集合的概念-2021-2022学年高一数学同步学案(人教A版2019必修第一册)(解析版)

1.1集合的概念
【学习要求】
1.通过实例了解集合的含义．
2.掌握集合中元素的三个特性．
3.体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．
4.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．
5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
【思维导图】
【知识梳理】
一、集合的概念
1．元素与集合的概念
(1)元素：我们把研究对象统称为元素．表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示2．集合中元素的特性
⎩⎪⎨⎪
⎧
确定性：作为一个集合的元素必须是确定的，互异性：集合中元素一定是不同的，无序性：集合中的元素是不存在前后顺序的.
二、元素与集合的关系 1．元素与集合的关系
⎩⎪⎨⎪⎧
属于：a 是集合A 的元素，记作a ∈A ，读作“a 属于A ”.
不属于：a 不是集合A 的元素，记作a ∉A ，读作“a 不属于A ”.
【注】 (1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．集合的分类及常用数集
(1)分类⎩⎨⎧
空集(∅)：不含任何元素的集合.
非空集合⎩⎪⎨
⎪
⎧
有限集：含有有限个元素的集合.无限集：含有无限个元素的集合.
(2)常用的数集：
实数集R ⎩⎪⎨
⎪⎧
有理数集Q ⎩⎨⎧
整数集Z ⎩⎨
⎧ ⎭
⎪⎬⎪
⎫正整数集N *{0}自然数集N 负整数集分数集
无理数集
三、集合的表示法
1、列举法定义：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．{a 1，a 2，a 3，…，a n }。

用列举法表示集合应注意的问题： (1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}； (2)元素间用“，”分隔开；元素不能重复，不考虑顺序；
(3)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
(4)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}． 2、描述法定义：如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质．
定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
3、Venn图：在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
【高频考点】
高频考点1. 集合的基本概念
【方法点拨】
1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
【例1】（2021·浙江高一专题练习）下列各对象可以组成集合的是（）
A．与1非常接近的全体实数B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数 相差很小的全体实数
【答案】B
【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错.故选：B
【变式1-1】（2020·江苏高一期中）下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；
③平面上到点O的距离等于12的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（）
A．2组B．3组C．4组D．5组
【答案】A
【详解】①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；
②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；
③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；
④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；
⑤2”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.
【变式1-2】（2020·广东深圳市·高一期末）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A ．所有的正方形 B ．方程210x -=的整数解
C ．我国较长的河流
D ．出席十九届四中全会的全体中央委员
【答案】C
【详解】对于A 选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合； 对于B 选项，“方程210x -=的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；
对于C 选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合； 对于D 选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合.故选：C. 【变式1-3】（2021.福建省高一期中）下列各组对象不能组成集合的是（ ） A ．2021年欧洲杯参数队伍 B ．中国文学四大名著 C ．我国的直辖市 D ．抗日战争中著名的民族英雄 【答案】D
【详解】根据集合的性质，要求元素是确定的，而D 中什么情况算是著名，没有明确的界限，不确定，所以错误.故选：D.
【变式1-4】[多选题]（2020秋•六合区校级月考）考察下列每组对象哪几组能够成集合？（ ） A ．比较小的数 B ．不大于10的偶数
C ．所有三角形
D ．高个子男生 【解答】解：在A 中，比较小的数，没有确定性，故A 不能构成集合； 在B 中，不大于10的偶数，有确定性，故B 能构成集合； 在C 中，所有三角形，具有确定性，故C 能构成集合；
在D 中，高个子男生，没有确定性，故D 不能构成集合．故选：BC ．
高频考点2 . 判断元素与集合的关系
【方法点拨】
判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征． 直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
【例2】（2021·浙江高一期末）已知集合{
}
2
0M x
x x =+=∣，则（ ） A ．{}0M ∈ B ．M ∅∈
C ．1M -∉
D ．1M -∈
【答案】D
【详解】因为集合{}
{}2
001M x
x x =+==-∣，，所以1M -∈，故选：D.
