12-4 不确定关系
量子物理基础知识点复习
Aeiml
(1)
其中
ml
2mr 2E 2
(2)
（1）式是 的有限连续函数。要使其满足在任一
给定 值时为单值，就需要 ( ) ( 2 )
e e 或
iml
iml ( 2 )
由此得 eiml 2 1
(3)
（3）式给出ml 必须是整数,即
ml 1,2,...
m me / 1 v2 / c2
v 3 c 2
h h 1 h
p mv 3 mec
(10)
四、不确定关系
1. 位置和动量的不确定关系：微观粒子在某个方向上 的坐标和动量不能同时准确地确定，其中一个不确定 量越小，另一个不确定量就越大。
xpx 2
yp y 2
(19)
根据能量和动量关系有 p 2mE k
处 Ek E，再由
E
2 2mr 2
ml2
，而此
圆周运动的粒子的角动量（此角动量矢量沿z轴方 向）为
L rp ml
即角动量也量子化了，而且等于 的整数倍。
(20)
七、原子中的电子
1. 四个量子数，取值范围，物理意义。
1) 主量子数 n 1,2,3,4, ，它决定原子系统的能量。 n 1,2,3,4, 分别代表 K，L，M，N 等壳层。
第12章 量子物理基础知识点复习
一、光电效应 所有细节均要求，包括实验曲线
i
im 2 im1
I2 I1
Uc(V) Uc K－U0
2.0
Cs Na Ca
1.0
I2>I1
1014(Hz)
0.0
-Uc 0
5.不确定关系-教科版选修3-5教案
5. 不确定关系-教科版选修3-5教案教学目标1.了解不确定关系的基本概念与表达方式。
2.掌握不确定关系的表示方法。
3.能够在实际应用中运用不确定关系。
教学重点1.不确定关系的定义与表示方法。
2.不确定关系的实际应用。
教学难点1.理解不确定关系的实际应用。
2.运用不确定关系解决问题。
教学内容不确定关系的基本概念与表达方式不确定关系是指在一个事物与另一个事物之间，存在一种不确定的联系或关系。
例如，“可能是”、“或许是”、“有可能”、“也许是”、“可能存在”、“有时”等等，这些都是表达不确定关系的常用词语。
不确定关系的表达方式包括：不确定概率、不确定数量、不确定比例、不确定时间等等。
不确定关系的表示方法•文字•图表•逻辑符号不确定关系的实际应用在实际应用中，常用的不确定关系包括：1.概率与统计学中的不确定性问题。
2.金融与经济领域中的风险问题。
3.机器学习中的不确定性问题。
4.自然科学中的测量误差问题。
教学方法1.讲授法2.课堂互动式探究法教学步骤第一步：引入引导学生通过教师提供的相关图片、问题或文字，探讨不确定关系的概念、表达方式和实际应用。
第二步：讲授讲授不确定关系的基本概念与表达方式，包括文字、图表和逻辑符号的表示方法，并结合相关实例讲解不确定关系的应用。
第三步：探究通过课堂探究与小组讨论的方式，引导学生在实际问题中发现不确定关系的应用，并提高学生独立思考与解决问题的能力。
第四步：归纳总结归纳总结学生们对不确定关系的认识，并对不确定关系进行总结。
学时安排本教案学时安排：2学时。
教学评价1.学生能够准确理解不确定关系的概念和表达方式。
2.学生能够将不确定关系应用到实际问题中。
3.学生有一定的独立思考和解决问题的能力。
参考资料1.杨欣《不确定关系》。
人民邮电出版社，2002年。
2.陈红丽，《不确定关系与模糊数学教学探究》。
华东师范大学，2016年。
3.《高中数学选修3》（人教版）。
不确定关系浅析
y受到了干扰才使它们变得不确定了。
在罗伯逊和邓文基等人的证明方法中，完全是从量子力学的基本假定出发的。
这表明测不准关系的成立，仅仅是由微观粒子本身固有的特性所决定的。
4.1.3关于名称和译名的争议海森堡的名著《量子论的物理原理》于1930年同时用英文和德文出版,在德文版中他用unbestimm theit一词(表示不确定的性质)，这相当于英文的indeterm Inacy【9】，而在英文版中他用的词是uncertainty。
由于英文版的内容较详细,且传播广，影响大，所以国际上多数人采用uncertainty一词。
在关于量子理论基本解释的长期争论中，名词的使用也相应地出现了分歧。
例如，德布罗意(deBroglie)和玻姆(Bohm)都曾用indeterminacy一词来表明他们对量子理论的基本解释方面的意见。
而在我国关于名词的使用方面与国外并不一致，可能是由于在我国关于量子理论解释的争论尚未普遍展开。
1975年科学出版社出版的(英汉物理学名词)中，将indeterminacy和uncertainty两个词都译成“测不准”。
在此前后的绝大多数文献中也都采用这一词。
1997年科学出版社出版的(物理学名词)中, 将uncertainty 一词改译成“不确定性”,并将indeterminacy 删去，此后有些国内的文献已将“测不准”改为“不确定性”。
但也有一些文献或著作中仍然沿用“测不准”一词，表明我国有些物理学家对这一名词译法的改动持保留意见，也有人提议“测不准”与“不确定”二词并用。
4.2对有争议问题的讨论4.2.1关于统计解释与非统计解释的争论这一争论的焦点之一就是单个粒子是否有波动性的问题。
微观粒子具有波动性，早在1927年已被戴维孙( Davison)与革末( Germer)的著名实验所证实。
遗憾的是，这类实验的结果一般都只能说明大量粒子的统计行为呈现波动性，而不能直接说明单个粒子的行为也呈现波动性，于是有些人认为单个粒子不具有波动性，从而也就认为测不准关系只对粒子系综成立，不适用于单个粒子体系。
小学二年级数学问题归类集
小学二年级数学问题归类集一、年龄问题：年龄差永远不变【例】姐姐说：“我今年12岁。
”妹妹说：“我今年4岁。
”那么10年后，姐姐比妹妹大几岁？【答案】12-4=8（岁）答：10年后，姐姐比妹妹大8岁。
【思路】今年：姐姐，12岁姐妹，4岁年龄差：12-4=8（岁）10年后：姐姐，12+10=22岁姐妹，4+10=14岁年龄差：22-14=8（岁）年龄差永远不变二、移多补少问题1、给完一样多：“多多少，给一半”2、给完还多：先藏起来一部分，再“多多少，给一半”【例】小明送给小刚3 本书后，还比小刚多2 本，原来小明比小刚多多少本？【答案】3+3=6（本），6+2=8（本）答：原来小明比小刚多8本。
【思路】送完之后：假设多的2本先藏起来，小明给了小刚3本后一样多，那么小明比小刚多了3+3=6（本）【多多少，给一半】；再把藏起来的2本取出来，6+2=8（本），所以，原来小明比小刚多8本。
三、四边形计数问题【例】数一数，下图有多少个长方形？（）个【答案】7 个【思路】拼拼法【例】数一数，下图有多少个长方形？【答案】6 个【思路】两种方法：拼拼法；拼拼法进阶——秒杀法（1）拼拼法（2）拼拼法进阶——秒杀法【三个小的基本长方形排成一排，可以直接秒杀】【例】数一数，下图有多少个长方形？【答案】18 个【思路】拼拼法进阶—秒杀四、图形分割【例】下面是一个长方形，请你切去一个角，剩下的图形可能是几边形？【答案】三角形、四边形、五边形【思路】五、：乘法的含义易错点【例】根据要求写上合适的算式．（1）2 个5 相加的和；（2）2 个5 相乘的积；（3）2 和5 相乘的积；（4）2 和5 相加的和。
【答案】（1）5+5=10；（2）5×5=25；（3）2×5=10；（4）2+5=7 【思路】分成2部分读题审题（1）2 个5 相加的和先看前面部分“2 个5”，写数： 5 5再看后面部分“相加”，写符号： 5 + 5=10（2）2 个5 相乘的积先看前面部分“2 个5”，写数： 5 5再看后面部分“相乘”，写符号： 5 × 5=25（3）2 和5 相乘的积先看前面部分“2 和5”，写数： 2 5再看后面部分“相乘”，写符号： 2 × 5=10（4）2 和5 相加的和先看前面部分“2 和5”，写数： 2 5再看后面部分“相加”，写符号： 2 + 5=7六、线段计数基础回顾：【例】有五个人击掌庆祝胜利，每两个人之间击一次掌，每个人都要击到，一共要击多少次？【答案】10 次【解析】两个人才能完成的事，一般用“打枪法”．先给每个人标上序号，由第一个人开始往后“打枪”，即第一个人可以跟谁击掌，就从①向谁画一条弧线，①全部画完之后，再从②开始，以此类推，有序思考。
大学物理习题12第十二章答案
习题1212.1选择题(1) 已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是 1.2 eV ，而钠的红限波长是540nm(A) 535nm ． (B) 500nm ．(C) 435nm ． (D) 355nm ． ［ ］ 答： D ；(2) 设用频率为ν1和ν2的两种单色光，先后照射同一种金属均能产生光电效应．已知金属的红限频率为ν0，测得两次照射时的遏止电压|U a 2| = 2|U a 1|，则这两种单色光的频率有如下关系： (A) ν2 = ν1 - ν0． (B) ν2 = ν1 + ν0．(C) ν2 = 2ν1 - ν0． (D) ν2 = ν1 - 2ν0． ［ ］ 答： C ；(3) 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的 1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为(A) 2． (B) 3． (C) 4． (D) 5． ［ ］ 答：D ；(4) 氢原子光谱的巴耳末系中波长最大的谱线用λ1表示，其次波长用λ2表示，则它们的比值λ1/λ2为：(A) 20/27． (B) 9/8．(C) 27/20． (D) 16/9． ［ ］ 答： C ；(5) 假定氢原子原是静止的，质量为1.67×10-27 kg ，则氢原子从n = 3 的激发状态直接通过辐射跃迁到基态时的反冲速度大约是 ［ ］(A) 4 m/s ． (B) 10 m/s ． (C) 100 m/s ． (D) 400 m/s ． 答： A ；(6) 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4 ÅU 约为(A) 150 V ． (B) 330 V ．(C) 630 V ． (D) 940 V ． ［ ］ 答： D ；(7) 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同． (B) 能量相同．(C) 速度相同． (D) 动能相同． ［ ］ 答： A ；(8) 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x ax 23cos 1)(π⋅=ψ, ( - a ≤x ≤a )那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为(A) 1/(2a )． (B) 1/a ．(C) a 2/1． (D) a /1 ［ ］答： A ；(9) 关于不确定关系2x p x ∆∆≥，有以下几种理解：(a ) 粒子的动量不可能确定． (b ) 粒子的坐标不可能确定．(c ) 粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定． (d ) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子．其中正确的是： ［ ］ (A) (a )，(b ). (B) (c )，(d ). (C) (a )，(d ). (D) (b )，(d ).答： B ；(10) 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？［ ］ 答： A 。
西门子冰箱使用手册
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The following cases are not covered by the free of charge repair and should be paid by the customer:
Damage caused by improper transportation, installation, operation, maintenance and storage by customer.
婚姻法解释一二三四
婚姻法解释一二三四婚姻法是一部规范婚姻关系的法律，是我国家庭法的重要组成部分。
婚姻法的解释一、二、三、四对于婚姻关系中的一些重要问题进行了详细阐释和规定。
本文将依次对婚姻法解释一、二、三、四进行解读，力求做到准确、全面地介绍这些解释。
婚姻法解释一主要涉及婚姻的成立和无效，明确了婚姻登记、彩礼、订婚等关键概念和程序。
此解释明确规定，婚姻是自由、平等、协商一致的男女双方自愿结合而成的家庭关系。
同时，它还规定了禁止包办婚姻、买卖婚姻和其他违法行为。
与此同时，解释一还对无效婚姻设定了一些特殊情况，如未满法定婚龄、未得到家长或监护人的同意、有严重疾病等。
婚姻法解释二主要涉及夫妻的权利和义务，明确了夫妻关系中的一些重要问题。
