锐角三角比讲义..
沪教版 九年级(下)学期 同步讲义 第2讲 锐角的三角比(学生版)
一、锐角三角比的意义1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．cotA AC bAA BC a===锐角的邻边锐角的对边．3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A．cosA AC bAAB c===锐角的邻边斜边．锐角的三角比知识结构模块一：锐角的三角比知识精讲知识精讲5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．二、特殊锐角的三角比的值αtanαcotαsinαcosα30°333123245°11222260°3333212定义表达式取值范围相互关系正切tanAAA∠=∠的对边的邻边tanaAb=tanbBa=tan0A>（A∠为锐角）1tancotAA=余切cotAAA∠=∠的邻边的对边cotbAa=cotaBb=cot0A>（A∠为锐角）正弦sinAA∠=的对边斜边sinaAc=sinbBc=0sin1A<<（A∠为锐角）()sin cos90A A=︒-∠()cos sin90A A=︒-∠余弦cosAA∠=的邻边斜边cosbAc=cosaBc=0cos1A<<（A∠为锐角）2/ 16ACBD【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦 B ．余弦 C ．正切 D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin 2A =，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα例题解析4 / 16仰角 视线水平线俯角铅垂线【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：202(3)cot 30tan 4531ππ-+-︒-︒++．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．模块二：解直角三角形知识精讲A北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°hl三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面例题解析6/ 16ABC DAB9米传送带A BCDE FG HABCDAB C北北花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为______米．【例12】（2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A到B所经过的路程为______米．【例13】（2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A的仰角为45°．那么大厦AB的高度为______米．（保留根号）【例14】（2014学年·闸北区二模·第6题）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1 : 0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（）A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75【例15】（2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是______海里．【例16】（2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC∆中，90CAB∠=︒，3sin5C=，AC = 6，BD平分CBA∠交AC边于点D．求：（1）线段AB的长；（2）tan DBA∠的值．ABCD EAB CDEABCD EF【例17】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，甲的速度是乙的10倍，甲到达点目的地C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例18】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==，25sin 5B ∠=，D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例19】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =．求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．【例20】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长；O CBADF EG8 / 16OPQ北ABCDPA B CD（2）求tan BDG ∠的值．【例21】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例22】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例23】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例24】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．CA BED【例25】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例26】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）ABDCEF2.92.93.8ABCDEFO图1图210/ 16【习题1】 （2014学年·普陀区二模·第12题）某飞机如果在1200米的上空测得地面控制点的俯角为30°，那么此时飞机离控制点之间的距离是______米．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 （2014学年·松江区二模·第17题）如图，当小明沿坡度1:3i =的坡面由A 到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC =_________米．（结果可以用根号表示）【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 （2015学年·浦东新区二模·第19题）计算：112112(cos60)3232--+︒+-+．【习题4】 （2015学年·闸北区二模·第19题）计算：()121cos451201532tan 60-︒-+-++︒．【习题5】 （2015学年·奉贤区二模·第17题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，如果AD = BC ，那么cot CAB ∠的值是______．随堂检测ABCABD C12 / 16ABCDEABCDNM【习题6】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线分别和AB 、BC 交于点E 和点D ，已知BD : CD =2:3．