【变式2-1】（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）下列关系中①0N ∈；②2
7
Z ∈；③3Z -∉；④Q π∉正确的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【详解】①因为0是自然数，所以0N ∈，故正确；②因为
27
不是整数，所以2
7Z ∉，故错误；
③因为3-是整数，所以3Z -∈，故错误；④因为π是无理数，所以Q π∉，故正确；故选：C. 【变式2-2】（2020·北京市第四十四中学高一期中）已知3a =
，{|A x x =≥，则（ ）
A ．a A ∈
B ．a A ∉
C ．{}a A =
D ．{}a a ∉
【答案】A
【详解】由题意，集合{|A x x =≥
，且3a =
，因为3>a A ∈.故选：A.
【变式2-3】（2020·上海市杨浦高级中学高一期中）非空集合A 具有下列性质：①若,x y A ∈，则x
A y
∈；②若,x y A ∈，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉（2）2020
2021
A ∈（3）若,x y A ∈，则xy A ∈（4）若,x y A ∈，则x y A -∉ A ．（1）（3）
B ．（1）（4）
C ．（1）（2）（3）
D ．（2）（3）（4）
【答案】C
【详解】对于（1），若1A -∈，则
1
11
A -=-∈，因此110A -+=∈；而对于1x A =-∈，0y A =∈时，
1
-显然无意义，不满足x A y ∈，所以1A -∉，故（1）正确；
对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1x
A x
=
∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，2020
2021
A ∴
∈，（2）正确； 对于（3），若x 、y
A ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1
A y
∈，
所以
1x xy A y
=
∈，（3）正确；
对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取 2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误.故选：C.
【变式2-4】已知集合A ＝{x |x ＝m n ，m ，n ∈Z }．（1）试分别判断x 1，x 2，x 3
＝（1﹣2
）2与集合A 的关系；（2）设x 1，x 2∈A ，证明：x 1•x 2∈A ．
【解答】（1）解：m ＝0，n ＝﹣1时，
；∴x 1∈A ；
，
；∴x 2∉A ；
；∴x 3∈A ；
（2）证明：∵x 1，x 2∈A ；∴，m i ，n i ∈Z ，i ＝1，2；
∴
；
∵m 1m 2+2n 1n 2，m 1n 2+n 1m 2∈Z ；∴x 1•x 2∈A ．
高频考点3 . 利用集合中元素的特异性求参数
【方法点拨】
①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； ②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
【例3】（2020秋•花都区校级月考）若集合A ＝{x |（m ﹣2）x 2+2mx ﹣1＝0}有且仅有1个元素，则实数m 的值是（ ） A ．±2或1
B ．﹣2或1
C ．2或1
D ．﹣2
【解答】解：∵集合A ＝{x |（m ﹣2）x 2+2mx ﹣1＝0}有且仅有1个元素，
①当m ﹣2＝0时，m ＝2, ②当时，m ＝﹣2或m ＝1，
综上，m ＝±2或m ＝1,故选：A ．
【变式3-1】（2021·安徽省桐城中学高一月考）已知集合A ＝{a ，|a |，a －2}，若2∈A ，则实数a 的值为（ ）
A ．－2
B ．2
C ．4
D ．2或4 【答案】A
【详解】依题意2A ∈，
若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠；
若2=a ，则2a =-或2a =（舍去），此时{}2,2,4A =--，符合题意； 若22a -=，则4a =，而4a =，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠. 综上所述，a 的值为2-.故选：A
【变式3-2】（2020·广东中山市迪茵公学高一月考）设集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是________ 【答案】25m <
【详解】解：因为集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，
311m ∴⨯-<且321m ⨯-；解得25m <；故答案为：25m <．
【变式3-3】（2021·重庆高一月考）已知集合{
}
2
20A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为________ 【答案】{}1,0,1-
【详解】由题意，①当0m =时，方程为20x -=，解得0x =，满足{}0A =仅有两个子集； ②当0m ≠时，方程有两个相等实根，所以2440m ∆=-=，解得1m =±； 所以实数m 的取值构成的集合为：{}0,1,1-．故答案为：{}0,1,1-．
【变式3-4】（2020·浙江省高一课时练习）已知集合{
}
2
54,A y
y x x x R ==-+-∈∣，则有（ ）. A ．1A ∈且4A ∈ B ．1A ∈但4A ∉
C ．1A ∉但4A ∈
D ．1A ∉且4A ∉
【答案】B
【详解】由2
2
599
54244
y x x x ⎛
⎫=-+-=--+
⎪⎝
⎭，即集合A 9(,]4=-∞，
则1A ∈，4A ∉.故选：B
高频考点4. 用列举法表示集合
【方法点拨】
1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
【例4】（2021·山东省淄博实验中学高三月考）集合*
63A x N Z x ⎧
⎫
=∈∈⎨⎬-⎩
⎭
，用列举法可以表示为（ ） A ．{}1,2,4,9 B ．{}1,2,4,5,6,9
C ．{}6,3,2,1,3,6----
D ．{}6,3,2,1,2,3,6----
【答案】B 【详解】因为
6
3Z x
∈-且*x ∈N ，所以x 的可取值有：1,2,4,5,6,9， 所以列举法表示集合为：{}1,2,4,5,6,9，故选：B.