此解释明确规定了夫妻双方的平等地位和互惠互利原则，强调了夫妻的共同责任和义务。
解释二重点规定了夫妻共同负担家庭生活费用、夫妻共同管理财产和债务、夫妻共同抚养子女等问题。
同时，它还对夫妻感情破裂、家庭暴力等问题提供了保护，为夫妻关系的维护和和谐提供了制度支持。
婚姻法解释三主要涉及婚姻的离婚，明确了离婚的程序和条件。
此解释规定了准予离婚的具体情形，如感情破裂、分居满二年、重婚、家庭暴力等。
它还强调了调解离婚的重要性，倡导夫妻双方在分居期间进行调解，以解决婚姻矛盾。
同时，解释三还明确规定了子女抚养、夫妻财产分割和债务清偿等具体问题。
婚姻法解释四主要涉及家庭暴力，明确了抵制和惩治家庭暴力的原则和措施。
此解释明确规定了家庭成员之间不得有家庭暴力行为，不得有虐待、遗弃等违法行为。
它还规定了侵害人身权利的具体行为和处理措施。
为了有效预防和处理家庭暴力，解释四提出了相关的法律责任和保护措施，并规定了救助和救济的具体程序和方式。
综上所述，婚姻法解释一、二、三、四分别涉及了婚姻的成立和无效、夫妻的权利和义务、婚姻的离婚和家庭暴力等重要问题。
这些解释为婚姻关系的维护、家庭和谐以及妇女儿童权益的保护提供了有力的法律支持。
高中数学必修一《优化方案》答案 第一章
1.1集合1．1.1集合的含义与表示[读教材·填要点]1．元素与集合(1)元素与集合的定义：一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合中元素的性质：①确定性：即给定的集合，它的元素是确定的．②互异性：即给定集合的元素是互不相同的．③无序性．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素与集合的关系：a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素，记作a∉A.2．集合的表示方法除了用自然语言表示集合外，还可以用列举法和描述法表示集合．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．3．常用数集及其记法[小问题·大思维]1．著名数学家能否构成一个集合？提示：不能，没有一定的评定标准，故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t，k}吗？提示：不能，集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素．3．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}是同一集合吗？提示：不是同一集合．集合{－5，－8}中元素有2个，为数．而集合{(－5，－8)}中有一个元素为坐标(－5，－8)．[例1]下列每组对象能否构成一个集合：(1)某校20XX年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；(5)3的近似值的全体．[自主解答]“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(5)不能构成集合．——————————————————判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．————————————————————————————————————————1．下列能构成集合的是()A ．中央电视台著名节目主持人B ．20XX 年沈阳全运会比赛的所有项目C ．20XX 年上海世博园中所有漂亮的展馆D ．世界上的高楼 答案：B[例2] 已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，求实数a 的值． [自主解答] 若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2， 当a ＝0时，A ＝{2,1,3}，满足题意． 当a ＝－2时，A ＝{0,1,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，舍去；若a 2＋3a ＋3＝1，则a ＝－1或a ＝－2(均舍去)． 综上可知，a ＝0.例2中1∈A 改为4∈A ，则结果如何？ 解：若a ＋2＝4，则a ＝2. ∴A ＝{4,9,13}满足题意． 若(a ＋1)2＝4，则a ＝1或a ＝－3. 当a ＝1时，A ＝{3,4,7}，满足题意． 当a ＝－3时，A ＝{－1,3,4，}满足题意． 若a 2＋3a ＋3＝4，则a ＝－3±132，代入后都满足题意，故a 的值为a ＝1，a ＝2，或a ＝－3或a ＝－3±132.——————————————————1.这类问题既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想.2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合.————————————————————————————————————————2．含有两个实数的集合A 可以表示为{a －3,2a －1}，求实数a 的取值范围． 解：∵A ＝{a －3,2a －1}，∴由集合中元素的互异性可得a －3≠2a －1. ∴a ≠－2.∴a 的取值范围为a ≠－2.[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝5的解集；(2)不等式2x －3>5的解集．[自主解答] (1)集合用描述法表示为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝5}．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1故集合用列举法表示为{(4，－1)}．(2)由2x －3>5可得x >4，所以不等式2x －3>5的解集为{x |x >4，x ∈R }． ——————————————————1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．2．方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．————————————————————————————————————————3．有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2} ②⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2.③{－1,2} ④(－1,2) ⑤{(－1,2)} ⑥{x ，y |x ＝－1，或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上)．解析：答案：②⑤已知集合A 中含有三个元素，1,0，x ，若x 3∈A ，求实数x 的值． [错解] ∵x 3∈A ，故x 3＝0或x 3＝1或x 3＝x ， 若x 3＝0，则x ＝0； 若x 3＝1，则x ＝1； 若x 3＝x ，则x ＝1或x ＝0. 综上所述：所求x 的值为0或1.[错因] 本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性，解出来的结果没有代入检验，得出了错误结果；二是解x 2＝x 时漏掉了x ＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解] ∵x 3∈A ，∴x3是集合A中的元素．又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x3＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去；②若x3＝1，则x＝1，此时集合A中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性，舍去；③若x3＝x，则x＝0、x＝－1或x＝1，当x＝0、x＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；综上可知，x＝－1.1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是()A．2B．3C．4 D．5解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案：A2．下面几个命题中正确命题的个数是()①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1C ．2D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．答案：C3．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3. 答案：B4．已知①5∈R ②13∈Q ③0＝{0} ④0∉N⑤π∈Q ⑥－3∈Z .正确的个数为________． 解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的． 答案：35．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，则有：17______A ；－5______A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈β. 答案：∈，∉，∈6．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有非负偶数的集合； (5)所有能被3整除的数的集合；(6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (7)不等式2x －1>5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x |x 是梯形}或{梯形}． (4){0,2,4,6,8，…}． (5){x |x ＝3n ，n ∈Z }． (6){1,2}． (7){x |2x －1>5}．一、选择题1．下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A ．一切很大的数 B ．高中数学的所有难题 C ．美丽的小女孩D ．方程x 2－1＝0的实数根解析：选项A ，B ，C 中的对象都没有明确的判断标准，不满足集合中元素的确定性，故A ，B ，C 中的对象都不能组成集合．答案：D2．下列命题不．正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案：D3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案：D 二、填空题5．集合A ＝{(2，－2)，(2,2)}中含有________个元素． 解析：∵(2，－2)，(2,2)是两个点，∴有2个元素． 答案：26.已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，a ∈A 且a ∈B ，则a 为________． 解析：∵a ∈A 且a ∈B ，∴a 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋3的解．解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，∴a 为(2,5)． 答案：(2,5)7．用描述法表示方程x <－x －3的解集为________． 解析：∵x <－x －3， ∴x <－32.∴解集为{x |x <－32}．答案：{x |x <－32}8．{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝________.解析：由(x＋2)2＋|y－3|＝0，又(x＋2)2≥0，|y－3|≥0，所以(x＋2)2＝0，|y－3|＝0，所以x＝－2，y＝3，所以{(x，y)|(x＋2)2＋|y－3|＝0，x，y∈R}＝{(－2，3)}．答案：{(－2,3)}三、解答题9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值．(2)若a∈A，试求实数a的值．解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.10．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，所以x＝2，此时集合A＝{2}；当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．