2020北京各区一模数学试题分类汇编--解析几何(原卷版)
2020年北京各区高三一模数学分类---解析几何
【答案】①②
【分析】将 代入 也成立得①正确；利用不等式可得 ，故②正确；联立 得四个交点，满足条件的最小正方形是以 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.
【详解】对于①，将 代入 得 成立，故曲线 关于直线 对称，故①正确；
对于②，因为 ，所以 ，所以 ，
所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确；
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 ，根据双曲线的定义可得 ，根据余弦定理可得 ，再根据离心率公式即可求得结果.
【详解】设双曲线 实半轴长，半焦距分别为 ，因为 ，所以 ，
因为以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，所以 ， ，
在三角形 中由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ， ，则
因为 ，所以椭圆 的半焦距
设椭圆 的左焦点为 ，则 ，连接 ，由椭圆的定义可得
即 ，解得 ，故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求 是解题的关键，属于中档题.
9.（2020朝阳一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若 ， ，则抛物线 的方程为（）
A. B. C. D.【答源自】B【分析】根据抛物线的定义求得 ，然后在直角三角形中利用 可求得 ，从而可得答案.
【详解】根据抛物线的定义可得 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .故选：B
【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得 是解题关键，属于基础题.
10.（2020朝阳一模）在 中， ， .若以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，则该双曲线的离心率为（）
2020年北京高三一模分类汇编集合(含答案)
2020北京各区高三数学一模分类汇编—集合1、（2020北京朝阳一模）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =（A ）{}3（B ）{}1,3（C ）{}1,2,3,5（D ）{}1,2,3,4,52、（2020北京东城一模）已知集合，，那么(A) (B)(C)(D)3、（2020北京房山一模）已知集合则 z4、（2020北京丰台一模）若集合，，则（A ） （B ）（C ） （D ）5、（2020北京适应一模）已知集合则（A ）（B ）（C ） （D ）6、（2020北京高考模拟一模）已知集合，，则A ．，B ．，C ．，D ．7、（2020北京海淀一模）己知集合，则集合B 可以是A. B.C.D.8、（2020北京密云一模）已知集合，则A. B.C. D.9、（2020北京密云一模）已知集合A={x|x>-1},集合B={x|x(x+2)<0},那么A∪B等于A.{x|x>-2}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-1}D.{x|-1<x<2}10、（2020北京人大附一模）若集合,则集合等于()A. B.C. D.11、（2020北京15中一模）若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}12、（2020北京石景山一模）设集合，则等于A. B.C. D.13、（2020北京顺义一模）已知集合那么A. B.C. D.14、（2020北京通州一模）已知集合，，则A. B.C. D.15、（2020北京西城一模）设集合则(A) (B)(C) (D)16、（2020北京延庆一模）已知集合,且则的取值范围是17、（2020北京11中一模）已知集合，，则（）A． B．C． D．18、（2020北京11校一模）若集合则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2020北京各区高三数学一模分类汇编—集合参考答案1、C2、D3、34、C5、C6、D7、B8、C9、A10、 D11、 A12、 B13、 C14、 D15、 C16、17、 B18、 A。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--立体几何(解析版)
1 / 362020北京各区一模数学试题分类汇编--立体几何（2020海淀一模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，EA ⊥底面ABCD ,2EA AB BC ===,最长棱是EC ， 在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =+，在Rt EAC D 中，222EC EA AC =+，222212EC EA AB BC \=++=，EC =故选：D ．（2020西城一模）某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）2 / 36A. S S ，且B. S S ，且C. S S ，且D. S S ，且 【答案】D【解析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，11BC DC ==，1AC =故{2,S =，故S，S .故选：D .（2020东城一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】4 3【解析】由三视图知该几何体如图，V＝12123⨯⨯⨯＝433/ 364 / 36故答案为43（2020丰台一模））A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】该几何体对应直观图如下图所示122ABC S =⨯=V 122ABD S =⨯=VAC ==Q ，AD ==122BCD S ∴=⨯=V 122ACD S ∆=⨯=3个 故选：C的5 / 36（2020朝阳区一模）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为________.【答案】 (1). 5 (2). 4【解析】如图所示是三棱锥的直观图：其中AF ⊥平面BCD ，垂足为F ，根据三视图可知，2BE ED ==，2CE EF ==，3AF =，6 / 36所以BF DF BC CD ====AB AD ===，5AC ==，比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC =， 它的体积为1113424332BCD AF S ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故答案为：（1）5 （2）4（2020石景山一模）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 8【答案】B【解析】如图所示，题中的几何体是棱长为2的正方体被平面ABCD 截得的正方体的下部分，很明显截得的两部分是完全一致的几何体，则该几何体的体积为31242V =⨯=. 故选：B7 / 36（2020丰台一模）已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l .给出下列六个论断：①m α⊥；②//m α；③//m l ；④n α⊥；⑤//n α；⑥//n l .以其中两个论断作为条件，使得//m n 成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号） 【答案】①④（或③⑥）【解析】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故可填①④ 对①⑤，若m α⊥，//n α，则m n ⊥；对①⑥，若m α⊥，//n l ，则无法判断,m n 的位置关系； 对②④，若//m α，n α⊥，则m n ⊥；对②⑤，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，平行或异面；8 / 36对②⑥，若//m α，//n l ，则无法判断,m n位置关系；对③④，若//m l ，n α⊥，则无法判断,m n 的位置关系； 对③⑤，若//m l ，//n α，则无法判断,m n 的位置关系；对③⑥，由平行的传递性可知，若//n l ，//m l ，则//m n ，故可填③⑥ 故答案为：①④（或③⑥）（2020朝阳区一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A. 线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB. 线段1CA 的中点C. 线段1CA 的三等分点，且靠近点CD. 线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：的9 / 36则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-u u u r， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---u u u r，由1AC u u u r 与PC uuu r 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||PM =u u u ur=，||PN =u u ur =，所以||||PM PN =u u u u r u u u r，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===10 / 36所以当12c =时，||PQP 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B（2020石景山一模）点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（ ）A. ⎡⎣B. ⎣C. ⎤⎥⎣⎦D. []2,3【答案】B【解析】取11B C ，1B B 中点E ，F ， 连接1A E 、1A F .则1A E ∥AM .EF ∥MN .又因为1A E EF E ⋂= . 所以平面1A EF ∥平面AMN .又因为动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动， 所以点P 的轨迹为线段EF .11 / 36又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11A E A F =EF =所以1A EF V 为等腰三角形.故当点P 在点E 或者P 在点F 处时，此时1PA最大，最大值当点P 为EF 中点时，1PA= .故选：B.（2020怀柔一模）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）12 / 36A.23B.43C. 3D.32【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥P ABC -， 如图可知3,1,==⊥AB BC AB BC ，点P 到平面ABC 的距离为3h =11331222△=⋅⋅=⋅⋅=ABC S AB BC所以113333322△-=⋅⋅=⋅⋅=P ABC ABC V S h 故选：D（2020密云一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）13 / 36A. 8B.83C. 8+D. 8+【答案】D【解析】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以112222222822S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：D（2020密云一模）在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A. 点F 的轨迹是一条线段B. 1A F 与BE 是异面直线C. 1A F 与1D E 不可能平行D. 三棱锥1F ABD -体积为定值【答案】C【解析】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点14 / 36分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E Q ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，1A M Q 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确．对于B ，Q 平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交， 1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ．（2020顺义区一模）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. 4+B. 12C. D. 8【答案】D【解析】由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，所以该几何体的侧面积为1=224=82s⨯⨯⨯．故选：D．（2020延庆一模），则它的表面积为( )A. 8B. 12C. 4+ D. 2015/ 3616 / 36【答案】B【解析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h，则依题意有1223V h =⨯⨯=所以h =12h ===所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯， 所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯. 故选：B（2020延庆一模）已知直线,a b ，平面,//b a a b αβαβα⋂=⊥，，，，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若//a α，则在平面α内必定存在一条直线a '有//a a '， 因为a b ⊥r r，所以a b '⊥，若a β⊥，则a β'⊥，17 / 36又a α'⊂，即可得αβ⊥，反之，若αβ⊥，由b αβ=I ，a b '⊥，a α'⊂可得a β'⊥，又//a a '，则有a β⊥. 所以“a β⊥”是“αβ⊥”的充分必要条件. 故选：C（2020海淀一模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB⊥平面1111,22,BB C C AB BB BC BC ===E 为11A C 的中点.(I)求证：1C B ⊥平面ABC ； (II)求二面角A BC E --的大小.【解析】 (I)AB Q ⊥平面11,BB C C 1C B ⊂平面11CBB C ，1AB C B ∴⊥，在1CBC △中，1112,1,CC BB BC BC ====，22211BC BC CC +=， 1BC C B \^，AB BC B ⋂=，1C B ∴⊥平面ABC ；(II)由(I)知11AB C B AB CB BC C B ^^^，，,则建立空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),((1,0,0)2B EC -，18 / 361(1,0,0),(2BC BE ==-u u u r u u u r设平面BEC 的法向量为(,,)n x y z =r，故00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u uv v，0102x x z =⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩.令y =0,3x y z \===-，3)n r \=-，又平面BAC 的法向量为(0,1,0)m =u r，1cos ,2m n m n m n \<>==u r ru r r g u r r .由题知二面角A BC E --为锐二面角，所以二面角A BC E --的大小为3π.