Ch2_4差分与等距节点插值

2010-122010-12-31
∆3 f i = 3!⋅h 3
6
∇3 fi +3 ∇2 fi +2 − ∇2 fxi +3 = = 3 3!⋅h3 − 3 ⋅ 2h
依此类推
∆m f i ∇m fi +m f [ xi , xi + 1 ,L , xi + m ] = m = m!⋅h m!⋅hm ∆k f 0 f [ x0 , x1 ,L , xk ] = k !⋅h k
2010-122010-12-31
表
4―９
16
利用牛顿前差公式
h 0.1 sin 0.57891 ≈ 0.38942 + 1.7891 × 0.090001 1.7891 × (1.7891 − 1) + × ( −0.00480) 2! 1.7891 × (1.7891 − 1)(1.7891 − 2) + 3! × ( −0.00083) = 0.54711
∇fi +1 − ∇fxi +2 ∇2 fi+2 = = 2 − 2h 2h2 f [ xi , xi + 1 , xi + 2 ] − f [ xi + 1 , xi + 2 , xi + 3 ] f [ xi , xi + 1 , xi + 2 , xi + 3 ] = xi − xi + 3
∆2 f i − ∆2 f i + 1 = − 3 ⋅ 2h3
3
依此类推
∆m f k = ∆m − 1 f k + 1 − ∆m − 1 f k
为f ( x )在 xk 处的m阶向前差分
∇ m f k = ∇ m − 1 f k − ∇ m − 1 f k − 1 为f ( x )在 xk 处的m阶向后差分
可以证明 如
∆m f k = ∇ m f k + m
ω k (x ) = ∏ ( x − x j ) = ∏ ( x0 + th − x0 − jh ) = ∏ (t − j )h
j =0
j =0 j =0
k −1
k −1
k −1
则插值公式 化为
N n (x ) = f 0 + ∑ f [ x0 , x1 ,L , xk ]ω k ( x )
k =1
3
x2 f 2
∆f 2
x3 f 3 x4 f 4
2010-122010-12-31
∆ f1
2
∇3 f3
∇ f3
2
∆ f1
3
∆ f0
4
∆ 3
∆ f2
2
∇3 f4 ∇2 f4
∇4 f4
∇f4
5
在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系
fi + 1 − fi ∆f i ∇fi +1 = f [ xi , xi + 1 ] = = h xi + 1 − xi h f [ xi , xi + 1 ] − f [ xi + 1 , xi + 2 ] ∆f i − ∆f i +1 ∆2 f i f [ xi , xi + 1 , xi + 2 ] = = = 2 xi − xi + 2 − 2h 2h 2
f (0.048) 的近似值. 的近似值.
2010-122010-12-31 19
f ( xk ) 1.00000 0.99500
∆f (∇f ) −0.00500
∆2 f (∇2 f )
∆3 f (∇3 f )
∆4 f (∇4 f )
∆5 f (∇5 f )
−0.00993 −0.01493 0.00013 −0.00980 −0.02473 0.00025 −0.00955 −0.03428 0.00035 −0.00920 −0.04348 0.00044 −0.00876 −0.05224 0.00009 0.00010 −0.00001 0.00012 −0.00002
∏ (t + j )]
j =0 n
k −1
插值余项为
f (ξ ) n + 1 h ∏ (t + j ) Rn ( xn + th ) = ( n + 1)! j =0
( n + 1)
2010-122010-12-31
12
t(t +1) 2 Nn (xn + th) = fn + t∇fn + ∇ f0 +L 2!
2010-122010-12-31 17
t = x − xo = 0.57891 − 0.4 = 1.7891 s
利用牛顿后差公式
x − xn 0.57891 − 0.7 t= = = −1.2109 h 0.1 sin 0.57891 ≈ 0.64422 + ( −1.2109) × 0.07958 ( −1.2109) × ( −1.2109 + 1) + × ( −0.00563) 2! ( −1.2109) × ( −1.2109 + 1) × ( −1.2109 + 2) + 3! × ( −0.00083) = 0.54711
n
2010-122010-12-31
10
称为牛顿前插公式 牛顿前插公式
t(t −1) 2 Nn (x0 + th) = f0 + t∆f0 + ∆ f0 +L 2!
t(t −1)L(t − n +1) n + ∆ f0 n!
余项公式
t(t −1)L(t − n) n+1 (n+1) Rn (x) = h f (ξ ), ξ ∈(x0 , xn ). (n +1)!
xk 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f (xk ) 1.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534
为使用牛顿插值公式，先构造差分表. 为使用牛顿插值公式，先构造差分表. 由于 x = 0.048 接近 x0，所以应用牛顿向前插值公式计算
2010-122010-12-31
13
三、例题分析
例1 分别作出 解: f(x)=x2+x+1 的前差和后差表。
前差表见表4―7; 后差表见表4―8
2010-122010-12-31
表
4―7
14
表 4―8
2010-122010-12-31
15
例2 给出正弦函数sinx由x=0.4到0.7的值(h=0.1), 试分别用牛顿前差和后差公式计算sin0.57891 的近似值。 解： 作差分表4―9。
0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534
(注意：表中带下划线的数据为 x0 点的各阶向前差分，双下 注意： 点的各阶向前差分， 注意 划线为 x6点的各阶向后差分 .)