（1）求ADC ∠的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15︒的值．（结果保留根号）【习题7】 （2015学年·杨浦区二模·第21题）已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点M 、N 分别是边AC 、AB 的中点，点D 是线段BM 的中点．（1）求证：CN CDAB MB=； （2）求NCD ∠的余切值．【习题8】 （2015学年·奉贤区二模·第21题）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB = 4，AD 是BAC ∠的角平分线，过点D 作DE ⊥AD ，垂足为点D ，交AB 于点E ，且14BE AB =． （1）求线段BD 的长； （2）求ADC ∠的正切值．A BCDE【习题9】 （2014学年·杨浦区二模·第21题）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观察站，A 在B 的正东方向，A 与B 相距2千米．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P 到海岸线l 的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后到达点C 处，此时，从B 点测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（注：答案均保留根号）ABCP北l14 / 16【作业1】 （2015学年·奉贤区二模·第14题）小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，那么这辆汽车到楼底的距离是______米．【作业2】 （2014学年·奉贤区二模·第16题）小明乘滑草车沿坡比为1 : 2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为______米．【作业3】 （2015学年·杨浦区二模·第14题）某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅垂方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度1:i m =，那么m =______．【作业4】 （2015学年·长宁区、金山区二模·第19题）计算：()12121sin 45()12(31)cot 302-︒+--⋅-+︒．【作业5】 （2015学年·杨浦区二模·第19题）计算：011(32)()6cos303273--++︒--．课后作业【作业6】 （2015学年·静安区二模·第21题）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，CA ⊥AB ，5cos 5ABC ∠=，BC = 5，AD = 2． 求：（1）AC 的长；（2）ADB ∠的正切值．【作业7】 （2015学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，BC = 8，5sin 5A ∠=，BD 是AC 边上的中线． 求：（1）ABC ∆的面积； （2）ABD ∠的余切值．【作业8】 （2014学年·奉贤区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 6，BC = 4，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点D ．（1）求D ∠的正弦值；（2）求点C 到直线DE 的距离．A CBDABCDCBAED【作业9】（2014学年·金山区二模·第21题）如图，点P表示某港口的位置，甲船在港口北偏西30°方向距港口50海里的A处，乙船在港口北偏东45°方向距港口60海里的B处，两船同时出发分别沿AP、BP方向匀速驶向港口P，1小时后乙船在甲船的正东方向处，已知甲船的速度是10海里/时，求乙船的速度．北A BP16/ 16。
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
锐角的三角比的意义(1)PPT教学课件
A
a B
5
4
b
g
D
E
C
2
3
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13
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，AC=2 则BC=______,AB=______。
1、在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=10，tanA=43 ， 则BC=______，AB=______。
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即：co A t锐ຫໍສະໝຸດ 锐A A 对 邻 角 角边 边 B A C C b a
8
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，
求:(1)tanA和tanB的值 （2）cotA和cotB的值
想一想：
同一个锐角中，tanA和cotA之间有什么关系？
tanA 1 coAt
24.1锐角的三角比的意义
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1
1.相似三角形的对应边有什么性质？ 2.如果把△ABC放大（或缩小），那么这个三角 形的边长是否起变化？角呢？ 3.直角三角形中，两个锐角有什么关系？三条边 之间呢？
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2
（引出模型：）
B
c a
A
b
C
如果Rt△ABC的直角用∠C表示， 那么小写字母a表示∠A的对边， b表示∠B的对边，c表示斜边。
的比值就是一个确定的数．
A
C1
C2
C3 C
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问题：如图，在直角三角形中一个锐角的大小变 化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着 变化吗？
ＥＮ
ＤＭ
结论：
Ａ
Ｃ
锐角三角比的意义
儒洋教育学科教师辅导讲义课 题 锐角三角比的意义教学目标1、理解锐角的正切、余切、正弦、余弦的概念；2、能正确使用锐角的正切、余切、正弦、余弦的符号语言；3、培养观察、归纳、总结数学问题的能力。
教学内容一、新课讲解：1、操作：（1）任作锐角∠。
（2）在上任取B 1、B 2、B 3，分别过B 1、B 2、B 3作的垂线。
垂足为C 1、C 2、C 3。
（3）量出B 1C 1和1，B 2C 2和2，B 3C 3和3的长度，并计算出111B C AC ，222B CAC ，333B C AC 的值。
2、探究：由以上操作可得到：△1C 1、△2C 2、△3C 3。
显然有1C 12C 23C 3，于是可得：331122123B C B C B CAC AC AC ==3、结论：在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后，无论△的边长怎么变化，两条直角边的比值总是不变的。
大写字母C 表示△的直角，小写字母a 表示∠A 的对边，b 表示∠B 的对边，c 表示斜边。
