2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期初数学试题

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2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题(解析版)

点 N 在线段 OA 的延长线上，设 N (a, 2a), a 1 ，
当 a = 4 时， N (4,8), S = 16 ，
当 a 1，且 a 4 时，直线 MN 方程为
y − 2 = 2a − 2 (x − 4) ，令 y = 0, x = 4 − a − 4 = 3 + 3 ，
a−4
a −1 a −1
an = 3n−1, S3 = 1+ 3 + 9 = 13 .
故答案为:13. 【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.
9．已知 F1, F2
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左，右焦点， A
是C
的左顶点，点 P
在过 A 且斜率为 3 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2 P = 1200 ，则 C 的离心 6
____________. 【答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】12
【解析】求出直线 OA 方程，设点 N 坐标，求出直线 MN 的方程，进而求出直线 MN 与 x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积 S 表示成 N 点坐标的函数，根据函数特征，利
用基本不等式求出最小值. 【详解】
点 A(1, 2) ，直线 OA 方程为 y = 2x ，
所以 sin C 的最大值为 34 . 6
故答案为: 34 . 6
【点睛】
本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于
中档题.
4x −1 , x 1
14．已知函数
f
(x)
=
6
，若方程 f ( f ( x)) = a 恰有 5 个不同的实数根，

2020届江苏省南京市高三下学期阶段考试数学试题(解析版)

A x x 3 x 0 0,3 B x y lg 2 x
B x 2 x 0 , 2
A B 0, 2 故答案为：0, 2 .
【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取 120 人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为______.
再次执行循环体后，
I 15 2 17
，满足退出循环的条件，
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故输出的 P 值为 64
故答案为： 64 .
【点睛】
本题主要考查了根据利用循环结构计算并输出结果，解题关键是掌握框图基础知识，考
查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．设
f
x
x2 2x 1, x 2x 6, x 0
2020 届江苏省南京市高三下学期阶段考试数学试题
一、填空题
1．集合 A x x2 3x 0 , B x y lg 2 x ，则 A B ______.（用区间表示）
【答案】0, 2
【解析】化简集合 A, B ，根据交集运算，即可求得答案.
【详解】
A x x2 3x 0 ,
【答案】 96 里.
【解析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列，设出第一天行走的里程，即可由
等比数列的前 n 项和公式，求得首项.即可求得第二天行走的路程里数.
【详解】
由题意可知此人行走的里程数为等比数列
设第一天行走的路程为 m ,且等比数列的公比为 q 1 2
则由等比数列的前
n
项和公式
Sn
1
【答案】

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题(含附加题) Word版含答案

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知{}231,x A x xR +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I __________．2．复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．5．抛物线28y x =的焦点坐标为__________．（第4题）（第13题）6．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是__________．7．已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________． 8．已知等差数列{}n a 中，3421a a -=-，30a =，则{}n a 的前10项和是__________．9．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为__________．10．已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为__________． 11．已知不等式2121xx ->-的解集为A ，不等式()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 12．已知0a >，0b >，且31126a b a b++≤+，则3ab a b +的最大值为__________．13．如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1的圆，圆B是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ⋅u u u r u u u r的取值范围是__________．14．若1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ．（1）求证：A ＝C ；（2）若b ＝2，BA →·BC →＝1，求sin B 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证：（1）BC ∥平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O e 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．（第16题）BACDD 1B 1A 1C 1（第17题）18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（第18题）（3）若当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n na S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．（1）当λ＝1时， ①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列．如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2 1 1 2．（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M 交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．23．（本小题满分10分）对于给定正整数n ，设nnnx a x a x a a x ++++=-Λ2210)1(，记01nn kk S a ==∑．（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S ．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．[]2,4- 2．二 3．6 4．55．()2,0 6．58 7．38．2529．12 10．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．[)4,+∞ 12．19 13．[]1,11- 14．3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ，得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ，…………2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ，…………4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．…………6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．…………8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．…………10分所以cos B ＝13．…………12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．…………14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，所以AD ∥BC ．…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1，所以BC ∥平面ADD 1A 1．…………6分（2）由（1）知AD ∥BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，…………8分在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以DD 1⊥BC ，…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ，所以BC ⊥平面BDD 1B 1，…………12分因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．…………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以»103AB π=，…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答：广场的面积为501003π+-6分（2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===，…………8分由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ，…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答：4条小路的总长度的最小值为14分 18．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)．依题意，c a ＝12，且a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………4分（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． …………8分（3）由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12，…………10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1．…………12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝38 5．所以M 的坐标为(74，358)．…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2．…………2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2．设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)，（i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12) ，则m (0)＝－a ＜0 ，m (12)＝a 4＋12－a ＞0 ，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．…………6分（ii ）若a ＜0，此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减，在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．…………10分 ②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减，则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12．要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．…………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be2＜0．又(1e )2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0，综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．…………16分20．（本小题满分16分）解：（1）①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=．① ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②②－①，得12n n a a +=，即()122n na n a +=≥． ∵当1n =时，22a =，1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=．…………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅．所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-，所以2nn T n =⋅．…………8分（2）令1n =，得21a λ=+．令2n =，得()231a λ=+．要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=．当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．…………10分当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=．…………14分综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列．…………16分第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1） M 2＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ＝⎣⎡⎦⎤5445 ．…………4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 ①当λ＝1时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1．…………8分②当λ＝3时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤xy ，得⎩⎨⎧x －y ＝0，x －y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1，⎣⎡⎦⎤11．…………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=，…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，，…………6分所以交点Q 的极坐标是)π4，．…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．…………4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k．…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k (x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k(x －2)，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1，1k)，所以，点P 在定直线x ＝1上．…………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）0111111101=-=+=a a S ；231121111112102=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ．…………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤，因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………8分所以∑==nk k n a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=．…………10分。

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷及答案(含附加题)

数学试题
第卷（选做题，40 分）
21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知矩阵 M＝
2 1
1 2
．
（1）求 M2；
（2）求矩阵 M 的特征值和特征向量．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设线段
MN
的中点为
D，若直线
OD
的斜率为－1，求 2
k
的值；
（3）记 AFM， BFN 的面积分别为 S1，S2，若SS12＝32，求 M 的坐标．
y
x＝4
l
M
FB
A
O
x
N （第 18 题）
19．（本小题满分 16 分）已知函数 f(x)＝lnx＋ax＋1，a R．（1）若函数 f(x)在 x＝1 处的切线为 y＝2x＋b，求 a，b 的值；（2）记 g(x)＝f(x)＋ax，若函数 g(x)在区间(0，12)上有最小值，求实数 a 的取值范围；
高三数学试卷第 4 页共 5 页
（3）若当 a＝0 时，关于 x 的方程 f(x)＝bx2 有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围．
20．（本小题满分 16 分）
设各项均为正数的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 = 1 ，且 an Sn+1 − an+1Sn = an+1 − λan
D1
C1
A1 B1
D
C
A B
（第 16 题）
17．（本小题满分 14 分）
如图，圆 O 是一半径为10 米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中 A, B 两点在 O 上， A, B,C, D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在 A, B, C, D 四点处安装四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在地下铺设 4 条到 A, B,C, D 四点线路 OA,OB, OC, OD ．