2010-122010-12-31 20
取 x = 0.048, h = 0.1,
x − x0 0.048 − 0 则 t= = = 0.48, h 0.1
∆f k = ∇ f k + 1 ∆2 f k = ∇ 2 f k + 2 ∆3 f k = ∇ 3 f k + 3
2010-122010-12-31
4
差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
∆f 0
∆f 1
∇f1
∇f2
∇f3
∆2 f 0
∇ f2
2
∆ f0
2010-122010-12-31
∆4 f (∇4 f )
∆5 f (∇5 f )
=1.00000 + 0.48×(−0.00500) −0.00500 −0.00993
−0.01493
(0.48)(0.48 −1) 0.00013 (−0.00993) 0.00012 −0.00980 2 0.00025 −0.00002 1 + (0.48 − 2)(0.00013) )( −0.00955 )(0.48 −1 0.48 0.00010 3 ! 0.00035 −0.00001 1 0.00009 −0.00920 + (0.48)(0.48 −1)(0.48 − 2)(0.48 − 3)(0.00012) 0.00044 4! +
2010-122010-12-31
11
2.Newton向后(差分)插值公式 如果假设
x = xn + th
(t < 0 )
根据向前差分和向后差分的关系
∆m f k = ∇ m f k + m
可得Newton向后插值公式
N n ( xn + th ) = f n + ∑
k =1 n
∇k fn [ k!
t(t +1)L(t + n −1) n + ∇ fn , n!
称其为牛顿后插公式 其余项 牛顿后插公式， 牛顿后插公式
Rn (x) = f (x) − Nn (xn + th)
= t(t +1)L(t + n) n+1 (n+1) h f (ξ ), (n +1)!
其中 ξ ∈(x0 , xn ).
k = 1 ,2 ,L , n
为f ( x )在 xk 处的一阶向前差分
为f ( x )在 xk 处的一阶向后差分
∆2 f k = ∆f k + 1 − ∆f k 为f ( x )在 xk 处的二阶向前差分
2010-122010-12-31
∇ 2 f k = ∇f k − ∇f k − 1 为f ( x )在 xk 处的二阶向后差分
n
9
称
N n ( x0 + th ) = f 0 + ∑
k =1
n
∆k f 0 [ k!
∏ (t − j )]
j =0
k −1
为Newton向前插值公式 插值余项为
f ( n + 1 ) (ξ ) n + 1 h ∏ (t − j ) Rn ( x0 + th ) = ( n + 1)! j =0
∇k fk = k!⋅hk
2010-122010-12-31
7
二、Newton插值公式 插值公式
1.Newton向前 差分 插值公式 向前(差分 向前 差分)插值公式
如果节点 x0 , x1 ,L , xn是等距节点,即 b−a xk = x0 + kh , k = 0 ,1,L , n , h = n
n
n
∆k f 0 N n ( x0 + th ) = f 0 + ∑ [ k !⋅h k k =1
= f0 + ∑
k =1 n
∏ (t − j )h]
j =0
k −1
∆k f 0 [ k!
∏ (t − j )]
j =0
k −1
其余项 化为
2010-122010-12-31
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x) Rn (x ) = (n + 1)! f ( n + 1 ) (ξ ) n + 1 h ∏ (t − j ) Rn ( x0 + th ) = ( n + 1)! j =0
第四节 差分与等距节点插值
一、差分及其性质 二、等距节点插值公式 三、例题分析 四、作业
2010-122010-12-31
1
一、差分及其性质
在实际应用Newton插值多项式时，经常遇到插值 插值多项式时， 在实际应用 插值多项式时 节点是等距的情况，此时可以简化Newton插值公式。 插值公式。 节点是等距的情况，此时可以简化 插值公式 也即 当插值节点x 分布等距时， 当插值节点 0,x1,…,xn分布等距时， h=x k+1 -xk, k=0,1,2,…,n-1 已知 n + 1 个插值节点： 个插值节点：
用表2-4上半部的各阶向前差分，得
f( f ( xk )0.048) (∇f ) 0.048 (∇2 f (0.048) (∇3 f ) ∆f = cos ∆2 f ≈ N4 ) ∆3 f
1.00000 0.99500 0.98007 −0.02473 0.95534 −0.03428 0.92106 −0.04348 0.87758 0.82534
Newton插值基本公式为 插值基本公式为
N n (x ) = f 0 + ∑ f [ x0 , x1 ,L , xk ]ω k ( x )
k =1 n
如果假设
x = x0 + th
∆k f 0 f [ x0 , x1 ,L , xk ] = k !⋅h k
8
由差商与向前差分的关系
2010-122010-12-31
2010-122010-12-31 2
二、差分
定义1. 设f ( x )在等距节点 xk = x0 + kh 处的函数值为 f k , 定义
k = 0 ,1 , L , n , 称
∆f k = f k + 1 − f k ∇f k = f k − f k − 1
k = 0 ,1,L , n − 1
2010-122010-12-31 18
例3
给出 f (x) = cos x 在 xk = kh, k = 0,1 L,6, h = 0.1 ,
处的函数值，试用4 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 f (0.048) 及
f (0.566) 的近似值并估计误差. 的近似值并估计误差.
解
根据题意， 根据题意，插值条件为
x n − x0 为步长 xk = x0 + kh (k = 0,1,L, n) 其中 h = n
于是在差商中， 于是在差商中， 分母部分将变得简单， 分母部分将变得简单， 计算量主要集中在分子（两节点处函数值的差 的差）。 计算量主要集中在分子（两节点处函数值的差）。 分析差商的形式， 分析差商的形式，引入差分概念