【变式4-1】（2021·河北石家庄市·石家庄高一月考）用列举法表示集合{
}
2
210x x x -+=∣为（ ）
A ．{1,1}
B ．{1}
C ．{1}x =
D ．{
}
2
210x x -+=
【答案】B
【详解】方程2210x x -+=的解是1x =，所以集合{}
{}2
2101x
x x -+==∣，故选：B 【变式4-2】（2021·上海高一专题练习）下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示．
A ．只有①和④
B ．只有②和③
C ．只有②
D ．以上语句都不对 【答案】C
【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C .
【变式4-3】（2020·上海高一期末）定义{(,,),,}A B C x y z x A y B z C ⨯⨯=∈∈∈∣．已知{1,2}A =，
{3,4}B =，{5}C =，用列举法表示A B C ⨯⨯=________．
【答案】{(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}．
【详解】因为{1,2}A =，{3,4}B =，{5}C =，所以A B C ⨯⨯={(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}， 故答案为：{(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5)}.
【变式4-4】（2020秋•西安区校级月考）用列举法表示下列集合
（1）{x ∈N *|x 是15的约数} （2）{x |x 2﹣2x ﹣8＝0} （3）{x |x 为不大于10的正偶数}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N} （5）A＝{x∈N|∈N} （6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．【解答】解：（1）{x∈N*|x是15的约数}，列举法表示为{1，3，5，15}
（2）{x|x2﹣2x﹣8＝0}，列举法表示为{﹣2，4}
（3）{x|x为不大于10的正偶数}，列举法表示为{2，4，6，8，10}
（4）{a|1≤a＜5，a∈N}，列举法表示为{1，2，3，4}
（5）A＝{x∈N|∈N}，列举法表示为{1，5，7，8}
（6）{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．列举法表示为{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}
高频考点5 . 用描述法表示集合
【方法点拨】
①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
②用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.；若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
【例5】（2020秋•镜湖区校级月考）用描述法表示下列集合．
（1）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（2）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（3）所有三角形构成的集合．
【解答】解：（1）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．
（2）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}
（3）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．
【变式5-1】（2020·浙江杭州市·高一月考）用描述法表示奇数集合：
①A＝{a|a＝2k+1，k∈Z};②B＝{a|a＝2k﹣1，k∈Z};③C＝{2b+1|b∈Z};④D＝{d|d＝4k±1，k∈Z}．
上述表示方法正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意得：①②表示奇数集合，③的表示方法错误，
④D＝{x|x＝4k±1，k∈z}，表示除以4余1的整数或除以4余3的整数，
∵一个奇数除以4之后，余数不是1就是3，故④表示奇数集合；故选：C．
【变式5-2】（2020秋•黄浦区校级月考）直角坐标平面中除去两点A（1，1）、B（2，﹣2）可用集
合表示为（ ）
A ．{（x ，y ）|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠﹣2}
B ．{（x ，y ）|
或
}
C ．{（x ，y ）|[（x ﹣1）2+（y ﹣1）2][（x ﹣2）2+（y +2）2]≠0}
D ．{（x ，y ）|[（x ﹣1）2+（y ﹣1）2]+[（x ﹣2）2+（y +2）2]≠0}
【解答】解：直角坐标平面中除去两点A （1，1）、B （2，﹣2），其余的点全部在集合中， A 选项中除去的是四条线；B 选项中是一个或字，没有同时排除两点； C 选项符合题意；D 选项不能同时排除A ，B 两点．故选：C ．
【变式5-3】（2020秋•平罗县校级月考）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．
【解答】解：图中的阴影部分的点设为（x ，y ）则 {x ，y ）|﹣1≤x ≤0，
y ≤0或0≤x ≤2，0≤y ≤1}＝{（x ，y ）|xy ≥0且﹣1≤x ≤2，
y ≤1}
故答案为：{（x ，y ）|xy ≥0，且﹣1≤x ≤2，
y ≤1}．
【变式5-4】（2020·上海师范大学附属中学闵行分校高一期中）被3除余1的所有整数组成的集合用描述法表示为_________． 【答案】{|31,}x x k k Z =+∈
【详解】因为被3除余1的整数可表示为：31,k k Z +∈，
所以用描述法表示为集合则有：{}
31,x x k k Z =+∈，故答案为：{}
31,x x k k Z =+∈.
