内蒙古准格尔旗世纪中学高二数学下学期第二次月考试题 文

准旗世纪中学2015-2016学年度第二学期第二次月考高二
数学（文）试卷
一、选择题
1．若复数z 满足i 45i z =- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为 （ ）. A ． 54i -+ B ． 54i - C ．54i + D ．54i -- 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ） ①)(cos R x x y ∈=是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③)(cos R x x y ∈=是周期函数．
A ．①②③
B ． ③②①
C ．②③①
D ．②①③ 3．在极坐标系中，点)65,
2(π到直线4)3
sin(=-π
θρ的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4．若直线l 的参数方程为1324x t
y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），则直线l 倾斜角的正弦值为（ ）
A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．4
5
5．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，这条回归直线的方程为（ ） A.
B.
C.
D.
6．欲将方程22
143
x y +=所对应的图形变成方程221x y +=所对应的图形，需经过伸
缩变换ϕ为（ ）
A.23x x y y
'=⎧⎪⎨'=⎪⎩
B.1
233x x y y
⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ C.43x x y y '=⎧⎨'=⎩
D.1
413x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩
7．若下面框图所给的程序运行结果为20S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）
（A ）9?k = （B ）8?k ≥ （C ） 8?k > （D ）8?k <
8．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x （℃） 17 13 8 2 月销售量y （件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程=bx+a 中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件． A.46 B.40 C.38 D.58
9．复数2(2)
(23),1
a a z a a i a R a +=
++-∈-为纯虚数，则a 的值为（ ）
A ．0a =
B ．0a =且1a ≠-
C ．0a =，或2a =-
D ．1a ≠，或3a ≠- 10．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ
=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y
x 的取值范围是
（ ）
A ．3,3⎡⎤-⎣⎦
B ．(
)
,33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣
C ．33
,,33⎛
⎤⎡⎫-∞-
⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ D ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos sin x a y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数）.以坐标原点为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2
sin()4
2
π
ρθ-=
若直线l 与圆C 相切，则实数a 的取值个数为（ ）
A .0 B.2 C.1 D.3 12．设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上
到直线l 距离为
710
10
的点的个数为 A ．1 B.2 C.3 D.4
二．填空题
13．已知复数232014
1i i i i z i
++++=+L ，则复数z 的模为________．
14．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 .
15．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222b a c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是____________．
16．已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2
πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ________．
三、解答题
17．已知,a b 为实数，i 为虚数单位，且满足()()11231i
a bi i i i
++=+-+-. （1）求实数,a b 的值；
（2）若复数()()z m a m b i =-+-在复平面所对应的点在直线2y x =上方（不包括边界），求实数m 的取值范围
18．已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线m 过点()3,0M ，倾斜角为
6
π
. （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线m 与曲线C 交于AB 两点,求MA MB +.
19．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本. （1）根据所给样本数据完成下面2×2列联表； （2）请问能有多大把握认为药物有效？ 不得禽流感 得禽流感 总计 服药 不服药 总计
P （K 2
≥k ） 0.50 0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
20．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得
，
，
，
．
（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y=bx+a ； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a 中，，，其中，为样本平均值，线性回归方
程也可写为．
21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(10)A -，，其倾斜角是α，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程是
（Ⅰ）若直线l 和曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围； （Ⅱ）设()B x y ，为曲线C 任意一点，求的取值范围．
22． 在极坐标系中，曲线C 的方程为
，点22,
4R π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
. （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最
小值，及此时P 点的直角坐标.