（如上图） 同理，通过分析可知在放大和缩小时，当锐角A 的大小固定不变后， 无论△的边长怎么变化，直角边与斜边的比值总是不变的。
二、知识要点：锐角A 的对边（）与邻边（）的比叫做锐角A 的正切，记作。
如图△中，∠900，baAC BC A A A ===的邻边锐角的对边锐角tan锐角A 的邻边（）与对边（）的比叫做锐角A 的余切，记作。
如图△中，∠900，abBC AC A A A ===的对边锐角的邻边锐角cot锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的正弦，记作。
如图△中，∠900，caAB BC A A A ===的斜边锐角的对边锐角sinCBC 1B 3B 2B 1C 3C 2AbacACB锐角A 的对边（）与斜边（）的比叫做锐角A 的余弦，记作。
如图△中，∠900，cbAB AC A A A ===的斜边锐角的邻边锐角cos在直角三角形中，锐角A 的正切（）、余切（）、正弦（）、余弦（）统称为锐角A 的三角比，简称三角比。
完整版)锐角三角函数超经典讲义
完整版)锐角三角函数超经典讲义锐角三角函数锐角三角函数是三角函数的一种，包括正弦、余弦和正切。
在一个锐角三角形中，锐角的对边、邻边和斜边之间的比例就是锐角三角函数。
具体来说，对于锐角A，其正弦、余弦和正切分别表示为sinA、cosA和XXX。
其中，XXX表示A的对边与斜边的比，cosA表示A的邻边与斜边的比，XXX表示A的对边与邻边的比。
这些符号都是完整的，单独的“sin”没有意义。
在用大写字母表示角度时，一般省略“∠”符号。
在求解锐角三角函数时，关键在于构造以此锐角所在的直角三角形。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果已知∠C=90°，cosB=4/5，则AC：BC：AB=3：4：5.另外，需要注意的是，正弦、余弦和正切是实数，没有单位，它们的大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
例1：在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
证明△ABE≌△DFA，并求sin∠EDF的值。
解：首先，连接AC，易得△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。
又因为AE=BC，所以△ABE和△ACD相似，即∠ABE=∠ACD，∠XXX∠ADC。
又因为∠ADC=90°，所以∠AEB=90°。
因此，△ABE和△DFA是全等三角形。
接下来，求sin∠EDF的值。
由于∠BAC=45°，所以∠AED=45°。
由于△ABE和△DFA全等，所以∠XXX∠BAE=45°。
因此，sin∠EDF=sin45°=1/√2.例2：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。
解：由于∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=75°。
根据三角函数的定义，可以得到：sin75°=cos15°=(sin60°cos45°+cos60°sin45°)/2=√6+√2/4cos75°=sin15°=(sin60°cos45°-cos60°sin45°)/2=√6-√2/4因此，△ABC面积为S=(1/2)AB·BC·sin75°=4(√6+√2)。
初中数学：锐角的三角比知识清单
初中数学：锐角的三角比知识清单1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tan A A A ∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cot A A A ∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==；③1tan cot A A ⋅=.3.特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α3331cot α3331sin α123222cos α3312224.锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.2.直角三角形的边角关系（ABC ∆中，90C ∠=︒）222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B a b a b A A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：3.解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即hi l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan hi l==α一、锐角的三角比1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===A BC a sinA AB c角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===A AC b cosA AB c角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．===A BC a tanA A AC b角的角的锐对边锐邻边．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．===A AC bcotA A BC a角的角的锐邻边锐对边．【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．二、特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：【记忆技巧】1．图形推导法2．表格记忆法α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133三、解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在Rt △ABC 中，C ∠=90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：（1）锐角之间的关系：=A B ∠+∠90°；（2）三边之间的关系：222a b c +=；（3）边角之间的关系：A sinA ∠=的斜对边边；A cosA ∠=的斜邻边边；A tanA A ∠=∠的的对边邻边；A cotA A ∠=∠的的邻边对边．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）四、解直角三角形的应用1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:hi tan lα==.1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .。
锐角的三角比 知识讲解