1．1.2集合间的基本关系[读教材·填要点]1．子集的概念A B(或B A)3.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．4．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.[小问题·大思维]1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗？提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.2．任何集合都有真子集吗？提示：不是，空集∅就没有真子集．3．{0}和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？提示：{0}和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅{0}．[例1]写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．[自主解答]由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．——————————————————1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. ————————————————————————————————————————1．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解：当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}．所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.[例2]下列各式正确的是________．(1){a }⊆{a }； (2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)0⊆{0}； (4){1}{x |x ≤5}； (5){1,3}{3,4}． [自主解答] ∵1<5，∴1∈{x |x ≤5}．∴{1}⊆{x |x ≤5}．又∵{1}≠{x |x ≤5}，∴{1}{x |x ≤5}．∵1∈{1,3}，但1∉{3,4}，∴{1,3} {3,4}．“”是“真包含于”的意思[答案] (1)(2)(4) ——————————————————集合间关系的判定的步骤：首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A B ；,其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B A ；,最后，下结论：若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B ；若A ⊆B ，B A ，则A B ；若AB ，B ⊆A ，则B A ；若上述三种情况都不成立，则AB ，BA .[注意] 有时一个集合可以看成另一个集合的元素，如{1}可以看成集合{{1}，1，2，3}中的元素，也可以看成子集，因此{1}∈{{1}，1，2，3}与{1}⊆{{1}，1，2，3}都正确. ————————————————————————————————————————2．集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合M 和N 的关系． 解：M ＝{－3,2}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－72.∵－3>－72，2>－72，∴－3∈N,2∈N .∴M ⊆N . 又0∈N ，但0∉M ，∴M N .[例3] 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．[自主解答] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1解得－1≤m <2， 综上得m ≥－1. ——————————————————(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实点表示，不含“＝”用虚点表示.(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的.————————————————————————————————————————3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值． 解：∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ； (2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1.∴a 的值为2或－1.高手已知M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，N ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，若N ⊆M ，求实数a 的取值范围． [错解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，(1)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(2)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(3)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．所以，a ＝1.[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N 为∅的情况．[正解] ∵M ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，又N ⊆M ，∴N ＝∅，或N ＝{1}，或N ＝{2}，或N ＝{1,2}． (1)当N ＝∅时，方程x 2－2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，即a >1.(2)当N ＝{1}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝2，1×1＝a ，∴a ＝1.(3)当N ＝{2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝2，2×2＝a ，不成立．(4)当N ＝{1,2}时，有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝2，1×2＝a ，不成立．综上可知实数a 的取值范围是a ≥1.1．下列命题中，正确的有()①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C2．设集合M＝{x|x>－2}，则下列选项正确的是()A．{0}⊆M B．{0}∈MC．∅∈M D．0⊆M解析：选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误．答案：A3．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则()A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析：选项A错，应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A.答案：B4．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：∵∅{x|x2－x＋a＝0}．∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅.即x2－x＋a＝0有实根．∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤1 4.答案：a ≤145．若{a,0,1}＝{c ，1b ，－1}，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵1b ≠0，∴c ＝0，∴a ＝－1，1b ＝1.∴a ＝－1，b ＝1.答案：－1 1 06．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，求实数m 的值． 解：∵B ⊆A ，∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1，当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.一、选择题1．已知集合M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}，则它的真子集的个数为( ) A ．12 B ．14 C ．15D ．16解析：∵M ＝{x ∈Z |－3<x ≤1}＝{－2，－1,0,1}共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个．答案：C2．定义集合A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,4,5}，则A *B 的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意知A *B ＝{1,3}， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D3．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合中为集合M 子集的是( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .答案：D4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：A 二、填空题5．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析：∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，∴3≤a ≤4. 答案：3≤a ≤46．设a ，b ∈R ，集合{0，ba，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________.解析：由题意可知a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，所以ba ＝－1，则a ＝－1，b ＝1，故b －a＝2.答案：27．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}； ②∅{0}； ③{0,1}⊆{(0,1)}； ④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确，{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.答案：②8．已知集合P ＝{1,2}，那么满足Q ⊆P 的集合的个数是________． 解析：∵P ＝{1,2}，Q ⊆P ，∴集合Q 可以是∅或{1}或{2}或{1,2}．答案：4 三、解答题9．由“2，a ，b ”三个元素构成的集合与由“2a,2，b 2”三个元素构成的集合是同一个集合，求a ，b 的值．解：根据集合相等，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.10．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}，若B ⊆A ，求a 的值． 解：法一：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A 得，B ＝∅，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}，由于Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，∴B ≠∅，且B 含有两个不同元素．∴B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立， ∴a ＝2.