参考答案
1．A.2．D 3．B 4．A 5．C 6．B7．C ．8．A 9．C 10．D 11．B 12．B
13．1. 14．127. 15．2222
1234
S S S S ++=
17．)6
,
32(π
17．
【解析】（1）因为()()1123561i
a bi i i i i
++=+-+
=+-，所以5,6a b == （2）因为()()()()56z m a m b i m m i =-+-=-+-对应的点是()5,6m m -- 得m>4
18．解（1）对于C ：由2
224cos 4cos 4x y x ρθρρθ==∴+=得，
对于:l 由()3
3212
x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩为参数 （2）设A,B 两点对应的参数分别为12,t t
将直线m 的参数方程代入圆的直角坐标方程22
40x y x +-=
得2
23133+430242t t t ⎛⎫⎛⎫
+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
化简得2
330t t +-=
()
12122
121212123,3415
t t t t MA MB t t t t t t t t ∴+=-=-∴+=+=-=
+-=
19．（1） 不得禽流感 得禽流感 总计 服药 40 20 60 不服药 20 20 40 总计 60
40
100
（2）假设检验问题H 0：服药与家禽得禽流感没有关系
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 2
100(40202020) 2.77860406040⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
由P(2
2.706K ≥)＝0.10 所以大概90％认为药物有效
20．解（1）由题意可知n=10，===8，===2，
故=720﹣10×82
=80，
=184﹣10×8×2=24，
故可得b===0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求的回归方程为：y=0.3x ﹣0.4；
（2）由（1）可知b=0.3＞0，即变量y 随x 的增加而增加，故x 与y 之间是正相关； （3）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元） 21． 解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程转化成直角坐标方程是22:650C x y x +-+=， 由题意知直线l 的斜率存在，设直线:(1)l y k x =+，其中tan k α=．
联立22650(1)x y x y k x ⎧+-+=⎨=+⎩，，消去y 得2222(1)2(3)50k x k x k ++-++=．
因为直线l 和曲线C 有交点，所以22224(3)4(1)(5)0k k k ∆=--++≥，即33
33
k -≤≤
， 即33tan []33α∈-
，，所以5[0][)66
ππαπ∈U ，，． （Ⅱ）曲线22:650C x y x +-+=的参数方程是32cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
，
，（θ为参数），
所以点()B x y ，的坐标可以写成(32cos 2sin )θθ+，，
22．解：（1）由于cos ,sin x y ρθρθ==则曲线C 的方程转化成2
213
x y += 点R 的极坐标转化成直角坐标为：()2,2R ； （2）设(
)
3cos ,sin P
θθ
根据题意，得到()2,sin Q θ。

则：23cos ,2sin PQ QR θθ=-=-，所以
42sin 3PQ QR πθ⎛
⎫+=-+ ⎪⎝
⎭
当6
π
θ=，()
min
2PQ QR
+=，矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
参考答案
1．D. 【解析】
试题分析：i zi 54-=Θ,i i
i
z 4554--=-=∴. 考点：复数的除法. 2．B 【解析】
试题分析：因为“三段论”的结构是“若S 是P Q ，是S ，则Q 是P ”所以该“三段论”应是“三角函数的周期函数，)(cos R x x y ∈=是三角函数，)(cos R x x y ∈=是周期函数”；故选B ．
考点：演绎推理． 3．B 【解析】
试题分析：化极坐标为普通直角坐标，点)65,
2(π的坐标52cos 36
x π==-，52sin
16y π
==，所以点为
(3,1)
-，
因
为
1313
sin()(sin cos )43
2
2
y x πρθρθθ-=-=-=，所以直线普通方程为
380x y -+=，由点到直线的距离公式得318231
d --+=
=+，故选B ．
考点：1、极坐标；2、极坐标与直角坐标转化；3、点到直线距离公式． 4．B 【解析】
试题分析：由题意得，设直线l 倾斜角为θ，直线l 的参数方程为1324x t
y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），
可化为42(1)3y x -=-
-，
则4
tan 3θ=-，因为(0,)θπ∈，所以22
33cos 534θ=-=-+，
故选B ．
考点：参数方程与直角坐标方程的互化． 5．C 【解析】
试题分析：分别计算平均数，可得样本中心点，利用回归直线方程的斜率为6.5，即可确定回归直线的方程． 解：由题意，
=5，
=50
∵回归直线方程的斜率为6.5，∴a=50﹣6.5×5，∴a=17.5 ∴回归直线的方程为
故选C ．
点评：本题考查回归直线的方程，考查学生的计算能力，利用回归直线恒过样本中心点是关键． 6．B
【解析】设伸缩变换ϕ为,(,0)x hx h k y ky '=⎧>⎨'=⎩
,则x x h y y k '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩
，代入22143x y +=得 2222143x y h k +=,2
2
14123
313h h k k ⎧
=
⎪⎧=⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩
7．D ．
【解析】
试题分析：1,10==S k ，当执行第一次循环时，9,11==k S ；当执行第二次循环时，8,20==k S ；
当执行第三次循环时，7,28==k S ；当执行第四次循环时，6,35==k S ；根据判断框可知，应选6k >．
考点：算法与程序框图．
8．A 【解析】 试题分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a 的值，可得线性回归方程，根据所给的x 的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．
解：由表格得（，）为：（10，38）， 又（，）在回归方程=bx+a 中的b=﹣2， ∴38=10×（﹣2）+a ， 解得：a=58，
∴=﹣2x+58，
当x=6
时，=﹣2×6+58=46．
故选：A ．
点评：本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题． 9．C 【解析】
试题分析：因为复数2(2)(23),1a a z a a i a R a +=
++-∈-为纯虚数，所以(2)
01
a a a +=-，且
2230a a +-≠，解得0a =或2a =-，故选C.
