3.2 离散时间信号卷积的定义
数字信号处理什么是卷积 卷积有什么用
什么是卷积卷积有什么用1.卷积的定义：在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
2.卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
信号与系统——卷积
卷积积分与卷积和初步分析一、摘要：近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。
信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。
卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。
卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。
而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。
二、关键词：信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法三、正文：卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。
对连续时间信号的卷积称为卷积积分，定义式为：∞f(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ≜f1(t)∗f2(t)−∞对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为：∞f(n)=∑f1(m)f2(n−m)≜f1(n)∗f2(n)m=−∞1、卷积积分的解法（1）图解法图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。
利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。
如果给定f 1(t )和f 2(t)，要求这两个函数的卷积积分f (t )=f 1(t)∗f 2(t),首先要改变自变量，即将f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了t ，然后再经过以下四个步骤：（1）反褶，即将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)；（2）时移，即将f 2(−τ)时移t ，变为f 2(t −τ)=f 2[−(τ−t)]，当t >0时，将f 2(−τ)右移t ，而当t <0时，将f 2(−τ)左移t ；（3）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)；（4）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，积分的关键是确定积分限。
离散序列时域卷积定理
离散序列时域卷积定理
离散序列时域卷积定理是数字信号处理中的一个重要概念。
它描述了两个离散序列在时域上的卷积，可以转换为它们在频域上的乘积。
这个定理被广泛应用于数字信号的滤波、信号分析和处理中。
具体来说，给定两个离散序列f[n]和g[n]，它们的时域卷积h[n]定义为：
h[n] = ∑f[k]g[n-k]
其中k为整数。
这个卷积可以通过离散傅里叶变换(DFT)来计算。
具体地，我们可以将f[n]和g[n]分别做DFT，得到它们的频域表示
F(k)和G(k)，然后将它们相乘得到H(k)，再做IDFT即可得到卷积
h[n]。
离散序列时域卷积定理告诉我们，这个过程是可逆的。
也就是说，如果我们已知f[n]、g[n]和h[n]其中两个序列，就可以通过它们的DFT和IDFT计算出第三个序列。
具体来说，如果我们已知f[n]和h[n]，可以计算出g[n]的DFT为G(k)=H(k)/F(k)，再做IDFT即可得到g[n]。
同样地，如果我们已知g[n]和h[n]，可以计算出f[n]的DFT为
F(k)=H(k)/G(k)，再做IDFT即可得到f[n]。
离散序列时域卷积定理的应用非常广泛。
例如，在数字滤波中，我们通常会将信号和滤波器的时域卷积转化为它们在频域上的乘积，然后再通过IDFT将滤波后的信号转回时域。
这个方法不仅计算效率高，而且可以避免一些数值计算误差。
在信号分析和处理中，利用离散序列时域卷积定理可以有效地进行信号滤波、去噪、频谱分析等操
作，是数字信号处理中不可或缺的基础知识。
离散时间信号的表达及运算规则
06
离散时间信号的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
01
离散时间信号在数字通信系统中用于表示和传输信息，如数字
调制解调、数字信号处理等。
信号压缩与编码
02
离散时间信号在数据压缩和信道编码中用于提高通信系统的传
输效率和可靠性。
无线通信
03
离散时间信号在无线通信中用于处理和传输无线电信号，如数
字音频广播、卫星通信等。
在图像处理中的应用
01
图像数字化
