偏微分方程的历史与应用
偏微分方程简介
偏微分方程简介PB06001109,李玉胜1、偏微分方程的起源如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。
结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。
在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。
比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。
这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。
而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。
介质的温度也是这样。
这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。
欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
偏微分方程发展历史
偏微分方程发展历史
偏微分方程的发展历史可以追溯到18世纪。
在这个时期，偏微分方程的起源与物理问题密切相关。
例如，在研究弦振动、热传导、流体动力学等问题时，都需要用到偏微分方程来描述自然现象。
因此，偏微分方程最初是在物理学的应用中得到发展。
1746年，法国数学家达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式，从而开创了偏微分方程这门学科。
此后，许多数学家开始深入研究偏微分方程，并且逐渐从物理问题中提取出偏微分方程的普遍理论。
在19世纪，偏微分方程得到了进一步的发展和完善。
在这个时期，数学家们开始研究偏微分方程的求解问题，并且提出了许多重要的求解方法。
例如，分离变量法、积分变换法、幂级数法等。
这些方法的提出为偏微分方程的求解提供了重要的工具。
同时，偏微分方程也在其他领域得到了广泛的应用。
例如，在几何学、统计学、经济学、生物学等领域中，都需要用到偏微分方程来描述复杂的现象。
因此，偏微分方程在这些领域中也得到了不断的发展和完善。
总之，偏微分方程作为一门学科的发展历史经历了漫长而曲折的过程。
随着科学技术的发展，偏微分方程在理论和应用方面都取得了重要的进展，为人类社会的进步做出了重要的贡献。
偏微分方程研究背景及意义
偏微分方程研究背景及意义摘要：一、偏微分方程的研究背景1.偏微分方程的起源与发展2.偏微分方程在各领域的应用3.我国在偏微分方程研究中的地位二、偏微分方程的意义1.数学理论的丰富与发展2.实际问题的解决与优化3.推动相关领域的研究与发展正文：偏微分方程是数学领域中的一种重要分支，其研究背景可以追溯到古希腊时期。
自从19世纪以来，偏微分方程在各领域的应用逐渐得到了广泛关注，如物理、工程、生物学等。
在我国，偏微分方程研究也取得了举世瞩目的成果，为国内外学术界所认可。
偏微分方程的研究背景源于现实世界中的各种现象，如物体的运动、电磁场的变化、生物种群的演化等。
这些现象往往可以用偏微分方程来描述和刻画。
例如，牛顿的运动定律可以用偏微分方程来表示，麦克斯韦方程组描述了电磁场在空间中的变化，而生物种群模型则可以用反应扩散方程来描述。
因此，研究偏微分方程有助于深入理解现实世界中的复杂现象。
偏微分方程的研究具有重要的意义。
首先，偏微分方程理论的丰富和发展有助于数学体系的完善。
通过对偏微分方程的求解方法、性质和应用的研究，可以推动数学理论的进步。
其次，偏微分方程在实际问题的解决和优化方面发挥着关键作用。
例如，在工程领域，偏微分方程可以用于优化设计、控制系统和信号处理等方面；在生物医学领域，偏微分方程可以用于图像处理、神经网络建模和药物设计等。
最后，偏微分方程研究还有助于推动相关领域的发展。
例如，量子力学、弹性力学和流体力学等领域的许多问题都可以归结为偏微分方程问题。
我国在偏微分方程研究领域取得了丰硕的成果，为国内外学术界所赞誉。
在国际上，我国学者在偏微分方程的求解方法、性质研究以及应用方面做出了突出贡献。
在国内，各高校和研究机构积极开展偏微分方程研究，培养了一大批优秀的偏微分方程专家和学者。
此外，我国政府也高度重视偏微分方程研究，为其发展提供了有力支持。
总之，偏微分方程研究具有广泛的应用背景和重要意义。
通过对偏微分方程的研究，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题，推动数学、物理、工程等领域的创新发展。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结偏微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是含有多个未知函数的方程，其中的未知函数是关于多个自变量的函数。
偏微分方程的研究对于理解自然界中的现象和发展科学技术具有重要意义。
在过去的几个世纪里，人们通过总结和归纳，逐渐建立了偏微分方程的理论体系。
偏微分方程的研究始于19世纪，著名的数学家欧拉、拉普拉斯、傅里叶等为偏微分方程的理论奠定了基础。
他们研究了常见的偏微分方程类型，如波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等，并给出了一些基本的解法。
随后，泊松、高斯等学者继续发展了偏微分方程的理论和解法，为后来的研究提供了重要的参考。
随着工业、天文学、物理学等学科的快速发展，人们遇到了更加复杂和多样的问题，已有的偏微分方程理论有时不能很好地解决这些问题。
于是，数学家们开始探索新的偏微分方程类型和解法。
20世纪是偏微分方程研究的重要时期，很多杰出的数学家为此做出了巨大贡献。
他们提出了更加复杂的偏微分方程模型，研究了抽象的偏微分方程理论，发展了更加高级和深奥的解法。
总结起来，偏微分方程的理论可以归纳为以下几个方面。
首先是分类。
根据方程的形式、性质和应用领域，偏微分方程可以被划分为多个类型。
常见的类型包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程描述静态问题，如拉普拉斯方程；双曲型方程描述波动问题，如波动方程；抛物型方程描述演化问题，如热传导方程。
