二次函数的图象和性质导学案

二次函数的图象和性质
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
学习重点：画二次函数的图像，并根据二次函数的图像感受二次函数的性质
学习难点：二次函数的性质
学习过程：
一、复习回忆
画函数图像的一般步骤
①_______________；②_______________；③________________。

二、自主学习、合作交流：
2
图像
2、由图象可得二次函数y＝x2的性质：
（1）二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做________
（2）二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．（3）自变量x的取值范围是____________．
（4）观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值_____(填“相等”还是“不等”)，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
（5）抛物线y＝x2与它的对称轴的交点是（___,___）,这点叫做抛物线y＝x2的顶点．（6）抛物线y＝x2有最_________点（填“高”或“低”），函数y=x2有最_________值（填“大”或“小”）．
三、动手操作、观察思考
1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝1
2x
2，y＝-1
2x
2的图象．
2、观察二次函数y ＝12
x 2，y ＝-1
2 x 2的图象，比较这两个函数有什么共同点、有什么不同点？
2五、灵活运用
1、函数y ＝3
7
x 2的图象开口向_____，顶点是______，对称轴是____，当x ＝________ 时，
有最_____值是_________，在对称轴的左边，y 随x 的增大而__________，当x_____时，y 随x 的增大而__________
2、若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．
3、二次函数y ＝(m －1)x 2
的图象开口向下，则m____________． 4、二次函数y ＝mx 2
2-m ，（1）若此二次函数有最小值，则m ＝___________．
（2）若当x,<0 时，y 随x 的增大而增大，则m ＝___________．
5、二次函数2
4
1x y -
=的顶点坐标为 ，对称轴为 . 此抛物线关于x 轴对称的抛物线解析式是_________________ 此抛物线关于y 轴对称的抛物线解析式是_________________ 6、若点A （2，8）与点B （2-，m ）
都在二次函数2ax y =的图象上，则m 的值为 .
六、课堂反馈 2、若二次函数2y m x =+的图象的开口方向向上，则m 的取值范围为 .
3、已知二次函数y ＝（1-m ）x 2
2-m
（1）若此二次函数有最小值，则m ＝___________．
（2）若在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，则m=_________
4、函数y ＝-37 x 2
的图象开口向_______,顶点是_____,对称轴是____,当x ＝____时,有最___
值是_____.
5、二次函数y ＝(k ＋1)x 2
的图象如右图所示,则k 的取值范围为_____. 6、写出一个过点(1,2)，且开口向下的二次函数表达式_________________
能力提升：如图,①y ＝ax 2②y ＝bx 2③y ＝cx 2④y ＝dx 2
，比较 a.b.c.d 的大小,用“＞”连接.________
对照图像总结规律：
｜a ｜越大,抛物线的开口越________,反之,｜a ｜ 越小,抛物线的开口越________.
七、课堂反思
二次函数的图象和性质2
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
学习目标：1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；
2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系．
学习重点：画二次函数的图像，并根据二次函数的图像感受二次函数的性质 学习难点：二次函数的性质 学习过程： 一、复习回忆
2
二、自主学习、合作交流
1、在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2 , y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象． 解：先列表再描点并画图
观察图象得： 1． 填表：
2．可以发现，把抛物线y ＝x 2向______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2＋1；把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1．
3．抛物线y ＝x 2，y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的开口大小_____________（填“相同”或者“不同”）
三、总结归纳：
1、填表： 2．抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________，顶点坐标是_____________
抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．顶点坐标是_____________
因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线______________；顶点坐标是_____________
把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________．顶点坐标是_____________
3．抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是通过平移得到的，从而它们的开口方向__________，开口大小_______
四、课堂练习：
2．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．顶点坐标为（0，－3），形状与线y ＝－x 2相同的抛物线的解析式_ _． 4．抛物线y ＝4x 2＋1关于y 轴对称的抛物线解析式为______________________． 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
五、课后反馈：
1、若二次函数()1632--=x m y 的开口方向向下，则m 的取值范围为___________
2、将二次函数22x y -=的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为_______________
3、二次函数33
1
2--=x y 图象的顶点坐标为________________
4、将二次函数122--=x y 图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为________________
5、若点A （1x ，m ）、B （2x ，n ）在抛物线y=-2x 2
的上，且021<<x x ，则m 与n 的大小关系为 .
6．将抛物线22x y =沿x 轴翻折，再向下平移3个单位得到的抛物线是_________________ 7、将抛物线y=-3x 2
+4沿x 轴翻折，再向上平移3个单位得到的抛物线是_________________ 8、抛物线y=x 2
+1与直线y=2x-2的交点坐标是_____________
六、课后反思：
5.2二次函数的图象和性质（3）
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x-h ）2的图象；
2．掌握二次函数y ＝a （x-h ）2
的性质，并要会灵活应用；
学习重点、难点：
会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，理解二次函数y ＝a(x －h)2与的性质。