考点：复数的概念.
10．C 【解析】
试题分析：曲线
2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨
=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2
2
21,,x y P x y ++=是曲线()2
2
:21C x y ++=上任意一点，则y
x 的几何意义就是圆
上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：
33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
．
故选C ．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程． 11．C 【解析】
试题分析：圆C 的普通方程为22
()1x a y -+=，直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，因
为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即|01|
1,122
a a -+==-±，故选C .
考点：1.极坐标与参数方程；2.直线与圆的位置关系.
12．B 【解析】
试题分析：化曲线C 的参数方程为普通方程：（x 2）2+（y+1）2
=9，圆心（2， 1）到直线x
点符合要求，故选B ．.
考点：圆的参数方程．. 13．(0,1) 【解析】 试
题
分
析
：
∵
414243442340
n n n n i i i i i i i i ----+++=+++=，而201345031,201445032
=⨯+=⨯+，
∴
，对应的点为(0,1)，所
以答案应填： (0,1)．
考点：1、复数的几何意义；2、复数的运算；3、复数的概念．
14．127. 【解析】
试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： a 是否继续循环 循环前 1/
第一圈 2 是 第二圈 4 是 第三圈 8 是 第四圈 16 是 第五圈 32 是 第六圈 64 是 第七圈 128 否 故最后输出的a 值为：128 故答案为：128 考点：程序框图.
15．2222
1234S S S S ++=
【解析】
试题分析：正方形截下的一个直角三角形，由勾股定理有222
c a b =+，即直角边的平方等
于截边的平方,所以类比有2222
1234S S S S ++=.
考点：类比推理. 【方法点晴】类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.它是由特殊到特殊的推理.本题中,由平面图形(正方形)类比到空间图形(正方体),由平面图形的边长类比到空间图形的面积,即可得到答案.
16．4
)1(2
2+n n
【解析】
试题分析：根据所给等式113=，2233)21(321+==+，2
2333)321(6321++==++，
33331234+++
2210(1234)==+++，．．．．．．，可以看出，等式左边各项幂的底数的和等于右边的幂的底
数，推测：4
)1()21(321222
3
3
3
3
+=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n ．
考点：归纳推理． 17．)6
,32(π
【解析】
试题分析：解方程组2cos 333cos cos 234cos 426ρθπ
θθθρρθ
=⎧∴=∴=∴=∴=⎨=⎩，交点坐
标为)6
,
32(π
考点：极坐标方程
18．（1）5a =，6b =；（2）4m =.
【解析】
试题分析：（1）本小题主要考查复数的相等的概念，可以先把()()11231i
a bi i i i
++=+-+
-的右边也化为m ni +的形式，再利用复数相等的定义即可求得结果；（2）先找出复数
()()z m a m b i =-+-在复平面所对应的点的坐标，再将其代入直线2y x =中，即可求出
m 的值.
试题解析：（1）因为()()1123561i
a bi i i i i
++=+-+
=+-，所以5,6a b == （2）因为()()()()56z m a m b i m m i =-+-=-+-对应的点是()5,6m m -- 在直线2y x =上，所以()6254m m m -=-∴=.
考点：1、复数的相等；2、复数与复平面上的点的一一对应关系.
19．（1）224x y x +=，；（2
【解析】
试题分析：（1）根据直角坐标与极坐标的互化公式即可得到圆的直角坐标方程，创立参数t ，即可写出直线的参数方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角方程中，利用参数t 的意义
.