每种类型的方程都有其特定的性质和解法。
其次是解法。
偏微分方程的解法可以归为分析解法和数值解法两大类。
分析解法是通过推导公式或利用已知解的性质来求得方程的解。
数值解法则是通过将偏微分方程离散化，转化为代数方程组，然后利用计算机进行求解。
数值解法的发展使得人们能够处理更加复杂和现实的问题，对于科学和工程领域的发展起到了巨大的推动作用。
再次是理论。
偏微分方程的理论研究主要包括存在性、唯一性和稳定性等方面。
针对不同的方程类型，数学家们通过选择适当的函数空间、利用分析和几何的方法，研究了方程解的存在性和唯一性。
数学中的偏微分方程
数学中的偏微分方程数学中的偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界中各种现象和过程的重要工具。
它们涉及多个变量和它们的偏导数，包含了很多有趣的数学和物理现象。
本文将介绍什么是偏微分方程以及它们的分类和应用。
一、偏微分方程的概念偏微分方程是描述多个变量之间关系的方程，其中，未知函数及其偏导数作为方程的解。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数不仅与自变量有关，还与多个独立变量有关。
偏微分方程通常用数学符号来表示，例如：∂u/∂t = c^2 ∂^2u/∂x^2在上述方程中，u表示未知函数，t表示时间，x表示空间坐标，c^2是一个常数。
该方程被称为一维扩散方程，描述了热的传导过程。
二、偏微分方程的分类根据方程中各个变量的次数以及方程形式的不同，偏微分方程可分为多种类型。
以下是常见的偏微分方程分类：1. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程当方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足线性关系时，我们称之为线性偏微分方程；否则，称为非线性偏微分方程。
2. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程如果方程中的未知函数及其各个偏导数之间满足齐次关系（即等式右边为零），则称方程为齐次偏微分方程。
否则，称为非齐次偏微分方程。
3. 偏微分方程的阶数方程中各个变量的最高阶数即为偏微分方程的阶数。
常见的一阶偏微分方程如一维波动方程、一维热传导方程等；常见的二阶偏微分方程如拉普拉斯方程、泊松方程等。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在多个领域中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
以下是几个常见的应用领域：1. 物理学中的应用在物理学中，偏微分方程用于描述各种物理现象，如传热、传质、电磁现象等。
例如，电磁学中的麦克斯韦方程组、量子力学中的薛定谔方程等都是偏微分方程的应用。
2. 工程学中的应用在工程学中，偏微分方程常用于模拟和解决各种实际问题，例如流体力学中的纳维-斯托克斯方程、结构力学中的弹性方程等。
偏微分方程的起源与发展及其应用研究
偏微分方程的起源与发展及其应用研究摘要：偏微分方程起源于17世纪，当时科学家们开始研究如何描述自然界中的各种现象，例如牛顿的万有引力定律、莱布尼茨的微积分等。
这些研究催生了许多科学领域的发展，包括物理学、化学、生物学、经济学等。
本文将介绍偏微分方程的发展历史及其应用领域，旨在为相关学者提供参考。
关键词：偏微分方程；发展过程；应用领域1. 起源与发展偏微分方程的起源可以追溯到17世纪末，法国数学家偏微分方程之父Joseph-Louis Lagrange和英国科学家Isaac Newton提出了许多基本概念，如函数、导数和微分等，为偏微分方程的发展奠定了基础。
18世纪初，瑞士数学家Leonhard Euler开始研究偏微分方程，他引入了函数的概念，并建立了初步的理论体系。
18世纪中叶，法国数学家Alexis Clairaut提出了偏微分方程的一般形式，为后来的研究奠定了基础。
2. 数学物理方法偏微分方程是描述物理、化学等自然现象中的变化和演化的数学工具。
它的基本特点是涉及到的变量不止一个，而且这些变量可以同时在时间和空间上变化。
解决偏微分方程需要掌握其基本原理和解题方法，例如分离变量法、特征线法、格林函数法等。
这些方法在解决实际问题时非常有用。
3. 经典例子偏微分方程有许多经典例子，例如热传导方程、波动方程、泊松方程等。
这些方程在物理学、工程学、经济学等许多领域都有着广泛的应用。
例如，热传导方程可以描述物体的热传递过程，波动方程可以描述波的传播过程，泊松方程可以描述电场和引力场的分布等。
4. 现代应用随着科学技术的发展，偏微分方程在现实生活中的应用越来越广泛。
例如，在物理学中，偏微分方程被用于描述量子力学、相对论力学、流体力学等领域中的问题；在经济学中，偏微分方程被用于描述市场动态、经济增长、金融风险等问题；在图像处理中，偏微分方程被用于图像去噪、图像压缩、图像分割等问题。
5. 数值分析和近似解解决偏微分方程的过程中，数值分析和近似解是非常重要的方法。
高等数学中的偏微分方程及其应用
高等数学中的偏微分方程及其应用在高等数学中，偏微分方程是一种特殊的数学方程，它不仅在数学中有重要性，在物理、工程学、经济学等领域中也有广泛的应用。
一、偏微分方程的定义和类型偏微分方程是由未知函数的偏导数组成的方程，它是数学中研究偏微分方程理论最基本的概念之一。
常见的偏微分方程有波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等。
其中，波动方程描述了一维和二维的振动系统的运动规律，热传导方程描述了热的传播过程，拉普拉斯方程描述了无旋流场的运动规律。
二、偏微分方程的应用1、物理学物理学中有很多与偏微分方程相关的内容。
其中最具代表性的当属波动方程和薛定谔方程。
波动方程是用来描述振动传播的，由一维振动到三维振动，都需要用到波动方程。
而薛定谔方程则是用来描述量子力学中粒子的运动状态，是量子力学中的重要概念。
