嘉鱼县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

嘉鱼县第一高级中学
2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含
分析
班级 __________
座号 _____ 姓名 __________ 分数 __________
一、选择题
1． 如图 Rt △ O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边 O ′B ′=2 ，则这个平面图形的面积是（ ）
A ．
B ． 1
C ．
D ．
2． 椭圆 C :
x 2
y 2 1 的左右极点分别为 A 1 , A 2 ，点 P 是 C 上异于 A 1, A 2 的随意一点，且直线 PA 1 斜率的
4 3
取值范围是 1,2 ，那么直线 PA 2 斜率的取值范围是（ ）
A ．
3 , 1
B ．
3 , 3
C ． 1
,1
D ． 3
,1
4 2
4 8
2
4
【命题企图】 此题考察椭圆的标准方程和简单几何性质、 直线的斜率等基础知识， 意在考察函数与方程思想和
基本运算能力．
3． 设曲线 f ( x) x 2 1 在点 ( x, f (x)) 处的切线的斜率为 g ( x) ，则函数 y g(x)cos x 的部分图象
能够为（
）
A ．
B ．
C.
D ． 4． 在等差数列 { a n } 中，已知 a 4 a 8 16 ，则 a 2 a 10 （ ）
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
2
m 1 x+3
m 1
x
m
5． （ m+1 ） x ﹣（ （
对一确实数 恒建立，则实数 的取值范围是（ ）
﹣ ） ﹣ ）＜ A ．（ 1， +∞） B ．（﹣ ∞，﹣ 1 ） C ．
D ．
6． 已知 z 1
1 3i ， z
2
3 i ，此中 i 是虚数单位，则 z 1 的虚部为（
）
z 2
A ． 1
B ．
4
C ． i
D ． 4
i
5
5
【命题企图】 此题考察复数及共轭复数的观点， 复数除法的运算法例， 主要突出对知识的基础性考察，
属于容
易题 .
7． 以下命题中正确的选项是（ ）
A ．若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题 “p ∧q ”为真命题
B ．命题 “若 xy=0 ，则 x=0 ”的否命题为： “若 xy=0 ，则 x ≠0”
C ．“
”是 “ ”的充足不用要条件
D
．命题 “ x R 2x
0” “
”
? ∈ ， ＞ 的否认是
a x － 1，x ≤1
8． 已知函数 f （ x ）＝
（ a ＞ 0 且 a ≠ 1），若 f （ 1）＝1，f （ b ）＝－ 3，则 f （ 5－ b ）＝（
）
log a 1
，x ＞ 1
x ＋ 1
1
1
A ．－4
B ．－ 2
3 5
C ．－ 4
D ．－ 4
9． 已知
，此中 i 为虚数单位，则 a+b=（
）
A ．﹣1
B ．1
C ． 2
D ． 3
10．已知点 P （ 1，﹣ ），则它的极坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知命题 p ：对随意 x 0 ，
， log 4 x log 8 x ，命题：存在 x
R ，使得 tan x
1 3x ，则以下命题为
真命题的是（ ）
A ． p q
B ． p q
C ． p
q
D ． p q
12．命题： “? x ∈R ，x 2 ﹣x+2 ＜ 0”的否认是（
）
A ．?x ∈R ， x 2﹣ x+2 ≥0
B ． ?x ∈R ， x 2﹣ x+2 ≥0
C ．?x ∈R ， x 2﹣ x+2＜ 0
D ． ? x ∈R ， x 2﹣ x+2＜ 0
二、填空题
13．一组数据 2， x ， 4，6， 10 的均匀值是 5，则此组数据的标准差是
．
14．设 a 投掷一枚骰子获得的点数，则方程
x 2+ax+a=0 有两个不等实数根的概率为
．
15．在ABC 中，有等式：① a sin A b sin B ；② a sin B b sin A ；③ a cosB b cos A ；④
a b c
.此中恒建立的等式序号为_________.