江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析

（1)当立柱和立柱高度相同时，求两立柱的总造价;
(2）求立柱和立柱总造价的最小值．
【答案】（1）万元；（2) 万元．
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元．
（1）过C作的垂线分别交，于，，根据题中数据,求出，即可得出结果；
（2）过B作的垂线，垂足为F，过C作的垂线，垂足为G，设，
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知与共线反向，令 ,然后由和列方程求解即可。
【详解】解：因为平面向量与的夹角是 ,
所以设，即，
因为，所以 ,得 ,
因为，所以 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算，属于基础题.
10. 已知是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点,且的最大值为，则椭圆的离心率为______．
试题解析：（1）在直三棱柱中， , ，所以 ,因为，所以 ,又，所以，因为，所以，因为在平面中，，所以四边形为正方形，因为点分别为的中点，所以 ∽ ，所以，所以，即，又因为，所以。
（2）连接交于点 ,连接交于点，连接，
在正方形中利用及平面几何知识可得，在正方形中利用 ∥ 且可得，所以在中, ，所以，又平面，平面，所以平面．
12. 在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是．
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理得: 又即．
又 ∴ ，，
由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立；
所以，

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期六月押题数学试卷含附加题

江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷(2020．6)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x)2，其中x ＝1nx i .锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球体的表面积S ＝4πr 2，其中r 是球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|－1，0，1，6}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1－2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部为0，则实数a 的值为________．3. 样本数据6，7，10，14，8，9的方差是________．4. 右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为________．5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛郑2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是________．6. 已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于点(2π3，0)对称，则φ的值是________．7. 已知PABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16 π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则该三棱锥的体积为________．8. 若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线C 的渐近线距离为________．9. 已知函数f(x)＝sin x ＋2x ＋x 3.若f(a －6)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＋a 2＋a 5＝47，a 3＋a 4＝28.若存在正整数k ，使得对任意的n ∈N *都有S n ≤ S k 恒成立，则k 的值为________．11. 已知圆O ：x 2＋y 2＝m(m ＞0)，直线l ：x ＋2y ＝10与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若圆O 上存在点P 使得△PAB 的面积为252，则实数m 的最小值为________．12. 已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若AB →·GD →＝6，AC →·GF →＝32，则BC →·GE →＝________．13. 已知函数f(x)＝a |x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－x ＋116，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝g(x)有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知cos 2B ＋cos 2Asin 2B ＝4cos 2Acos 2B ，则sin 2Asin 2B4cos 2C ＋2sin 2Asin 2B的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C.(1) 求cos(B ＋π3)的值；(2) 若D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．16.(本小题满分14分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为菱形，且AB ＝BC 1，点E ，F 分别为BB 1，A 1C 1的中点．求证：(1) 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC ； (2) EF ∥平面A 1BC.某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧AB ︵和两条线段AC ，BC构成．已知圆心O 在线段AC 上，现测得圆O 半径为2百米，∠AOB ＝2π3，BC ⊥AC.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC ，上底为MN ，点M 在圆弧AD ︵(点D 在圆弧AB ︵上，且OD ⊥OA)上，点N 在圆弧BD ︵上或线段BC 上．设∠AOM ＝θ.(1) 将梯形ACNM 的面积表示为θ的函数；(2) 当θ为何值时，梯形ACNM 的面积最大？求出最大面积．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q.(1) 求椭圆Γ的标准方程；(2) 当CD ＝852时，求直线l 的方程；(3) 求证：OP →·OQ →为定值．设f(x)＝a(x －1)2－e x ＋ex ，g(x)＝e x (x －1)＋12ax 2－(a ＋e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底数(e ＝2.718 2…)．(1) 当a ＝e 时，求g(x)在(1，g(1))处的切线方程； (2) 设F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间； (3) 当≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，且满足a1＝a，a n＋1－a n＝d（a n＋1＋a n）.(1) 若d＝1，a3＝6，求a的值；(2) 设数列{b n}满足b n＝a n＋1－a n，其前n项的和为S n.①求证：{b n}是等差数列；②若对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得S n＝b m成立．求证：S n≤(2n－1)b1.江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b ，点P(3，－1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3，5)． (1) 求a 和b 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(θ－π6)＝a ，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ.若直线l与曲线C 相切，求实数a 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋2ca ＋b的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校举办的体育节设有投篮项目．该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分．(1) 若甲同学每次投篮命中的概率为25，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分为X ，求随机变量X 的概率分布列；(2) 若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为12，且相互不影响，甲、乙两人之间互不干扰．求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率．23.在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O 出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进1个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O 出发行进到点P(x ，y ，z)(x ，y ，z ∈N )经过最短路径的不同走法的总数为f(x ，y ，z)．(1) 求f(1，1，1)，f(2，2，2)和f(n ，n ，n)(n ∈N *)；(2) 当n ∈N *，试比较f(n ，n ，n)与（4n ＋1）2n4n ·（n ！）2的大小，并说明理由．江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1}2. －23. 2034. 1005. 166. －π37. 9438. 139. ⎣⎡⎦⎤－2，32 10. 1011. 5 12. －92 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2e 14. [613，12)15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C ，所以由正弦定理可知BC 2－2BC ·AB ＝AC 2－AB 2，BC 2＋AB 2－AC 2＝2BC ·AB ，(2分)cos B ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB＝22.因为在△ABC 中，B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(5分)所以cos(B ＋π3)＝cos Bcos π3－sin Bsin π3＝22×12－22×32＝2－64.(7分)(2) 由余弦定理可知，在△ACD 中，cos C ＝DC 2＋AC 2－AD 22AC ·DC ＝32＋72－522×7×3＝114，(9分)因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，sin C ＝1－cos 2C ＝1－（114）2＝5314.(11分)由正弦定理可知，在△ABC 中，AB sin C ＝AC sin B ，所以AB 5314＝722，所以AB ＝562.(14分)16. 证明：(1) 连结AC 1交A 1C 于O 点，连结BO. 在△ABC 1中，因为AB ＝BC 1，所以BO ⊥AC 1.(2分) 因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线A 1C ⊥AC 1.(4分)因为BO ∩A 1C ＝O ，BO ，A 1C ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥平面A 1BC.(6分) 因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC.(7分)(2) 连结FO ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线互相平分，点O 为A 1C 的中点．因为点F 为A 1C 1的中点，所以在△A 1CC 1中，FO ∥CC 1，FO 綊12CC 1，(9分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱BB 1綊CC 1，又点E 为BB 1的中点，所以BE 綊12CC 1.又FO 綊12CC 1，所以BE 綊FO ，四边形BEFO 是平行四边形，(12分)所以EF ∥BO.因为EF ⊄平面A 1BC ，BO ⊂平面A 1BC ，所以EF ∥平面A 1BC.(14分)17. 解：(1) 因为点M 在圆弧AD ︵上，OD ⊥OA ，当点M 分别与点A ，D 重合时，梯形不存在，所以θ∈(0，π2)．过点B 作BB′∥CA ，且BB′交圆弧AD ︵于点B′，连结B′O ，因为OD ⊥OA ，所以BB′⊥OD. 由垂径定理可知OD 垂直平分BB′，因此∠B′OD ＝∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝2π3－π2＝π6，∠AOB ′＝∠AOD －∠B′OD＝π2－π6＝π3，因此，当θ∈(π3，π2)时，点N 在圆弧BD ︵上，当θ∈(0，π3]上时，点N 在线段BC 上．设OD ∩MN ＝H ，① 当θ∈(π3，π2)时，因为MN ∥CA ，所以∠HMO ＝∠AOM ＝θ.又OD ⊥OA ，所以MN ⊥OD.由垂径定理可知HM ＝HN ，在Rt △OHM 中，HM ＝OMcos ∠OMH ＝2cos θ， HO ＝OMsin ∠OMH ＝2sin θ，BC ⊥AC ，所以在Rt △OBC 中，∠COB ＝π－∠AOB ＝π－2π3＝π3，CO ＝OBcos ∠BOC ＝2cosπ3＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(2MH ＋AO ＋OC)＝sin θ(4cos θ＋3)，(4分)② 当θ∈(0，π3]时，因为BC ⊥AC ，OD ⊥OC ，MN ⊥OD ，所以四边形OCNH 为矩形，故NH ＝OC ＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(MH ＋NH ＋AO ＋OC)＝2sin θ(cos θ＋2)．(6分)综上，S(θ)＝⎩⎨⎧2sin θ（cos θ＋2），θ∈（0，π3]，sin θ（4cos θ＋3），θ∈（π3，π2）.(7分)(2) ① 当θ∈(π3，π2)时，S(θ)＝sin θ(4cos θ＋3)，S ′(θ)＝cos θ(4cos θ＋3)＋sin θ(－4sin θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4.因为θ∈(π3，π2)时，cos θ∈(0，12)，cos 2θ＜14，所以S′(θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4＜8×14＋3×12－4＝－12＜0，故S(θ)在(π3，π2)上单调递减，S(θ)＜S(π3)＝sin π3·(4cos π3＋3)＝532.(10分)② 当θ∈(0，π3]时，S(θ)＝2sin θ(cos θ＋2)，S ′(θ)＝2cos θ(cos θ＋2)＋2sin θ(－sin θ)＝4cos 2θ＋4cos θ－2.因为θ∈(0，π3]时，cos θ∈[12，1)，cos 2θ≥14，。