2、工程学在工程学中，偏微分方程被广泛应用于建筑、航空、航天、电子、通信、交通、机械和能源等领域。
例如，建筑结构分析和设计中，需要用到结构力学方程组，这些方程组就包含了偏微分方程。
3、经济学在经济学中，偏微分方程被广泛应用于市场预测、风险控制、创新和经济决策等领域。
例如，在股票市场中，经济学家可以使用偏微分方程来预测市场的运行趋势和风险情况。
三、总结偏微分方程是数学中的一个重要领域，也是物理、工程学、经济学等领域中的重要工具。
它能够描述很多实际问题，如光、电、热等的传播，非常具有应用价值。
然而，偏微分方程的解法不是简单的代数方式，而是需要借助偏微分方程的理论和数学工具来求得解的近似或精确解。
因此，在实际应用过程中，需要结合实际问题和数学理论，选用合适的方法求解，以达到较好的解析效果。
偏微分方程的理论与应用
偏微分方程的理论与应用偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究方向之一，可运用于物理、工程和生命科学等领域中复杂的现象分析和模拟。
偏微分方程理论的研究和应用，不仅仅是数学、物理、工程或生物学领域的专题，而是跨学科的一种交叉学科。
在实际应用上，偏微分方程常常被用于数值计算、图像处理、计算机视觉等方向的研究。
下面本文将从偏微分方程的理论和应用角度出发，探讨偏微分方程的重要性和应用前景。
一、偏微分方程理论的发展偏微分方程理论是现代数学发展的重要成果之一，其兴起可以追溯到17世纪的牛顿、欧拉、拉格朗日等人的工作，其中欧拉和拉格朗日是最早研究偏微分方程的代表人物。
19世纪，威尔斯和拉普拉斯运用偏微分方程解释热力学和弹性力学问题，进一步推动了偏微分方程理论的发展。
20世纪，代数学派的兴起，尤其是Hilbert、Noether和Friedrichs等人的贡献，使偏微分方程理论得到更深入的探讨，为偏微分方程的发展奠定了数学基础。
近年来，数值方法的兴起和计算机技术的发展，进一步推动了偏微分方程理论的应用。
二、偏微分方程的分类偏微分方程的分类方式不尽相同，不同领域有不同的分类方法，但一般可归为两大类：椭圆型偏微分方程和双曲型偏微分方程，另外还有抛物型偏微分方程。
1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的特点是方程的解在整个区域内均具有良好的解析性质。
椭圆型偏微分方程所描述的物理问题有静电场的问题、自然共振问题等。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的特点是方程的解在一定的范围内以波的形式传播，具有局部解析性质。
双曲型偏微分方程所描述的物理问题有电磁波、声波、弦的振动等。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程的特点是方程的解在一定范围内具有局部解析性质，但在一般情况下不能传播。
抛物型偏微分方程所描述的物理问题有热传导、扩散等。
三、偏微分方程在物理学中的应用物理学中有很多问题可以用偏微分方程来描述和求解。
偏微分方程的应用发展及研究现状
偏微分方程的应用发展及研究现状一、偏微分方程的应用发展偏微分方程的应用源远流长，早在18世纪，拉普拉斯、傅里叶、泊松等数学家就开始将偏微分方程应用于物理学、天文学等领域，如波动方程、热传导方程等。
20世纪初，随着物理学和工程学的迅猛发展，偏微分方程的应用得到了进一步推广和深化。
在物理学中，偏微分方程广泛用于研究流体力学、电磁学、量子力学等各个领域。
在工程学中，偏微分方程则被用于求解传热、传质、弹性力学等问题。
此外，在经济学、生物学等社会科学领域，偏微分方程也展现出了很好的应用潜力，如黑-斯科尔模型用于股票市场预测、生物传播模型等。
二、偏微分方程的研究现状1.偏微分方程的数学理论研究：偏微分方程作为一门数学分支，其数学理论一直是研究重点。
目前，人们主要关注偏微分方程的解的存在性、唯一性和连续性等基本问题，以及解的稳定性等高级问题。
此外，还有人致力于研究非线性偏微分方程的局部解和全局解、奇异偏微分方程等特殊问题。
2.偏微分方程的数值解法研究：由于偏微分方程在实际应用中往往难以求得精确解，因此人们发展了各种数值解法用于近似求解。
有限差分法、有限元法和谱方法等已经成为偏微分方程求解中常用的数值方法。
近年来，随着计算机技术的快速发展，人们还提出了更高效、更准确的数值算法，如高阶有限差分法、多重网格方法、神经网络等。
3.偏微分方程的应用拓展：随着科学技术的发展，偏微分方程在更多领域中的应用得到了广泛拓展。
例如，人们开始研究非线性偏微分方程在生物学中的应用，用于描述种群演化、病毒传播等现象。
此外，偏微分方程在金融学中的应用也备受关注，用于分析期权定价、波动性建模等问题，这方面的研究主要涉及到随机偏微分方程的理论和数值方法。
三、总结偏微分方程的应用发展至今已经有几个世纪的历史，其重要性和研究价值不言而喻。
从物理学到工程学，从社会科学到生命科学，偏微分方程都扮演着重要的角色。
无论是理论研究还是数值解法，目前偏微分方程的研究都在不断深化和发展，为更多实际问题的求解提供了有力的工具和方法。
偏微分方程的应用
在科学技术日新月异的发展过程中,人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经不够精确了,所以不少问题必须用多个变量的函数来描述,才能够更精确地得到人们所需要的结果。
这样就产生了研究某些物理现象的理想的含有多个变量的函数及其偏导数的方程,这种方程就是偏微分方程。
实际上,偏微分方程的解一般有无穷多个,而在解决具体物理问题时,我们必须从众多一般解中找到能够满足题目给定的特殊条件的解,这样我们才能够了解具体问题的特殊性。
本文在简要的介绍偏微分方程的发展历史的基础上,详细的讨论了其在弦振动及人口问题中的应用。
1偏微分方程的发展1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
由此开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来了,许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶,他在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的[3]。