综上所述：a ＝2.法二：A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |(x －a )· (x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， ∵a ≠a ＋1，∴当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3. ∴a ＝2.1．1.3 集合的基本运算 第一课时 并集与交集[读教材·填要点]1．集合的并集与交集的定义2．并集与交集的运算性质1．若A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，那么A∪B＝{1,2,3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B?提示：A∪B＝{1,2,3,3,4,5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B ＝{3}．2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系，而是A∩B＝∅.[例1] 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}，B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3}D ．{1，－2，－3} [自主解答] A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}＝{1，－2}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}＝{－2,3}， ∴A ∪B ＝{1，－2}∪{－2,3}＝{－2,1,3}． [答案] C ——————————————————解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示. ————————————————————————————————————————1．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R .[例2] 已知集合A ＝{1,3，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝{1,3，x }，求满足条件的实数x 的值．[自主解答]∵A∪B＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，∴A∪B＝A，即B⊆A，∴x2＝3或x2＝x.①当x2＝3时，得x＝±3.若x＝3，则A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，符合题意；若x＝－3，则A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，符合题意．②当x2＝x时，则x＝0或x＝1.若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不成立，舍去；综上可知，x＝±3或x＝0.——————————————————(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A ∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理.(2)对于含有参数的问题要分类讨论，同时要检验，利用好集合中元素的互异性. ————————————————————————————————————————2．已知集合A＝{4,6}，B＝{2，m}，A∪B＝{2,4,6}，则m的值为________．解析：∵A＝{4,6}，B＝{2，m}，而A∪B＝{2,4,6}，∴m＝4或m＝6.答案：4或6妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！高手集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1) 若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．[巧思](1)A∩B＝A∪B⇔A＝B；(2)∅A∩B⇔A∩B≠∅.[妙解] 由已知，得B ＝{2,3}，C ＝{2，－4}．(1)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B .于是2,3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的两个根，由根与系数之间的关系知：⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝a 2－19解之得a ＝5.(2)由A ∩B ∅⇒A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，得3∈A,2∉A ，－4∉A . 由3∈A 得32－3a ＋a 2－19＝0， 解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，与2∉A 矛盾； 当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，符合题意． ∴a ＝－2.1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∪N ＝M C ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}． 答案：D2．设A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}解析：注意到集合A 中的元素为自然数，因此易知A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B 中的方程可知B ＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A ∩B ＝{2}．答案：A3．设集合M ＝{x |－3≤x <7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是( )A．k≤3 B．k≥－3 C．k>6 D．k≤6解析：因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.答案：D4．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，则A∩B∩C ＝________.解析：∵A∩B＝{x|x是菱形}∴A∩B∩C＝{x|x是正方形}．答案：{x|x是正方形}5．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由M＝{0,1,2}，知N＝{0,2,4}，M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}6．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.一、选择题1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：结合数轴得A ∪B ＝{x |x ≥－1}．答案：A2．设集合M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |1≤x <2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |2≤x ≤3}解析：∵M ＝{x |－3<x <2}且N ＝{x |1≤x ≤3}，∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}． 答案：A3．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是( ) A ．t <－3 B ．t ≤－3 C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3.答案：A4．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4.答案：D 二、填空题5．已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}6．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________. 解析：用数轴表示集合A 、B 如图所示，由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}， 则m ＝6. 答案：67．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |x ≥a }，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图所示，若A ∪B ＝R ，则a ≤1.答案：a ≤18．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________.解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －1 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴a ＞－4.10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B . 解：解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}．用数轴表示集合A和B，如图所示，则A∩B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝{x|x<3}．第二课时补集及集合运算综合问题[读教材·填要点]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集．(2)符号表示：通常记作U.2．补集[小问题·大思维]1．已知集合A、∁U A(U为全集)，则A∩(∁U A)与A∪(∁U A)各有什么特点？提示：A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.2．设U为全集，则∁U∅、∁U U、∁U(∁U A)分别表示什么集合？提示：∁U∅＝U，∁U U＝∅.∁U(∁U A)＝A.3．判断∁U(A∩B)＝(∁U A)∩∁U B，∁U(A∪B)＝(∁U A)∪(∁U B)是否正确．提示：不对．结合韦恩图可知∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[例1]设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，求实数m的值．[自主解答]如图，∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}．∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.——————————————————(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．(2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U. ————————————————————————————————————————1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B.解：借助Venn，如右图所示，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∵∁U B＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}.[例2]设U＝{x∈N|x<10}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4，5,6,9}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁B)，(∁U A)∪(∁U B)．