多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学

内容复习

一、基本概念

1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分.

2、重要定理

（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系

偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩函数偏导数存在

⇒连续

（2）（二元函数）极值的必要、充分条件

二、基本计算

（一） 偏导数的计算

1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）

（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d =

（2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）

（3）定义法（),(00y x f x '＝x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim

00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）

（1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导

（2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）

（3） 隐函数求导

求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y

∂∂∂∂ ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''⎧∂∂=-=-⎪''∂∂⎨⎪⎩

公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。

3、高阶导数的计算

注意记号表示，以及求导顺序

（二） 全微分的计算

1、 叠加原理

),(y x f z =， dy y z

dx x z dz ∂∂

+∂∂=——dy dx ,勿丢

2、一阶全微分形式不变性

dy y z

dx x z

dz ∂∂+∂∂= 对y x ,是自变量或是中间变量均成立。

三、偏导数的应用

优化方面——多元函数的极值和最值

1、 无条件极值——利用必要条件求驻点，利用充分条件判断是否为极值点

2、 条件极值——Lagrange 乘数法

求0),(..)

,(min(max )==y x t s y x f z ϕ

),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=（有几个约束条件，引进相应个数Lagrange 乘子）

3、 最值——比较区域内部驻点处函数值与区域边界上最值的大小，从而确定最值