北师大版选修1-2高中数学第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法(3)导学案

高中数学 第3章《推理与证明》3.3综合法和分析法（3）导学案

北师大版选修1-2

学习目标

1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;

2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;

3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P 50~ P 51，找出疑惑之处） 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .

新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：

试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证： 222()16a b ab -=.

反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用. ※ 典型例题

例1 已知,A B 都是锐角，且2

A B π

+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒

变式：如果,0a b >，则lg lg lg

22

a b a b

++≥

.

小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.

※ 动手试试

练1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c

x y

+=.

练2. 已知54A B π+=，且,()2

A B k k Z π

π≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 直接证明包括综合法和分析法.

2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

※ 知识拓展

综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.

A ．1个

B ．2个

C ．3 个

D ．4个

2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩

③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩

其中为真命题的是 （ ） A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④

3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.

A ．a ，b 均为负数，则2a b

b a

+≥

B ．22

2

21

x x +≥+ C ．lg log 102x x +≥

D ．1

,(1)(1)4a R a a

+∈++≥

4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n 其中真命题是 .

5. 已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的 条件.

课后作业

1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.求证：111a b c a b c

++<++.

2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.