南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟数学试卷数学模拟参考答案

数学试卷参考答案第 1 页共 7 页南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅰ试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2} 2．1 3．2 4．11 5．[1，2) 6．61 7．338π 8．12π9．5 10．15 11．3 12．),3()0,(+∞⋃-∞ 13．43-14．),2ln 23[+∞- 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……………… 2分因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ，于是12sin B ＝13sin B cos B ，……………… 4分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213．……………… 7分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513．……………… 9分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26．……………… 11分又因为a ＋c ＝15，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，……………… 13分因此b ＝55．……………… 14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE ．……………… 3分又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE ．……………… 5分（2）连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥．……………… 7分又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1AC CC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ．又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥．……………… 9分在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形，又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC AC ⊥．……………… 11分又1BCAC C =，BC ⊂平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，所以1AC ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥．……………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）22211122S r r θθ=-113692323ππ=⨯⨯-⨯⨯()292m =π，数学试卷参考答案第 2 页共 7 页答：花坛的面积为()292m π．……………… 4分（2）圆弧AB 的长为1r θ米，圆弧CD 的长为2r θ米，线段AD 的长为21()r r -米．由题意知()()2112602901200r r r r θθ⋅-++=，即()()21214340r r r r θθ-++=(*)，……………… 6分 ()()22212121111222S r r r r r r θθθθ=-=+-，……………… 9分由(*)式知，()212140433r r r r θθ+=--，记21,r r x -=则010x <<．所以1404233S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()()225050,1033x x --+∈，．……………… 12分当5x =时，S 取得最大值，即215r r -=时，花坛的面积最大．答：当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大．……………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）由题得1c =，12c e a ==，2a ∴=，2223b a c ∴=-=， ∴椭圆C 方程为22143x y +=．……………… 4分（2）设()00,B x y ，B 是AP 中点，()4,0P ，()0024,2A x y ∴-． ,A B 都在椭圆上，()22002200143244143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨-⎪+=⎪⎩解得00748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，7,48B ⎛∴ ⎝⎭或7,48B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．……………… 6分87644l k ∴==--或87644l k ==-， ∴直线l60y --=60y +-=．……………… 9分（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -，设D 为直线AE 与x 轴的交点，且(),0D m ，,,A D E 三点共线，1212y y x m x m -∴=--解得122112x y x y m y y +=+．……………… 11分设直线l 方程为()4y k x =-，0k ≠，则()114y k x =-，()224y k x =-，()()()()121212121212242488kx x k x x x x x x m k x x k x x -+-+∴==+-+-，联立()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222343264120k x k x k +-+-=，21223234k x x k ∴+=+，2122641234k x x k-=+，……………… 13分则()222212122122641232242434341328834k k x x x x k k m k x x k-⨯-⨯-+++===+--+．……………… 15分数学试卷参考答案第 3 页共 7 页∴直线AE 与x 轴相交于定点()1,0．……………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，则1(21)(1)()212x x f x x x +-+'=-+=，当1x ＞时，()0f x '＜，()f x 单调递减；当01x ＜＜时，()0f x '＞，()f x 单调递增；所以当1x =时，()f x 的极大值为(1)0f =，无极小值．……………… 4分（2）方法一：∵0x ＞，∴由()0f x ≤恒成立得ln xa x x≤-恒成立，令ln ()x g x x x =-，则221ln ()x xg x x-+'=，令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， ∵0x ＞，故()0h x '＞，∴2()1ln h x x x =-+在(0，+∞)单调递增，又(1)0h =，∴()0,1x ∈，()0h x ＜，()1,x ∈+∞，()0h x ＞，即()0,1x ∈，()0g x '＜，()1,x ∈+∞，()0g x '＞， ∴()0,1x ∈，()g x 单调递减，()1,x ∈+∞，()g x 单调递增，∴1x =时，()g x 取极小值即最小值(1)1g =，∴1a ≤．……………… 8分方法二：2121()22x ax f x x a x -++'=-+=，由二次函数性质可知，存在()00x ∈+∞,，使得0()0f x '=，即2210x ax -++=，且当()00,x x ∈时，0()0f x '＞，当()0,x x ∈+∞时，0()0f x '＜，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，∴22000000()()ln ln 1f x f x x x ax x x ==-+=+-，由题意可知，2max 000()()ln 10f x f x x x ==+-≤，设2()ln 1g x x x =+-，则1()20g x x x'=+＞，即()g x 单调递增． ∴()0g x ≤的解集为(0，1]，即(]00,1x ∈，∴(]0012,1a x x =-∈-∞．……………… 8分（3）由（2）可知200()ln 1f x x x =+-，则曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，由题意可知对任意k ∈R ，证明：方程2ln 1x x kx +-=均有唯一解，设2()ln 1h x x x kx =+--，则2121()2x kx h x x k x x-+'=+-=．……………… 9分 ①当0k ≤时，()0h x '＞恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，∵(1)0h k =-≥，22()1(1)10k k k k k f e k e ke k e e =+--=-+-≤所以存在0x 满足201kex ≤≤时，使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 11分②当0k ＞且280k ∆=-≤，即0k ≤＜()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，数学试卷参考答案第 4 页共 7 页∵(1)0h k =-＜，(()236333()310f e e ke e k e =+--=-+＞，∴存在()301,x e∈使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 13分③当k ＞时，()0h x =有两解12,x x x =，不妨设12x x ＜，因为1212x x ⋅=，所以122x x ，列表如下：由表可知，当1x x =时，()h x 的极大值为21111()ln 1h x x x kx =+--，∵211210x kx -+=，∴2111()ln 20h x x x =--＜．∴21()()0h x h x ＜＜，22222222()1()10k k k k k h e k e ke e k e k =+--=-+-＞ ∴存在()202,k x x e∈，使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 15分综上，原命题得证．……………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）由23n n S a +=①，得()11232n n S a n --+=≥②，由①—②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥，对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数，……………… 2分所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈．……………… 4分（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③，则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤，由③—⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式，……………… 5分因此21n b n =-，*n N ∈．……………… 8分②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=，所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，故12345c c c c c =>>>>…，……………… 9分假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+(*)，数学试卷参考答案第 5 页共 7 页即()1112212121333p s r p s r ------=+，……………… 10分因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥，由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥，因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>，即()122212333p p p p ---->，化简得72p <，……………… 12分又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意．……………… 13分当3p =时，由题意得1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入(*)式得19r c =，因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =，……………… 15分综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列．……………… 16分南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅱ试题参考答案21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A ．解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………… 4分（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩，因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．……………… 10分B ．解：把直线化为普通方程为2x y +=，……………… 2分将圆化为普通方程为22220x x y y ++-=，即()()22112x y ++-=．……………… 5分圆心C 到直线l的距离d == 8分所以直线l 与圆C 相切．……………… 10分C ．证明：由柯西不等式，得2222111x y z x y z yz x ⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2222111111x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴222111x y z y z x x y z++≥++．……………… 8分当且仅当x y z ==时等号成立．……………… 10分[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）数学试卷参考答案第 6 页共 7 页解：（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ，则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同，∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-=．……………… 4分（2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5．()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ====． ∴ξ的分布列为：……………… 8分则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．答：随机变量ξ的期望是8521．……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）()()()()()()!!!!!!!!!!!k m m k mn k n n m n m n k n C C C C k n k m k m m n m k m n k ----=⋅-⋅-----！()()()()!!0!!!!!!n n m n k k m m n k k m =-=----．……………… 2分（2）由（1）得k m m k mn k n n m C C C --=，令1m =可得1111k k n k n n C C C C --=，即11k k n n kC nC --=，所以1111k k n n C C n k--=，……………… 3分 ()()()()1111111=1nnn n k n k n kk m k k m k k m k n k n k n k k m k m k m F x C C x x C C x x C C x x k nn -----===∴=⋅-=--∑∑∑()()()()1111n n n k n m k m m k m k m m k m k m n n m n n m k m k mC C x x C x C x x n n ---------===-=-∑∑()111n m m m m m m m n n a C x x x C x x n n n-=-+==⎡⎤⎣⎦，因此，mm n a C =．……………… 5分（3）()()()1112342234111111111k n n nn nk k nn n n nA a a a a a C C C C +++=---==-+-++=-+-++∑L L ，所以()222123421212121211111n n n n n n n A CC CC +++++++-=-+-++L，即212321221212121212111111n n n n n n n n n A C C C C C +-++++++=-+-+-+L ①，2121221222212121212111111n n nn n n n n n n A C C C C C ++--+++++=-+-+-L ②，①+②得2121221211122n n n n n A C C ++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，212122121111212121n n nn n nA C C n n ++++∴=-=-=++，……………… 6分下面用数学归纳法证明2111121123n n n n n n n>++++++++．数学试卷参考答案第 7 页共 7 页（i ）当1n =时，则有2132>，结论成立；……………… 7分（ii ）假设当()n k k N*=∈时，21112112k kk k k k>+++++++L ，那么当1n k =+时，()()1112311k k k k ++++++++L 11111111231111k k k k k k k k k k =++++++-++++++++++L 21112111121111121212222k k k k k k k k k k k k <++-=+-=-+++++++++++()()2112212323211k k k k k ++<-==++++，所以当()1n k k N*=+∈时，结论也成立．……………… 9分根据（i ）（ii ）211111123n A n n n n n+>+++++++恒成立．……………… 10分。