（2020西城一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，19 / 36(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【解析】 (Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =r ，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =r ，()2,0,0AB =u u u r，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故sin cos ,6n AB n AB n ABθ⋅====⋅r u u u r r u u u r r u u ur .20 / 36（2020东城一模）16.如图1，在ABC V 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =.将ABC V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥； （2）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值.【解析】（1）连接1A O .图1中，AB AC =Q ，D ， E 分别为AB ， AC 的中点，AD AE ∴=，即11A D A E =，又O 为DE 的中点，1AO DE ∴⊥.21 / 36又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE I 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1A DE ， 1A O ∴⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ， 1A O BD ∴⊥.（2）取BC 中点G ，连接OG ，则OG DE ⊥.由（1）可知1A O ⊥平面BCED ，OG ⊂平面BCED 11,AO DE AO OG ∴⊥⊥. 以O 为原点，分别以1,,OG OE OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示AB AC ==Q 4BC =，112,1,2A D DE OD AO ∴==∴=∴==.()()()()10,0,2,2,2,0,2,2,0,0,1,0A B C D ∴--，()()()11112,2,2,0,1,2,2,2,2A B A D AC AC ∴=--=--=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r， 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r，则11·0·0n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即222020x y z y z --=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2,1y x =-=-，()1,2,1n n ∴=--=r r ，.设直线1A C和平面1A BD所成的角为θ，则111sin cos,3AC nAC nAC nθ=〈〉===u u u r ru u u r r gu u u r r所以直线1A C和平面1A BD.（2020丰台一模）17.如图，在四棱锥M ABCD-中，//AB CD，90ADC BM C∠=∠=o，M B M C=，12AD DC AB===BCM⊥平面ABCD.（1）求证：//CD平面ABM；（2）求证：AC⊥平面BCM；（3）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E BC M--的大小为4π？若存在，求出AEAM的值；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）因为AB CD∥，ABÌ平面ABM，CD⊄平面ABM，所以CD∥平面ABM.（2）取AB的中点N，连接CN.22/ 3623 / 36在直角梯形ABCD 中，易知AN BN CD ===CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =， 所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，24 / 36则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-u u u u r ，()0,2,0BC =-u u u r ，()2,2,0BA =-u u u r. 易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =u r.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π. 不妨设AE AM λ=u u u r u u u u r（01λ≤≤），所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r，设(),,n x y z =r为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-r.从而cos ,2m n m nm n ⋅==⋅u r ru r r ur r .25 / 36解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.（2020朝阳区一模）17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（1）求证：1AB CC ⊥；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F =，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由.【解析】（1）证明：因为四边形11ACC A 是正方形，所以1CC AC ⊥.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，26 / 36平面ABC I 平面11ACC A AC =，所以1CC ⊥平面ABC又因为AB Ì平面ABC ， 所以1AB CC ⊥.（2）由（1）知，1CC AB ⊥，11//AA CC ，所以1AA AB ⊥.又4AB =，12AC AA ==，BC =所以222AB AC BC +=.所以AC AB ⊥.如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ..27 / 36则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ， 平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =r.设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =r，又(2,0,1)AD uuu r=，1(0,2,2)AC uuu r =，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v r u u u u v r 得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =.所以(1,2,2)v =-r.设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |||||133u v u v ×===´r r r r q . 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13. （3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下：由（2）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-r，1(4,1,0)A E uuu r=-，所以120A E v??uuu r r，所以1A E 与平面1AC D 不平行.28 / 36又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行.（2020石景山一模）16.如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O =I .（1）求证：BO ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC B --的余弦值. 【解析】（1）证明：联结PO .在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD . 因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥. 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥，又因为PO AC O =I ，所以BO ⊥面PAC.29 / 36（2）解：由（1）知，PO ，AO ，BO 两两垂直， 以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 在正方形ABCD中，因为AB = 所以2AO =.又因为PB = 所以2PO =.所以点P 的坐标为()002P ,,，点C 的坐标为()2,0,0C -， 点B 的坐标为()0,2,0B .则()2,0,2PC =--u u u r ，()2,2,0CB =u u u r.由（1）知，BO ⊥平面PAC .所以平面PAC 的一个法向量为()10,2,0n OB ==u r u u u r . 设平面PBC 的一个法向量()2,,n x y z =u u r.则2200n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩令1y =，则1x =-，1z =.故平面PBC 的一个法向量()21,1,1n =-u u r. 121212cos ,3n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r 所以二面角A PC B --（2020怀柔一模）17.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2,2AB AP ==，．30 / 36（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角E AF C --的大小．【解析】（1）PA ABCD PA BD ABCD AC BD BD PAC⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥Q 平面正方形平面（2）以A 为原点，如图所示建立直角坐标系(0,0,0)(2,1,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)A E F AE AF ==u u u r u u u r ，， 设平面FAE 法向量为(,,)n x y z =r，则20{x y x y z +=++=(1,2,1)n =-r，(2,2,0)BD =-u u u r ，·cos2||?,66n BDn BDE AF Cθππθ===∴=--u u u rru u u u ru u r即二面角的大小为（2020密云一模）18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC∠=︒，PAD△为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.（1）求直线CM与平面P AB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）试判断直线MN与平面P AB的位置关系，并给出证明.【解析】Q底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC∠=︒，ACD∴∆为等边三角形．取AD中点O，连接OC，则OC AD⊥，PAD∆Q为等边三角形，OP AD∴⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD I平面ABCD AD=，OP∴⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．31/ 3632 / 36则(0A ，1-，0)，(0D ，1，0)，C 0，0)，B 2-，0)，(0P ，0，(0M ，12，N 1-，0)．AP →=，1,0)AB →=-，设平面PAB 的一个法向量为n (x,y,z)→=．由00n AP y n AB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v r u u u v r，取y =1)n →=-．（1）证明：设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，1(2CM →=，则||sin |cos ,|||||n CM n CM n CM θ→→→→→→⋅=<>===⋅，即直线CM 与平面PAB所成角的正弦值为10；（2）设平面DAP 的一个法向量为(1,0,0)m →=，由cos ,||||n mn m n m →→⋅<>===⋅r rr r ，33 / 36得二面角D AP B --的余弦值为- （3）Q 3,2MN →=-，∴0n MN →→⋅==， 又MN ⊄平面PAB ，∴直线//MN 平面PAB ．（2020顺义区一模）16.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E 是PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ;（2）求二面角E AD B --的大小;（3）试判断AE 所在直线与平面PCD 是否平行,并说明理由.【解析】（1）证明：∵ABCD 正方形BC CD ∴⊥∵PD ⊥平面ABCD , BC ⊂平面ABCD ,∴PD BC ⊥∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD∴BC ⊥平面PCD34 / 36又∵BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PCD（2）∵PD ⊥平面ABCD , ,AD CD ⊂平面ABCD∴,PD AD PD CD ⊥⊥又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥∴,,DA DC DP 两两垂直∴以D 为原点如图建系,设1PD AB ==∴0,0,0D （）,(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P , 111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r又∵PD ⊥平面ABCD∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r则DA n ⊥u u u r r ,DE n ⊥u u u r r35 / 36∴01110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1z =,得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =-r∴cos ,2||||DP n DP n DP n ⋅<>===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ∴二面角E AD B --的大小为45︒（3）∵PD AD ⊥,AD CD ⊥ ,PD CD D ⋂=又,PD CD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥平面PCD∴平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =u u u r又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ∴AE u u u r 与DA u u u r 不垂直,∴AE 与平面PCD 不平行（2020延庆一模）16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB PD PC O =⊥，，是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点，//PA 平面BDE .（1）求证：E 是PC 的中点；（2）求证：PD 和BE 所成角等于90.︒36 / 36 【解析】（1）如图，联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ， 因//PA 平面BDE ，平面PAC I 平面BDE =EF ,所以//PA EF . 又因为四边形ABCD 是正方形，所以F 是AC 的中点， 所以EF 是PAC V 的中位线，所以E 是PC 的中点 （2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以BC CD ⊥又PO CD O =I ，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC PD ⊥ 又因为PD PC ⊥且BC PC C ⋂=，所以PD ⊥平面PBC 因为BE ⊂平面PBC ，所以PD BE ⊥，所以PD 与BE 成90︒角.。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题(原卷版)