2偏微分方程在某些具体问题中的应用2.1偏微分方程在弦振动中的应用弦是一个力学系统,是一个质点组,故它的运动符合牛顿第二定律。
设弦在未受扰动时平衡位置是x 轴,其上各点均以该点的横坐标表示。
弦上各点的位移假设发生在某个平面内垂直于x 轴的方向上,t 时刻的形状是曲线u=u(x,t),适当假设如下:(Ⅰ)弦是一个“柔软”的连续体,之所以能维持其形状是由于弦能抵抗弯矩,因此任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向,且弦的重力可忽略不计[4]。
(Ⅱ)弦的振动发生在一个平面内,且弦上各点的运动方向垂直于平衡位置。
偏微分方程在生物学上的应用
偏微分方程在生物学上的应用刘富冲pb1偏微分方程的发展偏微分方程是反映有关的未知变星关于时间的导数和关于空间变星的导数之间制约关系的等式。
许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，物理学中的许多基本方程本身就是偏微分方程。
早在微积分理论刚形成后不久■人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效园示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。
逐渐地, 以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容尼直接联系着众多自然现象和实际问题，不断蝴是出和产生出需要解决的新课题和新方法■不断地促逬看许多相关数学分支（如泛函分析、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。
偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
'石国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。
很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的硏究集体r并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。
比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立硏究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体, 在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。
2偏微分方程的应用在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据■保证工程安全可靠且高效地完成任务。
在很多的实际课题中r有不少课题（特别是国防课题）是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的（一方面是危险系数大，另一方面是耗费大）,因此就需要尽可自眇也减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。
随着电子计算机的出现及计算技术的发展『电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。
偏微分方程及其应用
偏微分方程及其应用1.引言偏微分方程是数学中一门重要的分支，其应用范围涉及到自然科学、工程技术等多个领域。
本文将重点探讨偏微分方程及其应用。
2.偏微分方程简介偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是一个或多个未知数的偏导数与自变量的函数之间的方程，它描述的是多元函数的变化规律。
在工程和科学中，偏微分方程的解可以确定物理现象的演变规律，因此它被广泛应用于自然科学、工程技术、计算机科学等领域。
在偏微分方程中，存在一些经典问题，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
这些方程在自然现象中都有着广泛的应用。
3.偏微分方程应用3.1 热传导方程热传导方程在物理学、化学工程等领域中有广泛的应用。
热传导方程描述了物体中温度场的变化过程，即：热量在物体内的传递。
通过对物体内各部分温度变化的分析，可以得出物体内部的温度分布。
这对于热传导器、锅炉等热设备的工作和设计都有着非常重要的意义。
3.2 波动方程波动方程是自然科学、工程技术中一个非常重要的方程。
波动方程描述了波的传播过程，在自然现象中，比如光波、声波、电磁波等都可以通过波动方程进行描述。
在工程设计中，比如电磁波在天线中的传输等问题，都需要对波动方程进行研究。
3.3 扩散方程扩散方程在化学工程、生物医学工程等领域中有着广泛的应用。
扩散是物理过程中常见现象之一，它描述了物理量从高浓度向低浓度传输的过程。
通过对扩散方程进行研究，可以得出物质在环境中的扩散过程和模型，这对于对环境的治理和污染物的处理都有着非常重要的意义。
4.结语偏微分方程是自然科学、工程技术等领域中一个非常重要的研究分支。
通过对偏微分方程的研究，可以更好地理解自然界的物理现象，为科技发展提供技术支持。
相信随着科技的不断进步，偏微分方程在各大领域的应用会越来越广泛，发挥越来越重要的作用。
华罗庚偏微分方程
华罗庚偏微分方程华罗庚是我国著名的数学家和物理学家，被誉为中国现代数学的奠基人之一。
他在数学和物理学领域做出了许多重要贡献，其中最为著名的就是他所发现的偏微分方程。
偏微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了物理现象中的变化和运动。
它是一个包含未知函数及其偏导数的方程，通常用于描述物理现象中的变化和运动。
偏微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域中都有广泛的应用。
华罗庚在20世纪30年代末期，通过对热传导方程的研究，发现了一种新的偏微分方程，称之为“华罗庚方程”。