sin A sin B sin C
16．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为，，．若4S a2 b2 c2，
则 sin C cos(B) 取最大值时 C ．
4
1
17．已知函数 f (x) asin x cos x sin2 x 的一条对称轴方程为 x ，则函数 f ( x) 的最大值为（）
2 6
A ．1
B ．±1 C． 2 D．2
【命题企图】此题考察三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考察逻辑思想能力、运算求解能力、转变思
想与方程思想．
18．直线 l1和 l2是圆 x2 +y 2=2 的两条切线，若 l 1与 l 2的交点为（ 1 ，3），则 l1与 l2的夹角的正切值等于_________ 。

三、解答题
19．设 a， b 互为共轭复数，且（a+b）2﹣ 3abi=4 ﹣ 12i ．求 a， b 的值．
20．函数 f（ x）是 R 上的奇函数，且当x＞ 0 时，函数的分析式为f（ x）=﹣1．
（1）用定义证明 f （x）在（ 0， +∞）上是减函数；
（2）求函数 f （ x）的分析式．
21．以下图，在正方体ABCD ﹣ A 1B 1C1D1中， E、 F 分别是棱DD 1、 C1D 1的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC 1B1⊥平面 A 1BE ；
（Ⅱ）证明： B1F∥平面 A 1BE ；
（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四周体 A 1﹣ B1BE 的体积．
22．设 f （x） =ax2﹣（ a+1） x+1
（1）解对于 x 的不等式 f （ x）＞ 0；
（2）若对随意的 a∈ [ ﹣ 1， 1]，不等式 f （ x）＞ 0 恒建立，求 x 的取值范围．
23．（本小题满分12 分）某校为认识高一重生对文理科的选择，对 1 000 名高一重生发放文理科选择检查表，
统计知，有600 名学生选择理科，400 名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20 名学生的数学成绩得以下累计表：
分数段理科人数文科人数
[40， 50）
[50， 60）
[60， 70）
[70， 80）正正
[80， 90）正
[90， 100]
（1）从统计表剖析，比较选择文理科学生的数学均匀分及学生选择文理科的状况，并绘制理科数学成绩的频次散布直方图．
（ 2）依据你绘制的频次散布直方图，预计意愿选择理科的学生的数学成绩的中位数与均匀分．
24．（本小题满分12 分）
已知函数 f x 3sin x cos x cos 2 x 3 .
2
（ 1）当 x
6 ，时，求函数 y f x 的值域；
3
（ 2）已知0 ，函数 g x f x ，若函数 g x 在区间 2 ，上是增函数，求的最大值．
2 3
12 6
嘉鱼县第一高级中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含分析（参照答案）
一、选择题
1．【答案】 D
【分析】解：∵Rt△ O'A'B' 是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2 ，
∴ 直角三角形的直角边长是，
∴ 直角三角形的面积是，
∴原平面图形的面积是1×2=2
应选 D．
2．【答案】 B
3．【答案】 A
【分析】
试题剖析：g x 2x, g x cos x 2x cos x, g x g x ,cos x cosx ，y g x cosx 为奇函数，清除B， D，令x0.1 时 y0 ，应选 A. 1
考点： 1、函数的图象及性质；2、选择题“特别值”法.
4．【答案】 B
【分析】
试题剖析：由等差数列的性质可知，a2a10a4a816.
考点：等差数列的性质.
5．【答案】 C
【分析】解：不等式（ m+1） x2﹣（ m﹣ 1） x+3（ m﹣ 1）＜ 0 对全部 x∈R 恒建
立，即（ m+1）x2﹣（ m﹣ 1） x+3（ m﹣ 1）＜ 0 对全部 x∈R 恒建立
若 m+1=0 ，明显不建立
若 m+1≠0，则
解得 a．
应选 C ．
【评论】此题的求解中，注意对二次项系数的议论，二次函数恒小于
0只要 ．
6． 【答案】 B
【分析】 由复数的除法运算法例得，
z 1 1 3i (1 3i )(3 i) 6 8i 3 4 i ，因此 z 1
的虚部为 4 .
z 2
3 i
(3 i )(3 i)
10
5 5 z 2 5
7． 【答案】 D
【分析】 解：若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题 “p ∧q ”为假命题，故 A 不正确；
命题 “若 xy=0 ，则 x=0 ”的否命题为： “若 xy ≠0，则 x ≠0”，故 B 不正确； “
” “
+2k π
， k Z ”
? ，或 ∈ ，
“
” “ ”
? ，
故 “ ”是 “ ”的必需不充足条件，故
C 不正确；
命题 “?x ∈R ， 2x ＞ 0”的否认是 “ ”，故 D 正确．
应选 D ．
【评论】此题考察命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，认真解答．
8． 【答案】
【分析】 分析：选 C.由题意得 a － 1＝ 1，∴a ＝ 2.
b
b
若 b ≤1，则 2 － 1＝－ 3，即 2 ＝－ 2，无解．
1 1
1 ，∴b ＝ 7. ∴b ＞ 1，即有 log
2 ＝－ 3，∴ ＝
b ＋ 1 b ＋ 1 8
∴f （5－ b ）＝ f （－ 2）＝ 2
－2
－ 1＝－ 3
，应选 C.