高频考点6 . 集合中的新定义问题
【方法点拨】
集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型．
解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法．
【例6】（2021·云南昆明市·昆明一中高一期中）若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”.
（1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1A x
∈. 给出以下命题：①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”；②Z 是“好集合”；③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；⑤设集合A 是“好集合”，若x 、y A ，则x y A +∈；其中真命题的序号是________. 【答案】③④⑤
【详解】对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误；
对于命题②，2Z ∈，但12
Z ∉，②错误； 对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，③④正确； 对于命题⑤，当y A 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈，
当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确.故答案为：③④⑤.
【变式6-1】（2021•黄浦区校级期中）定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有（m ﹣x ）∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1，2，3，4，5，6，7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有 个．
【解答】解：①含有1个元素的“8和集合”：{4}；
②含有2个元素的“8和集合”：{1，7}，{2，6}，{3，5}；
③含有3个元素的“8和集合”：{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；
④含有4个元素的“8和集合”：{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}；
⑤含有5个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，4}，{1，7，3，5，4}，{2，6，3，5，4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5}；
⑦含有7个元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5，4}．
【变式6-2】（2021•黄陵县校级期末）设集合A ＝{﹣2，1}，B ＝{﹣1，2}，定义集合A ⊗B ＝{x |x ＝x 1x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A ⊗B 中所有元素之积为（ ）
A ．﹣8
B ．﹣16
C ．8
D ．16
【解答】解：∵集合A ＝{﹣2，1}，B ＝{﹣1，2}，
定义集合A ⊗B ＝{x |x ＝x 1x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A ⊗B ＝{2，﹣4，﹣1}，
故A ⊗B 中所有元素之积为：2×（﹣4）×（﹣1）＝8．故选：C ．
【变式6-3】（2021•定远县期中）对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ．则在此定义下，集合M ＝{（a ，b ）|a ※b ＝16}中的元素个数是（ ）
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
【解答】解：（1）a ，b 都是正偶数时：a 从2，4，6，8，10，12，14任取一个有7种取法，而对应的b 有一种取法；∴（a ，b ）有7种取法，即这种情况下集合M 有8个元素；
（2）a ，b 都为正奇数时：a 从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b 有一种取法；∴（a ，b ）有8种取法，即这种情况下集合M 有8个元素；
（3）当m ＝16，n ＝1，和m ＝1，n ＝16，即这种情况下集合M 有两个元素；
∴集合M 的元素个数是7+8+2＝17．故选：B ．
【变式6-4】（2020·浙江省高一课时练习）设⊕是集合A 上的一个运算，若对任意,a b A ∈，有
a b A ⊕∈，
则称A 对运算⊕封闭，若集合A 是由正整数的平方组成的集合，即1,4,9,16,25,{}A =⋅⋅⋅.若⊕分别是：①加法，②减法，③乘法，④除法，则A 对运算⊕封闭的序号有________.
【答案】③
【详解】设a ，b 是两个正整数，则22
,a b 的和不一定属于A ，如22125A +=∉； 22,a b 的差也不一定属于A ，如22123A -=-∉；22
,a b 的商也不一定属于A ，如222439A =∉； 但由于222()a b ab ⋅=，并且当a ，b 是正整数时，ab 也是正整数，所以222
()a b ab A ⋅=∈，故③满足条件.故答案为：③
易错点1. 忽略集合中元素的互异性
【方法点拨】
在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
【例1】若{}2213,1,1a a a -∈---，则a =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．0或1 【答案】C
【解析】因为{}
2213,1,1a a a -∈---，所以有211a a --=-或211a -=-.