学习过程：
一、 复习回忆
1、填表
2．将二次函数y ＝5x 2
－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 二 、探索新知：
在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝12 x 2，y ＝12 (x ＋1)2，y=12 (x －1)2
的图象，并观
察三者之间的关系 先列表：
描点并画图．
发现：抛物线y ＝12
(x ＋1)2可以看作是由抛物线
y ＝1
2
x 2向_______平移______个单位得到.
抛物线y=12
(x －1)2
可以看作是由抛物线y ＝12 x 2
向_______平移______个单位得到.
三、对照图像填表：
归纳总结
抛物线y ＝a(x-h)2(h>0)可以看作是由抛物线y=ax ²的沿x 轴整体向 平移 个单位得到，抛物线y ＝a(x-h)2的顶点坐标是________,对称轴是________,当a>0时，此抛物线有最____点，函数有最______值，此时x=______。

在对称轴的左边，函数y 随x 的增大而___ .
抛物线y ＝a(x+h)2(h>0)可以看作是由抛物线y=ax ²的沿x 轴整体向 平移 个单位得到，抛物线y ＝a(x+h)2的顶点坐标是_______,对称轴是________,当a<0时，此抛物线有最_____点，函数有最______值，此时x=______。

在对称轴的左边，函数y 随x 的增大而_______.
四、巩固练习
1、把抛物线y ＝3x 2
向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为________________．新抛物线的顶点坐标是_________,对称轴是_______,当x_____时，函数有最______值是_____,当x_______时，函数值y 随自变量x 的增大而增大。

2、把抛物线y ＝-3x 2
向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．新抛物线的顶点坐标是_______,对称轴是_______,当x______时，函数有最_____值是_______,当x_______时，函数值y 随自变量x 的增大而增大。

3、将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
4、抛物线y ＝4 (x －2)2
与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________． 5、顶点是（5，0），开口大小、开口方向与抛物线y ＝－2x 2
都相同的抛物线的解析式 _________
7、顶点是（-4，0），开口大小、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的抛物线的解析式
________
8、抛物线y ＝m (x ＋n)2
向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2
，
则 m ＝____，n ＝____
9、若将抛物线y ＝2x 2
＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________． 10、若抛物线y ＝m (x ＋1)2
过点（1，－4），则m ＝_______________．
思考：已知二次函数y=a （x-1）2（a.>0）的图象上有123),(2,),()
A y
B y
C y 三点，则123,,y y y 的大小关系是（ ）
A 、123y y y >>
B 、213y y y >>
C 、312y y y >>
D 、321y y y >>
五、课后反思
5.2二次函数的图象和性质（4）
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
学习目标：
1．使学生能利用描点法画出二次函数的图象。

2．让学生经历二次函数y=a(x －h)2＋k 性质探究的过程，理解函数y=a(x －h)2＋k 与二次函数y ＝a(x －h)2与 y=ax 2＋k 的之间的关系，
学习重点、难点：
理解函数y=a(x －h)2＋k 与二次函数y ＝a(x －h)2与 y=ax 2＋k 的之间的关系，
学习过程 一、 复习回忆 填表
二、 探索新知：
在同一平面直角坐标系中画出二次函数，y ＝12 (x ＋1)2，y ＝12 (x ＋1)2+2，y=12 (x －1)2
-3
的图象，并观察三者之间的关系
先列表：
观察图像可以发现:（1）抛物线y ＝12 (x ＋1)2
+2顶点坐标
是_______,对称轴是_________,有最____值_______；是由抛物线y ＝12 (x ＋1)2
向______平移______个单位得到的。

