2022年广东省深圳市南山国际学校高二数学文上学期期末试卷含解析

2022年广东省深圳市南山国际学校高二数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】数列递推式．
【分析】求出数列的前几项，推出数列是周期数列，然后化简求解即可．
【解答】解：a1=，代入到递推式中得a2=，同理可得a3=，a4=，a5=；
因此{a n}为一个周期为4的一个数列．∴a2015=a4×503+3=a3=．
故选：B．
2. 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O在底面ABCD中心，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】几何概型．
【分析】本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．
【解答】解：本题是几何概型问题，
与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V1=“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为23﹣，
则点P与点O距离大于1的概率是=．
故答案为：B．
3. 两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于( )
A. B. C.
D.
参考答案：
D
4. 不等式≤在上恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 复数的共轭复数是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
分析】
先对复数进行化简，然后再求解其共轭复数.
【详解】,所以共轭复数为.故选D.
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，共轭复数的求解一般是先化简复数，然后根据实部相同，虚部相反的原则求解.
6. 抛物线y2=2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）
C
7. 双曲线和椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
参考答案：
C
8. 下面四个推理中，属于演绎推理的是（）
A．观察下列各式：，，，…，则的末两位数字为43
B．观察，，，可得偶函数的导函数为奇函数
C. 在平面内，若两个正三角形的边长比为1:2，则它们的面积之比为1:4.
类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积之比为1:8
D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生还原反应
参考答案：
D
9. 如图是函数的导函数的图象，对下列四个判
断：
①在（—2，—1）上是增函数
②是极小值点
③在（—1，2）上是增函数，在（2，
4）上是减函数
④是的极小值点
其中正确的
是
（）
A、① ②
B、③ ④
C、②
③ D、② ④
参考答案：
C
10. 已知、为双曲线C:
的左、右焦点,点在曲线
上,∠=,则到轴的距离为（）
A ．B．
C．D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）等于_______；表面积（单位：cm2）等于__________．
参考答案：
【分析】
先还原几何体，再根据柱体与锥体性质求体积与表面积.
【详解】几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥（顶点在正方体下底面中心，底面为正方体
上底面），因此几何体的体积为
，表面积为
【点睛】本题考查三视图与柱体与锥体性质，考查空间想象能力与基本求解能力，属基础题.
12. 当时，有
当时，有
当时，有
当时，有
当
时，你能得到的结论
是：
． 参考答案：
=
略
13. 已知数列
满足：
，且
，则
= ．
参考答案：
14. 在研究身高和体重的关系时，求得相关指数R 2
≈____________，可以叙述为“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%”所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

参考答案：
64%
15. 如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AD⊥AB，AD=DC=AB=2，点N 是CD 边上一动点，则?的最大
值为 ．
参考答案：
8
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】以AB 、AD 所在直线分别为x 、y ，建立如图坐标系，求出相关点的坐标，即可求解?
的
表达式，确定最大值．
【解答】解：以AB 、AD 所在直线分别为x 、y ，建立如图坐标系，可得 A （0，0），B （4，0），C （2，2），D （0，2） N 坐标为（x ，2），（x∈[0，2]）， ?=（x ，2）（4，0）=8x+2∈[2，8]． 则
?
的最大值为：8．
故答案为：8．
【点评】本题在一个直角三角形中求向量数量积的最大值，着重考查了直角梯形的性质、平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中档题．
16. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为，若从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的
概率为
．
参考答案：
【考点】线性回归方程．
【分析】计算样本中心，代入回归方程解出a，得到回归方程，再计算当x=4，5，6，…9时的预测值，找出真实值比预测值小的点的个数，利用古典概型的概率公式计算概率．
【解答】解： =， =80，
∴a==106，
∴回归方程为=﹣4x+106．
计算预测销量如下：
预测销售量∴销售量比预测销量少的点有2个，
∴从这些样本点中任取一点，则它在回归直线下方的概率P=．
故答案为．
17. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
参考答案：
2x﹣y=0或x+y﹣3=0
【考点】直线的两点式方程．
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为
x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，
把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，
把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．
综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．
故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0
【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设S是不等式x2﹣x﹣6≤0的解集，整数m、n∈S．
（1）求“m+n=0”的概率；
（2）设ξ=m2，求ξ的分布列及其数学期望．
参考答案：
【考点】CF：几何概型；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）根据题意首先求出不等式的解集，进而根据题意写出所有的基本事件．
（2）根据所给的集合中的元素并且结合题意，列举出所有满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到概率，即可得到离散型随机变量m的分布列，进而求出其期望
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，即S={x|﹣2≤x≤3}，
由于整数m，n∈S共有6×6=36个有序实数对，满足m+n=0，所以A包含的基本事件为（﹣2，2），
（2，﹣2），（﹣1，1），（1，﹣1），（0，0）共有5个，
由古典概型的公式得到m+n=0”的概率为：．
（2）由于m的所有不同取值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，
所以ξ=m2的所有不同取值为0，1，4，9，
且有P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=4）=，P（ξ=9）=，
故ξ的分布列为
所以Eξ=0×+1×+4×+9×=．
19. （2016秋?邢台期末）已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．
（1）求m的取值范围；
（2）设条件p：e≥k；条件q：m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充分条件，求a 的取值范围．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（1）由已知得：，，利用e≥k，m＞0，即可求m的取值范围；
（2）求出q的等价结论，利用p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得：，，
∵，∴，解得m≤3，
∵m＞0，∴0＜m≤3，即m的取值范围（0，3]．
（2）∵m2﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0，∴（m﹣a）（m﹣a﹣2）≤0，即a≤m≤a+2，
∵p是q的必要不充分条件，∴
解得0＜a≤1，即a的取值范围为（0，1]．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查充要条件，知识综合性强．20. 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双
曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点
，求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可．
【解答】解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．
设抛物线方程为y2=4cx，
∵抛物线过点，6=4c?．
∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．
又双曲线过，
∴=1．又a2+b2=c2=1，∴a2=或a2=9（舍）．
∴b2=，
故双曲线方程为：4x2﹣=1．
21. (10分) 已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点P （2，），点F2在线段PF1的中垂线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.
参考答案：
（Ⅰ）由椭圆C的离心率得，其中，
椭圆C的左、右焦点分别为又点F2在线段PF1的中垂线上
解得
（Ⅱ）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为
由
消去设
则且
----------（8分）
由已知，得
化简，得
--------（10分）
整理得
直线MN的方程为，
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）----（12分）
22. 设函数f（x）=lnx+x2+ax
（1）若x=时，f（x）取得极值，求a的值；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求函数的导函数，根据若时，f（x）取得极值得f′（）=0，解之即可；（2）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；【解答】解：，
（1）因为时，f（x）取得极值，所以，
即2+1+a=0，故a=﹣3．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，
①当△≤0，即时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
②当△＞0，即或时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x2+ax+1，
由得a＞0，所以．
由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是．。