4
9． 【答案】 B
【分析】 解：由 得 a+2i=bi ﹣ 1，因此由复数相等的意义知 a=﹣1， b=2，因此 a+b=1
另解：由
得﹣ ai+2=b+i （ a ， b ∈R ），则﹣ a=1， b=2， a+b=1．
应选 B ．
【评论】此题考察复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
10． 【答案】 C
【分析】 解： ∵点 P 的直角坐标为
， ∴ ρ= =2 ．
再由 1=ρcosθ，﹣=ρsinθ，可得，联合所给的选项，可取θ=﹣，
即点 P 的极坐标为（2，），
应选C．
【评论】此题主要考察把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．
11．【答案】 D
【解析】
考点：命题的真假.
12．【答案】 B
【分析】解：因为全称命题的否认是特称命题，因此命题：“?x∈R，x2﹣x+2＜0”的否认是?x∈R，x2﹣x+2≥0．应选： B．
【评论】此题考察命题的否认，特称命题与全称命题的否认关系，基本知识的考察．
二、填空题
13．【答案】2．
【分析】解：∵一组数据2， x， 4，6， 10 的均匀值是5，
∴2+x+4+6+10=5 ×5，
解得 x=3，
∴此组数据的方差[（ 2﹣5）2+（ 3﹣ 5）2+（ 4﹣ 5）2+（6﹣ 5）2+（10﹣ 5）2]=8 ，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为： 2．
【评论】此题考察一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的均匀数和方差公式的求法．
14．【答案】．
【分析】解：∵a 是甲投掷一枚骰子获得的点数，
∴试验发生包括的事件数6，
∵方程 x2 +ax+a=0 有两个不等实根，
∴a2﹣ 4a＞ 0，
解得 a＞4，
∵a 是正整数，
∴ a=5， 6，
即知足条件的事件有 2 种结果，
∴所求的概率是 = ，
故答案为：
【评论】此题考察等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出全部的知足条件的事件数，是解题的重点．
15．【答案】②④
【分析】
试题剖析：对于①中，由正弦定理可知asin A b sin B ，推出 A B 或 A B ，因此三角形为等腰三角
2
形或直角三角形，因此不正确；对于②中， a sin B bsin A ，即 sin Asin B sin B sin A 恒建立，因此是正确的；对于③中， a cosB b cos A ，可得 sin( B A) 0 ，不知足一般三角形，因此不正确；对于④中，由
正弦定理以及合分比定理可知
a b c
是正确，应选选②④． 1 sin A sin B sin C
考点：正弦定理；三角恒等变换．
16．【答案】
4
【分析】
考点： 1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特别角的三角函数.1
【方法点睛】此题主要考察余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特别角的三角函数，属于
难题 .在解与三角形相关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依照 .一般来说 ,当条件中同时出现 ab 及 b 2 、 a 2 时，常常用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数交错出现时，常常运用正弦定理将边化为
正弦函数再联合和、 差、倍角的正余弦公式进行解答， 解三角形时三角形面积公式常常依据不一样状况采用以下
不一样形式 1 ab sin C , 1 ah, 1
(a b c)r ,
abc
.
2 2 2
4R
17． 【答案】 A
【
解
析
】
18． 【答案】
【分析】 设 l 1 与 l 2 的夹角为 2θ，因为 l 1 与 l 2 的交点 A （ 1 ， 3 ）在圆的外面，
且点 A 与圆心 O 之间的距离为
OA= = ，
圆的半径为 r=
，
∴sin θ=
= ，
∴cos θ=
， tan θ= = ，
∴tan2 θ=
= = ，
故答案为：。

三、解答题
19． 【答案】
【分析】解：因为a， b 互为共轭复数，因此设a=x+yi ，则 b=x ﹣ yi ， a+b=2x ， ab=x2+y2，