U[自主解答]∵U＝{x∈N|x<10}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A＝{1,5,7,8}，B＝{3,4,5,6,9}，∴A∩B＝{1,5,7,8}∩{3,4,5,6,9}＝{5}，A∪B＝{1,5,7,8}∪{3,4,5,6,9}＝{1,3,4,5,6,7,8,9}．∵∁U A＝{0,2,3,4,6,9}，∁U B＝{0,1,2,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{0,2}，(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,2,3,4,6,7,8,9}． ——————————————————1.解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求∁U (A ∪B )时，先求出A ∪B ，再求补集.2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.————————————————————————————————————————2．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝( ) A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0，或x ≤－1}解析：∵B ＝{x |x ≤－1}，∴∁U B ＝{x |x >－1}． 又∵A ＝{x |x >0}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x >0}． 又∵∁U A ＝{x |x ≤0}． ∴B ∩(∁U A )＝{x |x ≤－1}．∴[A ∩(∁U B )]∪[B ∩(∁U A )]＝{x |x >0，或x ≤－1}． 答案：D[例3] 设全集U ＝R ，M ＝{x |3a ＜x ＜2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M ∁U P ，求实数a 的取值范围．[自主解答]∁U P ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， ∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅，两种情况讨论． (1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，2a ＋5≤－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72，或13≤a ＜5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72，或a ≥13.——————————————————1.M ⊆N ，一般分两种情况讨论：①M ＝∅，②M ≠∅.2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法.————————————————————————————————————————3．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }， (1)由A ⊆B ，结合数轴(如图所示)可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ＜a }，要使A ⊆∁U B ， 须a ＞－2.高手妙解题 同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．[巧思] 先将文字语言转化为集合语言，设U 为全班学生组成的集合，A 、B 分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．[妙解]设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则(15－x)＋x＋(10－x)＝30－8，解得x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12.[答案]121．设全集为R，A＝{x|x<3，或x>5}，B＝{x|－3<x<3}，则()A．∁R(A∪B)＝R B．A∪(∁R B)＝RC．(∁R A)∪(∁R B)＝R D．A∪B＝R解析：∵∁R A＝{x|3≤x≤5}，∁R B＝{x|x≤－3，或x≥3}，逐个验证知B正确．答案：B2.(2013·临沂一模)已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁A)∩B＝{－1,2}．U答案：A3．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁A)∩(∁U B)＝()UA．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．答案：B4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或25．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：如图：由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x<2，或x＝5}．答案：{x|0≤x<2，或x＝5}6．设全集U＝{x|0<x<10，x∈N}，若A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{9}，求集合A，B.解：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由题意画出Venn图，∴A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,6,8}．一、选择题1．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝()A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|x<0} D．{x|x>1}解析：画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩(∁U B)＝{x|0<x≤1}．答案：B2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足()A．a≥2 B．a>2C．a<2 D．a≤2解析：∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2.答案：A4．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是()①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，故成立．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅.答案：A二、填空题5．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝{3,9}，结合Venn图(如图所示)，易得A∩(∁N B)＝{1,5,7}．答案：{3,9}{1,5,7}6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A＝{x|x≥－m}，∴∁U A＝{x|x<－m}．又∵(∁U A)∩B＝∅，－m≤－2.∴m≥2.答案：m≥27．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：依题意得知，∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案：{a，c，d}8．已知全集U(U≠∅)和集合A、B、D，且A＝∁U B，B＝∁U D，则A与D的关系是________．解析：A＝∁U B＝∁U(∁U D)＝D.答案：A＝D三、解答题9．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}．10．20XX年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{50名志愿者}，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会讲日语的志愿者}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn图，如图，则由Venn图知，既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22－14－6＝8(人)．1.2函数及其表示1．2.1函数的概念[读教材·填要点]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)1．从函数的定义看，它的定义域和值域能否为空集？提示：因为定义中的A、B是非空数集，所以函数的定义域和值域都不能为空集．2．所有的数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的另一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}就不能用区间表示．3．如何用区间表示下列数集？(1){x|x≥1}；(2){x|2＜x≤3}；(3){x|x＞1且x≠2}．提示：(1)[1，＋∞)(2)(2,3](3)(1,2)∪(2，＋∞)[例1]设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[自主解答][答案] B——————————————————判断所给对应是否是函数，首先观察两个集合A、B是否是非空数集，其次验证对应关系下，集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性. ————————————————————————————————————————1．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a >1或a <－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3)[例2] 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝3x ＋2；(2)f (x )＝3－x1－x －1.[自主解答] (1)使根式3x ＋2有意义的实数x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23，从而函数f (x )＝3x ＋2的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－23. (2)要使3－x1－x －1有意义，只要⎩⎨⎧x －1≥0，3－x ≥0，x ≠2.因此函数f (x )＝3－x 1－x －1的定义域为{x |1≤x ≤3且x ≠2}．——————————————————求函数定义域的方法及注意事项：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．。
量子力学 -不确定关系
一. 海森伯坐标和动量的不确定关系
微观粒子的运动要由概率波来描述，概率波只能给出粒 子在各处附近出现的概率。即：微观粒子任意时刻不具 有确定的位置和确定的动量。
电子的单缝衍射
x
电子一个一个 地通过单缝
y
电子束
屏 幕
长时间积累后 出现衍射图样
a
缝
2
衍射图样
X方向电子的位置不准确量为： x a
32
3 电子位置的不确定范围为 x 2p 2.95 10 m
电子位置的不确定范围甚至比原子的大小还要 大几亿倍。
例2： 电视显像管中电子的加速度电压为10 kV，电子 枪的枪口的直径为0.01 cm。试求电子射出电子枪后的 横向速度的不确定量。 电子横向位置的不确定量 x 0.01cm 解：
5.28 1029 Vx 5.28 1026 m / s m
不确定关系对宏观物体来说,实际上是不起作用的
不确定关系可以用来判别系统行 E E0 3.39eV, 例4：已知电子处于某能级
求：该能级能量的最小不确定量E ； 由该能级跃迁到基态，辐射光子的 、 。
px 不能同时具有确定值 . 对于微观粒子, h 不能忽略, x、 此时，只有从概率统计角度去认识其运动规律 . 在量子力学 中，将用波函数来描述微观粒子.
