2019年安徽省滁州市第一中学高二数学理下学期期末试题含解析

2019年安徽省滁州市第一中学高二数学理下学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线与直线垂直，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
2. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件
则该校招聘的教师人数最多是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
参考答案：
C
3. 如果在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，3）、B（2，3.8）、C（3，5.2）、D（4，6），则y与x的回归直线方程是( )
A．y=x+1.9 B．y=1.04x+1.9 C．y=0.95x+1.04 D．y=1.05x﹣0.9
参考答案：
B
考点：线性回归方程．
专题：计算题；应用题．
分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．
解答：解：∵==2.5，==4.5，
∴这组数据的样本中心点是（2.5，4.5）
把样本中心点代入四个选项中，只有y=1.04x+1.9成立，
故选B．
点评：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法
4. 当时，若函数的值总大于1，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 直线，当变动时，所有直线都通过定点
A． B． C．
D．
参考答案：
A
6. 过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+
x2=6，那么|AB|=
A．8 B．10 C．6 D．4
参考答案：
A
7. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表
达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则=（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据类比，列方程求解结果.
【详解】由题意得，选A.
【点睛】本题考查利用类比方法列方程求解数学问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
8. 在极坐标系中,直线与曲线相交于两点, 为极点,则
的大小为（）.
参考答案：
A
略
9. 袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
10. 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入
每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）种．
A. 7
B. 10
C. 14
D. 20
参考答案：
B
【分析】
由题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分两种情况讨论，分别求出不同的放球方法数目，相加可得答案．
【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，
分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论：
①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C41＝4种方法；
②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C42＝6种方法；
则不同的放球方法有4+6=10种，
故选：B．
【点睛】本题主要考查两个基本原理的应用和组合数的应用，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列四个命题中，假命题有个
① 若则“”是“”成立的充分不必要条件；
② 当时，函数的最小值为2；
③若函数f(x+1)定义域为[-2,3),则的定义域为；
④将函数y=cos2x的图像向右平移个单位，得到y=cos(2x-)的图像.
⑤若，向量与向量的夹角为，则在向量上的投影为1
参考答案：
4个
略
12. 若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a，b的值分别为．参考答案：
1，1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得切线的斜率和切点，进而得到a，b的值．
【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，
即曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线斜率为a，
由于在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，
则a=1，b=1，
故答案为：1，1．
13. 函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为．
参考答案：
（﹣1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．
【分析】构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F （x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．
【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），
则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，
又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，
即F（x）在R上单调递增，
则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．
故答案为：（﹣1，+∞）
14. 现有如下四个命题：
①若动点P与定点A（﹣4，0）、B（4，0）连线PA、PB的斜率之积为定值，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分
②设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，若x≥0，则动点P(x,)的轨迹是抛物线的一部分
③已知两圆A：（x+1）2+y2=1、圆B：（x﹣1）2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B内
切，则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
④已知A（7，0），B（﹣7，0），C（2，﹣12），椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
上述四个命题中真命题为．（请写出其序号）
参考答案：
①②③
【考点】曲线与方程．
【分析】利用直译法，求①选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项③中动点的轨迹；
利用椭圆定义，由定义法判断④中动点的轨迹即可．
【解答】解：设P（x，y），因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的
斜率分别是k1=，k2=，∴，化简得9y2=4x2﹣64，即
（x≠±4），
∴动点P的轨迹为双曲线的一部分，①正确；
∵m*n=（m+n）2﹣（m﹣n）2，∴=2，设P（x，y），则y=2，即y2=4ax（x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，②正确；
由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切
∴MA=r+1，MB=5﹣r
∴MA+MB=6＞AB=2
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，③正确；
设此椭圆的另一焦点的坐标D （x，y），
∵椭圆过A、B两点，则CA+DA=CB+DB，
∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，
∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，④错误
故答案为：①②③．
15. 设满足约束条件，若目标函数的最大值
为，则的最小值为________________.
参考答案：
16. （5分）抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是．
参考答案：
2=4x p=2 准线为x=﹣1；设点P坐标为（x，y），到抛物线准线的距离是d
1=1+x．
d2=
∴d1+d2=
令=t，上式得：=
但t=，即x=时，d1+d2有最小值
故答案为：
17. 已知直角坐标平面上任意两点，定义
．
当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．（）
（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求的极值
参考答案：
解：（Ⅰ）当时，，
对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，
∴，．-----4分
（Ⅱ）（x>0）
①当，即时，
，所以，在（0，+∞）是单调递增函数
故无极值点。

②当，即时
令，得（舍去）
当变化时，的变化情况如下表：
+ 0 -
由上表可知，时，…………12分
略
19. 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其产品尺寸后，画出其频率分布直方图如图，已知尺寸在[15，45）内的频数为92．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求尺寸在[20，25]内产品的个数；
（Ⅲ）估计尺寸大于25的概率．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ由频率分布直方图中概率和为1，由此能求出n．
（Ⅱ）由频率分布直方图，先求出尺寸在[20，25]内产品的频率，再计算尺寸在[20，25]内产品的个数．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，利用对立事件概率公式能估计尺寸大于25的概率．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵尺寸在[15，45）内的频数为92，
∴由频率分布直方图，得（1﹣0.016×5）n=92，
解得n=100．
（Ⅱ）由频率分布直方图，得尺寸在[20，25]内产品的频率为0.04×5=0.2，
∴尺寸在[20，25]内产品的个数为0.2×100=20．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计尺寸大于25的概率为：
p=1﹣（0.016+0.020+0.040）×5=1﹣0.076×5=0.62．
【点评】本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意频率直方图的性质的合理运用．
20. (本小题满分10分)已知函数，求函数在上的最大值和最小值.
参考答案：
解：，
当或时，，
为函数的单调增区间
当时，，
为函数的单调减区间
又因为，
所以当时，
当时，
略
21. 如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．
参考答案：
【考点】HR：余弦定理．
【分析】利用余弦定理，求出∠ACB=60°，∠ACD=120°，在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，利用正弦定理可得结论．
【解答】解：在△ABC中，AB=10，AC=14，BC=6，
由余弦定理得，
所以∠ACB=60°，∠ACD=120°，
在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，…8分
由正弦定理得，
所以…12分．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22. 已知函数.
(1) 若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(2) 当时，讨论的单调区间；
(3) 设，若对任意，均存在，使得
，求的取值范围．
参考答案：
解：(1).
由，解得. …………………………3分
（2）.
①当时，，增区间是和，减区间是. ………5分
②当时，，故的单调递增区间是. ………7分
③当时，，增区间是和，减区间是. ………9分（3）由已知，在上有. ………………10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，当时，，，
在区间上，；结合（2）可知：
1当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故. ……………12分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，
综上所述，. …………………14分略。