因此 4x 2 2 2
12i ，﹣3（ x +y ） i=4 ﹣
因此，解得，
因此 a=1+ i ， b=1﹣i ；
或 a=1﹣i， b=1+ i ；
或 a=﹣ 1+ i ， b=﹣1﹣i ；
或 a=﹣ 1﹣i ， b= ﹣1+ i ．
【评论】此题考察了共轭复数以及复数相等；正确设出a， b 是解答的重点．
20．【答案】
【分析】（ 1）证明：设 x2 ＞x1＞0，∵f（ x1）﹣ f（ x2） =（﹣ 1）﹣（﹣1） = ，
由题设可得 x2﹣ x1＞ 0 ，且 x2?x1＞ 0，∴f （ x1）﹣ f（ x2 ）＞0，即 f（ x1 ）＞ f（ x2），
故 f （ x）在（0， +∞）上是减函数．
（ 2）当 x＜ 0 时，﹣ x＞ 0， f （﹣ x） = ﹣ 1=﹣ f （ x），∴f（x） = +1 ．
又 f （ 0） =0，故函数f（ x）的分析式为f（ x）=．
21．【答案】
【分析】（Ⅰ）证明：∵ABCD ﹣ A 1B1C1D 1为正方体，
∴B 1C1⊥平面 ABB 1A 1；
∵A 1B? 平面 ABB 1A 1，
∴ B 1C1⊥ A 1B．
又∵ A 1B ⊥AB 1，B 1C1∩AB 1=B
1，∴ A 1B⊥平面 ADC 1B1，
∵A 1B? 平面 A 1BE，
∴平面 ADC 1B 1⊥平面 A 1BE ；
（Ⅱ）证明：连结EF， EF∥，且EF=，
设 AB 1∩A 1B=O ，
则B 11
，O∥C D，且
∴EF∥ B 1O，且 EF=B 1O，
∴四边形 B1OEF 为平行四边形．
∴B 1F∥ OE．
又∵ B1F? 平面 A 1BE， OE? 平面 A 1BE ，
∴B 1F∥平面 A 1BE，
（Ⅲ）解：====．
22．【答案】
【分析】解：（ 1） f（ x）＞ 0，即为 ax2﹣（ a+1） x+1＞ 0，
即有（ ax﹣ 1）（ x﹣ 1）＞ 0，
当 a=0 时，即有1﹣ x＞ 0，解得 x＜ 1；
当 a＜ 0 时，即有（ x﹣ 1 ）（ x﹣）＜ 0，
由 1＞可得＜ x＜ 1；
当 a=1 时，（ x﹣ 1）2＞ 0，即有 x∈ R，
x≠1；当 a＞ 1 时， 1＞，可得 x＞1 或 x＜；
当 0＜a＜1 时， 1＜，可得x＜1或x＞．
综上可得， a=0 时，解集为 {x|x ＜1} ；
a＜ 0 时，解集为 {x|＜x＜1}；
a=1 时，解集为 {x|x ∈ R， x≠1} ；
a＞ 1 时，解集为 {x|x ＞ 1 或 x＜} ；
0＜ a＜ 1 时，解集为 {x|x ＜1 或 x＞} ．
（2）对随意的 a∈[ ﹣1， 1]，不等式 f （ x）＞ 0 恒建立，
即为 ax2﹣（ a+1） x+1＞ 0，
即 a（ x2﹣ 1）﹣ x+1＞ 0，对随意的a∈ [﹣ 1，1] 恒建立．
2
设 g（a）=a（ x ﹣ 1）﹣ x+1 ， a∈[ ﹣1， 1]．
则 g（﹣ 1）＞ 0，且 g（ 1）＞ 0，
即﹣（ x2﹣1）﹣ x+1＞ 0，且（ x2﹣ 1）﹣ x+1＞ 0，
即（ x﹣1）（ x+2）＜ 0，且 x（ x﹣ 1）＞ 0，
解得﹣ 2＜ x＜ 1，且 x＞ 1 或 x＜ 0．
可得﹣ 2＜ x＜ 0．
故 x 的取值范围是（﹣2，0）．
23．【答案】
【分析】解：（ 1）从统计表看出选择理科的学生的数学均匀成绩高于选择文科的学生的数学均匀成绩，反应
了数学成绩对学生选择文理科有必定的影响，频次散布直方图以下．
（ 2）从频次散布直方图知，数学成绩有50%小于或等于80 分， 50%大于或等于80 分，因此中位数为80 分．均匀分为（55×0.005＋ 65× 0.015＋ 75× 0.030＋ 85×0.030＋ 95× 0.020）× 10＝79.5，
即预计选择理科的学生的均匀分为79.5 分．
3 ，；（ 2）．
24．【答案】（1） 3
2
【分析】
试题剖析：（ 1）化简 f x sin 2 x 2 ，联合取值范围可得 1 2x 1 值域为 3 ，；（ 2）
sin
2 3
6 2 6
易得 g x
x
sin x 2 和x
2
，，由 g x 在
2
，上是增函f
12 3 3 3 3
2 3 6 3 6
数 2 ，2k ， 2 k ，k Z
3 3 3
6 2 2
2 2k 5
3 3 2 1 5
3k
， k Z k 0 1 的最大值为 .
4 k
12
2k 1 12k 12
6 3 2
考点：三角函数的图象与性质.。