这个方程在数学和物理学领域中都具有极高的价值和重要性。
华罗庚方程是一个非线性偏微分方程，它的形式如下：u/t = k u + λ(u - u)其中，u表示未知函数，t表示时间，k和λ为常数，表示Laplace算子，它是二阶空间导数的和。
这个方程描述了一个非线性扩散过程，它的解决具有深刻的物理意义。
华罗庚方程的研究对于数学和物理学领域都有重要的意义。
它的解决对于理解物理现象中的扩散过程、相变现象和非线性波动等有着重要的作用。
此外，华罗庚方程的研究也为其他非线性偏微分方程的研究提供了启示和参考。
华罗庚方程的研究也对于我国数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。
华罗庚不仅是一个杰出的科学家，也是一个杰出的教育家。
他在中国科学院数学研究所和北京大学数学系任教多年，培养了一批优秀的数学和物理学人才，为我国科学事业的发展做出了杰出的贡献。
在华罗庚的领导下，中国的数学和物理学取得了重大的成就。
他的贡献不仅得到了国内的赞誉，也获得了国际学术界的认可和尊重。
华罗庚方程的发现和研究是他杰出成就的一个缩影，也是他为我国科学事业做出的杰出贡献之一。
总之，华罗庚方程是偏微分方程中的一种重要形式，它的研究对于数学和物理学领域都有着重要的意义。
华罗庚方程的发现和研究是华罗庚杰出成就的一个缩影，也是他为我国科学事业做出的杰出贡献之一。
我们应该铭记华罗庚的贡献，为我国科学事业的发展继续努力。
偏微分方程 黎曼
偏微分方程黎曼
《偏微分方程曼》是一个极具历史意义的主题。
它是19世纪20年代“现代数学之父”莱布尼茨黎曼提出的一种微分方程，伴随着他的研究名著《黎曼几何》的出现，又重新受到关注。
偏微分方程的诞生为解决许多自然科学中的复杂问题提供了一种新的数学手段。
许多著名的黎曼几何背后都是黎曼偏微分方程的力量。
虽然早在17世纪，费尔马克尔、布德特和贝塔尼已经在探索偏微分方程，但
是直到1827年，莱布尼茨黎曼才完整地提出了偏微分方程的概念。
在他的研究中，他提出了一种新的几何学，叫做黎曼几何，用它来帮助他解决更复杂的问题。
偏微分方程的最重要的特点是，它可以描述某种物理过程的状态，而无需知道其物理机理。
它可以用来描述物质、热量流动、电磁场及几何图像等许多场景。
偏微分方程所提出的概念不仅影响了数学，也影响了许多技术领域，包括水文学、力学和电磁学等，这些领域的研究都有重要的应用前景。
偏微分方程的解决方案有着重大的历史意义。
从19世纪到20世纪，多位伟大的数学家和物理学家，如黎曼、贝威斯、爱因斯坦、拉瓦锡等，致力于研究偏微分方程，探索它的解决方案。
它们的努力，最终为人类科技的发展、生产力水平的提升等作出了重大贡献。
今天，在图像处理、机器学习、自动化等技术领域，偏微分方程仍然发挥着重要作用，它们的研究及应用正在推动着科学的新发展，让未来世界充满活力。
莱布尼茨黎曼及他的研究成果永远是数学和物
理学的发展史上不可磨灭的里程碑。
偏微分方程从未消失，它在今天仍然是技术革新及科技发展的催化剂，更是技术进步的重要途径。
它将继续为人类的进步做出重大贡献，把握它确实是刻不容缓的事情。
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学偏微分方程这门数学学科，对于广大中学生来说，恐怕是完全陌生的，难免会感到高不可攀；至于说它是一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学，恐怕更显得匪夷所思了。
尽管如此，这篇短文仍希望能对此做一个简单的说明和介绍。
1.什么是偏微分方程？中学里的数学，已讲过函数，并涉及到一点简单的微积分。
说是自变量的一个函数，记为，是指当自变量在一给定的范围中变动时，函数的值也按一定的规则相应地变动。
例如，以匀速运动的物体，其位移是时间的一次函数：, 而自由落体的位移则是时间的二次函数：（其中为重力加速度），等等。
函数的变化率，表示函数值随着自变量变化的速率，则用其对的导数来表示。
在匀速运动的情形，位移对时间的导数就是速度；而在自由落体运动的情形，位移对时间的导数是 ,它也是一个的函数。
上面这些函数都只有一个自变量，统称为一元函数，是比较简单的情形。
在众多的实际应用中，一个函数所依赖的自变量往往不止一个。
例如，一个矩形的面积等于其长与宽的乘积，即。
当或变动时，的值都要相应的变化，就是及的一个二元函数。
当自变量的个数更多时，类似地有多元函数。
对一个多元函数，可以相应地考虑其对某个自变量的变化率，即当其他自变量暂时固定时、该函数对此自变量的变化率，称为该函数对此自变量的偏导数(在经济学中,称之为边际效益!),它一般也是已有一切自变量的函数。
例如，矩形的面积对其长的偏导数，记为，其值为；而对其宽的偏导数，则记为，其值为。
对于一个多元函数而言，不仅可以有一阶的偏导数及，而且由于一阶偏导数仍是一个多元函数，还可以继续求偏导数，从而还有二阶的偏导数，及，等等。
由于多元函数在应用中的重要性，对其研究必然会引起极大的重视。
这比研究一元函数要困难得多，对数学也提出了新的发展机遇与挑战。
在一元函数的情形，如果在决定未知函数的方程中包括其某些导数，则称其为常微分方程。
求解相应的常微分方程得到其解，即得到所求的未知函数，已经对解决很多应用问题带来了极大的推动与帮助。
偏微分方程与其他学科的联系
偏微分方程与其他学科的联系1 引言偏微分方程起源于18世纪，在19世纪得到了迅速发展。
最初偏微分方程只是研究直接来源于物理与几何的问题，发展至今，已经成为了一个独立的数学分支，讨论的问题不仅包括物理、力学、生物、几何和化学等古典问题，更深入了图形图像处理，天气气象预测等现代方面，并在处理问题的过程中应用了现代数学的许多工具。
本文简要介绍了在一些领域中偏微分方程起到的重要作用及其应用方法。
2 正文（PDE 在各领域中的应用）2.1 物理学中的应用偏微分方程的起源与物理密不可分，从其基本方程的形式及名称不难看出。
而偏微分方程在物理学中的应用更是不胜枚举，从电场中某点的电势到热传导问题中某点在特定时刻的温度，其精确求解的过程中，解偏微分方程组是极其重要的一部分，更是问题的关键所在。
在此，不一一列举偏微分方程在物理学中的应用，仅以一例，望能见微知著。
