状态变量分析法优秀课件
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第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
第七章 系统的状态变量分析法
1.由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例1：如图以 x1(t), x2 (t) 为状态变量，以 yt 为响应写出状态方程和输出
方程
b1
et
q''
q'
x2 '(t) x2(t)
a1
q
x1(t)
a0
yt
b0
解：x1'(t) x2(t)
x2'(t) a0x1(t) a1x2(t) e(t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
1
f
2
(t)ຫໍສະໝຸດ Y CX DF输出方程------ 用状态变量和输入激励表示输出量的方程。其中每一
等式左边是输出变量，右边是只包含系统参数，状态
变量和激励的一般函数表达式，其中没有变量的微分 和积分运算。
7.2 连续时间系统状态方程的建立
一.状态方程和输出方程的一般形式
假设有一个系统
有n个状态变量x1, x2 xn
例1：列写图示电路的状态方程
(1)选i(t),uc (t)作为状态变量
+
u(s)
duc dt
1i c
-
di
dt
1 L
u
电网络分析与综合--网络分析的状态变量法--ppt课件
第七步：由P157式4-4-40可写出：
d d t C L ~u ~ iL C H H C L C C H H C L L L u iL C H H C L V V
~
H H C L II u iL V d d t C L ~ iu IV
化简后得该系统网络的状态方程为：
7. 求8个混合参数 ； H C 、 H C L 、 C H C 、 H L L 、 L H C 、 H V L 、 V H C 、 H ILI
（1）在树支电容电压 U C 单独作用下，其他独立电源置零（电 压源、电流源短路）求 iC 和 U L 。
iCHCC•uc ULHLC•uc
（2）在连支电感电流 iL 单独作用下，其他独立电源置零（电 压源、电流源短路）求 iC 和 U L 。
电网络分析与综合--网络分析的 状态变量法--ppt课件
第四章 网络分析的状态变量法
一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程 【4-4】、【4-5】
二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程 【4-6】、【4-7】
三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程 【4-8】、【4-9】
一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程步骤：
网络中受控源：
u 5 iL 5 ( iL 9 iS)
消去中间变量u，整理得标准状态方程：
uC• 2
• uC 3
• iL8 • iL9
0 0 0 0
0
0 0 -1 3
0
0 0 0
-
1 6
uC 2
0
7 12 5 -5
3
uC 3 iL8 iL9
0 0 0
1
由P153式4-4-3
S R LI
第6章系统的状态变量分析法
∴ dv c ( t ) 1 1 1 = iL (t ) − vc (t ) + x 2 (t ) dt C R2 C R2C
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
第十一章信号与系统状态变量分析法
x Ax Be
y1 c11 c12 c1n x1 d11 c2 n x2 d 21 y2 c21 c22 ym cm1 cm 2 cmn xn d m1
整理得
x x
' 1 ' 2
u1 t
uC t
+ -
iC
C
u2 t
L 1 C
1 1 L x1 L 1 x2 0 R2C
0 u1 1 u2 R2信号与线性系统电子讲义 C
d12 d 22 dm2
d1 p e1 d 2 p e2 d mp e p
信号与线性系统电子讲义
y Cx De
状态方程和输出方程的矩阵形式
连续时间系统 状态方程 x Ax Be 输出方程 y Cx De
信号与线性系统电子讲义
LTI系统状态方程的一般形式
状态方程 x1' a11 x1 a12 x2 a1n xn b11e1 b12e2 b1 p e p ' x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21e1 b22e2 b2 p e p ' xn an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1e1 bn 2 e2 bnp e p