2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期初数学试题

2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期初数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合A ={1,2,4}，B ={a,4}，若A ∪B ={1,2,3,4}，则A ∩B = ． 2．若复数()()23z i ai =++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a =______. 3．一组数据4，5，6，8，n 的平均数为7，则该组数据的方差2S 为______. 4．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“1”､“2”､“3”､“4”这四个数.现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______. 5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是．6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>_______.7．在等比数列{}n a 中，11a =，528a a =，n S 为{}n a 的前n 项和.若1023n S =，则n =__________．8．若函数()sin()cos(),(0,)2f x x x πφφφ=+++∈为偶函数，则φ的值为________．9．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.10．已知函数()2sin x x f x e e x -=--，则不等式()()2210f x f x -+≤的解集为_________.11．如图，在长方形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若12MN λAM λBN =+，1λ，2λR ∈，则12λλ+的值为______．12．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若PC =，则PAC ∆面积的最大值为____．13．已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c .若60BAC ︒∠=，D 为边BC 上一点，且1,:2:3AD BD DC c b ==，则23b c +的最小值为_________.14．已知函数22ln 3()x x f x m x++=+，若01,4x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得00(())f f x x =，则m 的取值范围是______二、解答题15．已知1cos()43πβ-=，4sin()5βα+=，其中π0π2αβ<<<<. （1）求tan β的值；（2）求cos()4πα+的值.16．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD //平面BCC 1B 1，AD ⊥DB .求证：（1）BC //平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1.17．如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m 的圆形广场（圆心为O ）与此公路所在直线l 相切于点A ，点P 为北半圆弧（弧APB ）上的一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，计划在PAQ ∆内（图中阴影部分）进行绿化，设PAQ ∆的面积为S （单位：2m ），（1）设()BOP rad α∠=，将S 表示为α的函数；（2）确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．18．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>C 上一点P 到椭圆C 两焦点距离之和为，如图，O 为坐标原点，平行与OP 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B ．（1）求椭圆方程；（2）当P 在第一象限时，直线PA ，PB 交x 轴于E ，F ，若PE ＝PF ，求点P 的坐标．19．已知函数()2ln h x ax x =-+．（1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程；（2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >， ①求实数a 的取值范围；②若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n，若为等差数列，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使22441,2,4n n n n n n a S a S a S ++++++成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n b 满足21n n n n b b b S +-=，11b k =，且对任意的*n ∈N ，都有1n b <，求正整数k 的最小值．21．已知矩阵M ＝2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．22．在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q 的极坐标.23．现有4个旅游团队，3条旅游线路．（1）求恰有2条线路被选择的概率；（2）设被选中旅游线路条数为X ，求X 的分布列和数学期望．24．已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++（1）求122018a a a +++的值；（2）求201801k ka =∑的值．参考答案1．{4}【解析】试题分析：a=3，则B={3，4}，所以A ∩B ={4}；考点：1．集合的运算；2．6【分析】化简复数z ，根据纯虚数定义，实部为0，虚部不为0，即可求解.【详解】()()236(32)z i ai a a i =++=-++为纯虚数，6a ∴=.故答案为:6.【点睛】本题考查复数的代数运算，以及复数的分类，属于基础题.3．8【分析】由平均数为7，求出n ，根据方差公式，即可求出结论.【详解】4，5，6，8，n 的平均数为7，456835n ∴++++=，12n ∴=，2222221[(47)(57)(67)(87)(127)]85S =-+-+-+-+-=. 故答案为:8.【点睛】本题考查平均数以及方差，熟记公式是解题的关键，属于基础题.4．13【分析】求出4个球中取出两个球的所有情况，再求出两个球上的数字之和恰好为偶数的取法个数，根据古典概型概率，即可求解.【详解】从四个球上分别标有“1”､“2”､“3”､“4”这四个数，现从中随机选取两个球，有246C =种不同的取法，其中所选的两个球上的数字之和恰好为偶数有1,3和2,4，2种取法，概率为2163=. 故答案为:13. 【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.5．8【解析】试题分析：第一次循环：4,4I S ==，第二次循环：6,24I S ==，第三次循环：8,192100I S ==>，输出8.I =考点：循环结构流程图6．y =【分析】利用双曲线的离心率求出,a b 的关系，然后求解渐近线方程即可.【详解】由已知可知离心率222222232c c a b e b a a a a+====∴=由双曲线的焦点在x 轴上，渐近线方程为：b y x a=±=故答案为: y =.【点睛】本题考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.7．10【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，分析可得q 4＝8×q ，解可得q 的值，结合等比数列的前n 项和公式可得S n 2121n -==-2n ﹣1＝1023，解可得n 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝8a 2，则有q 4＝8×q ，解可得q ＝2，若S n ＝1023，则有2121n -=-2n ﹣1＝1023，解可得：n ＝10；故答案为10．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列前n 项和的形式，属于基础题．8．4π 【分析】首先利用辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，再利用函数的性质可得,42k k Z ππφπ+=+∈，由φ的范围即可求解.【详解】函数()sin()cos()4f x x x x πφφφ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，函数()sin()cos(),(0,)2f x x x πφφφ=+++∈为偶函数，,42k k Z ππφπ∴+=+∈，即,4k k Z πφπ=+∈， 0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4πφ∴=. 故答案为：4π 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及辅助角公式，需熟记性质与公式，属于基础题.9．16【分析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.【详解】解：设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =，则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=， 111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅= 1111116ABCD D P D D A B BC V V --∴=即116V V = 故答案为：16 【点睛】本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.10．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式转化为()()221f x f x -≤-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果. 【详解】由题意得：()()2sin x x f x e e x f x --=-+=- ()f x ∴为R 上的奇函数()2cos x x f x e e x -'=+-2x x e e -+≥，2cos 2x ≤ ()0f x '∴≥且不恒等于零()f x ∴在R 上单调递增()()2210f x f x -+≤等价于()()()221f x f x f x -≤-=-221x x ∴-≤-，解得：11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系. 11．25【分析】设AB a =，()00AD b a b =≠≠，，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，用坐标表示12+MN AM BN λλ=，即可求出12λλ、的值，进而得到答案．【详解】设AB a =，()00AD b a b =≠≠，，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示坐标系，则()00A ，，()0B a ，，()C a b ，，()0D b ，，12M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12N a b ，⎛⎫⎪⎝⎭，则1122MN a b ，⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12AM a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，12BN a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，即1211112222a b a b a b λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，则121211221122a a a b b b λλλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即121211221122λλλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得115λ=-，235λ=，则1225λλ+=.