以弹性体不受外力的的微小振动（n=3）为例设弹性体占有三维空间3R 中区域Ω，并且不受外力。
则对Ω的任意光滑子域G ⊂Ω，有tt G G u dx F dS ν∂=-⎰⎰ ， 又由高斯公式divwdx w dS νΩ∂Ω=⎰⎰ ， 得 tt G Gu dx divFdS ∂=-⎰⎰， 由G ⊂Ω的任意性，得 ,,0tt u divF x t =-∈Ω>因为是微小振动，从而有 2()F Du a Du ≈-即得三维齐次波动方程 20,,0tt u a u x t -∆=∈Ω>在给定了0t =时刻的初始位移(,0)u x 和初始速度(,0)t u x 后，可联立方程组，得23123000,(,,),0()()tt t t t u a u x x x x R t u x u x ϕψ==⎧-∆==∈>⎪=⎨⎪=⎩(1)利用Kirchhoff 公式，可以解得 2211(,)()(())44at att S S u x t y dS y dS a t a t ψϕππ=+⎰⎰， 在球面坐标系下表示为 221231230000(,)(,,)((,,))44tt u x t x at x at x at dS x at x at x at dS t ππππψαβγϕαβγππ∂=+++++++∂⎰⎰⎰⎰ 其中，sin cos ,sin sin ,cos ,sin dS d d αθφβθφγθθθφ====从而得到弹性振动体上质点123(,,)x x x x =在时刻t 时的位移u2.2 气象预测中的应用大气的行为可以用一组以数学方程式表示的物理定理来表达，由这些物理定理可以计算大气的量或场（如温度、风向、风速及湿度等）将如何改变，接触这组代表物理定理的数学式，就可以由目前的天气状态推演出对未来天气现象的描述。
偏微分方程 黎曼
偏微分方程黎曼
《偏微分方程曼》有着悠久的历史，于1860由德国数学家兼物
理学家黎曼发明，它是一个重要的数学工具，可以用来研究复杂的物理系统。
偏微分方程，也称作常微分方程，是一种非常复杂的数学方法，它利用微分方程解决复杂多变的问题。
偏微分方程的发明使得科学家们能够更加准确地了解物理系统，比如运动的物体、热传导、电磁场以及流体力学等。
偏微分方程的
革新也促进了物理学的发展，有助于研究全新的物理现象，使物理学研究得到新的突破。
偏微分方程的发明，也为其他领域的发展提供了重要的思想和技术支持，比如地理信息系统、遥感图像处理、金融风险分析等，均可借助偏微分方程解决复杂问题。
偏微分方程作为一种研究物理系统的强大工具，它具有许多独特的优势。
首先，它可以简化复杂的物理方程，增强科学家研究的准确性和效率。
其次，偏微分方程还可以研究复杂的物理系统中的动态变化，帮助科学家精确模拟物理实验，得到准确的数据和解释。
偏微分方程也在机器学习和人工智能领域有着广泛的应用，比如，机器学习算法中可以采用偏微分方程来表示系统的变化，并用于解决复杂优化问题；人工智能领域中也可以借助偏微分方程来模拟生物神经元的运作，从而更好地实现计算机的智能化。
由此可见，偏微分方程发明于1860，至今仍是物理学研究的重
要工具，它的发明也推动了许多不同领域的发展，并促进了机器学习
和人工智能的普及，为科学的进步做出了不可磨灭的贡献。
偏微分方程 数学之美
偏微分方程数学之美偏微分方程是数学中的一个重要分支，它在实际应用中发挥着重要的作用。
偏微分方程是描述物理、化学、工程等领域中的自然现象的数学模型。
这些自然现象包括热传导、流体力学、电磁学等等。
偏微分方程的研究不仅对于科学研究具有重要的意义，也对于工程技术应用起着至关重要的作用。
偏微分方程的研究始于18世纪，当时的数学家们试图解决一些自然现象的数学模型问题。
例如，热传导现象可以通过热传导方程来描述。
这个方程的求解可以得到物质温度在时间和空间上的分布。
通过这种方式，我们可以更好地理解热传导现象，并且可以预测物体的温度变化。
偏微分方程的求解是一个非常复杂的问题。
一般来说，偏微分方程很难直接求解。
因此，数学家们发展了许多重要的技术来解决这些问题。
其中最常用的方法是分离变量法，这种方法可以将偏微分方程分解为一系列更简单的问题。
然后，我们可以逐步求解这些简单问题，最终得到整个偏微分方程的解。
除了分离变量法之外，数学家们还发展了很多其他的方法来解决偏微分方程。
其中一种方法是有限元法，这种方法可以将偏微分方程转化为一系列代数方程。
然后，我们可以使用计算机来求解这些代数方程，从而得到偏微分方程的解。
这种方法在工程应用中非常常见，因为它可以用于解决复杂的物理问题。
偏微分方程是数学中的一个重要分支，它在实际应用中发挥着重要的作用。
偏微分方程的研究不仅对于科学研究具有重要的意义，也对于工程技术应用起着至关重要的作用。
数学家们发展了许多重要的技术来解决偏微分方程的求解问题，其中最常用的方法是分离变量法和有限元法。
无论是哪种方法，都需要数学家们的努力和创新才能得到更好的解决方案。
偏微分方程charles collot
偏微分方程charles collot
Charles Collot是一位法国数学家，他对偏微分方程的研究贡献良多。
偏微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了多个变量之间的关系，并在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在偏微分方程中，Charles Collot提出了一些重要的理论和方法，为这一领域的发展做出了重要贡献。
他的研究成果不仅在学术界有着重要意义，也对实际问题的解决起到了关键作用。
偏微分方程是描述多个变量之间关系的数学方程。
它可以用来描述时间、空间、速度、加速度等变量之间的关系。
在物理学中，偏微分方程被广泛应用于描述热传导、电磁场、流体力学等现象。
在工程学中，偏微分方程也被用来解决工程领域中的一些复杂问题。
Charles Collot的研究主要集中在偏微分方程的理论和方法上。
他提出了一些重要的定理和推论，为偏微分方程的研究奠定了基础。
他的研究成果不仅在学术界有着重要意义，也对实际问题的解决起到了关键作用。
除了在理论研究上取得的成果，Charles Collot还在实际问题的解决中发挥了重要作用。
