矩阵的相似标准形

对2= 3=1, 解齐次线性方程组 (EA)x=0,
2 x1 x2 0 即 4 x1 2 x2 0
x1 x3 0
由 2 1 0 1 0 1 4 2 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0
得一般解为
x1 x3
x
2
2 x3
x3 x3
取基础解系
1 2
的特征向量.
问题：对任何方阵A, 是否有特征值呢? A有 特征值时，如何求出它的全部特征值和全部 特征向量呢?
1. 矩阵A=(aij)nn的特征值和特征向量
若Ax= λx, 则 xAx=( EA)x=0. (1)
由x是非零向量, 说明齐次线性方程组
( EA)x=0
有非零解, (1)有非零解
a11 a12
1
因此A的属于2= 3=1的全部特征向量是
k(1, 2, 1), (k 0).
例2 求矩阵
1 B 2
2 1
2 2
的特征值和特征向量.
2 2 1
解： 特征方程
1 2 2
E B 2 1 2 ( 1)2( 5) 0
2 2 1
B的特征值为 1= 2= 1, 3=5. 对二重特征值 = 1，解方程组(EB)x=0,
即若能用相似变换将A化为对角矩阵, 则 满秩矩阵P的每个列向量必满足
Api i pi (i 1,2,, n).
且p1, p2, …, pn线性无关.
二.特征值与特征向量
定义 设A是n阶方阵, 若有数和n维非零列向 量x, 使Ax= x成立. 则称为矩阵A的特征值. 非零列向量x称为A的属于(或对应于)特征值
是Q的特征值.
证明： 由Q是正交矩阵, |Q|= 1, Q可逆.
由定理2.3, 其特征值不为零, 1/有意义. 因为Q1=Q, 由定理2.4, 1/是Q 1的特征值.
因此是Q的特征值.
而任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征值,
所以1/也是Q的特征值.
主要内容点播
• 一.矩阵的相似标准形 • 二.特征值与特征向量
一. 矩阵的相似标准形
引言 对n阶方阵A及可逆矩阵P, 由于矩阵乘法 不满足交换律, 一般情形下P 1AP不一定等于 A. 但对P 1AP与A而言, 在许多地方性质相同.
行列式相等: |P 1AP|=|P 1||A||P|=|A|. 因此P 1AP与A或者都可逆, 或都不可逆.
1 0 2
所以A的特征值为 1=2, 2= 3=1.
对1=2, 解齐次方程组 (2EA)x=0,
3 x1 x2 0 即 4x1 x2 0 一般解为
x1 取基础解系
0
x
0 0,
1
x1 0
x2
0
x3 x3
得A的属于λ1=2的全部特征向量为 k(0, 0, 1) (k 0).
1. 解特征方程| EA|=0, 求出n个特征值(r重
根算r个);
2. 对每一i, 求(iEA)x=0的非零解xi是属于i
的特征向量.
例1 求三阶方阵 1 1 0
A 4 3 0 1 0 2
解： 特征方程
的特征值和特征向量.
1 1 0
| E A | 4 3 0 ( 2)( 1)2 0
2.数量矩阵也只相似于数量矩阵.
比这两类矩阵简单的矩阵是对角矩阵, A能否 相似于一个对角矩阵呢？
1
P
1
AP
2
n
若上式成立, λi 满足什么条件
呢？
1
AP P
2
,
n
若记P=(P1, P2, …, Pn)(列向量), 代入得
AP1 , AP2 ,, APn 1P1 ,2 P2 ,,n Pn .
2 x1 2 x2 2 x3 0 即 2 x1 2 x2 2 x3 0
2 x1 2 x2 2 x3 0
即 x1 x2 x3 0,
x1 x2 x3
一般解为
x2
x2
基础解系为
x3 x3
1 1 1, 0 0 1
因此属于 = 1的全部特征向量为
1 0 1 0 1 1 0 0 0
x1 x3
得一般解
x2
x3
x3 x3
取基础解系为
1 1
1
因此B的属于=5的全部特征向量为
1 k1,
1
k0为常数.
上面两个例子中, 特征方程的单根的线性 无关的特征向量为1个, 二重根可以是一个也 可以是两个. 都不超过特征根的重数.
1 1 k1 1 k2 0 0 1
k1, k2不同时为零.
