一致连续的定义

一致连续的定义
函数的一致连续性定义是：设f为定义在区间I上的函数，若对任给
的ε>0，都存在δ>0，使对任何’，”∈I，只要，’-”，<δ，就有，
f(’)-f(”)，<ε，则称函数f在区间I上一致连续。

我们应该怎么解读
这个定义呢？
想要更好地解读一致连续性的定义，我们还要拿连续性的定义来做一
个对比。

f在I上连续的定义是：任给ε>0，对任何∈I，都存在
δ=δ(ε,)，只要’∈I且，-’，<δ，就有，f()-f(’)，<ε。

比较两个定义，最大的区别就在于连续性的定义中，δ与相关，可
以把δ看作是ε和二元函数。

当ε取定之后（虽然ε是给的，但一经
给出就取定了），δ就可以看作是函数。

也就是说，不同的要取不同的δ。

而一致连续性的定义中，δ只与ε有关，ε一经取定，δ就变成
一个常数，它与无关。

也就是说，不同的有相同的δ。

那么这个δ到底是一个什么东西呢？重新解题连续性以及一致连续
性的定义，不论是，-’，<δ还是，’-”，<δ，它们都是指两个自变
量的距离小于δ。

而，f()-f(’)，<ε或者，f(’)-f(”)，<ε，同样
指的是两个函数值的(竖直)距离小于ε。

而ε是一个变量，它可以是任
意正数，但我们主要研究它无限小的时候的情况，因为当，f(’)-f(”)，小于一个较小的ε时，肯定也小于一个较大的ε。

换句话说，就是在或
'的附近，有一个区域，这个区域也叫做或'的邻域，这个邻域的半径就是δ，记做U(,δ)或U(',δ)，在这个邻域内的任意或"，都满足，f()-
f(’)，<ε或，f(’)-f(”)，<ε。

这么看来，两个概念还是蛮统一的嘛。

没错，虽然连续性的δ与有关，但所有的对应的无数个δ中，我们只要取最小的一个，为δ’,则
U(,δ’)包含于U(,δ)，也就是说，在以δ’为半径的邻域上，都有，
f()-f(’)，<ε。

注意，此时的δ’就与无关了。

因此连续和一致连续
是有可能统一的。

这就引出了重要的一致连续性定理：若f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续。

简单说成：在闭区间上连续必一致连续。

换句话说，在开区间上，连续就未必一致了。

这是怎么回事呢？这是
因为函数在开区间的端点上有可能趋于无穷大。

这个时候，函数在开区间
端点的附近（极小的区域内），就有可能出现一个ε，记为ε0，使得不
论δ多小，在这个极小的区域内，可能存在两个自变量',"的距离，'-"，<δ，但，f(’)-f(”)，却大于ε0。

这就不符合一致连续性的定义，所
以就算函数在开区间上连续，它也未必在这个开区间上一致连续。

比如y=^2，它在R上是连续的，但却不一致连续。

因为存在一个
ε0=1，不管正数δ多么小，只要n充分大，总有’=n+1、n，”=n，使，’-”，=1、n<δ，而，f(’)-f(”)，=(n+1、n)^2-n^2)=2>ε0，即
f()=^2在R上不一致连续。

不过只要你细想，这里其实是存在争议的。

上面说“不管正数δ多
么小，只要n充分大，。

1、n<δ”，那为什么就不能有δ<1、n，假如
只能有1、n<δ，那是不是就说明1、n就是最小的正数了呢？这显然是
不对的。

反过来说，如果上面的证明是合理的，那么根据连续性的定义，
y=^2在'和"这两个点上，都是不连续的啊。

注意：’是U(",δ)上的任意点，"也是U(',δ)上的任意点)。

这样的话，那不就证明了y=^2是不连
续函数了吗？
老黄不是在否定自己，因为上面的知识都是从教材中提练出来的。

也不是在否定教材，其实数学在“无穷”的概念上本身就存在很多争论。

老黄只是在教材的基础上提出一些疑问罢了。

学数学，就是要保持一个质疑的态度，这样才有可能取得进步，你说呢？。