12
输出方程 y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11e1 d12 e2 d1 p e p y c x c x c x d e d e d e 2 21 1 22 2 2n n 21 1 22 2 2p p ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1e1 d m 2信号与线性系统电子讲义 p e2 d mp e
第6章 状态变量分析法
b11 b 21 bn1
b12 b22 bn 2
b1m b2 m bnm
y1 (k ) y2 ( k ) yr ( k )
x(k 1) Ax(k ) Bf (k )
14
A ：系统矩阵 C ：输出矩阵
9
•
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(2) 连续系统的输出方程是状态变量的代数方程 组
P322：式6 1 8 y1 (t ) w1 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) y2 (t ) w2 x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t ) yr (t ) wr x1 (t )，x2 (t )， xn (t )，f1 (t )，f 2 (t )， f m (t )
通信与信息基础教学部
x Ax Bf b1m y Cx Df b2 m bnm A ：系统矩阵 d1m B ：控制矩阵 d2m C ：输出矩阵 D ：系数矩阵 d rm
信号与系统 (Signals & systems)
第6章
第6章 状态变量分析法 输入—输出描述法（端口分析法/外部法）
强调用系统的输入、输出变量之间的关系来 描述系统的特性。一旦系统的数学模型建立以后， 就不再关心系统内部的情况，而只考虑系统的时 间特性和频率特性对输出物理量的影响。这种分 析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较为 简单系统的分析是适合的。其相应的数学模型是 n 阶微分或差分方程。
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
第5页/共47页
写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
信号分析第九章 线性连续系统的状态变量分析.ppt
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状
态变量，可以表示为矩阵。
状态方程: 用状态变量和激励表示的一组微分方程组
输出方程: 用状态变量和激励表示的一组代数方程组
系统方程: 状态方程和输出方程的总称.
说明:
1.对于线性系统,状态方程和输出方程是状态变量和 输入信号的线性组合;
2. 若A,B,C,D矩阵中的各元素都为常数,不随时间 变化,表明系统是线性时不变的; 若A,B,C,D矩阵是 时间的函数,表明系统是线性时变的.
R L
iL
t
vC
t
1 C
iL
t
1 L
vC
t
1 L
et
写为矩阵形式：
d
dt
d
dt
iL
t
vC t
1RL C
1 L 0
iL t
vC
t
1
L
0
et
只要知道iL(t), vC (t) 的初始状态及输入 e(t)即可完全确
x
t
L1 sI A1 x 0
L1 sI A1 BF s
y
t
C1444s4I4444A2441 4x4404443
零输入解
14C444s4I444A44421 B44444D444F4(4s43)
几种注意情况：
1.几个电感串联，独立状态变量只有一个iL (t)
2.几个电容并联，独立状态变量只有一个uC (t) 3.一个闭合回路中有n个电容和m个电源， 独立电容电压变量(：n 1)个 4.一个节点有n个电感和m个电流源汇合，而无其它元件， 独立电流变量： (n 1)个
态变量，可以表示为矩阵。
状态方程: 用状态变量和激励表示的一组微分方程组
输出方程: 用状态变量和激励表示的一组代数方程组
系统方程: 状态方程和输出方程的总称.
说明:
1.对于线性系统,状态方程和输出方程是状态变量和 输入信号的线性组合;
2. 若A,B,C,D矩阵中的各元素都为常数,不随时间 变化,表明系统是线性时不变的; 若A,B,C,D矩阵是 时间的函数,表明系统是线性时变的.