锐角的三角比知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA b AA a∠==∠的邻边的对边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边；cotB a BB b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA，cotA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A∙不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A，cot与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不Cab能写成“tanAEF”；另外，、、、2（）常写成、、、cot A2cot A．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值锐角(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切、余切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴12AC =．∴ 5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==，12cot 5AC A BC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==，5cot 12BC B AC ==． 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt △ABC 中，∠C =90°，若a=3，b=4，则c = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ，sinA =35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算Ca b2．求下列各式的值：(1)sin30°-2cos60°+cot45°； (2)tan30sin30cot45tan60∙∙°°°°；(3)11(1|1sin30|2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭°．【答案与解析】(1)原式11121222 =-⨯+=；(2)原式116⨯==；(3)原式115 11212222 =--+=-+=．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=2，cosA=2，sinB=2，cosB=2．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(1)求锐角； (2)已知求锐角．【答案与解析】(1)先将已知方程变形后再求解．∴锐角=30°．(2)先将已知方程因式分解变形．∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PCAPC PA∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ，∴ 4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD ==，∴ sadA BD AD == 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
锐角三角比(精讲)
A． 3 4
B． 4 3
C． 4 5
D． 3 5
图1
图2
图3
3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，则下列各项中正确的是（ ）
A．a=c·sinB
B．a=c·cosB C．a=c·tanB
4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA= 2 ，则 tanB 等于（ 3
7．如图 3，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，b=20，c=20 2 ，则∠B 的度数为_______．
8．如图 1－1－6，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值．
4
9．已知：α是锐角，tanα= 7 ，则 sinα=_____，cosα=_______． 24
3、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.若 sinA＝ 2 ，则 sinB＝
。
2
5、菱形的两条对角线长分别为 2 3 和 6，则菱形较小的内角为______度。 6、△ABC 中，∠A、∠B 均为锐角，且 tan B 3 (2sin A 3)2 0 ，则△ABC 是_________三角形（按
5．计算：○1 |－ 2 |＋（cos60°－tan30°）＋ 8 ． ○2 ２ 3 cos30 ｜tan60º-1｜－
1
cot30 2
6
6．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于 E 点，EC＝1，sinB＝ 5 .求四边形 ABCD 的周长。 13
7.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的高，E•为边 AC•的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝ 4 ， 5
【特inA＝ 3 ，那么∠A 等于（
）
2
A．30° B．45° C．60°
《锐角三角比》课件
2)如图，sinA=
BC（ ×）
AB
练一练
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（C ）
1
A.扩大100倍
B.缩小 100
C.不变
D.不能确定
3.如图 A 300
B
1
3 则 sinA=___2___ .
C 7
4.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0) 和B(0,-4),则sin∠OAB等于__4_/5_
sin 45°= 2 2
sin 60°= 3 2
探究
斜边c
对
边
a
∟
邻边b
当直角三角形的一个锐 角的大小确定时，其任意 两边的比值都是惟一确定 的吗？为什么？
我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦， 记作cosA，即
cos A
A的邻边 斜边
b c
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，
记作tanA，即
2
边的比都等于 ，也是一个固定2值.
2
当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与
斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'＝α，那么 与 BC 有什B么'C关'
AB
A' B'
系．你能解释一下吗？
B' B
A
C
A'
C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A
AC AB2 - BC2 132 - 52 12,
∴sin
第一节 锐角的三角比(精品)
13 12
12 ，则 tan B 的值是( ) 13 12 12 D. C. 13 5
例 3. (1)如图，在 Rt ABC 中， C 900 ， AC CD ， B 300 ， 试利用这个图形计算， tan 750 ______________.
