13ED0302磁场的标势方程
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明理想软铁面为等磁势面
ˆ n ⋅ (B2 − B1 ) = 0, µ2 H2n = µ1H1n ˆ n ×(H2 − H1 ) = 0, H2t = H1t ↓ µ 2 = µ0 ↓ µ1 = µ, µ0 H2n = µH1n H2t µ0 H1t µ→∞ = → = 0 H2n µH1n
n n
2. 边值关系: H 2θ = H 2θ → ϕm 2(R0 ) = ϕ m1(R0 ) B2 R = B1R → − ∂ Rϕm 2|R0 = −∂ Rϕm1|R0 + M 0 cosϑ
毛明编著
解
bn ϕm (R0 ∑ Rn+1 pn = ∑ anR0n pn ←2(R0 )=ϕm1) n n 0 (n +1)bn −∂ ϕ | =−∂ ϕ | +M cosϑ n pn = −∑nan R0 −1 pn + M0 p1 ← r Rm1R0 0 m2 0 r ∑ Rn+2 n n 0 1 1 3 比较较系 a = 得 M0,b1 = M0 R0 , 1 3 3 比较较系 a = b ,(n ≠ 1) 得 n n
2
1 .定解方程 ρ m ρ m = − µ 0 ∇ ⋅M 0 = 0 ∇ ϕ m 1(r, ϑ ) = − → = 0, µ0 ∇ 2 ϕ m 2 (r, ϑ ) = 0 ,
ϕm =
∑(a R
n n
n
+ bn R
−(n +1 )
)pn
↓ ∵ϕ m1(R → ∞) = 0 −(n+1 ) ∴ϕ m1 = ∑ bn R pn ↓ ∵ϕ m 2(R → 0 ) ≠ ∞ n ∴ϕ m 2 = ∑ an R pn
毛明编著
一
单连通空间的磁标势
矢量（矢势）的运算比标量（标势）运算复杂，能否像静电场那样引入标势呢？
∇×H = 0
∇×E = 0 dl ⋅ E = 0 ∫
S
∫ dl ⋅ H =0
S
H = −∇ϕ m
只能在无传导电流的空间引入磁标势，并且： ① 空间中挖除电流所占的空间 ② 环电流虚设壳形壁障，使环路不能环套电流
3 0 3 0
3 4 πR 0 m= M0 3
4 磁标势分布
5
M 0 R cos ϑ R M 0 ⋅ R 1 m⋅R = = ← ϕ m1 = 2 3 3 3R 3 R 4π R 1 1 ϕ m 2 = M 0 cos ϑ = M 0 ⋅ R 3 3 µ 0 3 R ( m ⋅ R ) − mR 2 磁场分布 B1 = − µ 0∇ϕ m1 = 4π R5 1 H 2 = −∇ϕ m2 = − M 0
ϕ
m
=
I 4 π
Ω
①x 点在上方时，Ω > 0； x 点在下方时， < 0。 ②定义磁标势的区域必须扣除线圈围成的一个曲面—假象壁障
毛明编著
end
谢谢配合
作业： 作业： p.133-9,10
毛明编著
3 B2 = µ0 (H 2 + M 0 ) = 2 µ0 M 0 3
① 磁化球外的磁场等效为球心一个磁极子的磁场 ② 球内为均匀场，H线与B线反向, ，H线不连续，, ③ H线从正磁荷发出，终止于负磁荷 毛明编著 ④，
例p.112
求电流线圈的磁标势
可以把线圈看成许多逆时针方向的小电流线圈，
磁点比拟用电偶极子的电势形式 dm = Ids ' ← dm ⋅ r dm = Ids ' I ds ⋅ r dϕ m = → 3 4πr 4π r 3 ds ⋅r = dΩ I r3 dϕ m = dΩ ← 4π
∇× E = 0 1 ∇ ⋅ E = (ρ + ρp ) ξ0 ρp = −∇⋅ P E = −∇⋅ϕ 1 2 ∇ ϕ = − (ρ + ρp ) ξ0
① 单连通空间中，引入假想磁荷ρm，则磁场表达式与电场表达式一一对应， ② 与自由电荷对应的“自由磁荷-磁单极子”，在经典电磁理论中缺席 ③ 磁介质问题中，“磁荷”来源于介质的磁化
切向分量可忽略