离散时间信号用于将连续的图像 信息转换为离散的数字信号，便 于计算机处理和存储。
图像增强
02
03
图像压缩
离散时间信号在图像增强中用于 改善图像质量，如滤波、锐化等。
离散时间信号在图像压缩中用于 减少图像数据量，提高存储和传 输效率。
在控制系统中的应用
控制算法实现
离散时间信号在控制系统中用于实现控制算法，如PID控制、模 糊控制等。
离散时间信号的图形表示法可以直观地展示信号的幅度和时间变化，有助于理解信号的周期性、趋势 和突变等特征。
数学表示法
离散时间信号的数学表示法通常使用 序列来表示，即使用一串数值来表示 信号在不同时刻的值。
常用的数学表示法包括差分方程、离 散时间函数和离散时间系统等，这些 方法可以用来描述离散时间信号的数 学特征和运算规则。
系统建模与仿真
离散时间信号在控制系统建模和仿真中用于描述系统的动态行为。
故障诊断与预测
离散时间信号在故障诊断和预测中用于分析系统的运行状态和异 常情况。
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FIR滤波器的设计
FIR滤波器的定义
FIR（有限冲激响应）滤波器是一种离散时间系统，其 冲激响应有限长，且在有限时间内收敛到零。
卷积的原理及其应用
卷积的原理及其应用1. 引言卷积是一种数学运算方法，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
本文将介绍卷积的原理以及其在不同领域的应用。
2. 卷积的原理卷积运算是通过将一个函数与另一个函数进行叠加积分的过程，它可以用来描述两个函数之间的相互作用。
在离散的情况下，可以通过卷积求解两个离散函数之间的叠加积分。
卷积运算的数学定义如下：$$(f * g)(t) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(\\tau)g(t-\\tau)d\\tau$$其中，$f(\\tau)$和$g(t-\\tau)$分别表示两个函数，∗表示卷积运算，(f∗g)(t)表示卷积的结果。
卷积运算可以看作是一个滑动窗口的过程，通过将窗口中的函数与另一个函数进行点乘求和，得到卷积的结果。
具体来说，卷积的计算步骤如下：1.将两个函数对齐，窗口的中心与第二个函数的中心对齐。
2.将窗口中的函数与第二个函数进行点乘。
3.将点乘的结果求和，得到卷积的结果。
3. 卷积的应用3.1 信号处理卷积在信号处理中有广泛的应用。
一般来说，信号处理是将输入信号经过一系列的处理步骤后得到输出信号。
卷积运算在信号处理中用于滤波、平滑以及特征提取等任务。
以音频信号处理为例，可以使用卷积运算将输入音频信号与特定的滤波器进行卷积，从而实现降噪、音效增强等功能。
另外，在图像处理中，卷积运算也被广泛用于图像的边缘检测、图像增强等应用。
3.2 图像处理在图像处理中，卷积运算是一种常用的操作。
卷积可以通过滑动窗口的方式对图像进行处理，从而实现图像的平滑、边缘检测、特征提取等功能。
图像卷积可以通过不同的卷积核（也称为过滤器）来实现不同的效果。
例如，使用边缘检测卷积核可以检测图像中的边缘信息，使用模糊卷积核可以对图像进行模糊处理。
3.3 深度学习深度学习是一种基于神经网络的机器学习方法，卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是深度学习中最常见的模型之一。
卷积的原理
卷积的原理
卷积是信号处理和图像处理中常用的一种运算方法，广泛应用于图像处理、语音处理、神经网络等领域。
下面是卷积的原理解释：
1.基本概念：卷积是通过将两个函数进行相乘然后积分得到的一
种数学运算。
在离散信号处理中，卷积运算将两个离散信号进行逐点乘积累加。
2.运算过程：对于离散信号的卷积运算，首先需要将两个信号进
行翻转。
然后，将其中一个信号按照一个步长（通常为1）从左到右滑动，并将其与另一个信号相乘，再将乘积进行累加得到卷积结果的一个点。
随着步长的增加，卷积结果的每个点都是通过相应位置上的两个信号进行乘积累加得到。
3.特性与应用：卷积具有交换律、结合律等性质，在信号处理中
常用于平滑滤波、边缘检测、特征提取和信号去噪等方面。
在神经网络中，卷积层通过使用卷积运算学习图像的特征，进而实现图像分类、目标检测和图像生成等任务。
需要注意的是，卷积在不同的领域和上下文中，可能存在一些细微的变化和差异。
以上是基本的卷积原理的解释，具体的应用和实现方式可能因具体领域和算法而有所不同。
实验一序列卷积运算-离散时间信号分析解读
实验一 离散时间信号分析一、实验目的1．掌握各种常用的序列，理解其数学表达式和波形表示。
2．掌握在计算机中生成及绘制数字信号波形的方法。
3．掌握序列的相加、相乘、移位、反褶等基本运算及计算机实现与作用。
4．掌握线性卷积软件实现的方法。
5．掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。
6．通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。
