2021届高考数学大一轮总温习 第6篇 第2节 一元二次不等式及其解法课时训练 理 新人教A版

（聪慧测评）2021届高考数学大一轮总温习 第6篇 第2节 一元二次不等式及其解
法课时训练 理 新人教A 版
一、选择题
1．(2021渭南模拟)函数y ＝x －x 2－3x ＋4
的概念域为( ) A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) B ．(－4,1)
C ．(－4,0)∪(0,1)
D ．(－1,4)
解析：由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，
解得－4<x <1，因此函数的概念域为(－4,1)．应选B.
答案：B
2．(2021年高考重庆卷)不等式x －1
2x ＋1≤0的解集为(
) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤
－12，1
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，－12∪[1，＋∞)
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤
－∞，－12∪[1，＋∞)
解析：不等式x －1
2x ＋1≤0
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧ x －12x ＋1≤0，
2x ＋1≠0
⇒－1
2<x ≤1.
应选A.
答案：A
3．若是关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是( ) A．80≤a<125 B．80<a<125
C．a<80 D．a>125
解析：5x2－a≤0，得－a
5
≤x≤
a
5
，
而正整数解是1,2,3,4，
那么4≤a
5
<5，
∴80≤a<125.
应选A.
答案：A
4．(2021沈阳模拟)某商场假设将进货单价为8元的商品按每件10元出售，天天可销售100件，现预备采纳提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证天天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
解析：设销售价定为每件x元，利润为y，那么：
y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]>320，
即x2－28x＋192<0，
解得12<x<16，
因此每件销售价应为12元到16元之间．应选C.
答案：C
5．(2021莆田二模)不等式(x2－2)log2x>0的解集是( )
A．(0,1)∪(2，＋∞)
B．(－2，1)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－
2，2) 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2<0，log 2
x <0， ∴x >2或0<x <1，
即不等式的解集为(0,1)∪(
2，＋∞)．应选A. 答案：A
6．(2021厦门模拟)假设不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，那么不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43，1 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：由题意知－4,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －4＋1＝－b a ，
－4×1＝c a ，
∴b ＝3a ，c ＝－4a ，
∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为a (x 2＋3x －4)>0，
又其解集为(－4,1)，
∴a <0，
∴不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0可化为：
a (3x 2＋x －4)>0，
∴3x 2＋x －4<0，
解得－43
<x <1.应选A. 答案：A
二、填空题
7．(2021山东师大附中第三次模拟)不等式x x －1
x ＋2<0的解集是________________．
解析：原不等式等价为x (x －1)(x ＋2)<0，
解得x <－2或0<x <1，
即原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0,1)．
答案：(－∞，－2)∪(0,1)
8．假设不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，那么a 的值为______． 解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，
∴1－a <0，即a >1.
于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6<0，a －1>0，
其解集为{x |－3<x <1}．
那么方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.
由⎩
⎪⎨⎪⎧ a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.
答案：3 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；假设当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，那么m －n 的最小值为________．
解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，
∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，
∴f (x )min ＝f (－1)＝0，
f (x )max ＝f (－2)＝1，
∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.
答案：1
10．(2021年高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，那么α的取值范围为________________．
解析：由题意知，(8sin α)2－4×8·cos 2α≤0，
∴2sin 2α－cos 2α≤0，
∴2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，
∴4sin 2α－1≤0，
∴sin 2α≤14， 又0≤α≤π，
∴0≤sin α≤12
. ∴0≤α≤π6或5π6
≤α≤π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π6，π 三、解答题
11．(2021日照模拟)已知函数f (x )＝
ax 2＋2ax ＋1的概念域为R. (1)求a 的取值范围；
(2)假设函数f (x )的最小值为
22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的概念域为R ，
∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，
当a ＝0时，1≥0恒成立．
当a ≠0时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝2a 2－4a ≤0，
∴0<a ≤1，
综上可知，a 的取值范围是[0,1]．
(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋12＋1－a ， ∵a >0， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝
1－a ， 由题意得，
1－a ＝22， ∴a ＝12
， ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34
<0. 解得－12<x <32， 因此不等式的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. 12．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，
此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，
①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3， 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，
即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3.
又a <－1，∴－3≤a <－1.
②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，
由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.
又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.
综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.
法二 由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，
即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0，
或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a ≤－1，g －1≥0， 解得－3≤a ≤1.。