最新-2018年高考数学总复习 5-2 等差数列课后作业 新

"【走向高考】2018年高考数学总复习 5-2 等差数列课后作业
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1.(文)(2018·温州十校二模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )
A ．12
B ．18
C ．22
D ．44 [答案] C
[解析] 根据等差数列的性质可知S 11＝a 1＋a 11
2
＝
a 2＋a 10
2
＝
11×4
2
＝22，故选C.
(理)(2018·北京海淀期中)已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，
S 3＝12，则S 4＝( )
A ．10
B ．16
C ．20
D ．24 [答案] C
[解析] S 3＝3a 2，又S 3＝12，∴a 2＝4，∴d ＝a 2－a 1＝2，∴a 4＝a 1＋3d ＝8，S 4＝a 1＋a 4
2
＝20，故选C.
2．(文)(2018·山东日照模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13
＝32，若a m ＝8，则m 为( )
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4 [答案] B
[解析] 由等差数列性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，
∴a 8＝8. ∴m ＝8.故选B.
(理)(2018·黄山质检)已知数列{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，
Q (4，a 4)的直线的斜率是( )
A ．4 B.1
4 C ．－4 D ．－143
[答案] A
[解析] ∵{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55， ∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11. ∴k PQ ＝
a 4－a 3
4－3
＝4，故选A.
3．(2018·山东东明县月考)在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋
a 6等于( )
A ．40
B ．42
C ．43
D ．45 [答案] B
[解析] ∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2
2a 1＋3d ＝13，∴d ＝3.
∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝42，故选B.
4．(文)(2018·西安五校一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7
＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．9 [答案] C
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝
a 5－a 1
5－1
＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均
为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.
(理)(2018·江西八校联考)设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7
＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *
，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( )
A ．22
B ．21
C ．20
D ．19 [答案] C
[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则有3d ＝93－99＝－6，∴d ＝－2；∴a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝3a 1＋9d ＝3a 1－18＝99，∴a 1＝39，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n .令a n ＝41－2n >0得n <20.5，即在数列{a n }中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n 项和中，S 20最大．依题意得知，满足题意的k 值是20，选C.
5．(文)(2018·山东青岛质检)已知不等式x 2
－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }，则数列{a n }的第四项为( )
A ．3
B ．－1
C ．2
D ．3或－1 [答案] D
[解析] 由x 2
－2x －3<0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D.
(理)已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2
－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m
－n |＝( )
A ．1 B.34 C.12 D.3
8
[答案] C
[解析] 设x 2－2x ＋m ＝0的根为x 1，x 2且x 1<x 2，
x 2－2x ＋n ＝0的根为x 3，x 4且x 3<x 4，且x 1＝1
4
，
又x 1＋x 2＝2，∴x 2＝7
4
，
又x 3＋x 4＝2，且x 1，x 3，x 4，x 2成等差数列， ∴公差d ＝13(74－14)＝12，∴x 3＝34，x 4＝5
4.
∴|m －n |＝|14×74－34×54|＝1
2
，故选C.
6．设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是118，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
[答案] A
[解析] ∵{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1·a 2·a 3＝118，
∴a 1a 3＝21，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1a 3＝21
a 1＋a 3＝10及{a n }递减可求得a 1＝7，d ＝－2，∴a n ＝9－2n ，由a n ≥0
得n ≤4，∴选A.
7．(2018·洛阳部分重点中学教学检测)已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两
个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2
b
2的值为________．
[答案] 20
[解析] 依题意得①⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝2b
b 2
＝ac ，或②⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝2b
a 2
＝bc ，或③⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋c ＝2b
c 2
＝ab .由①得a
＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，
又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2
b 2＝20；由③消去a 整理得(
c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，
因此有c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2
b
2＝20.
8．(文)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.
[答案] 14
[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0. ∵{a n }为等差数列且d ≠0，
∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *
)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.
(理)(2018·南京一模)已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>1
9
的最大正整数n 的值为________．
[答案] 4
[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 2
3＝a 2·a 4＝4，又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12
)n －1＝24－n
，a n ·a n
＋1
·a n ＋2＝2
9－3n
.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >1
9
，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n
＋1
·a n ＋2>1
9的最大正整数n 的值为4.
