组合与组合数课件高二下学期数学人教A版选择性

m个元素的全排列
因此组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.
根据分步计数原理，得到：
二、探究新知
2.组合数公式：
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) (n m 1) . m!
这里的n, m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式.
∵Anm
n! ， (n m)!
所以上面的公式还可以写成
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Anm表示.
2.排列数的计算：
（1）排列数公式(1)：Anm n(n 1)(n 2) (n m 1). (m, n N*且m n)
（2）全排列数:
Ann n !
（3）排列数公式(2)：
排列 甲乙，乙甲
组合
甲乙
第一步、取 第二步、排
甲丙，丙甲 乙丙，丙乙
甲丙
乙丙
仅一步、取
三、微体验
例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位 数共有多少个？ (2) 从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个,组成一个集合，这样的集合有多 少个？ (3) 10支球队进行单循环赛(每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？ (4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？
例2 平面内有A，B，C，D共4个点. (1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条?
排列: AB, BA AC,CA AD, DA BC,CB BD, DB CD, DC
组合： AB
AC
AD
BC
BD
CD
追问3：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立 起例2(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？ 进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数?
二、探究新知
问题1 前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排
列数
Anm来求组合数
C
m n
呢?
思考：C32
__3__
，C
3 4
___4___，C130
___？____，Cnm
___？___ .
组合
排列
abc
abc acb bac bca cab cba 由此可得
abd
abd adb bad bda dab dba
变式2 从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
解 1：按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示． ∴所有不同的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 10 个． 解 2：画出树形图，如图所示． 由此可得所有不同的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
(3)
C 10 10
A10 10
A10 10
1；
C C 10 10
＝
0 10
(4) C100 1 .
性质1
C
m n
C
n n
m
.
问题3 分别观察例中(1)与(2), (3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想？
或
C170
10! 7! 3!
10 9 8 7! 7! 3!
120 ；
或
C170
C130
10 9 8 321
法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有
C
m n
种取法.
由分类加法计数原理，得
Cm n1
Cnm
Cnm1
.
三、微体验
1. 计算：(1) C62 ； (2) C97 ； (3) C73 C62 ； (4) 3C83 2C52 .
2.
计算：C19080
C 97 100
______ .(结果用组合数作答）
素的组合数 C
nm等于从n个不同元素中取出(n-m)个元素的组合数Cnn，m也就是 Cnm
. C nm n
二、探究新知
3.组合数的性质：
性质2
Cm n1
C
m n
C
m n
1
.
证明：Cnm
C m1 n
n! m !(n
m)!
(m
n! 1)!(n
m
1)!
(n m 1) n! m n! m !(n m 1)!
3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差?
课堂小结 LOGO
1.组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的一个组合．
3. 计算：C18090
C 89 99
______ .(结果用组合数作答）
4.
求证：Cnm
m n
1 1
C m1 n1
.
例
2
C ＋C 338n－n
321n＋n
.
例32. 若C225x
C
x 25
4
,则x
_______
.
例34. 求证：C mm
Cm m1
Cm m2
Cnm
结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半.
问题3：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆. 下 面的问题是排列问题，还是组合问题?
(1) 从中选3辆，有多少种不同的方法? (2) 从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法?
课堂练习 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其 中任意3个点为顶点的所有三角形.
因为从n个不同元素中取出m个元素后，就剩下(n-m)个元素，因此从n个不同元素中取
出m个元素的方法，与从n个不同元素中取出(n-m)个元素的方法是一一对应的，因此取法
是一样多的，就是说从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，都对应着从n个不同元
素中取出(n-m)个元素的唯一的一个组合，反过来也一样. 即从n个不同元素中取出m个元
3.排列数的计算：
（1）排列数公式(1)：Anm n(n 1)(n 2) (n m 1). (m, n N*且m n)
（2）全排列数:
Ann n !
（3）排列数公式(2)：Anm
n! . (n m)!