当211a a --=-时，解得0a =或1a =，
当0a =时，2211a a a --=-，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以1a =.
当211a -=-时，解得0a =，由上可知舍去，综上：1a =.故选：C
【变式1】已知{}31,2,A x
=，且x A ∈，则实数x 的取值集合是______． 【答案】{}1,0,2-
【解析】当1x =时，31x =，由集合元素互异性知，不合题意
当2x =时，38x =，满足题意
当3x x =时，0x =或1x =-或1x =（舍）
综上所述：实数x 的取值集合是：{}1,0,2-
【变式2】设集合{}2,2,3A a a =+-，{}
23,21,1B a a a =--+，{3}A B ⋂=-，求a 的值．
【答案】0a =
【解析】∵{3}A B ⋂=-，∴3B -∈．∵210a +>，∴33a -=-或213a -=-，0a ∴=或1a =-. ①当0a =时，{0,2,3}A =-，{3,1,1}B =--满足{3}A B ⋂=-；
②当1a =-时，{1,1,3}A =-与集合元素的互异性矛盾，故舍去．综上，0a =．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2020·浙江省高一期末）已知集合{}
1
1x x A =-＜＜，下列选项正确的是（ ） A ．A ∅∈ B ．1A -∈ C ．0A ∈ D ．1A ∈
【答案】C 【详解】因为{}1
1x x A =-＜＜，且0(1,1)∈-，所以0A ∈.故选：C 2．（2020·北京高一期末）方程组2202x y x y +=⎧⎨
+=⎩的解集是（ ） A ．{(1，﹣1),(﹣1，1)}
B ．{(1，1),(﹣1，﹣1)}
C ．{(2，﹣2),（﹣2，2)}
D ．{(2，2),(﹣2，﹣2)} 【答案】A
【详解】方程组2202x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩或11
x y =-⎧⎨=⎩，其解集为 {(1,1),(1,1)}--．故选：A ． 3．（2020·湖北省高一期末）已知集合(){}22,2,,A x y x y x N y N =
+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．8
D ．9 【答案】B
【详解】
由题意可得(){}
()()()(){}22,2,,0,0,0,1,1,0,1,1A x y x y x N y N =+≤∈∈=， 因此，集合A 中有4个元素.故选：B.
4．（2020·浙江省高一课时练习）下面四个命题正确的个数是（ ）.
①集合*N 中最小的数是1；②若*N a -∈，则*N a ∈；
③若**N ,N a b ∈∈，则+a b 的最小值是2；④296+=x x 的解集是{}3,3.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C
【详解】*N 是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；
当0a <时，*a N -∈，但*a N ∉，故②错误；
若*a N ∈，则a 的最小值为1.又*b N ∈，则b 的最小值为1，当a 和b 都取最小值时，+a b 取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C
5．（2020·浙江省高一课时练习）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}
5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20111∈；②[]33-∈；③若整数,a b 属于同一“类”，则[]0a b -∈；④若[]0a b -∈，则整数,a b 属于同一“类”.其中，
正确结论的个数是（ ）.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【详解】对于①，
201154021÷=⋅⋅⋅，[]20111∴∈，①正确； 对于②，352-=-+，即3-被5除余2，[]33∴-∉，②错误；
对于③，设15a n k =+，25b n k =+，()125a b n n ∴-=-，能被5整除，[]0a b ∴-∈，③正确； 对于④，设5a b n -=，n Z ∈，即5a n b =+，n Z ∈，不妨令5b m k =+，m Z ∈，0,1,2,3,4k =， 则()555a n m k m n k =++=++，m Z ∈，n Z ∈，0,1,2,3,4k =，
,a b ∴属于同一“类”， ④正确；综上所述：正确结论的个数为3个.故选：C .
6．（2020·常德市第二中学高三其他）已知集合{}21,21,1P a a =-+-，若0P ∈，则实数a 的取值集合为（ ）
A ．1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
B ．{}1,1-
C ．1,12⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭ D ．1
,1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
【答案】C
【解析】
【详解】当210a +=时，12a =-，此时2314
a -=-，满足题意； 当210a -=时，1a =或1-；
若1a =，213a +=，满足题意；若1a =-，211a +=-，不满足互异性，不合题意；
∴实数a 的取值集合为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
.故选：C .
