数学四模拟试题参考答案(一)

数学四模拟试题(一)参考答案
一、填空题
（1）答案 ).()(a f a a f '-
[解] =--→a x x af a xf a x )()(lim
=--+-→a
x x af a af a af a xf a x )
()()()(lim ).()(a f a a f '-
（2）答案.2
e
[解] 由⎰=x x
x tdt 0)2
ln(ln θ两边对x 求导，得
⇒+=2
2)2
ln(
ln x x x
x θθ
θ.2
12ln 2ln
e x x =⇒==θθθ （3）答案.36-
[解] 由行列式的定义知，含有3
x 的项只有
3541332214)4231(62)(3)()1()1(x x x x a a a a -=⋅-⋅⋅--=-τ，
故36)0(-='''f 应填-36.
（4）答案2
[解] 由题设应有矩阵B-E 不可逆，于是.20=⇒=-t E B (5) 答案 1
[解] 由已知Ax=0有非零解,且A 满足行列式02=+=+E A E A ,知A 的三个特
征值为2
1
,1,0321-
=-==λλλ, 于是行列式=+A E 3.1)31)(31)(31(321=+++λλλ (6) 应填
.3
1 [解] 记}0{},0{≥=≤=Y B X A ，则}{}{}0,0{B A P B A P Y X P +==<> =1)()()(1)(AB P B P A P B A P +--=+-=.3
1
3121211=+--
二、选择题
（1）答案C
[解] 因为01lim )00(10
=-=--
→x
x e
x f ，01lim )00(1
=-=++
→x
x e
x f ，于是有
)0(0)(lim 0
f x f x ==→，可见f(x)在x=0处连续. 而
111lim )
0()(lim )0(1
00
=-=-='--
→→-x
x x e
x
f x f f ，
011lim )
0()(lim )0(1
00
=-=-='++
→→+x
x x e
x
f x f f
故f(x)在点x=0处不可导，应选(C).
（2）答案 A
[解] 因为
dxdy y x f D
⎰⎰
+)(22=⎰⎰⎰⎰==21
21
2
1
20
.)(2)(2)(dx x xf rdr r f rdr r f d ππθπ
故(A)为正确选项.
(3) 答案 D
[解] 函数f(x,y)在区域D 内有二阶偏导数,推不出其二阶偏导数连续,又不能得到f(x,y)在D 内可微,更不能得到一阶偏导数连续. 故应选D.
(4) 答案 B.
[解] 矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=0001A 与⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=0010B 等价,但其列向量组不等价,排除(A); 若Ax=0与Bx=0同解,则r(A)=r(B),因此有A,B 等价,故(B)正确. 注意(C),(D)均为必要而非充分条件,比如
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A 与⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=1011B 的特征值和特征多项式相同,但A,B 不相似. (5) 答案C
[解] 因为)()()()(1212121B A P B A P B A A P B A A P +=+=-,而右端显然可以不为零,所以(C)不正确, 故选(C). （6）答案 A
[解] 由题设知，aX-bY 仍服从正态分布，且其数学期望为E[aX-bY]=aEX-bEY=a-b ，可见当a-b=1时，有2
1
}1{=≤-bY aX P , 对比四个选项知，只有(A)满足a-b=1，因此正确选项为(A).
三、[解]
令u=xt, ⎰
⎰=
1
0)(1)(x
du u f x
dt xt f , 原方程化为
⎰
=x
x nxf du u f 0
).()(
方程两边关于x 求导,得 )()()(x f nx x nf x f '+=
即 .)(1
1)()(1n n
x C x f x
n n x f x f -=⇒⋅-='
四、[解]
由0)sin (lim 0
=-+→x x x α，即 0lim 0
=+
→αx x ，所以 .0>α 又 .0)0(,0)0(0)
(lim
0='=⇒=→f f x
x f x
对于极限 x
x x f x cos )
(lim 10--→+αα，
（1）如果 0<α<1, 有 ∞=--→+
)cos (lim 1
x x x αα，则 0cos )
(lim 10
=--→+
x
x x f x αα，由洛必
达法则 =-⎰
+
→x
x dt
t f x
x sin )(lim 0
α0c o s )
(l i m 1
=--→+
x
x x f x αα，这与已知相矛盾. (2) 如果 α>1 ，有 1)cos (lim 1
0-=--→+
x x
x αα，同理有 =-⎰
+
→x
x dt
t f x
x sin )(lim 0
α0，矛盾.
所以
α=1.