ˆ H 2 = nH 2
H = −∇ ϕ m
ˆ H2 = nH2
① H线垂直于理想软铁面 ② 理想软铁面为等磁势面 ③ 磁极面的磁势为常数，作为边界条件可解磁势边值问题
毛明编著
例p.110 ：
求均匀磁化铁球的磁场，磁化矢量为M0
分析：
①球内外的磁荷密度都是零， ∵ ρm = −µ 0∇ ⋅ M0 = 0 ②有边界条件得化简了的通解 ③用磁标势表示边值关系，
∫ dv ρϕ
e
静磁场的有旋性，导致磁场问题要解矢量微分方程 若讨论区内的磁场方程式不包含电流，则磁场方程式与静电场方程形式相同，
毛明编著
§3.2
scalar Potentical of Magnetostatic
静磁标势
Ⅰ单连通空间 Ⅱ假想磁荷 Ⅲ 磁电比拟 Ⅳ 磁标势边值问题 例 例 例
在一定的条件下,若两种不同场的物理量一一对应,并且各自的方程式形式相同, 则一种已知场的计算(或实验)的结果可移植用于另一种场。若磁场比静电场,就称为磁电比拟 要求： ①理解磁荷的意义用处 ②理解应用磁标势的定解条件
毛明编著
四 磁标势的边值问题
静磁场单连通空间v内有若干个均匀介质区域，给定每一区域的磁导率,及磁荷分布， 静磁场单连通空间v内有若干个均匀介质区域，给定每一区域的磁导率,及磁荷分布， 若干个均匀介质区域 则磁场由如下定解方程、边值关系及边界条件唯一确定。 则磁场由如下定解方程、边值关系及边界条件唯一确定。
E = -∇ϕ
毛明编著
二
∇⋅ B = µ0∇⋅ H + µ0∇⋅ M =0← ∇⋅ H =0 −∇⋅ M
∇× H = 0 ρm ∇⋅H = 0+ µ0 ρm = − µ0 ∇ ⋅ M H = −∇ ⋅ ϕ m 1 ∇ 2ϕ m = − ( 0 + ρm ) µ0
∇⋅B=0
假想磁荷
1 ∇ ∇⋅E= (∇⋅D−∇⋅P ←⋅D=ρ ) ξ0 1 ∇⋅E= (ρ−∇⋅P ) ξ0= ϕ mp
ρ 1 dv' m 4π ∫v' R 2 1 m⋅ R = 4π R 3
1 ρ dv' 4πξ ∫v' R 1 P⋅R ϕp = 4πξ R 3
ϕ=
单连通空间中： ① 静磁物理量与静电物理量一一对应 ② 磁场方程与电场方程形式相同， ③ 静电问题的方法可以用到磁场问题中去 ④ 磁标势和“磁荷”的引入，适用于所有磁介质。 ⑤ 介质的磁化是表面出现宏观磁化电流，等价为界面上出现“束缚磁荷”。
l S
回顾准备
∇ ⋅ D = ρ,∫ ds ⋅ D = Q ∇ × E = 0 ,∫ dl ⋅ E =0
S l
D = ξ0 E + P E = -∇ϕ 1 2 ∇ ϕ =− ρ ξ
ϕ 2 = ϕ1， ϕ 2-ϕ1 = ψ ϕ=
分界面
1 ρ(x',y',z') dv ∫V' 4πξ r
W ei =
1 We = ∫ dvρϕ 2
ρmi i = 1,2...均匀介质匀介质 µ0 ϕmi|Sij = ϕmj|Sij ∵B n = B − µ0∂ nϕ2m − µ0 M 2n = − µ0∂ nϕ1m − µ0 M1n ←21n ϕm|Si or ∂ nϕmi|Si ← 边界条件 ∇2ϕmi = −
① 单连通空间中，磁标势的唯一性定理与静电势同 ② 求解中，自然边界条件也可通过磁电比拟写出 ③ 线性均匀磁介质中，边值关系与静电的表达式形式相同，
B2 n = B1n 线性均匀介质 → µ 2 H 2 n H 2t = H1t → ϕ m 2 = ϕ m1
= µ1 H 1n
→ µ2(∂ nϕ m 2 )s = µ1(∂ nϕ m1 )s
④ 注意静电比拟关系及单连通空间的条件，静磁问题和静定问题完全相同，
毛明编著
例p.109
∇ ⋅ B = 0,∫ ds ⋅ B = 0 ∇ × H = j ,∫ dl ⋅ H =I B = µ0 H + µ0 M B = ∇× A ∇ 2 A = − µj
A2 = A1 分界面 A2 -A1 = ∇ ψ µ j (x',y',z') A= ∫v' dv 4π r 1 Wm = ∫ dv j ⋅ A 2 Wmi = ∫ J ⋅ Ae dV