二、实验原理1．序列的基本概念离散时间信号在数学上可用时间序列)}({n x 来表示，其中)(n x 代表序列的第n 个数字，n 代表时间的序列，n 的取值范围为∞<<∞-n 的整数，n 取其它值)(n x 没有意义。
离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号)(t x a 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到)}({nT x a 一个有序的数字序列就是离散时间信号，简称序列。
2．常用序列常用序列有：单位脉冲序列（单位抽样）)(n δ、单位阶跃序列)(n u 、矩形序列)(n R N 、实指数序列、复指数序列、正弦型序列等。
3．序列的基本运算序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、差分运算等。
4．序列的卷积运算)()()()()(n h n x m n h m x n y m *=-=∑∞-∞= 上式的运算关系称为卷积运算，式中*代表两个序列卷积运算。
两个序列的卷积是一个序列与另一个序列反褶后逐次移位乘积之和，故称为离散卷积，也称两序列的线性卷积。
其计算的过程包括以下4个步骤。
（1）反褶：先将)(n x 和)(n h 的变量n 换成m ，变成)(m x 和)(m h ，再将)(m h 以纵轴为对称轴反褶成)(m h -。
（2）移位：将)(m h -移位n ，得)(m n h -。
当n 为正数时，右移n 位；当n 为负数时，左移n 位。
（3）相乘：将)(m n h -和)(m x 的对应点值相乘。
（4）求和：将以上所有对应点的乘积累加起来，即得)(n y 。
卷积公式详解(一)
卷积公式详解(一)卷积公式详解什么是卷积?卷积是一种数学运算符号，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
它用于描述两个函数之间的关系，通常用符号“*”表示。
卷积的定义给定两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的卷积定义为：∞(τ)g(x−τ)dτ(f∗g)(x)=∫f−∞或者对于离散的情况，定义为：∞(m)g(n−m)(f∗g)(n)=∑fm=−∞其中，−∞到+∞或者−∞到+∞的积分或者求和表示函数的有效范围。
卷积的意义卷积运算在信号处理和图像处理中具有重要的意义。
它可以用于信号的平滑、信号的去噪、边缘检测等。
在深度学习中，卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。
卷积公式的解释卷积公式 (f ∗g )(n )=∑f ∞m=−∞(m )g (n −m ) 表示函数 f 和 g 的有效范围内，对两个函数进行对位相乘后的求和。
首先，函数 f(m) 和 g(n-m) 表示在不同位置的函数 g 与函数 f 的对应值，对这些对应值进行相乘，然后将乘积求和得到最终的结果。
求和的范围是在整个函数 f(m) 和 g(n-m) 的有效范围内，即对所有的 m 求和。
卷积的性质卷积具有一些重要的性质，如交换律、结合律和分配律等。
这些性质使得卷积在信号处理和深度学习中非常有用。
1.交换律：f ∗g =g ∗f 2.结合律：(f ∗g )∗ℎ=f ∗(g ∗ℎ) 3.分配律：f ∗(g +ℎ)=f ∗g +f ∗ℎ卷积的应用卷积在很多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：• 信号平滑：通过卷积可以对信号进行平滑处理，去除噪声和不必要的波动。
• 信号滤波：卷积可以对信号进行滤波，如低通滤波、高通滤波等。
•图像处理：卷积在图像处理中被广泛应用，如边缘检测、图像增强等。
•深度学习：卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。
总结通过本文的解释，我们了解了卷积的定义、意义和公式。
卷积的概念问题回答
卷积的概念卷积的概念卷积是一种数学运算，它在信号处理、图像处理、神经网络等领域中被广泛应用。
本文将介绍卷积的基本概念、卷积的定义、卷积的性质和应用。
一、基本概念1.信号：信号是指随时间变化或空间位置变化而变化的物理量。
例如，音频信号是随时间变化的声音压力，图像信号是随空间位置变化的亮度值。
2.滤波器：滤波器是一种可以改变信号频谱特性的系统。
在数字信号处理中，滤波器通常由一个数字序列表示。
3.卷积：卷积是一种数学运算，它将两个函数合并成一个新函数。
在数字信号处理中，卷积通常被用来表示两个离散时间序列之间的关系。
二、定义1.连续时间卷积：对于两个连续时间函数f(t)和g(t)，它们之间的连续时间卷积定义为：$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$其中*表示卷积操作。
2.离散时间卷积：对于两个离散时间序列f[n]和g[n]，它们之间的离散时间卷积定义为：$$(f*g)[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}f[m]g[n-m]$$其中*表示卷积操作。