于是 β=2
000
02
1)
(lim
cos 1)(lim sin )(lim x x f x x f x x dt
t f x x x
x ++
+
→→→=-=-⎰
α =),0()
0()(lim )(lim 00f x
f x f x x f x x ''='-'='+
+→→ 所以 ).0(,1f ''==βα
五、[解]
⎰⎰⎰⎰
-==D n D
n drd r
rdrd r I .111θθ 1）);(22,222120n
n b
a n a
b n
r dr d I n -----==
≠⎰
⎰πθπ
2）.ln 2,220a
b
r dr d I n b a πθπ⎰⎰===
六、[解]
由0)
(lim
=→x
x f x ，有 .0)0(,0)0(='=f f 点(x,f(x))处的切线方程是
),)(()(x X x f x f Y -'+= 令Y=0, 得切线在x 轴上的截距为 ).0(,)
()
()(>'-
=x x f x f x x u 注意到)0(,0)()0()()(),0(0)(>≠''='-'='⇒≥≠''x x f f x f x f x x f ξ，于是
,0)
0()
0()()(lim )()(lim )(lim 00
='''-='''-='-=+
+
+→→→f f x f x f x f x f x u x x x 故 1
c o s )(lim
)]
1(cos 1ln[)(lim cos ln )(lim
-=-+=-⎰⎰
⎰+
+
→→→x dt t u x dt
t u x
dt t x u x
x x
x x
x
=)
()
()(lim )(lim )(lim 2000
x f x f x f x u x x u x x x '''-='-=-+++
→→→ =.21
)()(2)(lim )
()(lim )0(020
-=''''-='''-+
+
→→x f x f x f x f x f f x x 七、[解]
由于
⎰
⎰=-2
2
2
)()(x x du u f dt t x f ，而D 可分解为关于x 和y 轴对称的D1,D2，令
⎰⎰=D
A dxdy xy f ,)(于是
⎰
⎰⎰
⎰⎰+=
++==
2
)(0
2
29
2
])()[()(xy D
D
A dxdy A du u f xy xy dxdy xy f A , 解得 .92-=A 故有 92)()(202
-+=⎰x du u f x x x f ，令x=1，得 ⎰-=10.9
7)(dx x f
八、[证] (1) 令⎰
-=x
a
dt t f x x F )()
1()( (由分部积分得到)，则 F(0)=F(1), 由罗尔定理，
知存在ξ，使 ⇒='0)(ξF ⎰
=
-ξ
ξξ0
)()1)((dx x f f .
(2) 令
⎰--=x
dt t f x x f x 0
)()1)(()(ϕ，则
0)(2)1)(()()()1)(()(>--'=---'='x f x x f x f x f x x f x ϕ，
即严格单调增加，所以ξ必唯一.
注：本题属隐含问题，形式上用介值定理，实际上用微分中值定理.
九、[解]
当r(A)=n 时, n ααα,,,21 线性无关,设Bx=0,即
0)()()(1322211=++++++ααααααn n x x x
则 0)()()(122111=++++++-n n n n x x x x x x ααα
于是有 0,,0,01211=+=+=+-n n n x x x x x x
可见当n 为偶数时, Bx=0有非零解: 1121====-=-n n x x x x ; 当n 为奇数时,Bx=0只有零解. 十、[解]
(1) 设0,≠=x x Ax λ,λ为A 的特征值, 则有 x x A k
k
λ=,即k
λ为k
A 的特征值,但
0=x k λ,故0=λ,即A 的特征值只能为0.
而(A+E)x=Ax+Ex=x x x )1(+=+λλ,可见A+E 的特征值全为11=+λ, 故行列式
.1=+E A
(2) 假设A 能与对角阵相似.则有可逆阵P,使 Λ=-AP P 1
,其中Λ是由A 的特征值构成的对角阵,即Λ=0, 从而可推出A=0,这与A 0≠矛盾, 所以, A 不能与对角阵相似.
十一、[解]
由X 和Y 独立，易知P {Z =0}=(1-p )2+p 2, P {Z =1}=2p (1-p ). 要使Z 与X 独立，必须 P X i Z j P X i P Z j {,}{}{}===== , i =0,1; j =0,1 即
[()]()()()()()
[()]()()11121111211222222
-+-=---=--+=-=-⎧⎨⎪
⎪⎩
⎪⎪p p p p p p p p p p p p p p p p p p 解得p =1/2
十二、[解]
根据连续复利公式，t 年末售出总收入R 的现值为A t rt
()Re =-
于是 )(0)(0)()(t rt rt t Ee e R t EA e R t A ξξ--=⇒=， 其中 dt e
e dx e
e Ee t t t
x x x t 2
2
)()(22
2121-
+∞
+∞
-=---
∞
+∞
-⋅=
⋅
=⎰
⎰
μμμξπ
π
=d e
e t 2
)21(2
12
21--
∞
+∞
-+
⎰
π
μ.212
12
2
12
12+
-
∞
+∞
-+
=-==⎰
μμπ
e
du e
e
u u t
这里.5
2
t =
μ 于是
.)(5
2210)
(0t rt
t rt
e
e R Ee
e
R t EA +--==ξ
令 .0)5.12()(,2510)(32
1
25102
2200
<-==⇒=+=r e
R dt t EA d r t dt t dEA r t t 且
当 r=0.06时，t=100
9
11≈年.。