第3章 聚合风险模型2

分布，那么X 的取自留额d 的停止损失保费等于多
少？
u u u ，我们有 因为
立即得到
从而
2 例3 . 9 . 1 （正态分布的停止损失保费）设 X N ,
分布，那么X 的取自留额d 的停止损失保费等于多少？
自留损失的矩 的计算：注意到下面的等式
由此可得：
．2 Nhomakorabea变 的
求 化 趋 势 ， 对 偏 导 得
2
2 2 于是，如果我们用来替代 ，其中

为较小的量
第一项恰好是经验法则刻画的那个比值． 第二项在 d [ , ) 上积分值等于 0 ，该项在 d 接近于为 负 时 ， 在 d 0.745 时 为 0 ， 而 在 d 取 大 值 时 为 正 ．






（2） . .;0,1 ，
. . 为相应的概率 （3）记到 . 为 N ( O , l ）的分布函数，
密度函数．
则停止损失保费可如下计算：
d d 其 中
*
2
固 d ; , 改 为 了 研 究 当 变 而 定 时 函 数
NP 近似为
U N 0 ， 1 Vq m a x U , 1 设 ， 随 机 变 量 V 定 义 如 下 ： V = q U ； U 1 V 1 当 时 ， 否 则 ， ． 于 是
因而
Z 当d > 1 时的停止损失保费可以通过V 的停止损失保 费来近似．
为了计算该积分，利用
3 由 此 可 得 出 当 自 留 额 大 约 为 时 ， 经 验 法 则 运 行 4
效果会非常好．
S S d 由 此 可 以 计 算 停 止 损 失 赔 付 下 自 留 损 失
的 矩如何算啊？
例3 . 9 . 4 （停止损失保费的NP 近似）对于某些随机
X > y 的概率用NP 法来近似的效果会相当．那 变量，
么可否对X 的停止损失保费也给出一个近似呢？
对 u 1和
y 1 ，定义如下一个辅助函数
则 有 ： （ 1 ） （ 2 ）
qu u qwy y
和 和
.
q. w.
都 是 单 调 增 的 ， 并 且
qu y wy u .
0 设 Z 是 一 个 具 有 均 值 0 ， 标 准 差 1 和 偏 度 的 随 机 变 量 ．
d 2 u u 1 u u d u
例3 . 9. 5(C L T 和N P停 止 损 失 近 似 的 比 较 )求 满 足 到
E [X] 0 ,V a r[X] 2 1 ,
11 42
以及偏度分别为
0 , , ,1 ,2 ,4 的 随 机 变 量 X的 停 止 损 失 保 费 的 近 似 值 ， 自 留
3 . 9 停止损失保险与近似
对于自留额为d 的停止损失再保险，再保
商对损失S 的赔付额等于 (S d) ，本节我们

要对几个分布函数来寻求其停止损失保费
的解析表达式．这些停止损失保费表达式 也可以被用来计算超额损失再保险的纯保 费．
例3 . 9 . 1 （正态分布的停止损失保费）设
2 X N ,
可以证明，方法（1）下得到索赔的方差大约
等于方法（2）的方差的80 % ．
如果我们没有用正确的方法，而是用上述前一
种方法来计算停止损失保费，那么对于那些比期望
理赔大的自留额来说，其停止损失保费就会大约少 20 %。
2 下面将对N , 分布来检验经验法则 3 . 10 . 1 ，记： 2 2 （1） d; , 为服从N , 分布的随机变 量的停止损失保费，
假设两个被积函数的比值近似等于其对应积分的 比值。在此假设下，给出了近似公式
经验法则：当自留额t大于期望值 EU E W 风险U和W的停止损失保费满足：
时，
例3 . 10 . 2 ( “不明确配偶情况”）如果保险人不 知道究竟哪一位被保险人死后会留下一个寡妇， 需要赔付该寡妇的保险抚恤金．假设被保险人中 已婚的频率为80 % ，则有二种方法去计算 （1）把所有的风险额乘上0 . 8 而保持一年内死亡 的概率不变， （2）把死亡概率乘上0 . 8 而保持赔付额不变．
额 分 别 取 为 d=0 ， 1 ， …， 4.
当偏度为0时，使用公式正态逼近，否则使用NP方法
方差不等情形下的停止损失保费比较
以概率1 有 U 0，那么
这个方程里的被积函数总是非负的．如果U 和W是两 个具有相同期望值的风险变量，那么
通过使用区间宽度为1 的梯形公式近似上面的积分，
我们得到下面的近似结果 。