R L
iL
t
vC
t
1 C
iL
t
1 L
vC
t
1 L
et
写为矩阵形式：
d
dt
d
dt
iL
t
vC t
1RL C
1 L 0
iL t
vC
t
1
L
0
et
只要知道iL(t), vC (t) 的初始状态及输入 e(t)即可完全确
x
t
L1 sI A1 x 0
L1 sI A1 BF s
y
t
C1444s4I4444A2441 4x4404443
零输入解
14C444s4I444A44421 B44444D444F4(4s43)
几种注意情况：
1.几个电感串联，独立状态变量只有一个iL (t)
2.几个电容并联，独立状态变量只有一个uC (t) 3.一个闭合回路中有n个电容和m个电源， 独立电容电压变量(：n 1)个 4.一个节点有n个电感和m个电流源汇合，而无其它元件， 独立电流变量： (n 1)个
第7章系统的状态变量分析ppt课件
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.2.1 根据电路图列写状态方程 对于纯正电路，其状态方程直观列写的一般步骤是： （1）选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态
变量； （2）为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状
态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容写出只含此 独立电容电压一阶导数在内的节点（割集）KCL方程， 对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的 回路KVL方程；
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
（3）若第（2）步所列出KCL、KVL方程中含有非 状态变量，则利用适当的节点KCL方程和回路KVL方 程，将非状态变量消去；
（4）将列出的状态方程整理成式（7―3）的矩阵 标准形式。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
例7―1 写出图7.3所示电路的状态方程，若以电流 iC和电压u为输出，列出输出方程。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
1 a111 a122 a1nn b11 f1 b12 f2 b1m fm 2 a211 a222 a2nn b21 f1 b22 f2 b2m fm n an11 an22 annn bn1 f1 bn2 f2 bnm fm
a2
－ － － a1
a0
图7.5 例7―2系统的模拟框图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
解 选择各积分器的输出为状态变量，从右边到 左边依次取为λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)，如图所示。根据各 积分器输入―输出和加法器的关系，可写出状态方程 为
1(t) 2 (t) 2 (t) 3(t) 3(t) a01(t) a12 (t) a23(t) f (t) y(t) b01(t) b12 (t) b23(t)
7.2.1 根据电路图列写状态方程 对于纯正电路，其状态方程直观列写的一般步骤是： （1）选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态
变量； （2）为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状
态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容写出只含此 独立电容电压一阶导数在内的节点（割集）KCL方程， 对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的 回路KVL方程；
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
（3）若第（2）步所列出KCL、KVL方程中含有非 状态变量，则利用适当的节点KCL方程和回路KVL方 程，将非状态变量消去；
（4）将列出的状态方程整理成式（7―3）的矩阵 标准形式。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
例7―1 写出图7.3所示电路的状态方程，若以电流 iC和电压u为输出，列出输出方程。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
1 a111 a122 a1nn b11 f1 b12 f2 b1m fm 2 a211 a222 a2nn b21 f1 b22 f2 b2m fm n an11 an22 annn bn1 f1 bn2 f2 bnm fm
a2
－ － － a1
a0
图7.5 例7―2系统的模拟框图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
解 选择各积分器的输出为状态变量，从右边到 左边依次取为λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)，如图所示。根据各 积分器输入―输出和加法器的关系，可写出状态方程 为
1(t) 2 (t) 2 (t) 3(t) 3(t) a01(t) a12 (t) a23(t) f (t) y(t) b01(t) b12 (t) b23(t)
第7章 状态变量分析法
k b p k n k 0 n
(7.1-2)
对应的系统函数为
1 ak p
k 1 n
k
(7.1-3)
b0 s n b1s n 1 bn 1s bn H ( s) n n 1 s a1s an 1s an
k b s k
1 ak s k
(7.1-7)
x1 x2 y [bn an b0 bn 1 an 1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ] b0 f xn 1 xn 或 (7.1-8)
y [bn anb0 bn1 an1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ][x1 x2 xn ]T b0 f
*第七章 状态变量分析法
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
7.2 连续时间系统状态方程的s域分析法 7.3 离散系统状态方程与输出方程的建立 7.4 离散系统状态方程的z域分析法 7.5 系统的可控制性与可观测性