ˆ n ⋅ (B2 − B1 ) = 0, µ2 H2n = µ1H1n ˆ n ×(H2 − H1 ) = 0, H2t = H1t ↓ µ 2 = µ0 ↓ µ1 = µ, µ0 H2n = µH1n H2t µ0 H1t µ→∞ = → = 0 H2n µH1n
n n
2. 边值关系: H 2θ = H 2θ → ϕm 2(R0 ) = ϕ m1(R0 ) B2 R = B1R → − ∂ Rϕm 2|R0 = −∂ Rϕm1|R0 + M 0 cosϑ
毛明编著
解
bn ϕm (R0 ∑ Rn+1 pn = ∑ anR0n pn ←2(R0 )=ϕm1) n n 0 (n +1)bn −∂ ϕ | =−∂ ϕ | +M cosϑ n pn = −∑nan R0 −1 pn + M0 p1 ← r Rm1R0 0 m2 0 r ∑ Rn+2 n n 0 1 1 3 比较较系 a = 得 M0,b1 = M0 R0 , 1 3 3 比较较系 a = b ,(n ≠ 1) 得 n n
2
1 .定解方程 ρ m ρ m = − µ 0 ∇ ⋅M 0 = 0 ∇ ϕ m 1(r, ϑ ) = − → = 0, µ0 ∇ 2 ϕ m 2 (r, ϑ ) = 0 ,
ϕm =
∑(a R
n n
n
+ bn R
−(n +1 )
)pn
↓ ∵ϕ m1(R → ∞) = 0 −(n+1 ) ∴ϕ m1 = ∑ bn R pn ↓ ∵ϕ m 2(R → 0 ) ≠ ∞ n ∴ϕ m 2 = ∑ an R pn
毛明编著
一
单连通空间的磁标势
矢量（矢势）的运算比标量（标势）运算复杂，能否像静电场那样引入标势呢？
∇×H = 0
∇×E = 0 dl ⋅ E = 0 ∫
S
∫ dl ⋅ H =0
S
H = −∇ϕ m
只能在无传导电流的空间引入磁标势，并且： ① 空间中挖除电流所占的空间 ② 环电流虚设壳形壁障，使环路不能环套电流
3 0 3 0
3 4 πR 0 m= M0 3
4 磁标势分布
5
M 0 R cos ϑ R M 0 ⋅ R 1 m⋅R = = ← ϕ m1 = 2 3 3 3R 3 R 4π R 1 1 ϕ m 2 = M 0 cos ϑ = M 0 ⋅ R 3 3 µ 0 3 R ( m ⋅ R ) − mR 2 磁场分布 B1 = − µ 0∇ϕ m1 = 4π R5 1 H 2 = −∇ϕ m2 = − M 0
ϕ
m
=
I 4 π
Ω
①x 点在上方时，Ω > 0； x 点在下方时， < 0。 ②定义磁标势的区域必须扣除线圈围成的一个曲面—假象壁障
毛明编著
end
谢谢配合
作业： 作业： p.133-9,10
毛明编著
3 B2 = µ0 (H 2 + M 0 ) = 2 µ0 M 0 3
① 磁化球外的磁场等效为球心一个磁极子的磁场 ② 球内为均匀场，H线与B线反向, ，H线不连续，, ③ H线从正磁荷发出，终止于负磁荷 毛明编著 ④，
例p.112
求电流线圈的磁标势
可以把线圈看成许多逆时针方向的小电流线圈，
磁点比拟用电偶极子的电势形式 dm = Ids ' ← dm ⋅ r dm = Ids ' I ds ⋅ r dϕ m = → 3 4πr 4π r 3 ds ⋅r = dΩ I r3 dϕ m = dΩ ← 4π
∇× E = 0 1 ∇ ⋅ E = (ρ + ρp ) ξ0 ρp = −∇⋅ P E = −∇⋅ϕ 1 2 ∇ ϕ = − (ρ + ρp ) ξ0
① 单连通空间中，引入假想磁荷ρm，则磁场表达式与电场表达式一一对应， ② 与自由电荷对应的“自由磁荷-磁单极子”，在经典电磁理论中缺席 ③ 磁介质问题中，“磁荷”来源于介质的磁化
切向分量可忽略
ˆ H 2 = nH 2
H = −∇ ϕ m
ˆ H2 = nH2