（2）抛物线y ＝12 (x ＋1)2
-3顶点坐标是______,对称轴是
______,有最____值_______；是由抛物线y ＝12 (x ＋1)2
向
______平移______个单位得到的
三、巩固练习
1.将抛物线y=2x 2
先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式是 2.将抛物线y=-3(x+2)2
先向左平移1个单位再向上平移3个单位得到的抛物线是________ 3.将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线是
四、总结归纳
五、课后反馈
1、抛物线24(1)3y x =-+的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向 .
2、抛物线22(1)2y x =-+-，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 有最 值 .
3、把抛物线()322
++=x y 向左平移5个单位，再向下平移7个单位所得的抛物线解析式
是 .
4、已知s =–(x +1)2
–3，当x 为 时，s 取最 值为 .
5、一条抛物线与抛物线23x y =形状，开口方向相同，且顶点为()1,4，那么这个函数的解析式是 .
6、将一条抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y=3(x-1)2+4，则这条抛物线的解析式是__________________.
7、一条抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，5），则此抛物线解析式是__________________.
8、已知二次函数22(1)y x k =-+的图象上123),(2,),()A y B y C y 三点，则
123,,y y y 的大小关系是（ ）
A 、123y y y >>
B 、213y y y >>
C 、312y y y >>
D 、321y y y >> 9、不论m 取任何实数，抛物线2
()(0)y a x m m a =++≠的顶点都（ ） A 、在直线y x =上 B 、在直线y x =-上 C 、在x 轴上 D 、在y 上。

10、将抛物线y=2(x-1)2
+3沿y 轴翻折可得到抛物线______________，沿x 轴翻折可得到抛物线___________
六、课后反思
5.2二次函数的图象和性质（5）
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
学习目标
1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。

2．熟记二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式c bx ax y ++=2的图象． 学习过程
一、知识回顾：
1.抛物线()2
231y x =+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。

2. 二次函数解析式2
()+y a x h k =-中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。

二、自主学习、合作交流：
1、思考：函数y=x 2+4x+5 的图像的对称轴和顶点坐标是_____________，
对称轴是____________
2、尝试练习：用配方法求下列抛物线的顶点坐标和对称轴 （1）、y=x 2
-6x+8 （2）y=3x 2
+4x-6
3、大胆尝试：用配方法求抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的顶点与对称轴。

总结顶点坐标公式：
抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的顶点坐标是 ；
对称轴是 。

4、 用公式法写出下列抛物线的对称轴及顶点坐标。

①4322
+-=x x y ②y ＝12
x 2
－4x ＋3
三、课堂反馈：
1、抛物线x x y 42--=顶点坐标是_______，与x 轴的交点坐标是__________,与y 轴的交点坐标是_______
2、二次函数y ＝mx 2＋2mx ＋3(m ＞0)的图象的对称轴是______________
3、二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，则这个最大值是______________
4、二次函数y ＝mx 2＋4x ＋m 的最大值是3，则a ＝_______．
5、将一条抛物线向右平移2个单位，在向下平移3个单位得到抛物线y=-2x 2+4x-6,则原来抛物线的解析式是_________________
6、已知二次抛物线y=x 2
-4x+3,求该抛物线与x 轴的交点坐标，与y 轴的交点坐标.
7、已知抛物线与x 轴交于点A(3,0)、B （-1，0），与y 轴交于点（0，-6）,求此抛物线的解析式以及顶点坐标.
8、已知抛物线经过点（1，1）、（-1，3）、（2，9），求此抛物线的解析式以及顶点坐标.
5.2二次函数的图象和性质（6）
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
学习目标：1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；
2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
学习过程：
一、知识回顾：
1、复习回忆：解下列一元二次方程
（1）x2-2x-3=0 (2) x2-6x+9=0 (3) x2-2x+3=0
2、对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0,我们可以通过根的判别式的值判断方程根的情况（1）当___________时，方程有__________________根
（2）当___________时，方程有__________________根
（1）当___________时，方程没有________________根
二、探索新知
1、写出下列抛物线与x轴、y轴的交点坐标并根据这些点的坐标画出示意图。