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
0 1 0
a2
0 x1 0 0 x2 f xn 1 0 1 x n 1 a1 0
可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项
式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n（b0=0），可令
y (t ) x1 (t ), y ' (t ) x2 (t ),, y n 1 (t ) xn (t ) n an x1 an 1 x2 a1 xn 1 a1 xn f x
(7.1-2)
对应的系统函数为
1 ak p
k 1 n
k
(7.1-3)
b0 s n b1s n 1 bn 1s bn H ( s) n n 1 s a1s an 1s an
k b s k
1 ak s k
(7.1-7)
x1 x2 y [bn an b0 bn 1 an 1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ] b0 f xn 1 xn 或 (7.1-8)
y [bn anb0 bn1 an1b0 b2 a2b0 b1 a1b0 ][x1 x2 xn ]T b0 f
*第七章 状态变量分析法
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
7.2 连续时间系统状态方程的s域分析法 7.3 离散系统状态方程与输出方程的建立 7.4 离散系统状态方程的z域分析法 7.5 系统的可控制性与可观测性
*第七章 状态变量分析法
7.1 连续系统状态方程与输出方程的建立
0 1 0
a2
0 x1 0 0 x2 f xn 1 0 1 x n 1 a1 0
可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项
式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m<n（b0=0），可令
y (t ) x1 (t ), y ' (t ) x2 (t ),, y n 1 (t ) xn (t ) n an x1 an 1 x2 a1 xn 1 a1 xn f x
8系统的状态变量分析解析精品PPT课件
x1
-1
x1 x1 f
f(t)
x1 2s1
-4
y(t)
x2 2x2 f
x2
-2
x1
x2
1
0
0 2
x1 x2
11[
f
]
系统输出端，有 y(t) = 6x1 - 4x2
可见，H(s)相同的系统，状态变量的选择并不唯一。
▲
■
第 21 页
例2：某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出 其状态方程和输出方程。
uC1
uC1
通常选电容电压 和电感电流为状 态变量。
必须保证所选状 态变量为独立的 电容电压和独立 的电感电流。
uC2
uC3
(a) 任选两个电容电压 独立
iL1
iL3
iL2
uS
uC2
(b) 任选一个电容电压 独立
iL1
iS iL2
(c) 任选两个电感电流 独立
(d) 任选一个电感电流 独立
四种非独立的电路结■构 第 13 页
具体方法： （1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； （2）选一阶子系统（积分器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程； （4）在系统的输出端列输出方程。
▲
■
第 18 页
例1：某系统的微分方程为
y(t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) + 8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。
x3 x2 3x3
输出方程：y1 = x2，y2 = –x3 + f
▲
■
第 22 页
三、由状态方程列输入-输出方程
第八章_状态变量分析法
uC
( I 0 ,U 0 )
O
uC
( I 0 ,U 0 ) iL
uC
( I 0 ,U 0 )
O
iL
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。 （3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。
响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
1 ( t ) λ (t ) ( t ) 2
状态空间：
1 t t t 2 t n
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述
，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。 状态轨迹： 在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹 。
状态变量分析法定义： （1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。 （2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。 状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程 。由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于 计算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分 析，而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时 变电路的分析。
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
第九章 状态变量分析法
•研究单输入－单输出系统； •着眼于系统的外部特性； •基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性 的概念。
二．状态变量分析法
•产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R.E.Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来 描述系统 。
前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。