1.(文)(2018·合肥一模)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2
a 3,2a 2成等差数
列，则
a 9＋a 10
a 7＋a 8
＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋2 2 D ．3－2 2
[答案] C
[解析] 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2
＝a 1＋2a 1q ， ∵a 1>0，∴q 2
－2q －1＝0，∴q ＝1± 2. 又q >0，因此有q ＝1＋2，
∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2a 7＋a 8a 7＋a 8
＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，选C. (理)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若点O (0,0)，A (l ，S l )，B (m ，S m )，C (p ，S p )(其中l <m <p )，且向量AB →与OC →
共线，则l ，m ，p 之间的关系是( )
A ．m ＝p ＋l
B ．2m ＝p ＋l
C ．2p ＝m ＋l
D ．p ＝m ＋l
[答案] D
[解析] 依题意得AB →＝(m －l ，S m －S l )，OC →＝(p ，S p )，因为于AB →与OC →
共线，所以有(m －l )S p ＝p (S m －S l )，再设等差数列{a n }的公差为d ，代入整理可得p ＝m ＋l ，故选D.
[点评] 可取特殊等差数列验证求解，如取a n ＝n .
2．(2018·江西九校联考)已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )
A ．16
B ．11
C ．－11
D ．±11
[答案] B
[解析] 依题意得x ＋y ＝2＋3＝5，mn ＝2×3＝6，x ＋y ＋mn ＝11，选B.
3．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )
A ．f (x )＝2x ＋1
B ．f (x )＝4x 2
C ．f (x )＝log 3x
D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x
[答案] D
[解析] 对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x
n ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x n ＋1－x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34d
，这是一个与n 无关的常数，故{y n }
是等比数列．故选D.
[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．
(理)(2018·江南十校联考)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1
a n ·a n ＋1
，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10
＝( )
A.9
21 B.1021 C.1121
D.2021
[答案] B
[解析] 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1
y ＝3，
∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝
1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1
)，
∴T 10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－1
20＋1)
＝12×(1－121)＝10
21
.故选B. 4．(2018·黄冈3月质检)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )
A ．1183
B ．2187
C ．1184
D ．2188
[答案] A
[解析] 依题意得a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2
n －1
＝2
n －1
，ab n ＝b n ＋1＝2
n －1
＋1，
因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(20
＋1)＋(21
＋1)＋…＋(29
＋1)＝10
－
2－1
＋10＝210
＋9＝
1183，故选A.
5．(文)将正偶数按下表排成5列：
那么[答案] 252,4
[解析] 通项a n ＝2n ，故2018为第1018项，∵1018＝4×251＋1，
又251为奇数，因此2018应排在第252行，且第252行从右向左排第一个数，即252行第4列．
(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：
记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (21,12)＝________.
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
… … … … … … … … … …
[答案]412
[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故
前n行有S n＝n[1＋n－
2
＝n2个数，因此前20行共有S20＝400个数，故第21行的第
一个数为401，第12个数为412，
即A(21,12)＝412.
6．(2018·重庆文，16)设{a n}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n＋b n}的前n项和S n.
[解析] (1)设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q －2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2
∴a n＝a1·q n－1＝2·2n－1＝2n
(2)数列b n＝1＋2(n－1)＝2n－1
∴S n＝
－2n
1－2
＋[n×1＋
n n－
2
×2]
＝2n＋1＋n2－2.
7．(文)在数列{a n}中，a1＝4，且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线y ＝x－2上．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)已知b1＋b2＋…＋b n＝a n，试比较a n与b n的大小．
[解析] (1)∵点(a n，a n－1)在直线y＝x－2上，
∴a n＝a n－1＋2，即数列{a n}是以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列．∴a n＝2＋2(n－1)＝2n，
∴a n＝4n2.
(2)∵b1＋b2＋…＋b n＝a n，∴当n≥2时，b n＝a n－a n－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4，当n＝1时，b1＝a1＝4，满足上式．∴b n＝8n－4，∴a n－b n＝4n2－(8n－4)＝4(n－1)2≥0，∴a n≥b n.
[点评] 第(2)问可由b1＋b2＋…＋b n＝a n得，a n－b n＝a n－1＝4(n－1)2≥0，∴a n≥b n简捷明了，注意观察分析常能起到事半功倍的效果．
(理)(2018·浙江金华联考)已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设T n为数列{1
a n a n＋1
}的前n项和，若T n≤λa n＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最
小值．
[解析] 设公差为d .
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝14，
a 1＋2d 2
＝a 1
a 1＋6d ，
联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1. (2)
1
a n a n ＋1
＝
1
n ＋n ＋
＝
1n ＋1－1
n ＋2
， ∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝
n
n ＋. ∵T n ≤λa n ＋1，∴n n ＋
≤λ(n ＋2)，∴λ≥n n ＋
2
.
又
n n ＋
2
＝
1n ＋4n
＋
≤
1＋
＝1
16
(当且仅当n ＝2时取等号)．
∴λ的最小值为1
16
.
8．(理)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n
2n (n 为正整数)，求数列{b n }
的前n 项和S n .
[解析] (1)解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 则依题设d >0.
