2020年四川省广元市田家炳实验中学高二数学文下学期期末试题含解析

2020年四川省广元市田家炳实验中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个物体的位移(米)和与时间(秒)的关系为，则该物体在4秒末的瞬时速度是（）
A．12米/秒 B．8米/秒 C．6米/秒 D．8米/秒
参考答案：
C
略
2. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为( )
A． B． C. D．
参考答案：
C
3. 我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设(a>b>0)为“优美椭圆”，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（）
A．60° B．75° C．90° D．120°
参考答案：
C
4. 通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
附表：
经计算的观测值. 参照附表，得到的正确结论是
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
参考答案：
A
由列联表中的数据可得，
故有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．选A．
5. 下列函数中最小正周期是的函数是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
【知识点】三角函数的最小正周期
【答案解析】C解析：解：A、B选项由化一公式可知最小正周期为2π，C选项把绝对值内的三角函
数化成一个角，再结合其图象可知最小正周期为π，D选项可验证为其一个周期，综上可知选C.【思路点拨】求三角函数的最小正周期常用方法有公式法和图象法，公式法就是把三角函数利用三角公式化成一个角的三角函数，再利用公式计算，当化成一个角的三角函数不方便时，如绝对值函数，可用图象观察判断.
6. 设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
参考答案：
C
在上是减函数，由题设有，得解C．
7. 已知复数为纯虚数，那么实数a=（）
A．﹣1 B．C．1 D．
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：复数==为纯虚数，
∴a﹣1=0，1+a≠0，
解得a=1．
故选：C．
8. 如图是某青年歌手大奖赛是七位评委为甲、乙两名选手打分的茎叶图（其中m是数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分之后，甲、乙两名选手的方差分别是a1和a2，则（）
A．a1＞a2 B．a1＜a2
C．a1=a2 D．a1，a2的大小与m的值有关
参考答案：
A
【考点】茎叶图．
【分析】去掉一个最高分和一个最低分之后，先分别计算甲、乙的平均数，再计算甲、乙的方差，由此能求出结果．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分之后，
==84，
==85，
∴去掉一个最高分和一个最低分之后，
a1= [（85﹣84）2+（84﹣84）2+（85﹣84）2+（85﹣84）2+（81﹣84）2]=2.4．
[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．
∴a1＞a2．
故选：A．
9. 不等式＜0的解集为（）
A．{} B．{}
C．D． {}
参考答案：
C
10. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（）
A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球
参考答案：
A
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】先讨论P 点与A 点重合时，M 点的轨迹，再分析把P 点从A 点向上沿线段AD 1移动，在移动过程中M 点轨迹，最后结合棱柱的几何特征可得答案． 【解答】解：∵Q 点不能超过边界， 若P 点与A 点重合，
设AB 中点E 、AD 中点F ，移动Q 点，则此时M 点的轨迹为： 以AE 、AF 为邻边的正方形；
下面把P 点从A 点向上沿线段AD 1移动， 在移动过程中可得M 点轨迹为正方形， …，
最后当P 点与D 1点重合时，得到最后一个正方形， 故所得几何体为棱柱， 故选：A
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，解答的关键是分析出P 点从A 点向上沿线段AD 1移动，在移动过程中M 点轨迹．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式x + 2
≤ a ( x + y )对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a
的最小值为 。

参考答案： 2
12. 抛物线
的焦点到双曲线
渐近线的距离为__________．
参考答案：
【分析】
先求出抛物线的焦点，再求双曲线的渐近线，再求焦点到渐近线的距离.
【详解】由题得抛物线的焦点为（1,0），双曲线的渐近线为
所以焦点到渐近线的距离为
.
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分
析推理能力.(2) 点到直线的距离.
13. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 ．
参考答案：
18
【考点】系统抽样方法；简单随机抽样．
【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，抽样的分段间隔为
=25，结合从第18组抽取的号码为443，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码． 【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本， ∴系统抽样的分段间隔为
=25，
设第一部分随机抽取一个号码为x ，
则抽取的第18编号为x+17×25=443，∴x=18． 故答案为18．
14. 命题“对任意一个实数x ，都有2x+4≥0”的否定是 参考答案： 存在实数，使
略
15. 已知奇函数f (x )的图象关于直线
对称，当
时，
，则
______．
参考答案：
2
依题意知的最小正周期是12，故，
即
故答案为：2
16. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．
参考答案：
80
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图先求出时速在区间[40，60）内的汽车的频率，由此能求出时速在区间[40，60）内的汽车数量．
【解答】解：由频率分布直方图得：
时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．
∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．
故答案为：80．
17. 若，则复数x+yi的虚部是________________．
参考答案：
1
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分l0分)
已知圆E经过定点A(-2，0)，B(8，0)，C(0，4)． (I)求圆E的方程；
(II)若斜率为2的直线与圆E相交于M，N两点，且|MN|=4，求直线的方程．参考答案：
略
19. 求证：当时，．
参考答案：
证明：
设函数，
则，…（3分）
令，解得，…（4分）
当时，，当时，，…（6分）
∴当，取得极小值，…（7分）
∴的单调递增区间是，…（8分）
又当时，…（9分）
∴时，，即，∴成立．…（10分）
略
20. 在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.
（1）已知动点P为圆O：外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若，求动点P的轨迹方程；
（2）若动点Q为椭圆M：外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若，求出动点Q的轨迹方程；
（3）在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）.
参考答案：
解：（1）由切线的性质及可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，长为半径的圆上，且，
进而动点P的轨迹方程为………………………………………………3分
（2）设两切线为，
①当与轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，………………5分
因为直线与椭圆相切，所以，得
化简，
进而
所以……………………………………………7分
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，…………………………9分
②当轴或轴时，对应轴或轴，可知；
因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．……10分
（3）动点Q的轨迹方程是…………………………………12分
21. （13分）已知定义域为的函数是奇函数；
（1）求的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围
参考答案：
解（1） 2分
又由 4分经检验适合题意，故 6
（2）由（1）知
由上式知上为减函数 8分
又是奇函数
从而不等式
11分
即对一切
故△= 13分
22. 本题满分14分）已知二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求；
（2）求展开式中的一次项；
（3）求展开式中所有项的二项式系数之和．
参考答案：
解：（1）前三项的系数为, ……………………1分
由题设，得，………………………2分
即，解得n＝8或n＝1（舍去）．………………………4分
（2）, ………………………6分
令，得
. ………………………8分
所以展开式中的一次项为. ………………………10分
（3）∵，
∴所有项的二项式系数和为. ………………………14分
略。