四．信号流图的性质
（1）支路表示了一个信号与另一信号的函数关系， 信号只能沿着支路上的箭头方向通过。
X s
X s
H s
H s
Y s
Y s
Y s H s X s
（2） 结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信 号传送到所有输出支路。
r1 t c111 t c122 t c1k k t d11e1 t d12e2 t d1m em t r2 t c211 t c222 t c2 k k t d 21e1 t d 22e2 t d 2 m em t rr t cr11 t cr 2 2 t crk k t d r1e1 t d r 2 e2 t d rmem t
（4）给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于 同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画 出不同的流图。
（5）流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就 是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输 入输出结点对换。
五．信号流图的代数运算
（1）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增 益。
x1
ab 1 bc
x3
二．状态变量分析法
•产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R.E.Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来 描述系统 。
前向通路增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积。
四．信号流图的性质
（1）支路表示了一个信号与另一信号的函数关系， 信号只能沿着支路上的箭头方向通过。
X s
X s
H s
H s
Y s
Y s
Y s H s X s
（2） 结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信 号传送到所有输出支路。
r1 t c111 t c122 t c1k k t d11e1 t d12e2 t d1m em t r2 t c211 t c222 t c2 k k t d 21e1 t d 22e2 t d 2 m em t rr t cr11 t cr 2 2 t crk k t d r1e1 t d r 2 e2 t d rmem t
（4）给定系统，信号流图形式并不是惟一的。这是由于 同一系统的方程可以表示成不同形式，因而可以画 出不同的流图。
（5）流图转置以后，其转移函数保持不变。所谓转置就 是把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输 入输出结点对换。
五．信号流图的代数运算
（1）有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增 益。
x1
ab 1 bc
x3
网络的状态变量分析法(精选优秀)PPT
线性电路中，电容上的电压 uC 和(t) 电感中的电流 是iL (网t) 络的状态
变量。
非线性电路中，电容上的电荷 qC 和(t) 电感中的磁链 是L (网t) 络的状
态变量。
以状态变量作为未知量列写出的网络的一组方程就称为网络 的状态方程。
K(t 0)
Ld C 2d u tC 2(t)Rd C u d C t(t)uC(t)us(t)
注意：此时不采用复合支路的概念，而是以网络中的每个元 件作为一条支路。
状态方程
例3－ 试列写出图示网络的其状态方程。
2 1 L7
2
+ us1-
R6
3
7
1
6
C2
C3
C4
G5
2 is9
3
4
5 9
L8
0
4
8
解 画出有向图，给各支路编号，选择特有树如图中实线所示。
对由树支2、3、4确定的基本割集列写KCL方程如下：
例3－1 试用直观法列写图示电路的状态方程。
i3
iL
L
i4 R
is
i1 +
i2 +
G
C1
uC1 -
l1
C2
uC2 -
us
解 对节点1和节点2分别列写KCL方程
C2
duC2 dt
iL
i4
0
C1
duC1 dt
iL
i3
0
对回路 l1列写KVL方程
i3
iL
L
i4 R
LdiL dt
uC2
uC1
0
is
i1 +
状态方程
特有树(proper tree) ：树支包含了网络中所有的电压源支 路和电容支路，而其连支则包含了网络中的所有电流源支 路和电感支路。
变量。
非线性电路中，电容上的电荷 qC 和(t) 电感中的磁链 是L (网t) 络的状
态变量。
以状态变量作为未知量列写出的网络的一组方程就称为网络 的状态方程。
K(t 0)
Ld C 2d u tC 2(t)Rd C u d C t(t)uC(t)us(t)
注意：此时不采用复合支路的概念，而是以网络中的每个元 件作为一条支路。
状态方程
例3－ 试列写出图示网络的其状态方程。
2 1 L7
2
+ us1-
R6
3
7
1
6
C2
C3
C4
G5
2 is9
3
4
5 9
L8
0
4
8
解 画出有向图，给各支路编号，选择特有树如图中实线所示。
对由树支2、3、4确定的基本割集列写KCL方程如下：
例3－1 试用直观法列写图示电路的状态方程。
i3
iL
L
i4 R
is
i1 +
i2 +
G
C1
uC1 -
l1
C2
uC2 -
us
解 对节点1和节点2分别列写KCL方程
C2
duC2 dt
iL
i4
0
C1
duC1 dt
iL
i3
0
对回路 l1列写KVL方程
i3
iL
L
i4 R
LdiL dt
uC2
uC1
0
is
i1 +
状态方程
特有树(proper tree) ：树支包含了网络中所有的电压源支 路和电容支路，而其连支则包含了网络中的所有电流源支 路和电感支路。
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根据换路定律有x(0+)=x(0-)=பைடு நூலகம்(0)=x0
•
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应； （2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 过阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
1.过阻尼情况