(4)常见题型：
1、特殊元素、特殊位置优先考虑 2、捆绑法 3、插空法 4、定序法 5、圆环问题
是否能像排列数公式一样，也找到计算组合个数的公式，从而可以便捷地求
出所有组合的个数？
1.组合数的概念：
符号 Cnm中的C是英文combination(组合)的第
一个字母. 组合数还可以用符号
n m
表示.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个
C 不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
m 取出元素数
m，n所满足的条件是：(1) (2)
m∈N*，n∈N* ； m≤n .
n
元素总数
例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为
C
2 3
.
组合的第一个字母
组合与组合数的区别：
从4个不同元素中任取3个元素的组合数为
C
3 4
.
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数； “组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非 零自然数.
甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、 丙乙，共有=6种.
从已知的3个不同元素中每次取出2个 元素,按照一定的顺序排成一列.
追问2：这两个问题有何不同？这里每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题. 组合问题 组合与元素顺序无关 排列问题 排列与元素顺序有关
二、探究新知
1.组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素做成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
直观解释：
(n 1) n! m !(n m 1)!
(n 1)! m !(n m 1)!
C
m n1
.
该性质也可以根据组合数的定义与分类加法计数原理直接得出，在确定从(n+1)个不
同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.
如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有 Cnm1种取
A43
C
3 4
A33
，∴C43
A43 A33
.
acd
acd adc cad cda dac dca
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
由此可得Cnm
Anm Amm
.
二、探究新知
问题2 通过以上例子，你能归纳排列和组合之间的对应关系吗？
组合和排列的关系
n个不同元素
第一步 组合
m个元素 第二步 排列
6.2.3 组合
6.2.3 组合
一、复习引入
1.排列的定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成 一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
2.排列数的定义：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Anm表示.
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
排列、组合的 联系与区别：相同点 不同点Fra bibliotek排列组合
从n个不同元素中取出m个元素
元素的顺序有关
元素的顺序无关
完成这件事情共分 几步
问题1和问题2中 “排列”和“组合” 的对应关系：
变式1 判断下列事件是排列问题还是组合问题．
(1) 从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (1)组合 (2) 从10个人里选出3个做不同学科的课代表，有多少种选法？ (2) 排列 (3) 有10个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (3) 排列 (4) 有10个车站，共需要多少种不同的票价？(4)组合 (5) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (5)组合 (6) 3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？ (6) 排列 (7) 把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ (7)组合 (8) 10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? (8)组合
120；
二、探究新知
3.组合数的性质：
性质1
C nm
C
n n
m
.
证明：
C nm n
n! (n m)![n (n m)]!
(n
n! m)!m!
Cnm .
直观解释：
该性质反映了组合数的对称性. 其组合意义是从n个不同的元素中任取m个元素的组合
与任取(n-m)个元素的组合是一一对应(一种取法对应一种剩法).
2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
排列问 题
组合问 题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是 排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响， 则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
一、复习引入
1.排列数的定义：
注意：
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的， 即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性：元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有
位置的要求.
问题2：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
二、探究新知
LOGO
组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．
二、探究新知
例1 从甲、乙、丙3名同学中选出2 名去参加某天一项活动，有多少种 不同的选法？ 甲乙、甲丙、乙丙， 共有3种. 追问1:如果把上面问题中被选出的 对象叫做元素,那么你会表述例1吗?
从已知的3个不同元素中每次取出 2个元素合成一组
例2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参 加一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，另1名同学参加下午的活动，有 几种不同的选法？
Anm
n! . (n m)!
问题3：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆. 下
面的问题是排列问题，还是组合问题?
(1) 从中选3辆，有多少种不同的方法?
(2) 从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法?
二、探究新知
上节课问题2问题3中，我们通过学习会发现排列数可以算出组合的个数，那
Cnm
n！ . m !(n m)!
另外，我们规定
C
0 n
1.
三、微体验
例6 计算：(1) C130 ；
(2) C170 ；
(3)
C 10 10
；
(4) C100 .
C170 C130
解：(1)
C130
10 9 8 321
120 ；
(2)
C170
10 9 8 7 6 5 4 7654321
120 ；