由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16.①
由a 3·a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55.②
由①得2a 1＝16－7d ，将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2
＝220， ∴d 2
＝4.又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.
解法二：由等差数列的性质得：a 2＋a 7＝a 3＋a 6，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3a 6＝55
a 3＋a 6＝16，
由韦达定理知，a 3，a 6是方程x 2
－16x ＋55＝0的根，解方程得x ＝5或x ＝11. 设公差为d ，则由a 6＝a 3＋3d ，得d ＝
a 6－a 3
3
.
∵d >0，∴a 3＝5，a 6＝11，d ＝
11－5
3
＝2， a 1＝a 3－2d ＝5－4＝1.
故a n ＝2n －1.
(2)解法一：当n ＝1时，a 1＝b 1
2，∴b 1＝2.
当n ≥2时，a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1＋b n
2
n ，
a n －1＝
b 12
＋b 22
2＋b 32
3＋…＋b n －1
2
n －1，
两式相减得a n －a n －1＝b n
2
，∴b n ＝2
n ＋1
，
因此b n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2 n ＝1
2n ＋1
n ≥2
当n ＝1时，S 1＝b 1＝2；
当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋
b 2
－2n －1
1－2
＝2
n ＋2
－6.
∵当n ＝1时上式也成立， ∴当n 为正整数时都有S n ＝2
n ＋2
－6.
解法二：令c n ＝b n
2n ，则有a n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，a n ＋1＝c 1＋c 2＋…＋c n ＋1，
两式相减得a n ＋1－a n ＝c n ＋1. 由(1)得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2.
∴c n ＋1＝2，c n ＝2(n ≥2)，即当n ≥2时，b n ＝2
n ＋1
， 又当n ＝1时，b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2 n ＝1
2n ＋1
n ≥2 于是S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋23
＋24
＋…＋2n ＋1
＝2＋22
＋23
＋24
＋…＋2n ＋1
－4＝
n ＋1
－2－1
－4
＝2
n ＋2
－6，即S n ＝2
n ＋2
－6.
1．(2018·温州中学)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋
a 9＝( )
A ．63
B ．45
C ．43
D ．27
[答案] B
[解析] 由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9
－S 6)，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45.
2．(2018·广东五校、启东模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2018，其前n 项的和为S n .若S 20092009－S 2007
2007
＝2，则S 2018＝( ) A ．－2018 B ．－2018 C ．2018 D ．2018
[答案] A
[解析] ∵S 20092009－S 2007
2007
＝2，
∴(a 1＋1018d )－(a 1＋1018d )＝2，∴d ＝2， ∴S 2018＝2018a 1＋
2010×2009
2
d ＝－2018. 3．(2018·北京顺义一中)一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为5
6，
则判断框中应填入的条件是( )
A ．i <4?
B ．i <5?
C ．i ≥5?
D ．i <6?
[答案] D
[解析] 由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋
1
i i ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
i －1i ＋1＝
i
i ＋1，故要输出S ＝5
6
，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D.
4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，则S n 的最大值为________．
[答案] 169
[分析] 利用前n 项和公式和二次函数性质求解．
[解析] 方法1：由S 17＝S 9，得
25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92
(9－1)d ， 解得d ＝－2，
∴S n ＝25n ＋n 2
(n －1)·(－2)＝－(n －13)2
＋169， ∴由二次函数性质，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法2：先求出d ＝－2，∵a 1＝25>0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝25－n
－a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤1312n ≥1212， ∴当n ＝13时，S n 有最大值169.
方法3：由S 17＝S 9得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， 而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0. ∵d ＝－2<0，a 1>0，∴a 13>0，a 14<0，
故n ＝13时，S n 有最大值．
方法4：由d ＝－2得S n 的图象如图所示(图象上一些孤立点)，
由S 17＝S 9知图象对称轴为n ＝9＋172
＝13， ∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.
5．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n ＝a 2
n ＋5a n ＋6，且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项公式．
[解析] ∵10S n ＝a 2n ＋5a n ＋6①
∴10a 1＝a 21＋5a 1＋6，解之得a 1＝2或a 1＝3 又10S n －1＝a 2n －1＋5a n －1＋6(n ≥2)，②
由①－②得10a n ＝(a 2n －a 2n －1)＋5(a n －a n －1)，
即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－5)＝0.
∵a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝5(n≥2)．
当a1＝3时，a3＝13，a15＝73.a1，a3，a15不成等比数列，
∴a1≠3；
当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，有a23＝a1a15，∴a1＝2，
∴a n＝5n－3.
[点评] S n与a n的关系是高考中经常出现的．该问题较新颖，但新而不难．思维的选择性很有深意，值得回味．。