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题．12【分析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，根据PC =，求得22360x y x ++-=，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，因为2AB BC ==，所以(3,0)C ，设(,)P x y ，因为过点P 作半圆的切线PQ ，因为PC == 整理，得22360x y x ++-=，以点P 的轨迹方程是以3(,0)2-为圆心，以2r ==为半径的圆，所以当点P 在直线32x =-上时，PAC ∆的面积最大，最大值为1422PAC S ∆=⨯⨯=【点睛】本题主要考查了三角形面积的最大值的求法，以及圆的方程的求解及应用，其中解答中认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，求得动点的轨迹是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 13【分析】设BAD θ∠=,则3CAD πθ∠=-,则由:2:3BD DC c b =可以推得:2:3ABD ACD S S c b ∆∆=,再利用面积公式可以解出sin θ,从而根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+,可以推出23b c+=最后利用基本不等式即可得出结论. 【详解】设BAD θ∠=,(π0θ3)则3CAD πθ∠=-,1,:2:3AD BD DC c b ==,23ABD ACD S BD c S CD b∆∆∴==,即11sin 22131sin()23c cb b θπθ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-,化简得4sin θθ=,即tan 4θ=,故sin 19θ==,3sin()sin 32πθθ-=, 又ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+, 所以111sin sin sin()23223bc c b ππθθ=+-,即23c b +=,即23b c+=23(23)b c b c ∴+=+⋅23()b c +669)b cc b =+++12)≥+=当且仅当b c =时取等号),故答案为:19. 【点睛】本题考查解三角形和基本不等式的综合运用,难度较大.14．[0)- 【解析】【分析】由题意，设()0t f x =，得()00f x x =有零点，化简得2ln 3x m x+-=，转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x+=有交点，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，结合图象，即可求解．【详解】由题意，设()0t f x =，∵()()0ff x x =，∴()0f t x =，∴()00f x x =有零点，即()22ln 3x x f x m x x++=+=，整理得2ln 3x m x +-=，即直线y m =-与()2ln 3x g x x+=有交点，又由()22ln 1'x g x x +=-，（1 4x ≥），令()'0g x =，解得x e=，当14x ⎡∈⎢⎣⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，当x ⎤∈+∞⎥⎣⎦时，()'0g x <，函数()g x 单调递减，∴()max g x g e ⎛== ⎝⎭又()143ln1604g ⎛⎫=->⎪⎝⎭，当x →+∞时，()0g x →，分别画出y m =-与()y g x =的图象，如图所示；由图象可得当0m <-≤0m -≤<时，y m =-与()y g x =有交点，故答案为：)⎡-⎣．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中函数的零点问题转化为直线y m =-与()2ln 3x g x x+=有交点，再利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用．15．（1）（2）315【分析】（1）根据题意，由1cos()43πβ-=，求解sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，注意角的范围，可求得tan 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭值，再根据44ππββ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭运用两角和正切公式，即可求解；（2）由题意，配凑组合角()44ππααββ⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，运用两角差余弦公式，即可求解. 【详解】（1）∵2πβπ<<，∴3444πππβ<-<， ∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin 4tan 4cos 4πβπβπβ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， tan tan44tan tan 441tan tan44ππβππββππβ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭97+==-，（2）∵π0π2αβ<<<<， ∴3444πππβ<-<，322ππαβ<+<， ∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4sin()5αβ+=，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3cos()5αβ+=-， ∴cos cos ()44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos()cos sin()sin 44ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3143535315=-⨯+⨯=. 【点睛】本题考查三角恒等变换中的由弦求切、两角和正切公式、两角差余弦公式，考查配凑组合角，考查计算能力，属于基础题.16．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由直线与平面平行的性质可得：由AD //平面BCC 1B 1，有AD //BC ，同时AD ⊂平面ADD 1A 1，可得BC //平面ADD 1A 1；（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，同时由直四棱柱性质可得DD 1⊥BC ，BC ⊥平面BDD 1B 1，可得证明. 【详解】解：（1）因为AD //平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD =BC ，所以AD //BC .又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1，所以BC //平面ADD 1A 1.（2）由（1）知AD //BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以DD 1⊥BC ，又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB =D ，所以BC ⊥平面BDD 1B 1，因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1 【点睛】本题主要考查线面平行的性质及面面垂直的证明，熟悉相关定理并灵活运用是解题的关键. 17．（1）S 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max )S m =. 【分析】（1）由三角函数的定义可用α表示AQ ，PQ ，从而代入三角形面积公式，得答案；（2）对（1）问中函数求导，利用导数求得最大值，得答案. 【详解】（1）由题可知100sin AQ α=，100100cos PQ α=+，()0,απ∈，. 则PAQ ∆的面积11100sin (100100cos )22S AQ PQ αα=⋅=⨯⨯+ 5000(sin sin cos )ααα=+，(0)απ<<.（2）2225000(cos cos sin )5000(2cos cos 1)S ααααα'=+-=+-5000(2cos 1)(cos 1)αα=-+令0S '=，则1cos 2α=或cos 1α=-（舍），此时3πα=．当03πα<<时，1cos 12α<<，0S '>，S 关于α为增函数．当3παπ<<时，11cos 2α-<<，0S '<，S 关于α为减函数．所以当3πα=时，2max 15000(sinsincos )=333)2S m πππ=+⋅，此时1100100cos=100100=15032PQ m π=++⨯．故：当点p 距公路边界l 为150m 时，绿化面积最大，2max )S m =. 【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而构建对应的函数关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于较难题.18．（1）22182x y +=；（2）()2,1 【分析】（1）由题得2a =，2c a =，解方程即可得到椭圆的方程. （2）设点()0000,,0,0P x y x y >>，根据0PA PB k k +=，得到()20210n y -=，又220048x y +=，解方程组即可得解.【详解】（1）因为椭圆C 上一点P 到椭圆C 两焦点距离之和为2a =，即a =c a =，所以c2222b a c =-=，所以椭圆方程为22182x y +=. （2）设点()0000,,0,0P x y x y >>，所以2200182x y +=即220048x y +=，则00AB OPy k k x ==，设直线l ：00y y x n x =+，联立22182x y +=，整理得22020088480y x n x n x x ++-=，所以2212001202,2n x x nx y x x x -+=-=因为PE ＝PF ，所以0PA PB k k +=，010201020y y y y x x x x --+=--，所以()()00010********y y y x n x x y x n x x x x ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()()000011120022220y x y n y x y x x nx x +-++-=，把2212001202,2n x x nx y x x x -+=-=代入上式，化简得()20210n y -=，因为000,0x y >>，所以001,2y x ==，因此点P 的坐标为()2,1. 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.19．（1）322ln 220x y +-+=；（2）①()1,2；②1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）求出导数()h x '，计算()2h '，()2h ，由点斜式写出切线方程并整理成一般式. （2）①求出()f x '，由()0f x '=，可得2210ax ax -+=有两个满足题意的不等实根，由二次方程根的分布可得a 的取值范围；②由①求出两极值点，确定()f x 的单调性，得()f x在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，因此题设中()0f x 使不等式成立，取()0f x 的最大值()2f ，使之成立即可，化简为不等式()2ln 1ln 210a ma a m +--+-+>，对任意的a ()12a <<恒成立，引入函数()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件. 