B D
A
C
(2) 如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， C 900 ， AM 是 BC 边 上 的 中 线 ， sin CAM
1 2 ， cos B ，则 ABC 的三个角的大 2 2
B . B C A D . C B A
-4-
学习成就梦想，思考决定品质 (2)在 Rt ABC 中，C 900 ，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，若 a 6 ，B 300 ， 则 c 和 tan A 的值分别为(
B
A H D
C
同步练习：(2009 崇明三模)如图： ABC 中， C 90 ， tan A ， DE 是 AB 的垂直平分线，
BC 2 ．求：(1) sin AED 的值； (2)CE 的长．
C E A
1 2
D
B
-7-
学习成就梦想，思考决定品质 例 10.如图所示，一棵树上有两个鸟巢，小刚搬来一个 8m 长的长梯想给小鸟一些食物，架在 高的那个鸟巢的树枝上，梯子与地面成 60 0 角，接着又架在低的那个鸟巢的树枝上，梯 子与地面成 450 . (1)请问两个鸟巢分别离地面多高(精确到 0.1m )？ (2)小刚爬梯子到低的那个鸟巢照理应比爬到高 的鸟巢快一些，可实际没快，为什么？
3 例 6.计算：(1) 4sin 2 600 2 tan 450 tan 2 300 4
(2)
锐角三角比
精锐教育学科辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 张俊授课类型 T 同步课堂C 专题 T 能力提升授课日期及时段 上次作业完成情况 家庭作业教学内容同步课堂一、知识点梳理： 锐角三角比（1）在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与邻边（邻边与对边）、对边与斜边、邻边与斜边的比是一个固定值。
（2）如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切.记作tanA. tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切.记作cotA. cotA ＝A A ∠=∠的邻边的对边ba在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦.记作sinA. sinA ＝ca=∠∠的斜边的对边A A ；斜边在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦.记作cosA. cosA ＝cb=∠∠的斜边的邻边A A ；三角比之间的关系1、 tanA ·cotA=1 22sin cos 1A A +=2、sin tan cos AA A=3、若90A B ∠+∠=,那么tanA=B cot 1 或tanB=Acot 1；sin A =cos B 或sin B =cos A ; 解直角三角形的应用中的几个概念 1．仰角、俯角如图1所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在不平线下方的角叫做俯角。
2．水平距离、垂直距离、坡面距离如图2所示，BC 代表水平距离，AC 代表垂直距离，AB 代表坡面距离。
3．坡度、坡角如图3所示，把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i 表示，即lhi =，坡度一般写成l h :的形式，如⎪⎭⎫ ⎝⎛==515:1i i 即。
锐角三角函数超经典讲义
锐角三角函数超经典讲义(总4页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin 。
3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos 。
4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan 。
sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=54，则AC ：BC ：AB=（ ）A 、3：4：5B 、5：3：4C 、4：3：5D 、3：5：42、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC 等于_______。
5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）A 、ncosB B 、1n cosBC 、cos nBD 、不变考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。
（1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。
锐角三角比的意义PPT课件
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1.如图，已知△ACB=90°，CD⊥AB,垂足 为点D，AD=9，BD=4. （1）求CD的长； （2）求cotA、t anBCD的值
C
A
D
B
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在RtABC中 ，C 90， 且CD AB，AB 13， BC 5， 求CD AD
正切：tanA
锐 角A的 对 锐 角A的 邻
边 边
BC AC
a b
余切：cotA
锐 角A的 邻 边 锐 角A的 对 边
AC BC
b a
根据正切与余切的意义，可以得到 tan A 1 cot A
想一想：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角B的余切用哪两条 边的比表示？cotB与tanA有什么关系？
N
P
M
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2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, 垂足为点D. (1)在Rt△ABC中，∠A的对边是___________， ∠A的邻边是___________，
在Rt△ACD中，∠A的对边是___________， ∠A的邻边是___________, （2）在Rt△_____中，∠B的对边是AC，
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问题4：当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这 个锐角的对边与邻边的长度的比值随着怎样变化？
Q A2
A
F
N
A1
E
M
D
O 结论2：B2直角B 三角B1 形中A ，一个锐角的C对边与邻 P 边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而 变化。