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题（2020海淀一模）形如221n (n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12（2020西城一模）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.（2020东城一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天（2020东城一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8（2020朝阳区一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.（2020石景山一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周≈）率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.（2020顺义区一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020延庆一模）某企业生产,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的年产量的增长率分别为50%和lg ）( ) 20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取20.3010A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年（2020延庆一模）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(解析版)
1 / 312020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]【答案】D【解析】函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减， 则22m m -砛?，， 故选：D ．（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099，C. (]0100， D. ()0+∞，2 / 31【答案】B【解析】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）3 / 31A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【答案】C【解析】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即 1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-4 / 31【答案】A【解析】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0x y x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】C5 / 31【解析】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，0a b ∴<<331log log 021c =<=Q b a c ∴>>故选：C（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =【答案】D【解析】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C【解析】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-，6 / 31当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，7 / 31由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln 2x y x =+12(1,)e 上递减，在12(,)e +∞上递增，所以x =min 22y ==+a ≤ 综上所述：02a ≤≤. 故选：C（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=【答案】D【解析】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2xy -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；8 / 31③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==-此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭， 则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=. 所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾.9 / 31故函数②不具有性质P .对于③：取12x x = 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】)+∞. 【解析】由题可知：函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减 等价于'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立 即()'()cos sin 0=--≤xf x ex x a 在(,)22ππ-恒成立则cos sin 4π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭a x x x 在(,)22ππ-恒成立所以max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，10 / 31由(,)22x ππ∈-，所以3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x故cos 42π⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦x(4π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x所以a ≥)∈+∞a故答案为：)+∞（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x 轴的对称图形，在单调递增．故选A ．（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.11 / 31【答案】(,3)-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示：因为方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线32y x a =+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，32y x a =+与函数()f x 有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞．（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点, 则令()10y f x =-=,即()1f x =,12 / 31又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩, ①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =综上所以,函数()1y f x =-的零点是0或.故答案为：0（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞【答案】B【解析】当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数,函数()()21f x mx =-的图象二次函数,在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数.13 / 31最小值为()min 2m g x =,最大值为()max 12m g x =+; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间[]0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m >时, 函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max minf xg x ≥()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ,14 / 31()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选:B（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A【解析】33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b <<<<,即a c b <<. 故选：A（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间，15 / 31对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()xxf x e e -=-知()xx f x ee --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增，所以函数x xy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+. (I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点. 【解析】 (I)当1a =-时，①函数()xf x e x =-，0(0)=1f e ∴=，()1x f x e =-'，即0(0)1=0f e -'=，16 / 31∴曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程为1y =.②令()1>0x f x e -'=，得0x >，令()1<0x f x e -'=，得0x <， 所以()f x 在(0,+)∞上单增，在(,0)-∞单减,∴函数()f x 的最小值为min ()(0)1f x f ==.(II) 当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 等价于()()ln 10xg x e ax x x =++->有且只有一个零点.()()10x g x e a x x'=++>， 当()0,1x ∈时，11,1xe x>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， 当[)1,x ∈+∞时，12,0xe e x>>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， ()g x ∴在()0,∞+上单增，又1121()220e a g e e e e=+-<-<Q ， ()220e g e e ae e e =+>->，由零点存在性定理得()g x 有唯一零点，即曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. （2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈17 / 31(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【解析】 (Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；18 / 31（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【解析】（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞19 / 31()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值. （2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=.当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，()f x 在区间()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间()0,+?上的最小值.20 / 31所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，()0g x ¢>，所以()g x 在()1,+?上单调递增.因为()10g a =<，而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.()f x ¢和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.21 / 31（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【解析】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.22 / 31设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e xx =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x ex +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x xx x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合所以结论成立.（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由. 【解析】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =. 当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表： .23 / 31所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.24 / 31当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增.