① H线垂直于理想软铁面 ② 理想软铁面为等磁势面 ③ 磁极面的磁势为常数，作为边界条件可解磁势边值问题
毛明编著
例p.110 ：
求均匀磁化铁球的磁场，磁化矢量为M0
分析：
①球内外的磁荷密度都是零， ∵ ρm = −µ 0∇ ⋅ M0 = 0 ②有边界条件得化简了的通解 ③用磁标势表示边值关系，
∫ dv ρϕ
e
静磁场的有旋性，导致磁场问题要解矢量微分方程 若讨论区内的磁场方程式不包含电流，则磁场方程式与静电场方程形式相同，
毛明编著
§3.2
scalar Potentical of Magnetostatic
静磁标势
Ⅰ单连通空间 Ⅱ假想磁荷 Ⅲ 磁电比拟 Ⅳ 磁标势边值问题 例 例 例
在一定的条件下,若两种不同场的物理量一一对应,并且各自的方程式形式相同, 则一种已知场的计算(或实验)的结果可移植用于另一种场。若磁场比静电场,就称为磁电比拟 要求： ①理解磁荷的意义用处 ②理解应用磁标势的定解条件
毛明编著
四 磁标势的边值问题
静磁场单连通空间v内有若干个均匀介质区域，给定每一区域的磁导率,及磁荷分布， 静磁场单连通空间v内有若干个均匀介质区域，给定每一区域的磁导率,及磁荷分布， 若干个均匀介质区域 则磁场由如下定解方程、边值关系及边界条件唯一确定。 则磁场由如下定解方程、边值关系及边界条件唯一确定。
E = -∇ϕ
毛明编著
二
∇⋅ B = µ0∇⋅ H + µ0∇⋅ M =0← ∇⋅ H =0 −∇⋅ M
∇× H = 0 ρm ∇⋅H = 0+ µ0 ρm = − µ0 ∇ ⋅ M H = −∇ ⋅ ϕ m 1 ∇ 2ϕ m = − ( 0 + ρm ) µ0
∇⋅B=0
假想磁荷
1 ∇ ∇⋅E= (∇⋅D−∇⋅P ←⋅D=ρ ) ξ0 1 ∇⋅E= (ρ−∇⋅P ) ξ0= ϕ mp
ρ 1 dv' m 4π ∫v' R 2 1 m⋅ R = 4π R 3
1 ρ dv' 4πξ ∫v' R 1 P⋅R ϕp = 4πξ R 3
ϕ=
单连通空间中： ① 静磁物理量与静电物理量一一对应 ② 磁场方程与电场方程形式相同， ③ 静电问题的方法可以用到磁场问题中去 ④ 磁标势和“磁荷”的引入，适用于所有磁介质。 ⑤ 介质的磁化是表面出现宏观磁化电流，等价为界面上出现“束缚磁荷”。
l S
回顾准备
∇ ⋅ D = ρ,∫ ds ⋅ D = Q ∇ × E = 0 ,∫ dl ⋅ E =0
S l
D = ξ0 E + P E = -∇ϕ 1 2 ∇ ϕ =− ρ ξ
ϕ 2 = ϕ1， ϕ 2-ϕ1 = ψ ϕ=
分界面
1 ρ(x',y',z') dv ∫V' 4πξ r
W ei =
1 We = ∫ dvρϕ 2
ρmi i = 1,2...均匀介质匀介质 µ0 ϕmi|Sij = ϕmj|Sij ∵B n = B − µ0∂ nϕ2m − µ0 M 2n = − µ0∂ nϕ1m − µ0 M1n ←21n ϕm|Si or ∂ nϕmi|Si ← 边界条件 ∇2ϕmi = −
① 单连通空间中，磁标势的唯一性定理与静电势同 ② 求解中，自然边界条件也可通过磁电比拟写出 ③ 线性均匀磁介质中，边值关系与静电的表达式形式相同，
B2 n = B1n 线性均匀介质 → µ 2 H 2 n H 2t = H1t → ϕ m 2 = ϕ m1
= µ1 H 1n
→ µ2(∂ nϕ m 2 )s = µ1(∂ nϕ m1 )s
④ 注意静电比拟关系及单连通空间的条件，静磁问题和静定问题完全相同，
毛明编著
例p.109
∇ ⋅ B = 0,∫ ds ⋅ B = 0 ∇ × H = j ,∫ dl ⋅ H =I B = µ0 H + µ0 M B = ∇× A ∇ 2 A = − µj
A2 = A1 分界面 A2 -A1 = ∇ ψ µ j (x',y',z') A= ∫v' dv 4π r 1 Wm = ∫ dv j ⋅ A 2 Wmi = ∫ J ⋅ Ae dV