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结论1：如果给定直角三角形的一个锐角，那么这个锐角 的对边与邻边的长度的比值就是一个确定的数。 结论2：直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度 的比值随着这个锐角的大小的变化而变化。
兰生复旦校本教材之锐角三角比
第二十五章 锐角三角比一、知识要点（一）锐角三角比的概念：1、掌握锐角的正弦、余弦、正切和余切的定义，会根据直角三角形中两边的长求三角比的值。
2、掌握三角比的取值范围及四个三角比之间的联系。
（二）锐角三角比的求法： 1、熟记特殊锐角三角比的值；2、会用计算器求解一般锐角三角比的值及根据锐角三角比的值求锐角的大小。
（三）解直角三角形：1、已知直角三角形的两边解直角三角形；2、已知直角三角形一边及一锐角解直角三角形。
（四）解直角三角形的应用：1、解有关俯角与仰角的问题，掌握俯角与仰角的概念能解决俯角与仰角的问题。
2、坡角的问题，掌握坡角及坡比（坡度）的概念，能解决坡比的问题。
3、方位角的问题，熟悉小船航行问题及台风侵袭问题的解决方法。
二、例题精选【例1】如图，已知AD 是Rt ABC ∆斜边上的高，且4BD =，9CD =，求C ∠的正弦、余弦和正切与余切。
【例2】（1）已知a 是锐角，sin cos(20)a a =+︒，则a = 。
（2）已知1sin 2a =，则()tan 90a ︒-= 。
（3）比较大小：sin 20︒ cos50︒。
（4）如果a 是锐角，比较大小：sin a tan a ；cos a cot a 。
【例3】（1）已知1tan 2a =，求sin cos cot a a a ，，的值。
（2）已知tan cot 5a a +=，a 是锐角，求22tan cot a a +的值。
【例4】已知2tan 3a =，求（1）sin 3cos 2sin 5cos αααα-+； （2）22sin cos 2sin cos αααα-。
【例5】已知等腰ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，（1）求C ∠的正切值；（2）求A ∠的正切值；（3）求AB 边上的高与BC 夹角的正切值。
【例6】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，8b =，则a = ；c = 。
【例7】计算：（1）sin 60cos60tan 301cot 45︒-︒-︒+︒（2）()()sin 30cos 45cos 60sin 451cot15tan15tan 30cos 60︒-︒︒+︒+︒︒+︒︒【例8】在等腰直角ABC ∆中，点D 在AC 上，若1tan 5DBA ∠=，求AD 的长。
《锐角的三角比》全章复习与巩固(提高) 知识讲解
《锐角的三角比》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学 习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】 要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝∠A的邻边∠A的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA、cotA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA>0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==3.30°、45°、60°角的三角函数值30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 2.常见的应用问题 (1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1．解直角三角形的常见类型及解法：求∠，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
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【知识点总结与归纳】1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。
若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。
同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角 直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间） 解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A= 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。
注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。
（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。
求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。
（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。
3、 解直角三角形（1） 在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
（2） 解直角三角形常用到的关系：锐角关系：090A B ∠+∠=，三边关系：勾股定理：222a b c +=边角关系：sinA=,cos ,tan ,cot sinB=,cos ,tan ,cot a b a b A A A c c b ab a b a B B Bc c a b ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩直角三角形的面积：111sin 222S ch ab ab C ∆=== （3） 当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形，再求解。
（4） 解直角三角形的类型有：已知两条边；已知一条边和一个锐角。
（5）解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形；已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；已知两边解直角三角形．注意：解直角三角形的方法：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余弦），无弦用切，宁乘勿除，取原避中”。