7．（2021·上海市实验学校高一期末）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b x ==+∈≠Q ，在下列集合中；（1）{|2,}y y x x X =∈；（2）{|}
y y x X =∈；（3）1{|,}y y x X x =∈； （4）2{|,}y y x x X =∈；与X 相同的集合有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B
【详解】对于（1），由2(a p +=+得2,2p a q b ==，一一对应，则{|2,}y y x x X X =∈=
对于（2），
2a b p =+=+得,2a p d q ==，一一对应，{|}y y x X X =∈=
对于（3），
222222a b p a b a b ⎛⎫=+-=+ ⎪--⎝⎭得2222
,22a p q a b b b a ==---，一一对应，则1{|,}y y x X X x =
∈=
对于（4），1X -，但方程21x -=无解，则2{|,}y y x x X =∈与X 不相同，故选：B 8．（2020·湖南长沙市·长郡中学高一课时练习）用()d A 表示集合A 中的元素个数，若集合()(){}2210A x x ax x ax =--+=，{}0,1B =，且()()1d A d B -=.设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()d M =（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．4 【答案】A
【详解】由题意，()()1d A d B -=，()2d B =，可得()d A 的值为1或3，
若()1d A =，则20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，符合题意 若()3d A =，若20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，不合题意，故20x ax -=有二根，一根是0，另一根是a ，所以210x ax -+=必仅有一根，所以2Δ40a =-=，解得2a =±，此时210x ax -+=的根为1或1-，符合题意，
综上，实数a 的所有可能取值构成集合{0,2,2}M =-，故()3d M =． 故选：A ．
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2020·浙江宁波市·余姚中学高一月考）已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 可以取（ ）
A ．1a ≥
B ．0a =
C ．1a ≤-
D ．11a -≤≤ 【答案】ABC
【详解】因集合{}
220A x ax x a =-+=中至多有一个元素，即方程220ax x a -+=至多有一个根，
当0a =时，方程可化为方程20x -=，解得0x =，满足题意；
当0a ≠时，若方程无解，则()22224440a a ∆=--=-<，解得1a >或1a <-；
若方程220ax x a -+=只有一个根，则()22224440a a ∆=--=-=，解得1a =±，
综上实数a 的范围为1a ≥或0a =或1a ≤-；即ABC 都正确，D 错误.故选：ABC.
10．（2021·太原市·山西实验中学高一开学考试）已知集合{}
21,A x x m m Z ==-∈，{}2,B x x n n Z ==∈，且1x 、2x A ∈，3x B ∈，则下列判断正确的是（ ）
A ．12x x A ∈
B ．23x x B ∈
C ．12x x B +∈
D ．123x x x A ++∈
【答案】ABC 【详解】因为集合{}21,A x x m m Z ==-∈，{}2,B x x n n Z ==∈，
所以集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，1x 、2x 是奇数，3x 是偶数，
A 项：因为两个奇数的积为奇数，所以12x x A ∈，A 正确；
B 项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以23x x B ∈，B 正确；
C 项：因为两个奇数的和为偶数，所以12x x B +∈，C 正确；
D 项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以123x x x B ，D 错误，故选：ABC. 11．（2020·江苏镇江市·丹徒高中高一月考）设非空集合}{S x m x n =≤≤满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下命题，其中真命题是（ ）
A ．若m =1，则{}|1S x x =≥
B ．若12m =-，则14≤n ≤1
C ．若12n =，则02m -≤≤
D ．若n =1，则10m -≤≤
【答案】BC 【详解】∵非空集合}
{S x m x n =≤≤满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .
