2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期初数学试题

2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期

初数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、填空题

1. 已知集合，，若，则

________．

2. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数______.

3. 一组数据4，5，6，8，的平均数为7，则该组数据的方差为______.

4. 袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有

“1”?“2”?“3”?“4”这四个数.现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______.

_____．

S←1

I←2

While S≤100

I←I + 2

S←S×I

End Whlie

Print I

6. 设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为

___________.

7. 在等比数列中，，，为的前项和.若，则__________．

8. 若函数为偶函数，则的值为

________．

9. 如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的

值为________.

10. 已知函数，则不等式的解集为

_________.

11. 如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若

，，，则的值为

______．

12. 若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为____．

13. 已知的三个角所对的边为.若，为边

上一点，且，则的最小值为_________.

14. 已知函数，若，使得，则的取值范围是______

二、解答题

15. 已知，，其中.

（1）求的值；

（2）求的值.

16. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求证：

（1）BC//平面ADD1A1；

（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.

17. 如图，在南北方向有一条公路，一半径为100的圆形广场（圆心为）与此公路所在直线相切于点，点为北半圆弧（弧）上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，计划在内（图中阴影部分）进行绿化，设的面积为（单位：），

（1）设，将表示为的函数；

（2）确定点的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

18. 已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点到椭圆两焦点距离之和为，如图，为坐标原点，平行与的直线l交椭圆于不同的两点、．

（1）求椭圆方程；

（2）当在第一象限时，直线，交x轴于，，若PE＝PF，求点

的坐标．

19. 已知函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）令，已知函数有两个极值点，且，①求实数的取值范围；

②若存在，使不等式

对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围．

，若为等差数列，且．20. 已知等差数列的前n项和为S

n

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；

（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．

21. 已知矩阵M＝

（1）求M2；

（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标.

23. 现有4个旅游团队，3条旅游线路．

（1）求恰有2条线路被选择的概率；

（2）设被选中旅游线路条数为X，求X的分布列和数学期望．

24. 已知

（1）求的值；

（2）求的值．