他将自己的研究成果应用于物理学、工程学等领域，为实际问题的解决提供了重要的理论支持和方法指导。
总的来说，Charles Collot对偏微分方程的研究做出了重要贡献，他的理论和方法在学术界和实际问题的解决中都有着重要意义。
随着
科学技术的不断发展，偏微分方程的研究将会越来越受到重视，而Charles Collot的研究成果将继续在这一领域发挥重要作用。
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偏微分方程的历史及应用数学与信息科学学院 09级数学与应用数学专业学号 09051140129 姓名项猛猛摘要偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。
许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。
偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。
本文旨在介绍偏微分方程的起源和历史，以及偏微分方程在人口调查、传染病动力学等实际问题中的应用。
了解偏微分方程曲折的发展史并了解其广阔的应用前景，从而激励读者更深入的学习和研究偏微分方程。
关键字偏微分方程偏微分方程历史偏微分方程应用引言偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁.本文阐述了偏微分方程的发展历史及在实际生活中的应用，为以后更深入的研究及更广的应用提供了例证。
正文一、偏微分方程的起源及历史微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶偏微分方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔（D’Alembert）（1717-1783）、L.欧拉（Euler）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli)（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange)（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace)（1749-1827）、S.泊松(Poisson)（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier)（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。
它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。
在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。
傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。
在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=>==∂∂=∂∂,0),()0,(,0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ，其中后面两项分别是边界条件和初始条件。
傅里叶为解这个方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为为了满足初始条件，必须有这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表示成三角级数的问题。
傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成这样，每个n b 可由上式乘以,...)2,1(sin =n nx ，再从0到π积分而得到。
他还指出这个程序可以应用于表达式接着，他考虑了任何函数)(x f 在区间),(ππ-的表达式，利用对称区间上的任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这一事实，傅里叶可以将区间),(ππ-上的任何函数)(x f 表示为其系数由确定，这就是我们通常所称的傅里叶级数。
为了处理无穷区域上的热传导问题，傅里叶同时还导出了现在所谓的“傅里叶积分”：需要指出的是，傅里叶从没有对“任意”函数可以展成傅里叶级数这一断言给出过任何完全的证明，它也没有说出一个函数可以展开为三角级数必须满足的条件。
然而傅里叶本人对此充满信心，因为他的信念有几何上的根据。
十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G.. Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家。
位势方程也称拉普拉斯方程：格林是剑桥数学物理学派的开山祖师，他的工作培育了汤姆逊(W.Thomson)、斯托克斯(G.Stokes)、麦克斯韦(J.C.Maxwell)等强有力的后继者，他们是十九世纪典型的数学物理学家。
他们的主要目标，是发展求解重要物理问题的一般数学方法，而他们手中的主要武器就是偏微分方程，以至于在十九世纪，偏微分方程几乎变成了数学物理的同义词。
剑桥数学物理学派的贡献使经历了一个多世纪沉寂后英国数学在十九世纪得以复兴，麦克斯韦1864年导出的电磁场方程,)(1rot tE c H ∂∂=ε ,)(1rot tH c E ∂∂-=μ ,)(ρε=E div0)(=H div μ是十九世纪数学物理最壮观的胜利，正是根据对这组方程的研究，麦克斯韦预言了电磁波的存在，不仅给科学和技术带来巨大的冲击，同时也是偏微分方程威名大振。
爱因斯坦在一次纪念麦克斯韦的演讲中说：“偏微分方程进入理论物理学时是婢女，但逐渐变成了主妇，”他认为这是从十九世纪开始的，而剑桥数学物理学派尤其是麦克斯韦在这一转变中起了重要的作用。
除了麦克斯韦方程，十九世纪导出的著名偏微分方程组还有粘性流体运动的纳维(C.L.M.H. Navier)-斯托克斯和弹性介质的柯西方程等。