且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.25 / 31【解析】（1）()ln f x x =的定义域(0,)+∞1()(1)1f x k f x=⇒'='=由 又(1)0f =所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：1y x =-. （2）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:max ()(1)ln1110h x h ∴==-=-< ()f x x ∴<设()(),=-=-xs x x g x x e 则'()1e 0xs x =-<在(0,)x ∈+∞上恒成立(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()∴<=-<⇒<s x s x g x综上()()f x x g x <<（3）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：26 / 31由（2）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-， 若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则222122121(1)10ln 1(1)x x x ex e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x 有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，当0x ≤时，'()0h x >，()h x 在(),0-∞单调递增，当0x >时，()''()10=-+<xh x x e ，'()h x 在()0,∞+单调递减'(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，所以存在0(0,1)x ∈，使得000'()10=-+=xh x x e 且当0(0,)x x ∈时，'()0,()h x h x >单调递增， 当0(,)x x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单调递减0max 0000001()()(1)1(1)10x h x h x e x x x x x ∴==-++=-++>，27 / 31又22(2)310,(2)30--=-<=-+<h eh e所以()h x 在00(2,),(,2)-x x 内各存在有一个零点故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.【解析】（1）()(1)x f x e ax =+Q ，()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-，()0f x '<；1(a x a+∈-，)+∞，()0f x '>；28 / 31()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； （3）当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以()f x 无零点；当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1x a=-，只有一个零点． （2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.【解析】（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=>29 / 31①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x在)+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q fa a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【解析】（1）2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =.30 / 31所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a xf x x +-'+-=+()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为21()f a a=，若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x-≤在(0,)x ∈+∞恒成立，31 / 31 所以2102a a -≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a =-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+，所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a -≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.。
北京市各区2020年高考数学一模试题分类解析(6)数列理
六、数列2. （ 2020 年海淀一模理 2）在等比数列 { a n } 中， a 1 = 8， a 4 = a 3a 5 ，则 a 7 =（ B ）A ．1B ．1C．1D ．116 8427.（ 2020 年西城一模理 7）设等比数列 { a n } 的各项均为正数， 公比为 q ，前 n 项和为 S n ．若 对 n N * ，有 S 2 n 3S n ，则 q 的取值范围是（ A ）A ． (0,1]B． (0, 2)C ． [1,2)D． (0, 2)6．（ 2020 年东城一模理 6）已知 x ， y ， z R ，若 1， x ， y ， z ， 3 成等比数列，则xyz 的值为（ C ）A ． 3B． 3C ．33D． 3 310． （ 2020 年丰台一模理 10）已知等比数列 { a n } 的首项为 1，若 4a 1 ， 2a 2， a 成等差数3列，则数列 { 1 } 的前 5 项和为 ______．a n答案：31.162．（ 2020 年门头沟一模理 2）在等差数列a n 中， a 1 3 ， a 3 2 ，则此数列的前10 项之和S 10等于（ B ）A. 55.5B. 7.5C. 75D. 153.（2020 年旭日一模理 3）已知数列 {a n } 的前 n 项和为S n，且 S2an 1(n N ) ，则 a5n（ B ）A.16B.16C.31 D.3210. （ 2020 年石景山一模理 10）等差数列 a n 前 9 项的和等于前 4 项的和．若 a 4a k 0 ，则 k =________ ． 答案： 10。
2．（2020 年密云一模理 2）设 S n 为等比数列a n 的前 n 项和， 8a 2 a 5 0 ，则S 5 （ D ）S 2A ．11B ．5C ．8D． 1120. （ 2020 年丰台一模理20）已知函数 f ( x) x2 x ， f '( x) 为函数 f (x) 的导函数．（Ⅰ）若数列 { a n } 知足 a n 1 f '(a n ) ，且 a1 1，求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）若数列 { b n } 知足b1 b ， b n 1 f (b n ) ．（ⅰ）能否存在实数b，使得数列 { b n} 是等差数列？若存在，求出 b的值；若不存在，请说明原因；n b i 1 （ⅱ）若 b>0，求证：．i 1 b i 1 b解：（Ⅰ）由于 f ( x) x2 x ，因此 f '( x) 2x 1 ．因此a n 12a n1，因此 a n 1 1 2(a n 1) ，且 a1 1 1 1 2 ，因此数列 { a n 1} 是首项为2，公比为2 的等比数列．因此 a n 1 2 2n 1 2n，即 a n 2n 1．4分（Ⅱ）（ⅰ）假定存在实数 b ，使数列{ b n}为等差数列，则必有2b2 b1 b3，且 b 1 b ， b 2f (b 1 ) b 2 b ， b 3 f (b 2 ) (b 2 b)2 (b 2 b) ．因此 2(b 2 b) (b 2 b)2 (b 2 b) b ，解得 b 0 或 b 2 ．当 b 0时， b 1 0 ， b n 1 f (b n ) 0，因此数列 { b n } 为等差数列；当 b2 时， b 1 2 ， b 2 2 ， b3 6 ， b4 42 ，明显不是等差数列．因此，当 b 0 时，数列 { b n } 为等差数列．9 分（ⅱ） b 1b 0 ， b n 1f (b n ) ，则 b n 1 f (b n ) b n 2 b n ；因此 b n 2bn 1b n ；因此b nb n b n b n2bn 1b n 11b n 1b n 1 b nb n 1 b nb n 1 b n b n．b n 1由于 b n 2 bn 1bn0 ，因此 b n 1b nbn 1L b 1b 0 ；因此nb i (1 1) (1 1 ) L (11 ) 11 1 ．i 1 b i 1 b 1 b 2 b 2 b 3b nb n 1 b b n 1b20（. 2020 年东城 11 校联考理 20）直线 l 1 : y kx1 k ( k 0, k1)与 l 2 : y 1 x1222订交于点 P . 直线 l 1 与 x 轴交于点 P 1 ，过点 P 1 作 x 轴的垂线交直线 l 2 于点 Q 1 ，过点 Q 1 作 y 轴 的垂线交直线 l 1 于点 P 2 ，过点 P 2 作 x 轴的垂线交直线 l 2 于点 Q 2 ， ，这样向来作下去，可 获得一系列 P 1, Q 1 , P 2 ,Q 2 ， ，点 P n (n 1,2,L ) 的横坐标组成数列 x n . （ 1）当 k 2 时，求点 P 1 , P 2 , P 3 的坐标并猜出点 P n 的坐标；（2）证明数列 x n1是等比数列，并求出数列x n 的通项公式；（ 3）比较2 | PP n |2 与 4k 2 | PP 1 |2 5的大小 .解： (1) P 11,0 ,P 2 7 , 3 , P 3 31, 15 , 可猜得 P n22n 1 1 , 2 2n 2 1 .28 432 1622n 122n 24 分（ 2）设点 P n 的坐标是 (x n , y n ) ，由已知条件得点Q n , P n1 的坐标分别是：( x n , 1 x n1), ( x n 1, 1x n2 2 2 由 P n 1 在直线 l 11kx n 1 k. 1 上，得22 xn1因此 1(x n1) k (x n 1 1),即 x11(x n 2n 12k因此数列 { x n 1} 是首项为 x 11, 公比为 1 的等比数列2k1).21), n N.由题设知 x 1 11, x 1 11 0,kk进而 x n 11 ( 1) n 1,即 x n 1 2 ( 1) n , n N .9 分k 2k2ky kx 1 k,（3）由 y1 x 1 得点 P 的坐标为（ 1， 1）.,2 2因此2 | PP n |2 2(x n 1) 2 2(kx n 1 k 1) 28 ( 1 )2 n 2( 1 ) 2n 2 ,12k 2k4k 225 4k 2[(1 1)2 (01)2] 5 429.|PP 1 |kk（i ）当 | k |1,即 k 1或 k 1时， 4k 2 | PP 1 |251910,2 2 2而此时0 |1 | 1,因此2 | PP n |2 8 1 210.故 2 | PP n |2 4k 2 | PP 1 |2 5.2k（ii ）当 0 | k |1,即 k( 1 ,0) ( 0, 1)时， 4k 2 | PP 1 |25 1 910 .22 2而此时| 1 | 1,因此 2 | PP n |2 8 1 2 10.故 2 | PP n |2 4k 2 | PP 1 |2 5. 14 分2k20. （ 2020 年房山一模 20）在直角坐标平面上有一点列P 1 (x 1, y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) , P n ( x n , y n )，对全部正整数 n ，点 P n 位于函数 y 3x13的图541为公差的等差数列 x n ．（ I ）求点 P n 的坐标；象上，且 P n 的横坐标组成以为首项，2（II ）设抛物线列 c 1, c 2 ,c 3 , , c n , , 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第 n 条抛物线 c n的极点为 P n ，且过点 D n (0, n 21) ，记与抛物线 c n 相切于 D n 的直线的斜率为 k n ，求：11 1 ；（ III ）设 S x | x 2x n , n N * ,Ty | y 4 y n , n N * ，k 1 k 2 k 2 k 3 k n 1k n等差数列 a n 的任一项 a n S I T ，此中 a 1 是 S I T 中的最大数，265a10125 ，求 a n 的通项公式．解：（ I ） x n5 (n 1) ( 1) n32 分2 2y n 3 x n 133n 5 , P n ( n 33n 53 分44 , )2 4（II ） c n 的对称轴垂直于 x 轴，且极点为 P n .设 c n 的方程为：y a(x 2n3) 2 12n 5 ,5 分把 D n (0, n 2 2 41) 代入上式，得a 1 ，c n 的方程为： y x 2 (2n 3) x n 21 .7 分y2x 2n 3当 x0时， k n2n 311111)k n 1 kn((2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3111 1 1 1 1 1 ( 11)]k 1 k 2 k 2 k 3k n 1kn[( ) ( )2 5 7 7 92n 1 2n 31 11 ) 1 19 分= ( 5 2n 10 4n 62 3（III ） S { x | x (2n 3), n N , n 1} ，T { y | y (12 n 5), n N , n 1}{ y | y 2(6n 1) 3, n N , n 1}S I T T ,T 中最大数 a 117 .10 分设 {a n }公差为 d ，则 a 1017 9d ( 265, 125) ，由此得248 d 12, 又 a nT d12m( mN *),9d24, a n 724n(n N *).20．（ 2020 年门头沟一模理 20）数列 a n 知足 a 11, a n 1a n 2 (n 1,2,L ) ．3a n 2 a n 1（Ⅰ）求 a 2 ， a 3 ； ( Ⅱ ) 求证 : a 1 a 2a n1a n 1；（Ⅲ）求证 :2 1 a n11 1a 1 a 2 a n 1 1232 n 1232 n．解：（Ⅰ） a 2 11 2 分， a 3437证明：（Ⅱ）由 a na n 2知1 1 11a n 2 a n 1 a n 1a n 2 1，a n1 11 ( 11) ．（ 1）an 1a na nan 1a 2a因此nna n ,1an 11 a n1 a n即a na na n1．5 分1 a n 1 a n 1进而a 1 a 2a na 1 a 2a 2a 3 a nan 11 a 11 a2 1 a 2 1 a 31 a n1 a n 1a 1 a n 11a n 1．7 分1 a 11 a n 12 1 a n 1(Ⅲ) 证明11a 1 a 2 a n1 1等价于2 32n 12 32 n证明111an 111，2 32 n 12 1 a n 1 2 32 n即32n 1 1 a n 132n．（ 2）8 分an 1当 n 1 时 ，1 a 26， 321 16321，a 2即 n 1 时，（ 2）建立．设 nk( k 1) 时，（ 2）建立，即32k11ak 132 k．ak 1当 nk 1时，由（ 1）知1 a k 21 1 a k 1)1 a k 1) 232k11 分a k 2(a k 1 (a k 1；a k 1又由（ 1）及 a 11 1 a n( n 1) 均为整数，3知a n1 a k 132k1 a k 13 2k1即 13 2k，进而由 a k有ak 11a k 11 a k2 1 1 a k 13 2 k 3 2k 3 2k 1 因此ak 1 ak 1，ak 2即（ 2）对n k 1 也建立．因此（ 2）对n1的正整数都建立，即1 1 a1 a2 a n1 1n 对n 1 的正整数都建立．13 分2n 12 3232。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解三角形(原卷版)