∴当m ∈S 时，有m 2∈S ，即2m m ≥，解得：m 1≥或0m ≤；
同理：当n ∈S 时，有n 2∈S ，即2n n ≤，解得： 01n ≤≤. 对于A: m =1,必有m 2
=1∈S ，故必有01n m n ≥⎧⎨≤≤⎩解得：1m n ==，所以{}1S =，故A 错误； 对于B: 12m =-,必有m 2=14∈S ，故必有201
n m n ⎧≥⎨≤≤⎩，解得：114n ≤≤，故B 正确；
对于C: 若12n =，有221212m m m m ⎧≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎩
，解得：0m ≤，故C 正确； 对于D: 若n =1，有2211m m m m ≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
，解得：10m -≤≤或1m =，故D 不正确.故选：BC
12．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考）设a ，b ，c 为实数2
1()()y x a x bx c =+++，22(1)(1)y ax cx bx =+++，记集合{}10,S x y x R ==∈，{}20,T x y x R ==∈，若()Card S 、()Card T 分别表示集合S 、T 的元素的个数，则下列结论能成立的是（ ）
A ．()1Card S =，()0Card T =
B ．()2Card S =，()3Card T =
C ．()2Card S =，()2Card T =
D ．()1Card S =，()1Card T = 【答案】ACD
【详解】A ：当()0Card T =时，方程()()()
2110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240b c -<或0a b c ===；
当0a b c ===时，()3
f x x =，由()0f x =得0x =，此时()1Card S =； 当0a =，240b c -<时，()()
2=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时()1Card S =；故存在A 成立；
B ：当()3Card T =时，方程()()()
2110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，即()()
2000110ax cx bx +++=，则00x ≠，且200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()03010g x x ==，故01x 为方程()0f x =的根，故()0f x =有三个根，即()3Card T =时，必有()3Card S =，故不可能是()2Card S =，()3Card T =；故B 错；
C ：当20040a c b c ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩
时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-； 由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a =-或2=-x b
；只需2b a ≠，即可满足()2Card S =，
()2Card T =；故存在C 成立；
D ：当2040
a b c ≠⎧⎨-<⎩时，由()()()20=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即()1Card S =；由()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1x a
=-；即()1Card T =；故存在D 成立； 故选：ACD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·浙江省高一课时练习）若实数集合{1，2，3，x }的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为______ . 【答案】32
- 【详解】不妨设0x ≥，可得最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，
而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件，所以0x <，即x 为最小元素，
于是3123x x -=+++，解得32
x =-. 14．（2021·山东高一课时练习）给定集合A ，若对于任意,a b A ∈，有a b A +∈且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合{4,2,0,2,4}A =--为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合{|3,}A x x k k ==∈Z 为闭集合.其中正确的是_________.（填序号）
【答案】④
【详解】①中取4,4a b =-=，则8a b A -=-∉，故①不成立；
②中取1,3a b ==，此时2a b -=-，不是正整数，故②不成立；
③中取11a b =+=-2a b +=，不是无理数，故③不成立；
④中取()()11223,3a k k b k k =∈=∈Z Z ，则()()12123,3a b k k A a b k k A +=+∈-=-∈，故④成立.故答案为：④
15．（2020·上海高一专题练习）已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.
【答案】2或32
【详解】由题意：2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=中元素，即为2()(1)0x a x ax a --+-=的解，
∴0x a -=或210x ax a -+-=，可知：1x a =或23x x a +=
∴当23x x ≠时，23a =；当23x x =时，332a =， ∴2a =或32a =，故答案为：2或32
16．（2020·上海高一专题练习）{}
2,A y y x a x R ==+∈，1A ∈，则a 的取值范围_________；{}2(,),A x y y x a x R ==+∈，(1,2)A ∈，则a =____．
【答案】(],1-∞ 1
【详解】①由1A ∈得22111x a a x +=⇒=-≤；
②由(1,2)A ∈得2211a a =+⇒= 故答案为：(],1-∞；1
16．（2021·徐汇区·上海中学高一期中）已知集合{}1,2,5,7,13,15,16,19A =，设,i j x x A ∈，若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，则实数k 的所有可能取值是________
【答案】{}3,6,14
【详解】将i j x x k -=表示为()
,,i j x x k ，可得如下结果： ()()()()()()()19,1,18,16,1,15,15,1,14,13,1,12,7,1,6,5,1,4,2,1,1，
()()()()()()19,2,17,16,2,14,15,2,13,13,2,11,7,2,5,5,2,3，
()()()()()()19,5,14,16,5,11,15,5,10,13,5,8,7,5,2,19,7,12，
()()()()()()16,7,9,15,7,8,13,7,6,19,13,6,16,13,3,15,13,2，
()()()19,15,4,16,15,1,19,16,3，
其中k 为3，6，14都出现了3次，所以若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解， 则k 的取值集合为{}3,6,14，故答案为：{}3,6,14
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成
的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【详解】（1）用描述法表示为{x |2<x <5且x ∈Q }．
（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示为{x |x =n 2，n ∈N }．
（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
18．（2021·江苏省江浦高级中学高一月考）已知集合{
}
2
320,A x
ax x a R =-+=∈∣．问是否存在a ，使:（1）A 中只有一个元素；（2）A 中至多有一个元素；
（3）A 中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由． 【答案】（1）存在，0a =或98a =
；（2）存在，0a =或9
8a ≥；（3）存在，98
a ≤.