对18、19世纪建立起来类型众多的微分方程，数学家们求显式解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转而证明解的存在性。
最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西。
他指出：在求显式解无效的场合常常可以证明解的存在性。
他在19世纪20年代对形如y)y' 的常微分方程给出了第一个存在性f(x,定理，这方面的工作被德国数学家李普希茨(R. Lipschitz)、法国数学家刘维尔(J.Liouville)和皮卡(C.E. Picard)等追随。
柯西也是讨论偏微分方程解的存在性的第一人，他在1848年的一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组，然后讨论了偏微分方程组解的存在性并提出了证明存在性的强函数方法。
柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅(C.B. Ковалевская)独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内非常一般的形式。
有关偏微分方程解的存在唯一性定理在现代文献中就称为“柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理”。
当研究在解决物理问题的过程中出现的具体微分方程时，往往会产生一些极具普遍性、起初并没有严格的数学根据而应用于范围广泛物理问题的方法。
例如，傅里叶方法、里茨（Ritz）方法、伽辽金（Галёркин）方法、摄动理论方法等就是这一类方法。
这些方法应用的有效性成为试图对它们进行严格论证的原因之一。
这就导致新的数学理论、新的研究方向的建立（傅里叶积分理论、本证函数展开理论和广义函数论等等）。
二、偏微分方程的应用在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。
在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。
随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。
但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：(1)针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。
(2)对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。
根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。
(3)编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。
因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。
如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。
到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。
下面以大家比较熟悉的人口问题及传染病动力学问题为例，详细阐述偏微分方程在解决实际问题中的应用。
1、偏微分方程在人口问题中的应用人口问题是大家都很感兴趣的问题(这里所说的人口是广义的，并不一定限于人，可以是任何一个与人有类似性质的生命群体)。
对人口的发展进行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。
例如，马尔萨斯模型［4］：,:)()(00⎪⎩⎪⎨⎧===p p t t t ap dt t dp 其中)(t p 表示t 时刻的人口总数，0p 为初始时刻0t 时的人口总数，a 表示人口净增长率。
马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。
因为当生物群体总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因，就要进行生存竞争。
而马尔萨斯模型仅考虑了群体总数的自然线性增长项)(t ap ，没有考虑生存竞争对群体总数增长的抵消作用。
因此在群体总数大了以后，马尔萨斯模型就不再能预见群体发展趋势，这时就要采用威尔霍斯特模型［5］：,:)()()(002⎪⎩⎪⎨⎧==-=p p t t t p a t ap dtt dp 其中，a 称为生命系数，而且a 比a 要小很多。
)(2t p a 就是考虑到生存竞争而引入的竞争项。
当群体总数)(t p 不太大时，由于a 比a 小很多，则可以略去上面方程中右端的第二项而回到马尔萨斯模型。
但是当群体总数增大到一定程度时，上面方程中右端的第二项所产生的影响就不能忽略。
不论是马尔萨斯模型还是威尔霍斯特模型，它们都是将生物群体中的每一个个体视为同等地位来对待的，这个原则只适用于低等动物。
对于人类群体来说，必须考虑不同个体之间的差别，特别是年龄因素的影响。
人口的数量不仅和时间有关，还应该和年龄有关，而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。
不考虑年龄因素就不能正确地把握人口的发展动态。
这时，就必须给出用偏微分方程描述的人口模型［5］：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥==≤≤==≤≤≥-=∂∂+∂∂⎰A a t d t p b t p x A x x p p t A x t x t p x d x x t p t x t p )3()0(),()()0,(:0)2()0()(:0)1()0,0(),()(),(),(0ξξξ 其中，),(x t p 表示任意时刻t 按年龄x 的人口分布密度，)(x d 表示年龄为x 的人口死亡率，)(x b 表示年龄为)(A x a x ≤≤的人的生育率，a 表示可以生育的最低年龄，A 表示人的最大年龄。