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始 ，在t= 时终止于坐标原点 。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
初始时刻 t 0 的电感电流i ( t 0 ) 和电容电压uc(t0) ，实际上是反映了初始时刻 t 0 的 储能情况，例如：设在 t 0 期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：
W ctt0u(t)i(t)d t1 2c[u2(t)u2(t0)]
当
uc(t0) 0
时，
Wc
1 C u2 (t) 2
电容情况感兴趣，则可以把式子写成：
u c C 1-t 0i(t)d C t1tt0i(t)d u tc(t0 ) C 1tt0i(t)dt
t 0 以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由 t 0 时刻的电容电压 uc (t0 ) 来反映，就是说，如果知道uc (t0 ) 和 t 0 开始作用的电流 i(t ) ,就能完全确定t t0
i dqCduc dt dt
把电容电压 u c 表示为电流i的函数，则上式积分得
uc(t)C1 i(t)dt
说明：在某一时刻t，电容电压的数值并不仅取决于 这一时刻的电流值，而是取决于从 －∞到t所有时刻的电流 值，也就是说与电流全部过去的的历史有关。
总有一个初始时刻 t 0 ，如果只对某一任意时刻选定的初始时刻 t 0 以后的
维矢量：
λ(t)
1 (t )
2
(
t
)
状态空间：
1 t
t
2
t
n
t
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述， 则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。
状态轨迹：
在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。
uC
(I0 ,U0 )
O
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)
状态变量分析法
contents
1
状态和状态变量
2
连续时间系统状态方程的建立
3
连续时间系统状态方程的求解
4
离散时间系统状态方程的建立求解
5
系统状态方程的稳定性、能控性介绍
一 状态和状态变量
状态和状态变量是描述物理系统特性的一 个重要概念。在电路及系统工程理论中有它们 专门的含义，是一个专用的术语。
【例题1】如图1所示的电路中，列些其状态方程 和输出方程。
R
iL
vs
L
C
vc
图1
R
Cdvdct(t) iL(t )
vs
LdiL(t) dt
vc(t)
RiL(t)
vs(t)
iL L C vc
整理方程，使得方程左端仅含状态变量的一阶导数，右端只含状态变 量的输入变量而不含有它们的导数。
将状态方程组写成如下形式
状态变量分析法定义：
（1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。
（2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。
状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。 由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计 算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析， 而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电 路的分析。
状态的定义：一个电路的状态是指在任意 时刻 t 0 必须具备最少量的信息，这些信息与t 0 时刻以后的激励，就能够完全确定 t 0 以后任何 时刻电路或系统响应。
用来定义电路状态的最少数目的变量，则 称为状态变量。
下面来针对电路元件来说明取作状态变
量的是那些物理量。
线性电容元件的电压 u c 和电流i的关系式为：
另外，电感的全部储能也只与某一时刻的电感电流值有关，即 W 1 Li2(t)
根据机电类比关系，由于转动部分的动能为1
2
J
2 m
2
，所以在机电系统中，电
容电压，电感电流和角速度都是状态变量。
在分析系统的运动时，我们可以把一组状态变量作为求解量，这样列出的方
程成为状态方程，状态方程是一组联立的一阶微分方程。
yCxDf
一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的， 且是最少个数的。
状态方程的标准形式：
•
x Ax Bf
其中x=[u c iL ]T称为电路的状态
x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
f—为输入向量 x(0+)=[U 0 I 0 ]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
dvdct(t)0
diL(t) dt
－L1
C 1R LviLc((tt))L10vs(t)
xAxBf
在 vC(t), iL(t) 已知后，假设输出u o 是电阻与电感上的电压之和。 vvRL((tt))RvisL((tt))vc(t)RiL(t)
输出电压：
uo vs vc
输出方程：
uo 01ivLctt10vs
时的电容电压uc (t) 。因此电容电压uc (t) 就是电容元件的状态变量。
同理，由于在任选时刻 t 0 以后的电感元件的电流表达式可以表示为
i(t) 1t u (t)d t1t0u (t)d t 1tu (t)d t
L－
L－
Lt0
i(t0)L1
t t0
u(t)d
t
所以，电感的电流值 i (t ) 也是一个状态变量。
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。
（3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。 响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
状态轨迹是向外发散的。
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必 需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电 流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立 的电感电流iL作为状态变量。
•
