理想气体的热力学过程

平行于V轴的等压线。p
p
热力学第一定律： (Q)p = dU A
1(V1,T1, p)
2(V2,T2, p)
热量：
或
Qp = (U2 U1 ) A
Qp C p (T2 T1 )
o
V1
V2 V
2
内能增量：
U 2 U1 CV (T2 T1 )
功: A

V2
V1
p d V p(V2 V1 ) R(T2 T1 )
Cm CV ,m
式中Vm是摩尔体积。
d Vm p dT
由多方过程方程pVmm = 恒量，可得
ln p + m ln Vm = 恒量
14
对上式求微分，得
dp p m d Vm Vm
对1mol理想气体的物态方程求微分，得
dp dT p Vm R d Vm d Vm
由上两式，得
d Vm R dT p ( m 1)
o
V
系统吸收的热量： QV U 2 U1 CV (T2 T1 )
这说明，系统所获得的热量全部用于增加自身的内能。 1
二、等压过程 (isobaric process)
等压过程 特征: 过程方程: 过程曲线: 系统压强保持不变的过程。 p=0
V1 V2 T1 T2
p=恒量 重物
在等压过程中，系统从外界获得的热量，一部分用 以增大内能，一部分用以对外作功。 三、等温过程 (isothermal process) 等温过程 特征: 过程方程: 系统的温度保持恒定的过程。 T=0
p1V1 p2V2
p p1
T=恒量
恒温热源
1(p1,V1,T)
过程曲线:
内能增量：
等温线为等轴双曲线。
1
3
2
(1)V2/V1=V4/V3；(2)W12=W34
o
4
V
证 （1）由泊松公式及状态方程可得
pV R TV
γ
γ 1
恒量
20
TV
γ 1
恒量
V2 V4 考虑到 T1=T3，T2=T4，由上两式可得 V1 V3 γ 1 RT T p1V1 V1 1 2 1 （2） W12 1 1 V2 1 T1 RT3 T4 同理 W34 1 1 T3
（3）求两个终点的压强 对等温过程
V1 p2 p1 V 2
V1 p2 p1 V 2
6 1.01310 P a
6 2 . 55 10 Pa
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对绝热过程
例5 氮气液化，将氮气放在绝热的活塞气缸中。开 始时氮气压强为 50Pa, 温度为 300K；急速膨胀后， 其压强降至 1Pa ，从而使氮气液化。求此时氮气的 温度？ 解 设液化过程可视为绝热过程，由绝热方程及
5
过程方程的推导：
对系统状态任一微小变化，其内能的改变为
d U CV d T
代入第一定律，得
p dV CV d T
对理想气体物态方程微分，得
p dV V d p R d T
由以上两式消去dT，得
(CV R) p dV CVV d p dV d p 0 整理上式，有 V p
=1.40，可得：
p2 T2 T1 p 1
1 /
1 300 50
0.286
98.0K
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例6 一定质量的理想气体先后经历 P 两个绝热过程即1态到2态，3态到4
态(如图所示)且T1=T3、T2=T4，在 1态与3态，2态与4态之间可分别连 接 两 条 等 温 线 。 求 证 ：
A2 (U 4 U 3 ) CV (T4 T3 )
在整个过程中系统对外界所作的功为
A ( A1 A2 ) CV [(T3 T2 ) (T4 T1 )]
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例2 求理想气体在多方过程中的摩尔热容Cm。
解 多方过程的定体摩尔容
Cm (
Q
dT
)m
将第一定律Q = CV,m dT + pdVm代入，得
p
3
2
4 1
V2
V1 V
12
Q1 U3 U 2 CV (T3 T2 )
41放热
Q2 U1 U 4 CV (T1 T4 )
12，外界对系统作的功A1 等于系统内能的增加
A1 (U 2 U1 ) CV (T2 T1 )
34中，外界对系统所作的功A2 应为
4
过程方程:
pV γ 恒量
TV
γ
γ 1
p p1
1(p1,V1,T)
恒量
·
T p
过程曲线:
γ 1
恒量
p2
2(p2,V2,T)
绝热线为双曲线。
o
V1
·
V2
V
热力学第一定律： 功：
dU = A = pdV
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A (U 2 U1 ) CV (T2 T1 )
在绝热过程中，若系统对外界作功，则必然以降低 自身的内能为代价，若外界对系统作功，则必然使系 统的内能增加。
pV m = 恒量
式中m为常量。 凡是满足上式的过程，就称为多方过程。
当m = 1时，上式表示等温过程；当m = 时，上式
表示绝热过程。等压过程( m = 0)和等体过程(m = ) 也可看作为多方过程的特例。
11
例1 一个理想气体系统由状态1(T1) 经绝热过程到达 状态2(T2 )，由状态2经等体过程到达状态3(T3)，又由 状态3经绝热过程到达状态4(T4)，最后由等体过程回 到状态1。求系统在整个过程中吸收和放出的热量， 系统对外界作的净功以及内能的变化。 解 由图可见，整个过程构成 一闭合曲线，系统的内能不变。 1→2和3→4都是绝热过程；2 →3和4→1是等体过程。 2→3吸热 o
V2 V2
γ 1 1