不确定关系是量子力学的基础
例1：一电子具有200 m/s 的速率，动量的不确定 范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范 围有多大？ 电子的动量为 p mv 9.1 1031 200 1.8 1028 解： 动量的不确定范围为 p 0.01% p 1.8 10
v x 0.58 m s 2mx
2eU 7 v 6 10 m/s m
铃木俊隆的十二条准则
铃木俊隆的十二条准则摘要：1.铃木俊隆的背景介绍2.十二条准则的内容概述3.十二条准则的详细解读4.十二条准则的实际应用和意义5.总结正文：铃木俊隆是一位知名的日本禅宗大师，他的教学方法和理念深受学生和追随者的喜爱。
在他的众多教诲中，十二条准则被认为是他教学的核心，具有很高的指导意义。
十二条准则的内容概述如下：1.尊重自己和他人2.切莫拿自己和他人比较3.专注于当下4.信任自己和周围的人5.不要试图改变他人6.不要对自己或他人过于苛刻7.感恩和珍惜当下的一切8.保持谦逊和开放的心态9.拥抱变化和不确定性10.培养耐心和坚持11.善于倾听和表达12.追求卓越和持续成长接下来，我们详细解读一下这十二条准则：1.尊重自己和他人：尊重是人际关系中最基本的礼仪，无论是对待自己还是他人，都应该保持尊重。
2.切莫拿自己和他人比较：每个人都有自己的优点和缺点，比较只会让人产生自卑或自大的情绪，应该专注于自己的成长。
3.专注于当下：过去的已经过去，未来还未到来，只有当下才是我们能够把握的，所以要专注于当下。
4.信任自己和周围的人：信任是人际关系的基础，要相信自己有能力解决问题，也要相信周围的人。
5.不要试图改变他人：每个人都有自己的想法和生活方式，我们无法改变他人，只能改变自己。
6.不要对自己或他人过于苛刻：过于苛刻只会让人产生压力，应该以宽容的心态对待自己和他人。
7.感恩和珍惜当下的一切：感恩和珍惜当下的一切，才能让我们的生活更加美好。
8.保持谦逊和开放的心态：谦逊和开放的心态能让我们接受新的知识和观点，有助于我们的成长。
9.拥抱变化和不确定性：生活中充满了变化和不确定性，我们要学会接受并拥抱它们。
10.培养耐心和坚持：耐心和坚持是成功的必要条件，只有坚持下去，才能看到希望的曙光。
11.善于倾听和表达：善于倾听能让我们理解他人的需求，善于表达能让我们更好地与他人沟通。
12.追求卓越和持续成长：追求卓越和持续成长是我们一生的目标，只有不断成长，才能变得更好。
人教版数学一年级下册第二单元 十几减5、4、3、2
12 - 5 = 7 12 - 4 = 8 12 - 3 = 9
13 - 5 = 8 13 - 4 = 9
小光一共有13个桃子，给爷爷吃了4个。问：小 光还剩下多少个桃子？
13 - 4 = 9 （个） 答：还剩下9个桃子。
六一儿童节一共有12个节目表演，已经表演了 4个。还剩多少个节目没有表演？
今天要练 11个字。
明明已经练了几个字？ 11 - 3 = 8（个）
答：已经练了8个。
这节课你们都学会了哪些知识？
十几减5、4、3、2的计算方法：（以11-2为例) （1）数数法：一个一个地数。 （2）破十法：把11分成10和1。10-2=8；8+1=9 （3) 平十法：把2分为1和1。11-1=10；10-1=9 （4）想加算减法：2+9=11；11-2=9
破十法： 10-4＝6 6＋2＝8
12-4＝ 8
平十法： 12-2＝10 10-2＝8
想加算减法： 4＋8＝12 12-4＝8
破十法： 10-3＝7 7＋2＝9
12-3＝ 9
平十法： 12-2＝10 10-1＝9
想加算减法： 3＋9＝12 12-3＝9
11 - 2 = 9 11 - 3 = 8 11 - 4 = 7
3＋（ 8 ）＝11
17-（ 9 ）＝8
（12 ）-5＝7
（ 8 ）＋8＝16
15-（ 9 ）＝6
13-（ 8 ）＝5
14-（ 5 ）＝9
12只“小鸡”，我已经捉 住了5只，还有几只？
12 - 5 = 7 (只) 答：还有7只。
小动物喜欢吃什么？
下面每组算式卡片的得数相同，你能填出被遮住 的数吗？
关于12÷4=3的表示问题
关于12÷ 4 =3的表示问题
数学书上是这么来的：
第一步：先画了12个笋子，然后画了4个盘子，每个盘子放3个笋子。
第二步：然后说了一句话：把12个竹笋平均放在4个盘里，每个盘放（3）个。
第三步：可以用除法表示：12÷ 4 =3 这个顺序将是完全正确的。
按逻辑学讲，就是第一步=> 第二步=>第三步，这个顺序是对的。
但是，按逻辑学上讲，第三步是不能反推第二步的。
也就是说：不能用“12÷ 4 =3”反推出“一定是：把12个竹笋平均放在4个盘里，每个盘放（3）个。
”
更不能推出：12里面有4个3 。
因为这是另外一个推理过程。
A : “把12个竹笋平均放在4个盘里，每个盘放（3）个。
”
B : “12里面有4个3 ”
由 A => B是对的，但反过来 B => A 不一定对。
即：不能反推为，由“12里面有4个3 ”推出“把12个竹笋平均放在4个盘里，每个盘放（3）个。
”这个逻辑是错的。
逆推问题四年级奥数题及答案
逆推问题四年级奥数题及答案
逆推问题四年级奥数题及答案
欧欧、小美、奥斑马、龙博士四人每人有一筐苹果，如果欧欧拿出12个给小美，小美拿出14个给奥斑马，奥斑马拿出22个给龙博士，龙博士拿出16个给欧欧后，四人筐子里的.苹果一样多，此时4筐苹果共有112个，求原来每人各有多少个苹果？
考点：逆推问题．
分析：根据“四人筐子里的苹果一样多，此时4筐苹果共有112个，”可得出此时每个筐子里有112÷4=28个苹果，据此可得欧欧原来有28+12-16=24个，小美原有28-12+14=30个，奥斑马原有28+22-14=36个，龙博士原有28+16-22=22个，据此即可解答．解答：解：112÷4=28（个）
所以欧欧原来有28+12-16=24（个）
小美原有28-12+14=30（个）
奥斑马原有28+22-14=36（个）
龙博士原有28+16-22=22（个）
答：原来欧欧有24个，小美有30个，奥斑马有36个，龙博士有22个．
点评：解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答．。
大学物理12-4海森伯不确定关系
xPx h x h 3.3 10 30 m
Px
§7.海森伯不确定关系 / 二、海森伯不确定关系
原子直径~1010m，电子 x 103 m
比原子自身的尺度还大，电子不能用轨 道运动来描写。 子弹 x 1030 m 很小，仪器测不出， 用经典坐标、动量完全能精确描写。对 微观粒子不能用经典力学来描写。