这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，则用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法；既可以用已知的原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连锁错误或较大误差。
4、解直角三角形的应用（1）仰角和俯角视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
（2）坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫做坡角。
坡面的铅直高度h与水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用i标志，即i=h:l,通常坡度要写成1:m的形式，坡角的正切是坡面的坡度。
（3）方向角一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角。
例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是A、2sin3B=B、2cos3B=C、2tan3B=D、2cot3B=例2某山路坡面坡度1:399i=,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了__________米．例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=35．求：（1）DC的长；（2）sinB的值．例4如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为︒53，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：︒53sin≈0.8,︒53cos≈0.6)课后作业一、填空题1．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________．(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos15°=624+)0.5m︒533m图8-3-1第1题图2．用计算器计算： ．（精确到0.01）3．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西 度．4．如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为 （结果保留根号）． 5．求值：sin 260°+cos 260°= ．6．在直角三角形ABC 中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B = ．7．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为_______m （结果精确的到0.01m ）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）8．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米（结果用含α的三角比表示）． 二、选择题9．在△ABC 中，∠C ＝900，AC ＝BC ＝1，则tanA 的值是（ ）第4题图xOAyB北甲北乙第3题图αACB第6题图A 40°52mCD 第5题图B43°A ．2B ．22C ．1D ．2110．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则ABAC 的值是（ ） A ．52 B ．53 C ．25D ．32 11．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降到B '，那么B B '（ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．不能确定12．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，若cot ∠BCD ＝3，则tanA ＝（ ） A ．23 B ．1 C ．31 D ．32 三、解答题13．已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin ∠ABC ＝352，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC ＝1200，试求AB 的长．14．如图，河对岸有一铁塔AB ．在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进16米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高．B 'A '第3题图OBA 第11题图 4题图CDBA第12题图 3图 G F EODCBA第13题图15．如图，我市某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB=5m ，则BC 的长度是多少？现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：1918.140,8391.040,7660.040cos ,6428.040sin ==== ctg tg 】近年上海中考数学关于锐角三角比题型年份 考点分值 2008年 锐角三角比的概念、坡度 14（8） 2009年锐角三角比的概念10（5）2010年 锐角三角比的概念、解直角三角形 24（16）2008（4分）18．在ABC △中，5ABAC ==，3cos 5B =（如图6）．如果圆O 的半径为10，且经过点B C ，，那么线段AO 的长等于 ．2008（10分） 21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分） “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．ABC 图6OC ADE H（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．2009（10分） 21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图4，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．2010（10分）21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上.（1）求弦BC 的长；（2）求圆O 的半径长.