(1) y=x2-2x-3 (2) y=x2-6x+9 (3)y= x2-2x+3
2、比较“探索新知1”和“知识回顾”你有什么发现？
归纳：
（1）求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标只要令__________，转化为求对应方程__________________的解，若对应方程的实数根为x1、x2,则抛物线与x轴的交点坐标是________________,特别的，当x1=x2时，这个交点就是抛物线的________。

（2）求抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标只要令__________，该交点坐标是
（3）
三、灵活应用
1、判断下列函数与x轴公共点的个数并说明理由
（1）y=x2-x （2）y=-x2+6x-9 (3)y=3x2+6x+11
2、抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是__________
3、抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点,则b=_________
4、抛物线y=ax2+bx+c的图像都在x轴的下方，则有结论________________________
抛物线y=ax2+bx+c的图像都在x轴的上方，则有结论________________________ 5、已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点。

四、能力提升
已知二次函数y=x2-4x+3,
(1)求该函数图像与x轴的交点A、B(A在B的左边)的C坐标，以及与y轴的交点C的坐
标。

(2)如果D是该抛物线上不同于C的点，且三角形ABD的面积等于三角形ABC
的面积，求点D的坐标。

(3)如果P是抛物线上一点，且三角形ABP的面积等于1,求点P的坐标。

五、课后反思
5.2二次函数的图象和性质（7）
班级 ______________ 姓名_________________ 评价 ________________
教学目标1、使学生进一步熟练二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
2、使学生掌握用交点式和顶点式求二次函数的解析式
教学重点：用待定系数法求函数解析式
教学难点：利用交点式求函数解析式
一、复习回忆
1、二次函数的顶点式是_________________，对称轴是_________顶点坐标是______________
2、二次函数的一般式是____________，对称轴是_________顶点坐标是_______________
3、二次函数的图像与一元二次方程的根之间按具有如下的关系
抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有____个交点⇔ac b 42
- 0⇔方程ax 2
＋bx ＋c=0有
_______实数根
抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有____个交点⇔ac b 42
- 0⇔方程ax 2
＋bx ＋c=0有
_______实数根
抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有____个交点⇔ac b 42- 0⇔方程
ax 2
＋bx ＋
c=0_________实数根
4、若一元二次方程ax 2
＋bx ＋c=0的两个实数根是x 1，x 2，则抛物线c bx ax y ++=2与x
轴的交点坐标是_______________
二、探索新知
1、用十字相乘法将下列二次三项式分解因式：
（1）x 2-2x-3=_______________________ (2) 2x 2+8x+6=_______________________ 2、改写下列二次函数
（1）y= x 2-2x-3 可改写成y=_______________________ (2) y=2x 2+8x+6可改写成y=_______________________
3、写出一个一元二次方程，使得方程两根分别是2和-3：________________（这样的方程你能写出多少个）
写出一个二次函数，使其图像与x 轴的交点坐标分别是（4，0）、（-5，0）：_____________________（这样的二次函数你能写出多少个）
4、归纳：（1）二次函数y=a (x- x 1)(x- x 2)与x 轴的交点坐标是___________________
（2）若二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴交点坐标是（x 1，0）、（x 2,0）,则该函数还可以表示为_______________________的形式，我们把这种形式称为交点式。

三、灵活应用
已知抛物线与x 轴的交点坐标是（3，0），（-1，0），且该抛物线经过点（1，-2），
求该抛物线的解析式。

（用两种不同的方法，并比较哪种方法更方便）
四、探索规律：
若抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）、（-1，0），则对称轴是_____________
若抛物线与x轴的交点坐标是（-3，0）、（1，0），则对称轴是_____________
若抛物线与x轴的交点坐标是（-3，0）、（-1，0），则对称轴是_____________
归纳：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点坐标是（x
1，0）、（x
2
,0）,则该抛物线的
对称轴是_______，该抛物线顶点的横坐标是___________
五、能力提升
1、已知抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）、（1，0）,且函数的最值是3, (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标
（2）求该抛物线的解析式
2、已知抛物线与x轴的一个交点坐标是（0，0），对称轴是直线x=2，且函数的最值是4
（1）求抛物线与x轴的另一个交点坐标
（2）求该抛物线的解析式。

六、课后反思。