【详解】（1）当1a =时，()2ln h x x x =-+，()12h x x'=-+， 2x =时，()132222h '=-+=-，()42ln 2h =-+， ∴()h x 在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=--，化简整理可得322ln 220x y +-+=.（2）①对函数求导可得，()()2210ax ax f x x x-+'=>，令()0f x '=可得2210ax ax -+=，20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得实数a 的取值范围为()1,2.②由2210ax ax -+=，解得1211x x ==+，而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，12a <<，2112x ∴=<+， ()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增， ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+，0122x ⎡⎤∴∃∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++，对()1,2a ∀∈恒成立，等价于不等式()()()22ln 2ln 1112ln 2a a m a a -+++>--++恒成立，即不等式()2ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立.令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()10g =，()12121ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭'=+ 当0m ≥时，()0g a '<，()g a 在()1,2上递减，即()()10g a g <=，不合题意.当0m <时，()12121ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭'=+ 12a <<，若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上递减， ()10g =，12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立；若1112m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即14m ≤-时，则()g a 在()1,2上递增，()()10g a g ∴>=恒成立，∴实数m 的取值范围1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查用导数研究函数的极值，研究不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成立问题转化为研究函数的最值，对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度较大，属于困难题.20．（1）21n a n =-；（2）3，9，27；（3）3【分析】（1）利用等差数列的通项和求和公式，再利用等差中项得=公差d=2，求出通项；（2）假设存在N*n ∈，使得1n n a S ++，222n n a S ++，444n n a S ++成等比数列，利用等比数列中项可得322427210n n n -++=法一：利用函数的单调性转化为零点问题求解；法二：直接解方程求解；得出n=1；（3）根据题意由21n n n n b b b S +-= 可知，212n n n b b b n+-=，然后用累加法和放缩法得3393216n b n>-，再对n 进行讨论，求得k 的值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差d ，则()11n a n d =+-⋅，()12n n n S n d -=+⋅．又是等差数列，所以=即1=d ＝2．此时2n S n =n =，符合数列是等差数列，所以21n a n =-．（2）假设存在N*n ∈，使得1n n a S ++，222n n a S ++，444n n a S ++成等比数列．则()()()22244214n n n n n n a S a S a S ++=++++，由（1）可知21n a n =-，2n S n =，代入上式，得()()()2222241412148116n n n n n n +-+=+-++-+，整理得322427210n n n -++=．（*）法一：令()32242721f x x x x =-++，x≥1．则()()2'72542725420f x x x x x =-+=-+>，所以()f x 在[)1+∞，上单调增，所以()0f n =在[)1+∞，上至少有一个根．又()10f =，故1n =是方程（*）的唯一解．所以存在1n =，使得1n n a S ++，222n n a S ++，444n n a S ++成等比数列，且该等比数列为3，9，27．法二：32224243210n n n n --++=，即()()()22411310nn n n ---+=，所以方程（*）可整理为()()2124310n n n ---=．因为N*n ∈，所以224310n n --=无解，故1n =．所以存在1n =，使得1n n a S ++，222n n a S ++，444n n a S ++成等比数列，且该等比数列为3，9，27．（3）由21n n n n b b b S +-= 可知，212n n n b b b n+-=．又11b k=，N*k ∈，故10b >，所以10n n b b +>>．依题意，1n b <对任意N*n ∈恒成立，所以11b <，即11k<，故1k >．若2k =，据212n n n b b b n+-=，可得当2n ≥，N*n ∈时，()222211231222111231n n b b b b b b n --=++++-()()222222122212222222111111232311b b b b b b n n ⎡⎤>++++=++++⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦()2222121211111233412b b b b n n n ⎡⎤⎛⎫>++++=+-⎢⎥ ⎪⨯⨯-⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由112b =及212121b b b -=可得234b =．所以，当2n ≥，N*n ∈时，1191124162n b n ⎛⎫->+- ⎪⎝⎭，即3393216n b n>-．故当18n >，N*n ∈时，33913216n b n>->，故2k =不合题意．若3k ≥，据212n n n b b b n +-=，可得112n n n n b b b b n ++-<，即21111n n b b n +-<．所以，当2n ≥，N*n ∈时，()222111111121n b b n -<+++-，当2n =时，12111b b -<，得2111112k b b >-=-≥，所以2112b <<．当3n ≥，N*n ∈时，()222111111121n b b n -<+++-()()211111211223211n n n <++++=-⨯⨯---，所以111111221111n k b b n n n >-+=-+≥+---，故11111n b n <<+-．故当3k ≥时，1n b <对任意N*n ∈都成立．所以正整数k 的最小值为3．【点睛】本题考查了数列的综合应用，包括与函数的结合，放缩法的运用，这些点都属于难点，综合性很强，属于极难题目.21．（1） M 2＝5445⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据矩阵的乘法运算法则计算可得答案；（2）根据特征多项式求得特征值，根据特征值求出特征向量即可.（1）M2＝2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝5445⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）＝2112λλ----＝（λ－1）（λ－3）．令f（λ）＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3.①当λ＝1时，2112xy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得x yx y+=⎧⎨+=⎩令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为1 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.②当λ＝3时，2112xy⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝3xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得x yx y-=⎧⎨-=⎩令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为1 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算法则，考查了矩阵的特征值和特征向量，考查了运算求解能力，属于基础题.22．(,)【解析】以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线ρ=2sinθ可化为:x2+(y-1)2=1,曲线ρcosθ=1可化为x=1,由可得交点坐标为(1,1),所以交点Q的极坐标是(,).23．（1）1427p=；（2）分布列见详解；期望6527（1）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有2条线路被选择的概率.（2）设被选中旅游线路条数为X ，则1,2,3X =，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望. 【详解】（1）恰有2条线路被选择的概率()24342214327C p -==.（2）被选中旅游线路条数为X ，则()13411327C p X ===，()()243422142327C p X -===， ()()()12311227p X p X p X ==-=-==， X 的分布列()114126512327272727E X =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查组合，典型的离散型随机变量的概率计算和离散型随机变量的分布列以及期望等基本知识和基本运算能力，属于基础题. 24．（1）1-；（2）20191010【分析】（1）利用赋值法可求解，令0x =，可得0a ，令1x =，可求得0122018a a a a ++++.（2）利用二项式定理可得()20181,0,1,2,2018,kkk a C k =-=再结合裂项求和法即可求解.【详解】（1）由2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++令0x =，得01a =，令1x =，得01220180a a a a ++++=，所以1220181a a a +++=-.（2）由二项式定理可得()20181,0,1,2,2018,kkk a C k =-=所以()()201820182018020120080181111k k k k k k kk C C a ===--==∑∑∑ ()2018123201820182018201820182018111111C C C C C =-+-++-，因为()()()2018!2018!!2018!20182120192018!20202019!k k k k k C --⨯+==⨯()()()120192019!2019!1!2018!201911120202019!2019!2k k k k k k n n C C +-+-⎡⎤⎛⎫+=⨯+=⨯+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，所以20181k k a =∑()2018011220182019201920192019201920192019111201920201111C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦0201920192019210191201910102020C C ⎛⎫+= ⎝⎭=⨯⎪ 【点睛】本题考查二项式定理中的赋值法求值问题，这是解决与二项式定理展开式中系数求和的常用方法，属于基础题.。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题(带答案解析)