1 / 32020北京各区一模数学试题分类汇编—解三角形（2020海淀一模）在△ABC中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =___；△ACD 的面积为____.（2020顺义区一模）在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.（2020延庆一模）在ABC V 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若45CAD AC ∠=︒=，，则ABC V 的面积等于____________.（2020西城一模）已知ABC V 满足，且23b A π==，求sinC 的值及ABC V 的面积.（从①4B π=，②a =a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）（2020东城一模）在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.（2020丰台一模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3A π=.（1）当2b =时，求a ；（2）求sin B C 的取值范围.2 / 3（2020朝阳区一模）在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.（2020石景山一模）已知锐角ABC V ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC V 的面积.（2020怀柔一模）已知在ABC ∆中，2a =，b =①π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =. （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）条件下，求B 及c 的值.（2020密云一模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.3 / 3（1）已知_______________，计算ABC V 的面积；请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值.。
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编(一)
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
2020届北京市东城区高三一模考试数学试题及答案
绝密★启用前2020届北京市东城区高三一模考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，{}1,0,1,2B =-，那么A B =()A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．1,0,1,2D ．{}2答案：D先化简集合A ，再利用交集的定义求解. 解：∵{}1A x x =>，{}1,0,1,2B =-， ∴{}2A B ⋂=. 故选：D. 点评：本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．函数()f x =() A ．(]1,2- B ．[)2,+∞C ．()[),11,-∞-+∞D ．()[),12,-∞-+∞答案：B首先根据()f x =2201x x -≥+，再解不等式即可. 解：函数()f x =，令2201x x -≥+，得20x -≥， 解得2x ≥，所以()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：B 点评：本题主要考查函数的定义域，属于简单题.3．已知()211i a R ai=-∈+，则a =（） A ．1B ．0C ．1-D ．2-答案：A利用复数的除法得出211ai i+=-，进而可求得实数a 的值. 解：211i ai=-+，()()()21211111i ai i i i i +∴+===+--+，因此，1a =. 故选：A. 点评：本题考查利用复数相等求参数，考查复数除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4．若双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则b 的值为()A ．1 BC D ．2答案：D求出双曲线C 中斜率为正数的渐近线方程，根据该直线与直线21y x =+平行可求得b 的值. 解：双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线y bx =与直线21y x =+平行，可得2b =.故选：D. 点评：本题考查利用双曲线的渐近线与直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.5．如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A ．4B ．6C ．8D ．12答案：A利用三视图作出几何体的直观图，然后利用锥体的体积公式可求得该几何体的体积. 解：由三视图知，几何体是一个三棱锥1D BCD ，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是4DC =，3BC =，12DD =，因此，三棱锥的体积是11432432⨯⨯⨯⨯=. 故选：A. 点评：本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键就是结合三视图还原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是() A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>答案：D利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 解：1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 点评：本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7．在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为12⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是()A ．12⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,22⎛-⎝⎭C ．221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭答案：C计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 解：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=， 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得3cos sin 2παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 所以，点M '的坐标为3,21⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.点评：本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B在不等式AB AC AB AC +>-两边平方并化简得0AB AC ⋅>，判断出角A 的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 解：三角形ABC 中，“AB AC AB AC +>-”0AB AC ⇒⋅>，可得A 为锐角，此时三角形ABC 不一定为锐角三角形.三角形ABC 为锐角三角形A ⇒为锐角.∴三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.9．设O 为坐标原点，点1,0A ，动点P 在抛物线22y x =上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为() A ．(]0,1 B．⎛ ⎝⎭ C．⎛ ⎝⎦ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭答案：C设点2,2y P y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出线段PA 的中点M 的坐标，利用基本不等式可求得直线OM 的斜率的取值范围. 解：设2,2y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0y >，所以PA 的中点22,42y y M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以222222224OMyy k y y y y ===+++，因为2y y +≥102y y<≤=+，所以0,2OM k ⎛∈ ⎝⎦， 故选：C. 点评：本题考查直线斜率取值范围的计算，涉及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是（）A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值 答案：C根据图形可判断A 选项的正误；根据曲线上半段中()y t 和()x t 的变化趋势可判断B 选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C 选项的正误；取()10x t =，()100y t =可判断D 选项的正误. 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，故选：C. 点评：本题考查函数图象的性质，考查数据分析能力，比较抽象，属于中等题. 二、填空题11．已知向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，若a b -与c 共线，则实数m =______. 答案：3求出向量a b -的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值. 解：向量(),1a m =，()1,2b =-，()2,3c =，()1,3a b m ∴-=-，a b -与c 共线，1323m -∴=，解得实数3m =. 故答案为：3. 点评：本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．在622()x x+的展开式中，常数项为_____．（用数字作答） 答案：60根据二项式展开式的通项公式，利用x 项的指数为0，即可求出常数项. 解： 在622()x x+的展开式中,通项公式为： 66316622()2r r r r r r r T C x C x x--+== 令6302r r -=∴=所以展开式的常数项为：226260C = 故答案为：60 点评：本题考查了二项式定理的通项公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 13．圆心在x 轴上，且与直线1:l y x =和2:2l y x =-都相切的圆的方程为______.答案：()22112x y -+=设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，根据圆与直线1l 、2l 都相切可求得a 、r 的值，由此可得出所求圆的方程. 解：设所求圆的方程为()()2220x a y r r -+=>，因为圆()()2220x a y r r -+=>与直线1:l y x =和2:2l y x =-r ==，解得1a =，22r，所以圆的方程为()22112x y -+=.故答案为：()22112x y -+=. 点评：本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线与圆相切的处理，考查计算能力，属于中等题.14．设函数()()1,0,22,0.x a a xa x x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩给出下列四个结论：①对0a ∀>，t R ∃∈，使得()f x t =无解；②对0t ∀>，a R ∃∈，使得()f x t =有两解；③当0a <时，0t ∀>，使得()f x t =有解；④当2a >时，t R ∃∈，使得()f x t =有三解.其中，所有正确结论的序号是______. 答案：③④取3a =，由一次函数的单调性和基本不等式，可得函数()f x 的值域，可判断①的正误；取0a =，判断函数()f x 的单调性，即可判断②；考虑0a <时，求得函数()f x 的值域，即可判断③；当2a >时，结合一次函数的单调性和基本不等式，以及函数()f x 的图象，即可判断④.综合可得出结论. 解：对于①，可取3a =，则()()3331,0,22,0.x xx x f x x --⎧+<=⎨+≥⎩， 当0x <时，()()()31,3f x x =+∈-∞；当0x ≥时，()3333222222x x x x f x ----=+≥⋅=，当且仅当3x =时，取得等号， 故3a =时，()f x 的值域为R ，t R ∀∈，()f x t =都有解，故①错误；对于②可取0a =时，()0,022,0x xx f x x -<⎧=⎨+≥⎩，可得()f x 在(0,)+∞上单调递增， 对0t ∀>，()f x t =至多一解，故②错误；对于③，当0a <时，0x <时，()()1f x a x =+单调递减，可得()f x a >； 又0x ≥时，0x a ->，即有21x a ->.可得222x a a x --+>，则()f x 的值域为(),a +∞，0t ∀>，()f x t =都有解，故③正确；对于④，当2a >时，0x <时，()()1f x a x =+递增，可得()f x a <；当0x ≥时，()222x a a x f x --=+≥，当且仅当x a =时，取得等号，由图象可得，当23t <<时，()f x t =有三解，故④正确. 故答案为：③④.点评：本题考查分段函数的应用，主要考查方程根的个数问题，注意运用反例法判断命题不正确，考查推理能力，属于中等题. 三、双空题15．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，27BD =，则CD =______；sin ABD ∠=______.答案：2321由3AD CD =可得2AC CD =，在BCD 中利用余弦定理可求得CD 的长，在ABD △中，利用正弦定理可求得sin ABD ∠的值. 解：如图所示，等边ABC 中，3AD CD =，所以2AC CD =.又7BD =2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，即(()22227222cos120CD CD CD CD +-⋅⋅⋅=，解得2CD =，所以6AD =；由sin sin AD BD ABD A =∠∠，即67sin sin 60ABD =∠，解得321sin 14ABD ∠=. 故答案为：2；32114. 点评：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，1AB AC ==，1PD =.（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角D PC B --的余弦值的大小. 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3-. （Ⅰ）根据四边形ABCD 是平行四边形得出//AD BC ，再利用线面平行的判定定理可证得//AD 平面PBC ；（Ⅱ）过D 作平行于AC 的直线Dx ，以D 为坐标原点，DC 、DP 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角D PC B --的余弦值. 解： （Ⅰ）证明：底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD ∴平面PBC ；（Ⅱ）解：过D 作平行于AC 的直线Dx ，AB AC ⊥，Dx DC ⊥，又PD ⊥面ABCD ，∴以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.则()0,1,0C 、()0,0,1P 、()1,2,0B ，()1,1,0CB =，()0,1,1CP =-，设平面PCB 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n CB x y n CP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，得()1,1,1n =-.取平面PCD 的一个法向量()1,0,0m =，则cos ,31m n m n m n⋅<>===-⨯⋅.