对3=5, 解方程组 (5EB)x=0,
4 x1 2 x2 2 x3 0 即 2 x1 4 x2 2 x3 0
2 x1 2 x2 4 x3 0
由
4 2
2 4
2 2
2 2 4
1 2 1 0 6 6 0 0 0
f () E A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann
f ( ) ( a11 )( a22 )( a22 ) C0 没有写出的各项的最高次数为n-2:
若某项含有aij, 则不会含有( aii)与( ajj).
因此可得
f ( ) n (a11 a22 ann )n1 C0 .
例3 若A2=A, 称A为幂等矩阵, 证明幂等矩阵 的特征值只可能是0和1.
证明 设0是A的特征值, x是A的属于0的特
征向量, 则
Ax 0 x. 由于 0 x Ax A2 x A( Ax)
A(0 x) 0 ( Ax) 20 x.
即
(0 20 ) x 0.
而x0, 0(1 0 ) 0. 得 0 0或0 1.
当=0时
a11 a12 a1n
C0
f (0)
a21
a22
a2n
(1)n
A.
an1 an2 ann
f ( ) n (a11 a22 ann )n1 (1)n A.
定义 tr(A)=a11+a22+…+ann称为A的迹. 计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤:
注意 其逆命题不一定成立(有相同特征多 项式的矩阵不一定相似)
例如 E 1 0 A 1 1 0 1 0 1
任一矩阵与其转置矩阵有相同的特征多项式, 因此也有相同的特征值.
(EA) =EA |EA|=|(EA) |=|EA |.
定理2.2 若A是分块矩阵, 即
A1
A
A2
,Байду номын сангаас
As
其中Ai(i=1, 2, …, s)是方阵, 则A的特征多项式
E A
a21
a22
a1n
a2n
0.
an1
an2 ann
即特征值满足 |λEA|=0.
定义 设A为n阶矩阵, EA称为A的特征矩阵， | EA|称为A的特征多项式, |EA|=0称为A 的特征方程, | EA|=0的根即为A的特征值(特
征根).
特征多项式的特征
a11 a12
是A1, A2, …, As的特征多项式的乘积. 因此A1,
A2, …, As的所有特征值就是A的全部特征值.
定理2.3 设n阶矩阵A的特征值为1, 2, …, n(k 重根算k个), 则 A 12 n .
证明
E A ( 1 )( 2 )( n )
令=0, 得 A (1)n 12 n ,
而
A (1)n A
A 12 n .
从定理可以看出, 若A的特征值有一个为零, 则|A|=0. 反之亦成立.
推论 矩阵A可逆A的特征值全不为零.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n，则A1的特征值为
1 1 ,1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 ,1 2 ,1 n 有意义.
注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.
2. 有关特征值的几个定理
定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值. 证明: 设A∽B, 则存在可逆矩阵P, 使得
B=P-1AP.
因此 E B P 1(E)P P 1 AP P 1(E A)P E A.
称P 1AP与A相似, 当然会有很多矩阵与A相 似, 最简单的是什么矩阵？(相似标准形问题)
定义 设A、B为两个n阶矩阵，如果存在一个 满秩阵P，使得 P 1 AP B, 则称A与B相似，记为 A∽B.
相似变换：对A作运算P 1AP(P满秩)
相似关系的等价性
(1) 自反性 A∽A; E 1AE=A. (2) 对称性 A∽BB∽A;
P 1AP=B A=PBP 1. (3) 传递性 A∽B且B∽C A∽C. P 1AP =B且Q1BQ=C (PQ)1A(PQ)=C.
矩阵之间的相似关系是一种等价关系.
问题：与矩阵A相似的 矩阵中最简单的矩阵是 什么？
对单位矩阵E与任何可逆矩阵P, 都有 P1EP=E, P1kEP=kE .
1.单位矩阵只能同单位矩阵相似.
设xi是A的属于i的特征向量, 则 Axi i xi (i 1,2,, n)
左乘A1, 有 xi i A1 xi ,
即
A1 xi
1
i
xi .
由定义说明, 1 i 是A1的特征值, 而 1 i
有n个(k重算k个), 这样 1 1 ,1 2 ,1 n
是A1的全部特征值.
例4 证明若是正交矩阵Q的特征值, 则1/也