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围；（3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部．【详解】由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析：先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出．【详解】抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3，故答案为3．【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】：因为a r∥b r，所以4x+（1﹣x ）y=0，又x ＞0，y ＞0，所以1x +4y=1，故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9．当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y ）min =9．故答案为9．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ．【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式；（2）解不等式2080y ≤可得；（3）由函数单调性可得最小值．【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元．【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程．【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+，令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<；所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-，所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立；对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-，其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析；（2）n a n =；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式，则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ，两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析【解析】【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭，所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】（1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =，不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟数学试卷一模模拟数学试卷

I ←1While I 7 S ←2I ＋1I ←I ＋2（第4题图）南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B y y x x A ==-∈，则A B =I __________． 2．若()125z i +=，i 为虚数单位，则z 的实部为__________．3．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为__________． 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为__________．5．函数()12f x x x=-+-的定义域为__________．6．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m r ＝(a ，b )与向量n r＝(－1，1)垂直的概率为__________．7．已知圆锥的侧面积为8π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为__________．8．已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为__________．9．若双曲线22221x y a b-=的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为__________．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4S =__________．11．已知正数,x y 满足1,x y +=则4121x y +++的最小值为__________． 12．在平面直角坐标系x O y 中，已知圆()22:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =G 为弦AB 的中点．直线:20l x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =．当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为__________．13．已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=u u u r u u u r u u u r r，0PA PB PC λμ++=u u u r u u u r u u u r r，则λμ＝__________．14．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在ⅠABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ．（1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且ⅠABC 的面积为5，求b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE .（1）证明：DE //11B C ；（2）求证：11AC A B ⊥．17．（本小题满分14分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD ，BC 的两条线段围成．设圆弧AB 和圆弧CD 所在圆的半径分别为12,r r 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，123,6r r ==，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为12，过点P(4，0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若B 是AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =-+．（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（3）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点(0x ，0()f x )构成曲线M ．证明：任意过原点的直线y kx =，与曲线M 均仅有一个公共点．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．Ⅰ求数列{}n b 的通项公式；Ⅰ设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅰ试题21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A ．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程．B ．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．C ．设,,0x y z ＞，证明：222111x y z y z x x y z++≥++．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）袋中装有9只球，其中标有数字1，2，3，4的小球各2个，标数字5的小球有1个．从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字.（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和期望．23．（本小题满分10分）设函数()()1111nn kk m k n k k m F x C C x x k---==⋅-∑(),,,n k m n k m N *≥≥∈．（1）化简：k m m k mn k n n m C C C C ---(),,,n k m n k m N*≥≥∈；（2）已知()()1111nn kk m k m m n k k ma F x C C x x x k n ---==⋅-=∑，求m a 的表达式；（3）若()()11223411111k n nn k k nA a a a a a ++=--==-+-++∑L ，请证明211111123n A n n n n n+>+++++++．。

江苏省南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级第二学期自主检测(2)数学试题 (1)