由图可知，二面角D PC B --为钝角，∴二面角D PC B --的余弦值为3-点评：本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．已知函数()()2sin 22cos 066f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足_______. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π，③()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭.这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. 答案：满足①或②或③；（Ⅰ）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（Ⅱ）47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭； （Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式，根据①或②或③中的条件求得1a =，可得出()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得3x k ππ=+，k Z ∈，可得出方程()1f x =在区间[]0,m 上的实数根，进而可得出实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）函数()2sin 22cos 66f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2163a x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 21662a x x πππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 2166a x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1sin 216a x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，若满足①()f x 的最大值为1，则12a +=，解得1a =，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）令()1f x =，得sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2262x k πππ-=+，k Z ∈，即3x k ππ=+，k Z ∈；若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，则3x π=或43π； 所以实数m 的取值范围是47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 若满足②，()f x 的图象与直线3y =-的两个相邻交点的距离等于π， 且()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以()113a -+-=-，解得1a =； 以下解法均相同.若满足③，()f x 的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 1066f a ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1a =；以下解法均相同. 点评：本题考查利用正弦型函数的基本性质求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数方程的根的个数求参数，考查计算能力，属于中等题.18．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.如图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“⋅”表示北斗二代定位模块的误差的值，“+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位：米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率； （Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四个点位中随机选出两个，记X 为其中纵坐标误差的值小于4-的点位的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小.（结论不要求证明） 答案：（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）分布列见解析，1；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.（Ⅰ）通过图象观察，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，由古典概率的计算公式可得所求值；（Ⅱ）通过图象可得，A ，B ，C ，D 四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C ，D ，则X 的所有可能取值为0，1，2，分别求得它们的概率，作出分布列，计算期望即可；（Ⅲ）通过观察它们的极差，即可判断它们的方差的大小．解：（Ⅰ）由图可得，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.06 50=；（Ⅱ）由图可得，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点：C，D，所以X的所有可能取值为0，1，2，()022416CP XC===，()112224213C CP XC===，()2224126CP XC===，所以X的分布列为所以X的期望为()1210121636E X=⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.点评：本题考查古典概率的求法，以及随机变量的分布列和期望的求法，方差的大小的判断，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.19．已知椭圆E：22221x ya b+=（0a b>>），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为1F，2F ，若四边形12AF BF 为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线1l ，2l ，它们与椭圆E 分别交于点C ，D ，M ，N ，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.答案：（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（Ⅰ）由题意可得22212222b c c b a b c=⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，2l 的方程为2y kx m =+，联立直线与椭圆方程并消元得韦达定理的结论，根据弦长公式可求得CD ，MN ，由四边形CDMN 为菱形可得0MC ND ⋅=，可得2213220m k --=，再根据基本不等式即可求出最值．解：解：（Ⅰ）∵四边形12AF BF 为正方形，且面积为2，∴22212222b cc b a b c =⎧⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程2212x y +=；（Ⅱ）设1l 的方程为1y kx m =+，()11,C x y ，()22,D x y ， 设2l 的方程为2y kx m =+，()33,M x y ，()44,N x y ，联立12222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()22211124220k x km x m +++-=， 由>0∆可得()()22221116412220k m km-+->，化简可得221210k m +->，①1122412km x x k -=++，211222212m x x k-+=，12CD x x-===，同理可得MN =， ∵四边形CDMN 为菱形，∴CD MN =，∴2212m m =，又∵12m m ≠，∴12m m =-，∴1l ，2l 关于原点对称，又椭圆关于原点对称， ∴,C M 关于原点对称，,D N 也关于原点对称，∴3131x x y y =-⎧⎨=-⎩且4242x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴()112,2MC x y =，()222,2ND x y =， ∵四边形CDMN 为菱形，可得0MC ND ⋅=， 即12120x x y y +=，即()()1211210x x kx m kx m +++=， 即()()2121122110kx xkm x x m ++++=，可得()221111222224012121m km km m k kk -+=--++++=⋅， 化简可得2213220m k --=，∴菱形CDMN的周长为4l CD ==28312k=+()222122142312k k k +++≤=+ 当且仅当222214k k +=+，即212k =时等号成立， 此时211m =，满足①，∴菱形CDMN 的周长的最大值为 点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查椭圆的几何性质，考查一元二次方程根与系数的应用，考查基本不等式的应用，考查转化与划归思想，考查计算能力，属于难题． 20．已知函数()()ln f x x x ax =-（a R ∈）.（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a >，求()f x 在区间(]0,2a 上的最小值.答案：（Ⅰ）y x =-；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）()22ln 22a a a ⎡⎤-⎣⎦.由题意得()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，求得()11f '=-，()11f =-，根据点斜式方程即可求出切线方程；（Ⅱ）由题意得1ln 2xa x +=两个不等的正根，令()1ln x g x x +=，则()2ln x g x x -'=，由此可得函数()g x 的单调性，由此可求出答案；（Ⅲ）由题意可得()12f x a x''=-，由二阶导的取值符号可得到f x 的单调性，得到()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，由此可求出函数()f x 在(]0,2a 上单调递减，从而求出最值．解：解：∵()()ln f x x x ax =-， ∴()1ln 2f x x ax '=+-；（Ⅰ）当1a =时，()11f '=-，()11f =-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y x --=--， 即y x =-；（Ⅱ）∵若()f x 有两个极值点，∴()1ln 20f x x ax '=+-=有两个不等的正根，即1ln 2xa x+=两个不等的正根， 令()1ln xg x x +=，0x >，()2ln x g x x-'=， 令()01g x x ='⇒=，当()0,1x ∈时0g x，此时()g x 单调递增，01g e ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭()(,1)g x ∈-∞；当()1,x ∈+∞时0g x ，此时()g x 单调递减，()(0,1)g x ∈∴函数()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值()11g =，因为1ln 2xa x+=两个不等的正根， ∴021a <<，得102a <<， ∴实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()ln f x x x ax =-，∴()1ln 2f x x ax '=+-，()12f x a x''=-， ∵1a >，(]0,2x a ∈，令()102f x x a''=⇒=， 当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ''>，此时f x 单调递增，当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ''<，此时f x 单调递减，故()()max 1ln 202f x f a a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭， ∴()f x 在(]0,2a 上单调递减，故()f x 在(]0,2a 上的最小值为()()222ln 22f a a a a ⎡⎤=-⎣⎦．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题．21．数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，对于给定的t （1t >，t +∈N ），记满足不等式：()*n t x t x t n -≥-（n +∀∈N ，n t ≠）的*t 构成的集合为()T t ．（Ⅰ）若数列2:n A x n =，写出集合()2T ； （Ⅱ）如果()T t （t +∈N ，1t >）均为相同的单元素集合，求证：数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）如果()T t （t +∈N ，1t >）为单元素集合，那么数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．答案：（Ⅰ）[]3,5；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）是等差数列，证明见解析．（Ⅰ）由题意得，()2*42n tn -≥-，分1n =和2n >两类讨论解出不等式，再根据()2T 的定义即可求出；（Ⅱ）由题意，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，当1n t =+时，由题意可得1t t x x a +-≥，当1n t =-时，有1t t x x a --≤，则1t t x x a +-=成立，从而得出证明；（Ⅲ）不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由题意可得()j i x x a j i -≥-，()j i x x b j i -≤-，则()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，则a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，则i j t t ≤，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，由212x x t -≤，()2T 为单元素集，则212x x t -=；再证332t x x =-，由3t 和2t 的定义可证323x x t -=，则3322t x x t =->，则存在正整数4m ≥使得()222m m t x x -=-，而()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，得出矛盾，从而32t t =，同理可证2345t t t t ====，由此可得结论． 解：（Ⅰ）解：由题意得，()2T 为满足不等式()*22n n x x t-≥-的*t 构成的集合，∵数列2:n A x n =， ∴()2*42n t n -≥-，即()()()*222n n n t ≥--+，当1n =时，上式可化为*3t ≤，当2n >时，上式可化为*2n t +≥，得*5t ≥，∴()[],235T =；（Ⅱ）证：对于数列A ：1x ，2x ，3x ，…，n x ，…，若()T t 中均只有同一个元素，不妨设为a ，下面证明数列A 为等差数列，当1n t =+时，有1t t x x a +-≥，①当1n t =-时，有1t t x x a --≤，②∵①②两式对任意大于1的整数均成立，∴1t t x x a +-=成立，∴数列1x ，2x ，…，n x ，…为等差数列；（Ⅲ）解：对于数列A ：1x ，2x ，…，n x ，…，不妨设(){}T i a =，(){}T j b =，1i j <<，a b ，由(){}T i a =，知()j i x x a j i -≥-，由(){}T j b =，知：()i j x x b i j -≥-，即()j i x x b j i -≤-，∴()()j i a j i x x b j i -≤-≤-，∴a b ≤；设(){}i T i t =，则23n t t t ≤≤≤≤，这说明1i j <<，则i j t t ≤，∵对于数列A ，()T t 中均只有一个元素，首先证2t =时的情况，不妨设21x x >，∵212x x t -≤，又()2T 为单元素集，∴212x x t -=，再证332t x x =-，证明如下：由3t 的定义可知：332t x x ≥-，3132x x t -≥，∴31332max 2,x x t x x -⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 由2t 的定义可知32221x x t x x -≥=-， ∴32213133222x x x x x x t x x -+--≥-≥=，∴323x x t -=， ∵32t t >，∴3322t x x t =->，则存在正整数()4m m ≥，使得()222m m t x x -=-，③∵212323431k k x x t x x t x x x x --=≤-≤≤-≤≤-≤， ∴()()2112332m m m i i i i i x x x x t m t --==-=-≥>-∑∑，这与③矛盾，∴32t t =，同理可证2345t t t t ====，即232314x x x x x x =-=--⋅⋅⋅， ∴数列1x ，2x ，…，n x ，…还是等差数列．点评：本题主要考查数列的新定义问题，考查定义法证明等差数列，考查计算能力与推理能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．。
