正态分布概率的计算

所求概率为：
P {10 X 15} P { 25 X 30}
30 1 1 1 dx dx 10 30 25 30 3 15
1 , 0 x 30 f ( x ) 30 其它 0,
即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. 解 X 的分布密度函数为
y
(1) (2)
f ( x) 0,

f ( x)
f ( x)dx 1.
x
连续型随机变量取定值（单点值）的概率为零。
a, b, 对r a, b , 事实上,由于X充满区间
如果r , r x a, b 那么，P{ X r} lim P{r x r x}
则称X服从（a,b）上的均匀分布， 记为XU(a,b)
0 .5
0
2
4
均匀分布的意义
在区间(a, b) 上服从均匀分布的随机 变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间 内的可能
性是相同的.
l p ba
a

f ( x)
l 1 l
o
ba
b

x
§2.2 一维连续型随机变 量的分布密度
一、 一维连续型随机变量及其分布密度
定义 设X是一个随机变量，如果总存在非负可积 函数f(x), 使对任意实数a,b有
P a X b f ( x)dx
a
Fra Baidu bibliotek
b
则称X为一维连续型随机变量，f(x)为X的分布密度 函数，简称分布密度。
概率密度f(x)的性质：
x 0.015 x
dx
e
0.015 x
0.1
于是 0.015x ln 0.1 ln 0.1 x 153.5 0.015
3 正态分布
f( x)
如果随机变量X具有概率密度
1 e 2 ( x )2 2 2 ( x )
例4.
设随机变量X服从 试求：
0.015 的指数分布，
(1) P{ X 100 }; (2) 若要P{ X x} 0.1, 则x应在什么范围内？
解 (1) P{ X 100 } 0.015e 0.015 x d x 0.22
100

(2)若要求P{ X x} 0.1 只须P{ X x} 0.015e
2
3 2 P{Y 2} 2 3
2 3 2 1 3 3 3
3
2 20 1 . 3 27
0
2 指数分布
如果随机变量X具有概率密度
e x , x 0 （ 0） f( x) x0 0 , 则称X服从参数为的指数分布.记作XE( )
解： 以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
1 , 0 x 30 f ( x ) 30 其它 0,
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.
1 , 2 x 5, f ( x) 3 0, 其他.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”, 即 A={ X >3 }.
1 2 由于 P ( A) P{ X 3} d x , 33 3
5
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 因而有
2 Y ~ b 3, . 3
离 散 型
对于连续型随机变量X，其分布函数
F ( x) P X x f ( x)dx

x
且
F ( x) f ( x)
可以证明：一维连续性随机变量的分布函数是 连续函数。
分布函数用于计算随机变量取值的概率：
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
Exp Di strib ut i on EP (2 )
2
1
0
5
10
分布函数
Exp Di strib ut i on EP (2 )
1
1 e x , x 0 , F( x ) x 0. 0 ,
应用与背景
0.5
0
5
10
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
f ( x)
o
a

S1
b

x
二、常用的一维连续型随机变量的概率分布
1 均匀分布 如果X的密度函数为
1 ,a x b, f ( x ) b a 其它 0 ,
1
U ni form D ist ri bu t io n U [2 ,4 ]
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
U ni form D ist ri bu ti on U [2 ,4]
1
0.5
0
2
4
6
8
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此 站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的 均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
x 0
lim
r x
x 0 r
f ( x)dx 0
注意 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不
可能事件，则有 P { X a } 0.
若 P{ X a } 0,
连 续 型
则不能确定{ X a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件 P{ X a } 0.