试题解析：（1）对于C ：由2
224cos 4cos 4x y x ρθρρθ==∴+=得，
对于:l
（2）设A,B 两点对应的参数分别为12,t t
将直线l 的参数方程代入圆的直角坐标方程22
40x y x +-=
考点：直角坐标方程与极坐标方程的互化；直线参数中参数的意义. 20．（1）
（2）大概90％认为药物有效 【解析】 试题分析：（1）由所给样本数据完成下面2×2列联表即可（2）根据公式计算观测值，然后比较观测值与临界值表中相应的检验水平，最后做出统计判断.
不服药 20 20 40 总计 60
40
100
（2）假设检验问题H 0：服药与家禽得禽流感没有关系
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 2
100(40202020) 2.77860406040⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
由P(2 2.706K ≥)＝0.10 所以大概90％认为药物有效 12分 考点：2×2列联表;独立性检验.
21．（1）y=0.3x ﹣0.4；
（2）由（1）可知b=0.3＞0，即变量y 随x 的增加而增加，故x 与y 之间是正相关； （3）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元） 【解析】（1）由题意可知n=10，=
=
=8，=
=
=2，
故=720﹣10×82
=80，
=184﹣10×8×2=24，
故可得b===0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求的回归方程为：y=0.3x ﹣0.4；
（2）由（1）可知b=0.3＞0，即变量y 随x 的增加而增加，故x 与y 之间是正相关； （3）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）
22．（Ⅰ）5[0][)66
ππαπ∈U ，，；（Ⅱ）3[334334]x y +∈-+，． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程，设出直线l 的方程，并与曲线C 的直角坐标方程联立消去y ，从而由0∆≥求得直线斜率的取值范围，进而求得倾斜角
α的取值范围；（Ⅱ）将曲线C 的方程化为参数方程，从而用参数表示出,x y ，进而由三角函数的图象与性质求解．
试题解析：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程转化成直角坐标方程是22:650C x y x +-+=， 由题意知直线l 的斜率存在，设直线:(1)l y k x =+，其中tan k α=．
联立22650(1)x y x y k x ⎧+-+=⎨=+⎩，
，
消去y 得2222(1)2(3)50k x k x k ++-++=．
因为直线l 和曲线C 有交点，所以22224(3)4(1)(5)0k k k ∆=--++≥，即33
33
k -≤≤
， 即33tan []33α∈-
，，所以5[0][)66
ππαπ∈U ，，． （Ⅱ）曲线22:650C x y x +-+=的参数方程是32cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
，
，（θ为参数），
所以点()B x y ，的坐标可以写成(32cos 2sin )θθ+，，
所以3332sin 23cos 334sin()3x y πθθθ+=++=++，因为sin()[11]3π
θ+∈-，，
所以3[334334]x y +∈-+，
． 考点：1、极坐标方程与直线坐标方程的互化；2、直线与圆的位置关系；3、两角和与差的
正弦；4、三角函数的图象与性质．
【方法点睛】利用圆的参数方程求最值的技巧：（1）解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系；（2）求距离的问题,通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．
23．（1）2213x y +=，()2,2R ；（2）矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【解析】
试题分析：（1）根据同角三角函数的基本关系式把极坐标方程22
3
12sin ρθ
=
+中分母上的1用22sin cos θθ+代换，再分别把cos ,sin x y ρθρθ==代入即可曲线C 的普通方程；
（2）设出,P Q 两点的参数式坐标，由三角函数求出两邻边和
42sin 3PQ QR πθ⎛
⎫+=-+ ⎪⎝
⎭的最小值，即得周长的最小值.
试题解析：（1）由于cos ,sin x y ρθρθ==则曲线C 的方程为22
3
12sin ρθ
=
+，转化成2
213
x y += 点R 的极坐标转化成直角坐标为：()2,2R ； （1）设(
)
3cos ,sin P
θθ
根据题意，得到()2,sin Q θ。

则：23cos ,2sin PQ QR θθ=-=-，所以
42sin 3PQ QR πθ⎛
⎫+=-+ ⎪⎝
⎭
4考点：曲线的极坐标方程与普通方程的互化及参数方程的应用.。