经典力学中，物体位置、动量确定后， 物体以后的运动位置就可确定。
微观粒子，具有显著的波动性，不能 同时确定坐标和动量。 一、电子单缝衍射
§7.海森伯不确定关系 / 一、电子单缝衍射
电子通过单缝时,
x
坐标不能确定，不
确定范围为 x a;
电子通过单缝后, x 方向动量Biblioteka 能确定,axo
Pyx
不确定范围Px ，
量位置所能达到的最小不确定度 x 。
解：（1）电子位置的不确定度 电子动量不确定度
Px P 0.01％ mev 0.01%
9.111031 2000.01%
1.8 1032 kg m s1
xPx h x h 3.7 10 2 m
Px
（2）子弹位置的不确定度 子弹动量不确定度
Px P 0.01％ mv 0.01%
§7.海森伯不确定关系 / 二、海森伯不确定关系
试证: 如果确定一个低速运动的粒子的位置时， 其不确定量等于这粒子的德布罗意波长，则同 时确定这粒子的速度时，其不确定量将等于这 粒子的速度。
证明： xPx h
P h h P x
P mv mv mv
v v
Et
2
对于原子系统，基态最稳定，基态
能量完全确定；激发态不稳定，寿命有
量子力学中的不确定关系
量子力学中的不确定关系量子力学是描述微观世界的一种物理理论，其基本原理是不确定性原理。
不确定性原理是由德国物理学家海森堡于1927年提出的，它指出在测量一个粒子的位置和动量时，无法同时精确地确定它们的值。
这种不确定关系在量子力学中被称为不确定关系。
不确定关系是量子力学的核心概念之一，它对我们理解微观世界的性质和行为具有重要的意义。
量子力学认为，粒子的位置和动量是无法同时确定的，即我们无法同时精确地知道一个粒子的位置和速度。
这是因为在测量位置时，我们会对粒子的动量产生扰动，而在测量动量时，我们会对粒子的位置产生扰动。
这种扰动的存在导致了不确定性的产生。
不确定关系具体表现为海森堡不确定关系原理，它可以用数学公式来表示。
根据不确定关系原理，位置和动量的不确定度满足以下关系：Δx * Δp ≥ h/4π其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，h为普朗克常数。
这个不等式表明，位置和动量的不确定度的乘积不能小于普朗克常数的一半。
不确定关系的存在意味着我们无法完全确定粒子的状态。
这与我们在日常生活中的经验相反，因为在经典物理中，我们可以同时知道一个物体的位置和速度。
然而，在微观世界中，量子力学告诉我们，粒子的性质是模糊和不确定的。
不确定关系的存在对科学研究和技术应用产生了深远的影响。
首先，不确定关系限制了我们对微观粒子的测量精度。
无论我们使用多么精密的仪器，都无法同时精确地测量一个粒子的位置和动量。
这对实验物理学家来说是一个挑战，因为他们需要设计新的实验方法来克服不确定关系的限制。
其次，不确定关系也对量子计算和量子通信等前沿技术的发展产生了影响。
量子计算是利用量子力学中的超导性质来进行计算的一种新型计算方法。
然而，由于不确定关系的存在，量子计算机的稳定性和可靠性仍然是一个挑战。
量子通信是利用量子纠缠和量子隐形传态等量子力学现象进行信息传输的一种新型通信方式。
不确定关系对量子通信的安全性和传输距离等方面也产生了一定的影响。
12.4 不确定度关系
解 原子中电子位置不确定度x=1010m，则
速度不确定度
Δv
1.05 10-34
0.6 10 6 m s1
2mΔx 2 9.11 10 31 10 10
与电子的速度同一数量级：
v 2Ek 2 101.6 1019 2 106 m s1
12.4 不确定度关系
经典粒子轨道概念，在多大程度上适用于微
观世界？
1927年海森伯提出：粒子在同一方向上的坐
标和动量不能同时取确定值 不确定度关系
ΔxΔp x
2
，ΔyΔp
y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
，
ΔzΔp
z
2
x：粒子在x轴方向上坐标的不确定度…
px：粒子在x轴方向上动量的不确定度… 但是 ΔxΔpy 0，ΔxΔpz 0， …
坐标和垂直于该方向的动量可同时取确定值
如果某时刻微观粒子的坐标确定（x=0），
则沿该方向的速度完全不能确定（vx）， 从而下一时刻粒子的坐标完全不确定，轨道的
概念就失去意义。
【例12.5】设子弹质量为0.01kg，枪口直径为 0.5cm。分析波粒二象性对射击瞄准的影响。
解 取子弹横向位置不确定度x=0.5cm ， 则
横向速度的不确定度
Δvx
2mΔx
1.05 10-34 2 10 2 0.510 2
1.110 30 m s1
但子弹速度为每秒几百米，对瞄准无实际影响。
【例12.7】原子的线度按1010m估算，原子中 电子的动能Ek按10eV估算。论证原子中电子的 运动不存在轨道。
m
9.111031
第三章 算符之间的对易关系
p j ( j 1,2,3) ( p x , p y , p z ) 其中 xi (i 1,2,3) ( x, y, z ) ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系 x , x ] 0, [ L x , y ] iz , [ L x , z ] iy [ L [ L y , x] iz , [ L y , y ] 0, [ L y , z ] ix [ L z , x] iy, [ Lz , y ] ix, [ L z , z ] 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法
L Ylm ( , ) l (l 1) Ylm ( , ) L z Ylm ( , ) mYlm ( , )
2
2
c
2
2
Y3,1
Y2, 2
L 12
2
2
Lz
Lz 2
c3,1 4 / 9
c 2, 2
2
L2 6 2
4/9
Y1, 1
为任意函数 一般 F G G F ，例如粒子的哈
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
( F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n 个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
x , p x i
但是
（14a） （14b）
x, p y 0
由“12-4=□”引发的思考
由“12-4=□”引发的思考
石红琴