p1V1 V1 γ 1 1 [( ) 1] ( p2V2 p1V1 ) 1 V2 1
即
1 A ( p2V2 p1V1 ) 1
10
*五、多方过程 (polytropic process)
理想气体的热力学过程也常用下面的公式来表示
§18-2 理想气体的热力学过程
一、等体过程 (isochoric process) 等体过程 系统体积保持不变的过程。 特征:
过程方程: 过程曲线:
δV = 0 p1 p2 T1 T2
平行于p 轴的等体线。
V=恒量
p p2
2(p2,T2,V)
功:
内能与热量：
A=0
(Q)V = dU
p1
1(p1,T1,V)
U=0
p2
·
2(p2,V2,T)
热力学第一定律：(Q)T = A = pdV
o
·
V1
3
V2 V
热量：
QT p dV
V1
V2
将物态方程 pV RT 恒量代入上式，得
QT RT
V2
V1
dV V2 p1 RT ln RT ln V V1 p2
对于等温膨胀过程，系统从外界获得的热量全部 用于对外作功；对于等温压缩过程，系统向外界释 放的热量全部来自外界对系统所作的功。 四、绝热过程 (adiabatic process) 绝热过程 特征: 系统与外界没有热量交往的过程。 Q = 0
7
●
绝热线和等温线
绝热线比等温线更陡些，如图所 示。这是因为在等温过程中，压强 的变化仅是由体积的变化所引起， 而在绝热过程中，压强的变化不仅 是由体积的变化，同时还由温度的 变化共同引起的，所以系统压强的 变化更为显著。 绝热线： 等温线：

p
绝热过程
等温过程
o
V
pV 恒量
pV 恒量
8
两线相交点A 的斜率：
pV p1V1 = 恒量
9


p1和V1为初状态系统的体积和压强。
外界对系统作的功为
pV A p dV dV V1 V1 V 1 1γ V V1 2 dV γ γ V2 p1V1 p V 1 1 γ 1 1 V1 V
6
dV d p 0 V p
式中
Cp CV
, 在温度变化不很大时，可以看作常量。
将上式积分，得
ln V + ln p = 恒量
pV γ 恒量 或 这个关系称为泊松 (S.D.Poisson)公式。
根据泊松公式和理想气体物态方程, 可以分别得到
TV γ 1 恒量
T γ pγ 1 恒量
p
绝热过程
pA pA dp dp ; VA VA dV T dV a
因为γ>1 , 所以绝热线比等温线要陡。
·
A
等温过程
绝热过程中外界对系统所作的功
o
V
A (U 2 U1 ) CV (T2 T1 )
也可以表示为另一种形式。 根据泊松公式
Qp = H 气 H水
= (2676.3103 419.06103 ) Jkg1
= 2257.2103 Jkg1
16
17
经绝热过程压缩气体做的功：
CV 20.44J mol K
1
1
m 4 A CV T2 T1 4.70 10 J M
考虑到 T1=T3，T2=T4，
T2 V1 1 2 T1 V2
γ 1
3 4
T4 V3 T3 V4
γ 1
所以W12=W34
21
得到多方过程的摩尔热容
Cm CV ,m
R m 1
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例 3 在压强为 101325Pa 、温度为 100℃的条件下， 单位质量的水的焓值为 419.06103Jkg-1 ，单位质量 的水蒸气的焓值为 2676.3103Jkg-1 。求在同样条件 下水的汽化热。 解 在等压条件下系统所吸收的热量等于态函数 焓的增量，所以在题目所给条件(压强为101325 Pa、 温度为100℃)下，单位质量的水转变为水蒸气所需 吸收的热量，即水的汽化热为