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编---数学文化
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----数学文化1.（2020海淀一模）形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B【分析】32521F =+,设322m =,两边取常用对数估算m 的位数即可. 【详解】32521F =+Q ,设322m =，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m ===⨯=.9.63291010m =≈，故5F 的位数是10，故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2lg51+=简化计算.2.（2020北京市模拟）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ． 3.（2020北京市模拟）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①② 【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．4.（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14【答案】C 【分析】假设圆的半径为r ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为36024o，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形 且顶角为3601524=o o ，所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152⋅⋅⋅⋅=o o r r r 所以2212sin1512sin15 3.11ππ=⇒=≈o o r r ，故选：C【点睛】本题考查分割法使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.5.（2020房山一模）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．如图的统计图反映了2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率＝贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是（ ）A ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减B ．2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C ．2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少9348万D ．2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图能求出结果．由2012﹣2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况统计图得：在A 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口逐年递减，故A 正确；在B 中，2013﹣2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年，故B 正确；在C 中，2012﹣2019年，全国农村贫困人口数累计减少：9899﹣551＝9348万，故C 正确；在D 中，2019年，全国各省份的农村贫困发生率有可能超过0.6%，故D 错误．故选：D ．本题考查命题真假的判断，考查统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（2020通州一模）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” ，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 {}n a ，则1a = ； n a = . （注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）8,15n-7。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--立体几何(原卷版)
1 / 122020北京各区一模数学试题分类汇编--立体几何（2020海淀一模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）（2020西城一模）某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2 2 S,且 2 3 SB. 2 ,2 S,且 2、、3SC. 2 .2 S,且 2,3 SD. 2、2 S,且 2 3 S（2020东城一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为A . .5B. 2迈 D.13FT（左）觇鮒 髓（亞）觇阁2 / 12正庄视團 側咗诙凰-俯视團（2020丰台一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于,3的有（（2020石景山一模）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2020朝阳区一模）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 它的体积为纯■3 / i2视图，则该几何体的体积为（（2020丰台一模）已知平面 和三条不同的直线 m,n, I.给出下列六个论断：①m •，②m 〃 ：③m//l ;④n:⑤n 〃 ：⑥n //\.以其中两个论断作为条件，使得m//n 成立•这两个论断可以是 _______ .（填上你认为正确的一组序号）（2020朝阳区一模） 如图，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱 AB ，BB 1的中点，点P 在 对角线CA i 上运动.当△ PMN 的面积取得最小值时，点 P 的位置是（）P 在正方形BCC i B i （包括边界）内运动•若PA //面AMN ，则PA i 的长度范围是（）A. 2B. 4C. 5D. 8A.线段CA i 的三等分点，且靠近点 AB.线段CA i 的中点C.线段CA i 的三等分点，且靠近点 C D.线段CA i 的四等分点，且靠近点 C（2020石景山一模） 点M ，N 分别是棱长为2的正方体ABCD A i B i C i D i 中棱BC ， CC i 的中点，动点4 / 12的体积为（ ）（2020密云一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）（2020怀柔一模）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体A.B. 4C. 3D.zdi h -2―H正观图 髓视图5 / 12的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确 的是（ ）A. 8B.C. 8 2 2D. 8 4 2（2020密云一模）在正方体AC i 中，E 是棱CC i 的中点,F 是侧面BCC^内的动点，且 AF 与平面ID ! AEA.点F 的轨迹是一条线段B. AF 与BE 是异面直线C. A i F 与D i E 不可能平行D.三棱锥F ABD i 体积为定值（2020顺义区一模）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. 4 4.3C. 4.3B. 12D. 8（2020延庆一模）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为A. 8B. 12C. 4 4\3D. 20（2020延庆一模） 已知直线a,b ，平面，，b ，a// ，a b ，那么“ a”是“的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件E 为AG 的中点.（II ）求二面角 A BC E 的大小.（2020海淀一模） 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1 中，AB 丄平面 BB 1C 1C, AB BB ^2BC 2,BC i 3，点（I ）求证：C 1B 平面ABC ；(2020西城一模)如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 且 AB AD AA 2, BD DC 2运(I )求证:AB 平面ADD i A ；(n )求直线AB 与平面B i CD i 所成角的正弦值(2020东城一模)16•如图1,在VABC 中，D , E 分别为AB , AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC 2、5 , BC 4.将VABC 沿DE 折起到△ ADE 的位置，使得平面AQE 平面BCED ，如 图2.7 / 12平面 ABCD ,底面ABCD 满足 AD 〃 BC,8 / 12(1)求证：CD//平面ABM ;(2)求证：AC 平面BCM;(1)求证：AO BD ；(2)求直线AC 和平面ABD 所成角的正弦值（2020 丰台一模）17.如图，在四棱锥 M ABCD 中，AB//CD , ADC BM C 90° , AD DC ^AB .2 ,平面 BCM 平面 ABCD .2M B MC,AE (3)在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E BC M的大小为―？若存在，求出的值；若不存4 AM 在，请说明理由•(2020朝阳区一模)17.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，平面ACGA 平面ABC，四边形ACC1A1是正方形，点D，E分别是棱BC，BB1的中点，AB 4，AA1 2，BC 2、.5・(1)求证：AB CC1；(2 )求二面角D AC1 C的余弦值；(3)若点F在棱B1C1上，且B1C1 = 4B1F，判断平面AGD与平面AEF是否平行，并说明理由(2020石景山一模)16•如图，在正四棱锥P ABCD中，AB PB 2 2，AC I BD O .■(1)求证：BO 平面PAC ；(2 )求二面角A PC B的余弦值.(2020怀柔一模)17•如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB 2, AP 2 ,(1)求证：BD 平面PAC ;(2 )求二面角E AF C的大小.（2020密云一模）18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ADC 60，△ PAD 为等边三角形，平面PAD 平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.& ¥ E（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明（2020顺义区一模）16•已知四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PD 平面ABCD, PD AB,11 /12E是PB的中点•(1)求证：平面PBC 平面PCD;(2 )求二面角E AD B的大小；(3)试判断AE所在直线与平面PCD是否平行，并说明理由(2020延庆一模)16.如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是正方形，AB 4, PD PC, O是CD的中点，PO 平面ABCD , E是棱PC上的一点，PA//平面BDE .12 / 12(1) 求证：E是PC的中点；(2) 求证：PD和BE所成角等于90 .13 /12。
2020年北京市石景山区初三数学一模试卷及参考答案
2020年北京市石景山区初三数学一模试卷及参考答案2020年北京市石景山区初三一模试卷数学学校：__________ 姓名：__________ 准考证号：__________考生须知：1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
满分100分，考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1.2019年5月7日，我国自主创新研发的“东方红3号科学考察船”通过挪威DNV-XXX权威认证，成为全球最大静音科考船。
“东方红3”是一艘5000吨级深远海科考船，具有全球无限航区航行能力，可持续航行海里。
将用科学记数法表示应为A。
0.15×10^5B。
1.5×10^4C。
15×10^4D。
15×10^32.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A。
B。
C。
D。
3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则不正确的结论是A。
a>3B。
b-c<0C。
ab<0D。
a>-c4.如图，AD平分∠BAC，点E在AB上，EF∥AC交AD 于点G，若∠DGF=40°，则∠BAD的度数为A。
20°B。
40°C。
50°D。
80°5.若一个多边形的内角和为540°，则该多边形的边数是A。
4B。
5C。
6D。
76.在下列几何体中，其三视图中没有矩形的是A。
B。
C。
D。
7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E。
用①AB是⊙O的直径，②CB=CE，③AB=AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为A。
2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为 ，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示
， ， .
，
.
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， .
设直线 和平面 所成的角为 ，则
，
所以直线 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】