【期刊名称】《甘肃教育》
【年(卷),期】2002(000)009
【摘要】开学不久，听了一节一年级数学课，内容是“十几减5、4、3、2的口算”。
教师先复习“几加几得十几的口算练习，接着出示例题(1)：“12-4=□”。
提问学生：“谁能想出来12-4=?，你是怎样想的?”一位学生回答：“12-4=8。
我想：4+8=12，所以12-4=8。
”而另一位学生回答：“12-4=8。
我想：10-4=6，所以12-4=8。
”
【总页数】1页(P33)
【作者】石红琴
【作者单位】民勤县东关小学，甘肃民勤733300
【正文语种】中文
【中图分类】G623
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§12－4 不确定关系
经典力学的成功之处在于，若已知初始状态，既可以知道物体的运动规律。
如已知t= 0时粒子坐标、动量，既可以求任意t时粒子坐标、动量和粒子的运动轨道。
既经典力学给物体的运动状态给出了决定性的规律。
最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法(坐标、动量)去描述微观粒子。
但波动性使微观粒子的坐标和动量(或时间和能量) 不能同时取确定值。
1927年海森伯首先提出了不确定关系，反映微观粒子的基本规律，是物理学中的重要关系。
一、坐标和动量的不确定的关系
1 导出
坐标和动量的不确定的关系可以由电子的单缝衍射实验简单导出。
电子沿向入射缝宽为a的狭缝，电子动量；当电子通过宽为a的单缝时，无法准确说出电子的坐标x是多少，只能说电子在Ox轴上的坐标的不确定度
Δx= a
缝前：P y = P，P x= 0
缝后：电子在屏上出现衍射图形，有一几率分布。
出现了x向分动量；
若衍射角为θ的电子动量为
ΔP x=P sinθ
对于落在衍射第一极小处的电子
ΔP x≈P sinθ1 ①
由单缝衍射公式有
sin2
2 a k
λ
φ=±
1
sin
a x
λλ
θ==
∆
又有德布罗意公式 代入①式
考虑衍射图样的次级条纹，
大部分电子落在中央亮纹范围内，其x 方向动量在0 ~ h /a 范围内，例如，一维自由运动粒子，其动量确定，但其坐标完全不确定。
更一般的理论给出
引入布朗克常量 h =
上面公式写为 2 讨论
1)不确定关系使微观粒子运动失去了“轨道”概念。
不确定关系说明微观粒子的坐标和动量不能同时确定，其根源在于二象性。
微观粒子本应用几率概念描述，不确定关系指明经典力学概念在微观世界的适用程度 2)不确定关系中 h 的重要性
由于h ≠0 ，使得不确定关系在微观世界成为一个重要的规律； 但h 很小，使不确定关系在宏观世界不能得到直接体现。
不确定关系在宏观世界的效果，好象是微观世界里当h →0时的效果，当h → 0时,量子物理→经典物理。
二、其他形式的不确定关系 1 时间与能量的不确定关系
h
p λ
=
x x h p x
x p h
λ
λ∆=
∆∆∆=sin k k
k
a
x x
λ
λ
λ
θ==〉
∆∆x x h
h p k
x x
x p h
λ
λ
λ
λ∆=
〉
∆∆∆∆≥222
x y z h x p h y p h z p ∆∆≥∆∆≥∆∆≥
4x h x p π
∆∆≥
2h
π
∆E⋅∆t≥h/2
如果测量光子的时间精确到∆t，则测得的光子能量就不确定到∆E；
若粒子在能量状态E只能停留∆t时间，则在这段时间内，粒子的能量状态并非完全确定。
2 能级宽度和能级寿命
设体系状态的寿命为τ，因测量只能在时间范围τ内进行，则测得的能量必有宽度为Γ的不确定程度。
满足关系
τ⋅Γ～h
Γ--能级宽度，τ--能级寿命
理论上，计算平均寿命→估计能量的范围
实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命
三、不确定关系的应用
1 用不确定关系作数量级估算
[例1] 估算被约束粒子的能量。
氢原子半径~ 0.5⨯10-10m，求其中电子动能。
解：∆x约为 0.5⨯10-10m
动量∆P = h/(2π·2·∆x)
= 1.05⨯10-24 kg·m/s
能量E k= p2/2m≈ 6⨯10-9 J 或4 eV
同法可确定，原子核内不可能有电子。
原子核线度~10-15m，若核内有电子，可算出核内电子动能高达10 GeV，这样大的动能足以击碎原子核，电子不可能得到这么大的能量。
电子不能禁锢在核中。
质子、中子在核内的动能只是上面计算值的约百万分之一，可以禁锢在核中。
历史上曾用此法否定了氦原子核是由4个质子和2个电子组成的。
2 波动性的判据
若P>>∆P，粒子可看成经典粒子，轨道概念仍可使用，这可看作是否需要考虑粒子波动性的判据。
[例2] 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器。
射入的高速电子使气体分子原子电离成离子。
以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状的痕迹—粒子的径迹。
径迹的线度～10-4cm ，电子位置的不确定程度： ∆x ≈10-4cm 。
动量的不确定程度： ∆P x ≥ h /2∆x ≈ 10-28
kg ⋅m/s 云室中的电子动能： E k ～108 eV ，
因此电子动量： P = (2m E k )1/2≈ 1.8⨯10-23
kg ⋅m/s
显然p >> ∆p x ，此情形下，坐标和动量基本上可以认为是确定的，可以使用“轨道”概念。
例12－3 一电子具有300ms -1的速率, 动量的不确范围为动量的0.01% (这也是足够精确的了) ,求该电子的位置不确定范围。
解： 电子的动量
动量的不确定范围
位置的不确定量范围
例12-4 一颗质量为50g 的子弹，具有300ms -1的速率。
若其动量的不确定范围为动量的0.01% (这在宏观范围是十分精确的),求该子弹位置的不确定量范围。
解：子弹的动量
动量的不确定范围
位置的不确定量范围
31
1
9.110300kg m s
p m --==⨯⨯⋅⋅v 28
1
2.710
kg m s
p --=⨯⋅⋅3210.01% 2.710kg m s p p --∆=⨯=⨯⋅⋅34
2
32
6.6310m 2.410
m
2.710
h
x p
---⨯∆≥
=
=⨯∆⨯1
15kg m s
p m -==⋅⋅v 31
0.01% 1.510kg m s
p p --∆=⨯=⨯⋅⋅34
31
3
6.6310m 4.410
m
1.510
h x p
---⨯∆≥
=
=⨯∆⨯。