南师大附属扬子中学2020届高三年级第二学期自主检测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2A=，{}2,3B a a=+，若A B={1}⋂，则实数a的值为________2．设复数z＝(1＋2i)2（i为虚数单位），则z的共轭复数为．3．为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．5．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为．6．已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S，且1294SS=，体积分别为12,V V，若它们的侧面积相等，则12VV=．7．已知{n a}是等差数列，n S是其前n项和．若2123a a+=-，5S=10，则9a的值是．8．已知函数221()log(1)1xaxf xx x⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f=，则实数a的值是．9．已知圆C：22(1)()16x y a-+-=，若直线20ax y+-=与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，则实数a的值为．11．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点B ．设原点到直线BF 的距离为1d ，F 点到l 的距离为2d ．若21d =，则椭圆C 的离心率为．12．已知菱形ABCD 中，对角线ACBD ＝1，P 是AD 边上的动点（包括端点），则PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围为．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A （0a >），P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的正实数a 的值为．14．若⊥ABC 的内角,,A B C满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知向量，，．（1）若，求证：；（2）设，若，求的值．)sin ,(cos αα=)sin ,(cos ββ=παβ<<<02||=-b a ⊥)1,0(=c b a =+βα、16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：（1）直线DE P 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE⊥平面A 1C 1F ．17．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =且经过点1(3,)2，A ，B ，C ，D 为椭圆的四个顶点（如图），直线l 过右顶点A 且垂直于x 轴．（1）求该椭圆的标准方程；（2）P 为l 上一点（x 轴上方），直线PC ，PD 分别交椭圆于E ，F 两点，若2PCD PEF S S ∆∆=，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1．5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到A EF '处，点A '落在牛皮纸上，沿A E '，A F '裁剪并展开，得到风筝面AEA F '，如图1．（1）若点E 恰好与点B 重合，且点A '在BD 上，如图2，求风筝面ABA F '的面积；（2）当风筝面AEA F '的面积为23m 时，求点A '到AB 距离的最大值．（图1）AB CDFE（图2）AB （E ）CDF19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n n b n a =-（n *∈N ）．（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．⊥求数列{}n a 的通项公式；⊥证明：111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-．20．（本小题满分16分）已知函数f(x)=ax +lnx (a ∈R )．（1）讨论f(x)的单调性；（2）设f(x)的导函数为f ′(x)，若f(x)有两个不相同的零点x 1 ， x 2． ⊥求实数a 的取值范围；⊥证明：x 1f ′(x 1)+x 2f ′(x 2)>2lna +2．数学附加题21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b c d∈，，，R，矩阵2ab-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A的逆矩阵111cd-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A．若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线21y x=+，求曲线C的方程．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明22．（本小题满分10分）现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10分）设202(1)i nn i i n P C =-=∑，212(1)j nn jj njQ C =-⋅=∑．（1）求222P Q -的值；（2）化简n n nP Q -．文章学习积分 12345概率视频学习积分 2 4 6概率表1表2南师大附属扬子中学2020届高三年级第二学期自主检测卷（2）参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．1 2．－3－4i 3．48 4．8 5．0.4 6．327．20 89．－1 10．21112．13[,]2213．1a =-；或a =14．4 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）（1）证明：⊥，⊥，即．⊥，，⊥，⊥，⊥．（2）解：⊥，⊥，即，两边分别平方再相加得：，⊥，⊥．2||=-b a 2||2=-22)(222=+⋅-=-b b a a b a 1sin cos ||2222=+==αα1sin cos ||2222=+==ββ222=⋅-0=⋅b a ⊥)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβαb a ⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 11⊥，⊥，． 16．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C P AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC P ，于是11DE AC P ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以11A C ⊥平面11ABB A ．因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥．又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以111B D AC F ⊥平面．因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 17．（本小题满分14分）（1）因为22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12⎫⎪⎭，παβ<<<065πα=6πβ=所以22211,4c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =．所以椭圆标准方程为2214x y +=．（2）由（1）知椭圆方程为2214x y +=，所以直线l 方程为2x =，()0,1C ，()0,1D -．设()2,P m ，0m >，则直线PC 的方程为112m y x -=+，联立方程组2211,21,4m y x x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()2222410m m x m x -++-=，所以E 点的横坐标为()24122E m x m m --=-+；又直线PD 的方程为112m y x +=- 联立方程组2211,21,4m y x x y +⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消y 得()()2222410m m x m x ++-+=，所以F 点的横坐标为()24122F m x m m +=++．由2PCD PEF S S ∆∆=得11sin 2sin 22PC PD DPC PE PF EPF ⋅∠=⨯⋅∠，则有2PC PDPE PF⋅=⋅，则()()22202024141222222m m m m m m --⋅=-++--+++，化简得4442m m+=，解得22m =，因为0m >，所以m = 所以点P的坐标为(． 18．（本小题满分16分）（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系．则()20B ，，()302D ，，直线BD 的方程为3460x y +-=．…… 2分设()0F b ，（0b >），因为点F 到AB 与BD 的距离相等，所以465b b -=，解得23b =或6b =-（舍去）． …… 4分所以⊥ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．答：风筝面ABA F '的面积为24m 3． …… 6分方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角⊥ABD 中，3tan 24AD AB θ==，…… 2分所以22tan 341tan θθ=-，解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3AF AB θ==． …… 4分所以⊥ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．答：风筝面ABA F '的面积为24m 3． …… 6分（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系．设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，A B CDFE xyACDFB （E ） xyA CDFB （E ）因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax bbx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+． …… 10分因为四边形AEA F '的面积为3，所以3ab =，所以3043232333a y a a a ==++．因为02a <≤，302b <≤，所以2323a ≤≤． …… 12分设33()f a a a =+，2323a ≤≤． 244(3)(3)(3)9()1a a a f a a a ++-'=-=，令()0f a '=，得3a =或3a =-（舍去）．列表如下：当3a =时，()f a 取得极小值，即最小值433，所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD 上，3a =，1b =．答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2． …… 16分方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面积为3，所以3AE AF ⋅=，a2333⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3(32⎤⎦， ()f a '- 0 +()f a单调递减极小值单调递增ABCDFET即2tan a θ=tan θ=．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅= …… 10分2224322sin cos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤2a ≤． …… 12分（下同方法一）备注：第（2）小题中2a ≤”与“a 必须有一个，若没有则扣两分。

2020届江苏省南京师大附中高三下学期期初数学试题

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题（含附加题）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知{}231,x A x x R +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I ______.2.复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点在第__________象限．3.某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_________.4. 按按按按按按按按按按按按按按3按按按按按按__________按5.抛物线y 2=8x 的焦点坐标是6.若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是______．7.已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______. 8.已知等差数列{a n }中，a 3﹣2a 4＝﹣1，a 3＝0，则{a n }的前10项和是_____.9.已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________． 10.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________．的11.已知不等式2121xx ->-的解集为A ，()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是________. 12.已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 13.如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1圆，圆B 是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是______．14.已知1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，若12x x <，则()12f x x 的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知,,a b c 分别是ABC ∆三个角,,A B C 所对的边，且满足cos cos cos cos c Aa Bb A C+=．(1)求证：A C =；(2)若2b =,1BA BC ⋅=uu r uu u r，求sin B 的值．16.如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD //平面BCC 1B 1，AD ⊥DB .求证：（1）BC //平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1.的17.如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A ，B 两点在⊙O 上，A ，B ，C ，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A ，B ，C ，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到A ，B ，C ，D 四点线路OA ，OB ，OC ，OD .（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路OA ，OB ，OC ，OD 总长度的最小值.18.如图，已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为12-，求k 的值；（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求M 的坐标. 19.已知函数()1af x lnx x=++，a ∈R . （1）若函数f （x ）在x ＝1处的切线为y ＝2x +b ，求a ，b 的值；（2）记g （x ）＝f （x ）+ax ，若函数g （x ）在区间（0，12）上有最小值，求实数a 的取值范围；（3）当a ＝0时，关于x 的方程f （x ）＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.20.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n S n +1﹣a n +1S n ＝a n +1﹣λa n ，对一切n ∈N *都成立.的（1）当λ＝1时； ①求数列{a n }的通项公式；②若b n ＝（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{a n }是等差数列如果存在，求出λ值；若不存在，说明理由.21.已知矩阵M ＝2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q 的极坐标.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）及点M （2，0），动直线l 过点M 交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，AB ＝4.（1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点C ，直线l 1经过点C 且垂直于y 轴，直线l 2经过点M 且垂直于直线l ，记l 1，l 2相交于点P ，求证：点P 在定直线上.24.对于给定正整数n ，设2012(1)nnn x a a x a x a x L -=++++，记01nn kk S a ==∑.（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S .的。

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2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期
初数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 已知集合，，若，则
________．
2. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数______.
3. 一组数据4，5，6，8，的平均数为7，则该组数据的方差为______.
4. 袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有
“1”?“2”?“3”?“4”这四个数.现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______.
_____．
S←1
I←2
While S≤100
I←I + 2
S←S×I
End Whlie
Print I
6. 设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
___________.
7. 在等比数列中，，，为的前项和.若，则__________．
8. 若函数为偶函数，则的值为
________．
9. 如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的
值为________.
10. 已知函数，则不等式的解集为
_________.
11. 如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若
，，，则的值为
______．
12. 若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为____．
13. 已知的三个角所对的边为.若，为边
上一点，且，则的最小值为_________.
14. 已知函数，若，使得，则的取值范围是______
二、解答题
15. 已知，，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
16. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求证：
（1）BC//平面ADD1A1；
（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.
17. 如图，在南北方向有一条公路，一半径为100的圆形广场（圆心为）与此公路所在直线相切于点，点为北半圆弧（弧）上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，计划在内（图中阴影部分）进行绿化，设的面积为（单位：），
（1）设，将表示为的函数；
（2）确定点的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．
18. 已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点到椭圆两焦点距离之和为，如图，为坐标原点，平行与的直线l交椭圆于不同的两点、．
（1）求椭圆方程；
（2）当在第一象限时，直线，交x轴于，，若PE＝PF，求点
的坐标．
19. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）令，已知函数有两个极值点，且，①求实数的取值范围；
②若存在，使不等式
对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围．
，若为等差数列，且．20. 已知等差数列的前n项和为S
n
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；
（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．
21. 已知矩阵M＝
（1）求M2；
（2）求矩阵M的特征值和特征向量．
22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标.
23. 现有4个旅游团队，3条旅游线路．
（1）求恰有2条线路被选择的概率；
（2）设被选中旅游线路条数为X，求X的分布列和数学期望．
24. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．。

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