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应； （2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 过阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性
1.过阻尼情况
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始 ，在t= 时终止于坐标原点 。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
初始时刻 t 0 的电感电流i ( t 0 ) 和电容电压uc(t0) ，实际上是反映了初始时刻 t 0 的 储能情况，例如：设在 t 0 期间对电容充电，则在此期间供给电容的能量应为：
W ctt0u(t)i(t)d t1 2c[u2(t)u2(t0)]
当
uc(t0) 0
时，
Wc
1 C u2 (t) 2
电容情况感兴趣，则可以把式子写成：
u c C 1-t 0i(t)d C t1tt0i(t)d u tc(t0 ) C 1tt0i(t)dt
t 0 以前的全部历史情况对未来产生的效果可以由 t 0 时刻的电容电压 uc (t0 ) 来反映，就是说，如果知道uc (t0 ) 和 t 0 开始作用的电流 i(t ) ,就能完全确定t t0
i dqCduc dt dt
把电容电压 u c 表示为电流i的函数，则上式积分得
uc(t)C1 i(t)dt
说明：在某一时刻t，电容电压的数值并不仅取决于 这一时刻的电流值，而是取决于从 －∞到t所有时刻的电流 值，也就是说与电流全部过去的的历史有关。
总有一个初始时刻 t 0 ，如果只对某一任意时刻选定的初始时刻 t 0 以后的
维矢量：
λ(t)
1 (t )
2
(
t
)
状态空间：
1 t
t
2
t
n
t
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述， 则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。
状态轨迹：
在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹。
uC
(I0 ,U0 )
O
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)
状态变量分析法
contents
1
状态和状态变量
2
连续时间系统状态方程的建立
3
连续时间系统状态方程的求解
4
离散时间系统状态方程的建立求解
5
系统状态方程的稳定性、能控性介绍
一 状态和状态变量
状态和状态变量是描述物理系统特性的一 个重要概念。在电路及系统工程理论中有它们 专门的含义，是一个专用的术语。
【例题1】如图1所示的电路中，列些其状态方程 和输出方程。
R
iL
vs
L
C
vc
图1
R
Cdvdct(t) iL(t )
vs
LdiL(t) dt
vc(t)
RiL(t)
vs(t)
iL L C vc
整理方程，使得方程左端仅含状态变量的一阶导数，右端只含状态变 量的输入变量而不含有它们的导数。
将状态方程组写成如下形式
状态变量分析法定义：
（1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。
（2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。
状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程。 由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于计 算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分析， 而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变电 路的分析。
状态的定义：一个电路的状态是指在任意 时刻 t 0 必须具备最少量的信息，这些信息与t 0 时刻以后的激励，就能够完全确定 t 0 以后任何 时刻电路或系统响应。
用来定义电路状态的最少数目的变量，则 称为状态变量。
下面来针对电路元件来说明取作状态变
量的是那些物理量。
线性电容元件的电压 u c 和电流i的关系式为：
另外，电感的全部储能也只与某一时刻的电感电流值有关，即 W 1 Li2(t)
根据机电类比关系，由于转动部分的动能为1
2
J
2 m
2
，所以在机电系统中，电
容电压，电感电流和角速度都是状态变量。
在分析系统的运动时，我们可以把一组状态变量作为求解量，这样列出的方
程成为状态方程，状态方程是一组联立的一阶微分方程。
yCxDf
一个电路的状态变量不是唯一的，但必须是独立的， 且是最少个数的。
状态方程的标准形式：
•
x Ax Bf
其中x=[u c iL ]T称为电路的状态
x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
f—为输入向量 x(0+)=[U 0 I 0 ]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
dvdct(t)0
diL(t) dt
－L1
C 1R LviLc((tt))L10vs(t)
xAxBf
在 vC(t), iL(t) 已知后，假设输出u o 是电阻与电感上的电压之和。 vvRL((tt))RvisL((tt))vc(t)RiL(t)
输出电压：
uo vs vc
输出方程：
uo 01ivLctt10vs
时的电容电压uc (t) 。因此电容电压uc (t) 就是电容元件的状态变量。
同理，由于在任选时刻 t 0 以后的电感元件的电流表达式可以表示为
i(t) 1t u (t)d t1t0u (t)d t 1tu (t)d t
L－
L－
Lt0
i(t0)L1
t t0
u(t)d
t
所以，电感的电流值 i (t ) 也是一个状态变量。
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。
（3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。 响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
状态轨迹是向外发散的。
注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必 需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电 流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立 的电感电流iL作为状态变量。