（1）设存在点P ，使得PA PB =，
此时2PA PB t ==，42PC t =-，
在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，
即：222(42)3(2)t t -+=，
解得：2516
t =， ∴当2516
t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，
此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，
在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，
即：222(24)1(72)t t -+=-， 解得：83t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，
∴当83
t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，
当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，
PC BC ∴=，即423t -=，
12
t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，
CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，
如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，
1322BE BC ∴=
=， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194
t =， PB BC =②，即2343t --=，
解得：5t =，
PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，
12
BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，
由射影定理得；2BC BF AB =⋅，
即2234352t --=⨯， 解得：5310t =
， ∴当15319,5,2104
t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
25．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．
【分析】
（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．
当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；
当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；
当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；
第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，
当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时
1809014522
A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，
综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．
【点睛】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键．
26．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明
△ACD ≌△BCF ；
②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD ，DE ，BE 之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD ，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD ≌△BCF
②证明：连接EF ，
由①知△ACD ≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD ，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF 2=BE 2+BF 2，
∴EF 2=BE 2+AD 2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF ，CE=CE
∴△DCE ≌△FCE
∴EF=DE
∴DE 2= AD 2+BE 2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=1
2
BF，FG=
3
BF
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°
∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2
又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+1
2 BF，
∴EF2=（EB+1
2
BF）2+（
3
BF）2
∴DE2=（EB+1
2
AD）2+（
3
2
AD）2
∴DE2=EB2+AD2+EB·AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并
通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
27．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +
-=（， 解得：t =252
． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，
252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132
⨯-=(cm )；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ =BQ 时，如图1所示，
则∠C =∠CBQ ．
∵∠ABC =90°，
∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，
∴∠A =∠ABQ ，
∴BQ =AQ ，
∴CQ =AQ =10，
∴BC +CQ =22，
∴t =22÷2=11(s )．
②当CQ =BC 时，如图2所示，
则BC +CQ =24，
∴t =24÷2=12(s )．
③当BC =BQ 时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
28．（1）∠CBD=20°；（2）AD=16
4；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】
（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；
（2）根据折叠可得AD=DB ，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，再在Rt △CDB 中利用勾股定理可得x 2+62=（8-x ）2，再解方程可得x 的值，进而得到AD 的长；
（3）根据三角形ACB 的面积可得112
AC CB m =+，
进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．
【详解】
（1）
∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；
（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴AD=DB，
设CD=x，则AD=BD=8-x，
在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，
x2+62=（8-x）2，
解得：x= 7
4
，
AD=8-7
4
=
1
6
4
；
（3）∵△ABC 的面积为m+1，
∴1
2
AC•BC=m+1，
∴AC•BC=2m+2，
∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，
∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，
∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD的周长为m+2．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
29．（1）见解析；（2）27
BC .
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中， ∴2223OC CF OF =-=. 在Rt △BOC 中， ∴22224(23)27BC BO OC =
+=+=. 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
30．（1）13，17，10，
112；（2）图见解析；7． 【分析】
（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．
（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，
S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣
32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，
112
． （2）△PMN 如图所示．
S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
【点睛】
此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.。