2020北京各区一模数学试题分类汇编--数列(原卷版)
2020北京各区一模数学试题分类汇编一数列（2020海淀一模）若数列｛a n ｝满足a 12,则A. 充分而不必要条件C.充分必要条件p,r N *,a p r a p a r ”是｛a .｝为等比数列”的B. 必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 3 2，a i a 4 5，则S 6设等差数列a n 的前n 项和为S n ，a n 2n 1，则S 5（2020朝阳区一模）在等比数列｛a n ｝中，a 1 1，a 4 8，则｛a .｝的前6项和为（）A. 21B. 11C. 31D. 63x *（2020 朝阳区一模）已知函数f （x ） XC0S3 .数列｛ a n ｝满足a n f （n ） f （n 1）（n N ），（2020海淀一模）在等差数列a n 中，q 3, a 2 a 5 16，则数列｛a n ｝的前4项的和为A. 10B. 9C. 8D. 7 （2020东城一模）已知正项等比数列a n 中，a 1a 5a 9 27，a 6与a 7的等差中项为9，则aw A. 729B. 332C. 181D. 96 （2020西城一模）（2020丰台一模）则数列｛a n ｝的前100项和是________（2020石景山一模）设a n 是等差数列，其前n 项和为S n .则“ S S 3 2S 2 ”是“ a n 为递增数列”的（）A.充分而不必要条件C. 充分必要条件（2020石景山一模）已知正项等比数列a n 中，a i 1，其前n 项和为S n n N*，且—丄—，a i a 2 a 3则S 4 _______________（2020石景山一模）能够说明“设 a ,b 是任意非零实数”，若“ a b ，则- a b 的值依次为______（2020怀柔一模）在等差数列｛a n ｝中，若a 4a 5a 615，则a 2a 8（2020密云一模）设数列a n 是等差数列，a 1 a 3 a §6，a ?A. 6 B. 10 C. 7 D. 5A. 12B. 21C. 24D. 36 B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件-”是假命题的一组整数b6.则这个数列的前7项和等于（(2020顺义区一模)设S n为公比q 1的等比数列a n的前n项和，且剤,2a2, a s成等差数列，则qS4--------- ，由---------- .(2020延庆一模)已知数列a n是等差数列，S n是a n的前n项和，a i0 16.(1) 判断2024是否是数列3n中的项，并说明理由；(2) 求S n的最值.从①3810 ?，②a8 8 :③a8 20中任选一个，补充在上面的问题中并作答。
北京市西城区2020届高三第一次模拟考试数学试题解析版
北京市西城区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）数学 苏悦读书室整理注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B. C.D. 20【答案】B【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=【答案】A【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +> B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. S S ，且B. S S ，且C. S S ，且D. S S ，且 【答案】D【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件.故12AB BCCD AD CC =====，11BC DC ==，1AC =故{2,S =，故S ，S .故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈， 当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确； 故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】20【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1-【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c 62c ea.故答案为：2. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论: ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ【解析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ 故6sin cos ,26n AB n AB n ABθ⋅====⋅【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生空间想象能力和计算能力.17.已知ABC 满足 ，且23b A π==，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②a =③a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.） 【答案】见解析 【解析】选择①时：4B π=,23A π=，计算sin C =根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案；选择②时，a =b =，故B A >，A为钝角，故无解；选择③时，a B =，根据正弦定理解得sin B =，sin C =3a =，计算面积得到答案. 详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故19sin 24S ab C -==. 选择②时，a =b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B==， 解得sin B ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1sin 2S ab C ==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个【人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===. 故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x --==，故02a x =，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22a f x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a a f x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220a f x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+== 200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-， 设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减.()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】(Ⅰ)计算得到故1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明. (Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k =-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N，故1,2A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2D ⎛- ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD = AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=， 相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=，故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数n ，如果()*k k N ∈个整数12k a a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g . (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2n k =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n =【解析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案. (Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时，根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=； 综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=. (Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <；当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”，故n n f g ≤.综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==；当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力。
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1 / 122020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何（2020海淀一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___.（2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为____________.（2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．（2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）2 / 12A. ()()22112x y -+-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=（2020东城一模） 已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（2020东城一模） 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2-B. (0,1)-C. (0,2)-D. (0,4)-（2020丰台一模） 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.（2020丰台一模） 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ） A.13B.43D. 33 / 12（2020丰台一模） 圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2（2020朝阳区一模） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =（2020朝阳区一模） 在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.12D.（2020朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.4 / 12给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________.（2020石景山一模） 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______.（2020怀柔一模） 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.（2020怀柔一模）6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝15 / 12（2020密云一模） 如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点M 在圆C 上B. 点M 在圆C 外C. 点M 在圆C 内D. 上述三种情况都有可能（2020密云一模） 已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞（2020密云一模） 双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.（2020顺义区一模） 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________.（2020顺义区一模） 抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. B. 8 C. 4 D. 1（2020延庆一模） 已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )6 / 12A.B.C.32D.92（2020延庆一模） 经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.（2020海淀一模） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.（2020西城一模） 设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.7 / 12(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.（2020东城一模） 已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.8 / 12（2020丰台一模） 已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9 / 12（2020朝阳区一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.（2020石景山一模） 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F，离心率为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.10 / 12（2020怀柔一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，离心率为2．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．（2020密云一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1A .11 / 12 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.（2020顺义区一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.（2020延庆一模）已知椭圆22221(0)x ya ba bG+=>>：的左焦点为(),F且经过点(),,C A B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于,P Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M.（1）求椭圆G的标准方程；（2）若3PQ=，求直线l的方程；（3）若BOP△的面积是BMQ的面积的4倍，求直线l的方程.12/ 12。