（本题参考数据：sin 67.4° = 1213 ，cos 67.4° = 513 ，tan 67.4° = 125 ）A D C图4 B 67.4︒AC北南BON S 图52010（14分）25．如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P . （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值； （3）若1tan 3BPD ∠=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.图9 图10(备用) 图11(备9. 课后考点巩固考点一、锐角三角比的概念： 1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，那么BCAC等于………………………………（ ）. (A)tan A ； (B)cot A ； (C)sin A ； (D)cos A . 2. Rt △ABC 中，∠C =90°，若AC=a ,∠A =θ,则AB 的长为…………………（ ）（A ） θsin ⋅a ； （B ） θcos ⋅a ； （C ） θsin a； （D ） θcos a ．3. 如图，在△ABC 中，AB=2,AC=3,BC=4,则C tan 的值是……………………（ ） （A ）21 ；（Ｂ）43； （Ｃ）32； （Ｄ）以上都不是．考点二、特殊锐角的三角比值： １．计算：022)60tan (945sin 230cot )45(cos 60sin )31(︒--︒⋅︒-︒⋅︒+--πＡＢＣ２．求值：222cos 30sin 304cot 45cos 45tan 604sin 45︒-︒-︒⋅︒︒-︒３．求值：︒︒-︒⋅︒+︒30cot )45cot 21(60cos 30tan 360sin考点三、锐角三角比的计算：1. 如图，在△ABC 中，AB=AC , BD 、CE 分别为两腰上的中线，且BD ⊥CE ，则ABC ∠tan =__________.2. 如图，矩形ABCD 中，AB=3 , 53sin =∠ACB ，E 为 BC 边上一点，将△ABE 沿AE翻折，使点B 恰好落在对角线AC 上，记作B′. （1）求BE 的长；（2）连接DB′，求co t ∠B ’DC 的值.A DB′B E CABC DE G3. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADB=45°, A D翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、 FBC 于F 、E ，若AD=6,BC=14,求：（1）BE 的长；（2）∠C 的余切值.B E C4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°， AAC=BC ，P 是△ABC 内一点，且∠APB=∠APC=135°.（1） 求证：△CPA ∽△APB ；（2） 试求tan ∠PCB 的值.PC B考点四、仰角、俯角与坡度、坡角：1. 某飞机的飞行高度为m ，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机到控制点的距离是________________.（用m 与含α的三角比表示）2. 某山路的路面坡度为1:54，若沿此山路向上前进90米，则升高了_______米.3. 一个小球由地面沿着坡度1:2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为______米.4. 修筑一坡度为3:4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为α，那么∠α的正切值是……（ ）.(A)53; (B) 54; (C) 43; (D) 34.考点五、解直角三角形及应用：1. 底角为15°，腰长为6的等腰三角形的面积是____________.2. 如图，A, B , C 三点在同一平面内，从山脚缆车站A 测得山顶C 的仰角为45°，测得另一缆车站B 的仰角为30°，AB 间缆绳长500米（自然弯曲忽略不计）.(3≈1.73,精确到1米)（1） 求缆车站B 与缆车站A 间的垂直距离；（2） 乘缆车达缆车站B ，从缆车站B 测得山顶C 的仰角为60°，求山顶C 与缆车站A 间的垂直距离.CBA 水平线 M3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5,BC=8,D 是边AB 上一点，且tan ∠BCD=21. A (1) 试求sinB 的值； D(2) 试求△BCD 的面积.B C4.如图，沙泾河的一段两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔60米的两个电线杆. 小明在河岸b上的点A处测得∠DAB=35°，然后沿河岸b走了120米到达B处，测得∠CBF=70°，求该段河流的宽度CF的值.（结果精确到0.1米,计算中可能用到的数据如下表）D CabA B F课后考点巩固练习：1、直角三角形的斜边与一直角边的比是5：1，且较大的锐角为θ，则sinθ等于（） A．5 B．55C．12D．2552、已知楼房AB高50m，如图，铁塔塔基距楼房房基间水平距离BD为50m，•塔高CD为1505033+m．则（）A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°3、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，•若tan•∠DBA=15，则AD的长为（）A．2 B．2 C．1 D．22角度αsinαcosαtanα35°0.57 0.82 0.7070°0.94 0.34 2.754、横断面为等腰梯形的河坝，若下底AB=15832+，上底CD=7.5，高为4，那么斜坡CB 的坡度为（ ）A ．12B ．23C ．32D ．3：15、如图，某建筑物BC 直立于水平地面上，AC=9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建________阶（最后一阶不足20厘米时，按1阶计算，3取1.732）．6、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，DC ⊥BC ，AD ∶BC=2∶5，E 是CD 上的一点，如果沿折痕BE 将ΔBCE 翻折，点C 恰好与点A 重合，求∠ABE 的正切值？ A DEB7、如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >．（1）求sin ABC ∠的值．（2）若E 为x 轴上的点，且163AOE S =△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．x yA DB O C。