《平行关系的性质》公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

《平行关系的性质》教学设计
教材分析:
本节内容在立体几何学习中，具有重要的意义和地位.本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出平行关系的性质定理.本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的性质，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.
教学目标：
【知识与能力目标】
1. 掌握直线与平面平行的性质定理；
2. 掌握两平面平行的性质定理；
3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的性质定理解决相关问题．
【过程与方法】
1. 学生通过观察实物及模型，归纳得出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.
2. 通过读图、识图、画图的过程，培养空间想象能力及运用图形和符号语言进行交流的能
力.
【情感态度与价值观】
学生在观察、探究、发现中学习，在自主、合作、交流中学习.体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极地学习态度，提高学习的自我效能感.
教学重难点：
【教学重点】
归纳出直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.
【教学难点】
直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的合情推理及其应用.
课前准备：
课件、学案、实物模型.
教学过程：
一、课题引入：
上节课我们学习了线面平行、面面平行的判定定理.那今天我们一起来线面平行、面面平行的性质定理.也就是如果给你线面平行、面面平行能得到什么结论呢？
问题1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位
置关系？（观察长方体）
问题2：如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平
行？（可观察教室内灯管和地面）
问题3：若直线a ∥平面α,过直线a 的平面β与平面α有哪些位置关系?当平面β
与平面α相交于直线b 时,直线a 与直线b 有怎样的位置关系?请尝试证明你的结论.
问题4：观察长方体1111D C B A ABCD -，面ABCD 与面1111D C B A 互相平行,那么在面
ABCD 内直线l 与面1111D C B A 是怎样的位置关系?与1111D C B A 面内的直线
是什么位置关系，那你如何找到此面内和l 平行的直线呢？
二、新课探究：
1．直线和平面平行的性质
文字语言：直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的
任一平面与此平面的交线与该直线平行.
图形语言：
符号语言：//a α,a β⊂，=α
βb //a b ⇒.
注: 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：
若a ∥α，αβ⊂，b α
β=，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平
行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；（2）平面α和β相交，即b α
β=；（3）直线a
在平面β内，即a β⊂．
三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 定理证明：∵b α
β=，∴b α⊂，又∵a ∥α，∴a 与b 无公共点，
又∵a β⊂，b β⊂，∴a ∥b ．
2. 两平面平行的性质
⑴ 文字语言：两平面平行，则其中一平面内的任一条直线都平行于另一平面. 图形语言：
符号语言：若//αβ，a α⊂，则//a β.
⑵ 平面和平面平行的性质定理：
文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 图形语言：
符号语言：若//αβ，a α
γ=，b βγ=，则//a b .
注：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，
但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．
定理证明：∵//αβ，a α
γ=，b βγ=，
∴ a 与b 无公共点，
α
β
a
又∵a γ⊂，b γ⊂. ∴ a ∥b ．
思考：空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，
而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：
证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
三、知识应用：
题型一 概念问题
例1.判断题
⑴ //a α，b α⊂，则a ∥b . （ ） ⑵ 若平面α∥β，则α内任意一条直线都平行于平面β. （ ） ⑶ 若平面α∥β，则α内任意一条直线都平行于平面β内的所有直线. （ ） ⑷ 若平面α∥β，a αγ=，β⊂b ，
则a ∥b . （ ） ⑸ 若a α
γ=，b βγ=，
a ∥
b ，则α∥β. （ ） ⑹ 若a ∥α，a ∥β，则α∥β. （ ）
解：⑴ 错误，有可能异面；⑵ 正确；⑶ 错误，有可能平行，也有可能异面；⑷ 错误，
有可能平行，也有可能异面；⑸ 错误，有可能平行，有可能两平面相交；⑹错误，有可能平行，有可能两平面相交.
【设计意图】 通过题目的练习更加好的理解、记忆、掌握线面、面面平行性质定理的内容
及并需要注意的内容，使用可以更灵活的应用平行的性质定理.
题型二 线面平行的性质应用
例2. 一木块如图所示，棱BC 平行于面'C 'A .⑴ 要经过面'C 'A 内的一点P 和棱BC 将木
料锯开，应怎样画线？⑵ 所画的线与平面AC 是什么位置关系？
解：⑴ 过p 画一条直线与''
B C 平行，即可；
(2) l ∥'
'
B C ，'
'
B C ∥面AC ，则l 平行于面AC .
例3. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，
求证：另一条也平行于这个平面.
已知：a α⊄，b α⊄，a ∥α，a ∥b . 求证：b ∥α.
证明：过a 作平面β，使它与平面α相交，交线为c ．
∵a ∥α，a β⊂，c α
β=，∴a ∥c ．
∵ a ∥b ，∴b ∥c ．∵b α⊄，c α⊂，∴b ∥α.
【设计意图】由线面平行到线线平行，再到线面平行.性质定理和判定定理的混用， 学生
可对线面平行的关系更加熟悉，找到解决问题的关键，思路如何.
题型三 面面平行的性质应用
例4. 已知两条异面直线AB ，CD 与三个平行平面,,αβγ分别相交于B ,E ,A 及D ,F ,C .
又AD ,BC 与平面的交点为H ,G . 求证：四边形EHFG 为平行四边形.
证明：∵平面ABC ∩平面AC α=,平面ABC ∩平面BC β=，
α∥β
∴AC ∥EG .同理可证AC ∥HF . ∴EG ∥HF .同理可证EH ∥FG . ∴四边形EHFG 为平行四边形.
【设计意图】 利用面面平行的性质定理判定得出线线平行关系，看条件时，一定仔细
理，这个条件到底想告诉我们什么呢？
D ’
B
A ’
D
B
C
A
C
A
B
C
D
E
F
教学反思：
本节课重点是性质定理的应用，一定要多给孩子时间思考，别着急，让孩子逐渐发
现规律，找到平行条件，空间问题平面化，找到证明的关键，不要把判定定理和性质定理弄混.。