【详解】（1）当0a =时，方程只有一解，即2
3
x =； 当0a ≠，且980a ∆=-=，即9
8
a =时，方程有两个相等的根，A 中只有一个元素. 综上所述：当0a =或9
8
a =
时，A 中只有一个元素. （2）A 中至多有一个元素，即A =∅或A 中只有一个元素.
由（1）可知0a =或9
8a =
时A 中只有一个元素， 而980a ∆=-<，即9
8a >时方程无解，A 为空集，
综上所述：当0a =或9
8
a ≥时，A 中至多有一个元素.
（3）A 中至少有一个元素，即方程有解，
0a ≠时，0∆≥，即98a ≤，其中98a =时，方程有两个相等的根，1243x x ==，43A ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
.
若98a <
，方程有两个不相等的根，132x a =，232x a
+=，此时
A =⎪⎪⎩⎭
.
0a =时，方程有根23x =
，23A ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
. 综上所述：9
8
a ≤
时，A 中至少有一个元素. 19．（2020·上海高一课时练习）已知集合22
{|,,}A x x m n m n Z ==-∈，
（1）求证：任何奇数都是A 中的元素；（2）判断偶数42()k k Z -∈是否为A 的元素？请说明理由； （3）求证：属于A 的两个元素之积仍属于A ；（4）试求A 中第2008个正整数.
【答案】（1）证明见解析；（2）数字42k -不是集合A 中的元素；答案见解析；（3）证明见解析；
（4）2677.
【详解】（1）由奇数表示为()2
2211k k k +=+-，k Z ∈，因此可知任何奇数都是集合A 中的元素. （2）分析集合A 的性质，可得2
2
()(),,x m n m n m n m n Z =-=+⋅-∈，当m ，n 同奇或同偶时，
m n -，m n +均为偶数，()()m n m n -+为4的倍数；当m ，n 一奇，一偶时，m n -，m n +均为
奇数，()()m n m n -+为奇数，所以42()k k Z -∈或为偶数，或为4的倍数，因此数字42k -不是集合A 中的元素；
（3）不妨任意取,x A y A ∈∈，则2
2
2
2
,,,,,x a b y c d a b c d Z =-=-∈，所以
222222()()()()x y a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅-=+-+，因为ac bd Z +∈，()bc ad Z -+∈，所以可
知属于集合A 的两个元素之积仍属于集合A ；
⑷由⑴、⑵、⑶可知相邻的4个整数中必有两个奇数和一个4的倍数，则这4个数中有3个是集合A 的元素，而分析200866931=⨯+，故A 中第2008个正整数应该是669412677⨯+=.
20．（2021·江苏省响水中学高一月考）由实数组成的集合A 具有如下性质：若a A ∈，b A ∈且a b <，那么1a A b +
∈.（1）若集合A 恰有两个元素，且有一个元素为4
3
，求集合A ； （2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A ；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）4
{4,}3A =或44{,}39
A =或4{3A =；（2）存在，A =.
【详解】（1）集合A 恰有两个元素且
43
A ∈.不妨设集合4
{,}3A x =，
当43
x <时，由集合A 的性质可知，314x A +∈，则314x x +=或34
143x +=， 解得4x =(舍)或49x =，所以集合44
{,}39
A =
当43
x >
时，由集合A 的性质可知，413A x +∈，则413x x +=或44
133x +=，
解得36x +=
或36
x -=(舍)或4x =所以集合4{,4}3A =或43{,}36A +=
综上所述：4
{4,}3
A =或44{,}39
A =或4{3A =.
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A {0,,}a b =，即0A ∈， 当0a >时，则10a +
无意义，当0b >时，则10
b
+无意义，。