巧用向量解题

巧用向量解题

张建峰

高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为高考的一个新内容，

也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛，下面笔者就此进行探讨。

向量基础知识

1.向量的数量积定义：空'色二klQ|g祐。

cos 6 = ° "

2.向量夹角公式：a与b的夹角为贝U ⑷创。

3.向量共线的充要条件：b与非零向量a共线厂存在唯一的' ■■-,使-「。

4.两向量平行的充要条件：向量肚兀丄必=(乃平行O兀必一心片=°。

5.向量垂直的充要条件：非零向量滋丄必a if = 0

6.向量不等式：

7.向量的坐标运算：向量"ImHh "(4丿2),则=広内。

二.向量的应用

1.利用向量证明等式

对于某些恒等式证明，形式中含有数量积定义和向量坐标运算来证明。

例1.已知a、B是任意角，求证: cos(a-jff)或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的C->S(G -FF)= COSGCQE j54- fin a sin 0

证明：在单位圆上，以X轴为始边作角a,终边交单位圆于A,以X轴为始边作角B,终边—9 ―*

交单位圆于B,有。—3 们的常几-(cos^ 血旳

―

所以CM • QB- coscos/? + sinff sin/?

―1_-_3

又有CM • QB £AQB- cosfff- ff)

即cos(c - P)- coscccosj3+ sin a sin 0成立。

当求解问题中（式子）含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式:

At •“心乃+山，0创伞|问，构造向量解之。

所以

由数量积的坐

标运算可得: 又因为 所以

3. 利用向量求值 对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系，求出所需量的值。

3 COS d +cos/?- cos(cs +0)= —

，求锐角a>3°

(1 - cos ^7) cos ffl + sin ^sin a = — COE /J

J

设梆= 器n 如！ « = fcos a, sin.a)

翩科=—-cos 卩、|?«|= ^(1- cos/7)a + sin 2 /? = ^2-2 cos p 则 2

H=i

/H 3 _________

翩N 勻删I 加I ，彳导 —cos fl < J2 ■ 2COE 0

由 2 • ^

例2. w f 叭 a, b, r, d 是正数。 求证:

证明: O

解：由条件得

例3.已知 岡 m dm 戊 4-JJC , \k\ =

O

b d m «

0 =云

即 3

Ot 二—

同理 了（因为a 、B 为锐角）。

4. 利用向量求函数值域

巧妙构造向量，可以解决条件最值问题, 值问题，用向量证明更有独特之处。

例4•若|”亠口"，求和 P 的最小值。

解：构造向量■■- 「一 1

由唧旳勻岡恻-可得厶 + 1 + Jy - 2 < jG + ］）~+卜一 2）爲

所以

例5.设x 是实数，求一「 Y ' r

「的最小值。 解：因为JS2二加1）2十巴 -10^34 =农二孕十孕 故可设“ a 1），“（5-心①

所以］”+年皿

一 2兀十 2 + Vff 2 - 10^ + J4 =|创+怜|王 4 运

当且仅当J"】=时,

27 盖+有最小值三

特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最

—=1,即x=2

当A 真 ？ 时等号成立。

所以当|x = 2时，2兀+ 2十、忖-10亞+孑4取得最小值4

。 5. 利用向量解决解析几何问题

平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，

也是近几年高考所考查的热点， 解此类题应 注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，

还应该尽量联系向量与解析几何的共

同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

2 2 例6.过点，作直线F 交双曲线x

~y i 于A 、B 不同两点，已知 T T T

OP = O£*O&。

（1） 求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2） 是否存在这样的直线 F ,使 \OP\=\OB\

若存在，求出 < 的方程；若不存在，说明理由。

解：（1）设/的方程为尸町+ ?），代入耳一尸=1

得（1——吐3 —4, 一 1=0

当£ * ±1时，设 川口，-星花,力）

Ak 2

4P 十 1 则 P -1

” + 用=此〔買i + 2) + k(x 2 + 2)二上(心 +也)+ 4疋= ，由 4t a X — - y 1 一上,蹄壬=廉2 壮 V

当斜率不存在时，易知 W 6满足（*）式，故所求轨迹方程为（兀+ 2）-7 =4 ,其 轨迹为双曲线。 当|比=±1时，£与双曲线只有一个交点，不满足题意。

— T —>

OP = :OA¥OB

? (*)

:-1时，满足（*）式。

l-F 1-七

(t, y)=(巧 +阳,y Y + ^a )=

（2）因为’卜’，所以平行四边形OAPE为矩形，OAPB为矩形的充要条件是

QA * - 0，可叱= °。

当k不存在时，A、B坐标分别为「" I ' " ■，不满足上式。又可心+戸旳=巧乃+FE + 2）%亠2）

屮+1）;阡+1）_驾击+4宀。

F-1 F-1

r- = o

化简得疋-1

此方程无实数解，故不存在直线匸使OAPB为矩形。

所以，不存在满足条件的直线I。