三、性质1.交换律：对于任何两个函数f(t)和g(t)，它们之间的卷积满足交换律，即：$$(f*g)(t)=(g*f)(t)$$2.结合律：对于任何三个函数f(t)、g(t)和h(t)，它们之间的卷积满足结合律，即：$$((f*g)*h)(t)=(f*(g*h))(t)$$3.分配律：对于任何三个函数f(t)、g(t)和h(t)，它们之间的卷积满足分配律，即：$$(f*(g+h))(t)=(f*g)(t)+(f*h)(t)$$4.单位元素：对于任何函数f(t)，它与单位元素δ(t)（即Dirac delta 函数）之间的卷积等于本身，即：$$(f*\delta)(t)=f(t)$$四、应用1.信号处理：在信号处理中，卷积被用来实现滤波器。
例如，在音频处理中，高通滤波器可以通过将输入信号与一个低通滤波器的卷积结果从输入信号中减去来实现。
离散时间信号的产生及信号的卷积和运算实验报告2
离散时间信号的产生及信号的卷积和运算实验报告班级：___________ 姓名：__________ 学号:____________一、实验目的和原理实验原理：（一）DTFT 和DFT 的定义及其相互关系：序列x[n] 的DTFT 定义：∑=∞-∞=-n jn ωj ωx[n]e )X(e它是关于自变量ω的复函数，且是以π2为周期的连续函数。
)X(e j ω可以表示为：)(e jX )(e X )X(e j ωim j ωre j ω+=其中，)(eX j ωre 和)(e X j ωim 分别是)X(e j ω的实部和虚部；还可以表示为：)(ωj j ωj ωe )X(e )X(e θ=其中，)X(ej ω和}arg{)()X(e j ω=ωθ分别是)X(e j ω的幅度函数和相位函数；它们都是ω的实函数，也是以π2为周期的周期函数。
序列x[n]的N 点DFT 定义：∑∑-=-=-===10122][][)(][N n knNN n kn Njk NjW n x en x eX k X ππ][k X 是周期为N 的序列。
)X(e j ω与][k X 的关系：][k X 是对)X(e j ω在一个周期中的谱的等间隔N点采样，即：k Nj ω)X(e k X πω2|][==，而)X(e j ω可以通过对][k X 内插获得，即：]2/)1)][(/2([1)22sin()22sin(][1----=⋅--=∑N N k j N k j ωe Nk N kN k X N)X(e πωπωπω(二) 线性时不变离散时间系统的变换域表示：LTI 离散时间系统的时域差分方程为：∑∑==-=-Mk k Nk kk n x p k n y d)()((1) 传递函数：对上面的差分方程两边求z 变换，得：∑∑∑∑=-=-=-=-=⇒=Nk kkMk kkMk k k Nk kk z dzp z X z Y z p z X zd z Y 000)()()()(我们定义LTI 离散时间系统的输出的Z 变换Y(z)与输入的Z 变换X(z)的比值为该系统的传递函数，即)()()(z X z Y z H =为系统的传递函数。
卷积的通俗理解
卷积的通俗理解
对卷积的意义的理解：
卷积的定义：卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
1. 从“积”的过程可以看到，我们得到的叠加值，是个全局的概念。
以信号分析为例，卷积的结果不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关，也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系，考虑了对过去的所有输入的效果的累积。
在图像处理的中，卷积处理的结果，其实就是把每个像素周边的，甚至是整个图像的像素都考虑进来，对当前像素进行某种加权处理。
所以说，“积”是全局概念，或者说是一种“混合”，把两个函数在时间或者空间上进行混合。
2. 那为什么要进行“卷”？直接相乘不好吗？我的理解，进行“卷”（翻转）的目的其实是施加一种约束，它指定了在“积”的时候以什么为参照。
在信号分析的场景，它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”，在空间分析的场景，它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。
信号处理卷积运算公式
信号处理卷积运算公式一、离散信号卷积运算公式。
1. 定义。
- 设离散序列x(n)和h(n)，它们的卷积y(n)定义为：y(n)=∑_m = -∞^∞x(m)h(n - m)- 从物理意义上理解，卷积可以看作是一个序列x(n)对另一个序列h(n)的加权求和过程。
例如，在离散线性时不变系统中，如果x(n)是输入序列，h(n)是系统的单位脉冲响应，那么y(n)就是系统的输出序列。
2. 计算示例。
- 设x(n)={1,2,3}（n = 0,1,2时分别取这些值，其他n值时x(n)=0），h(n)={2,1}（n = 0,1时分别取这些值，其他n值时h(n)=0）。
- 计算y(0)：- 根据卷积公式y(0)=∑_m = -∞^∞x(m)h(0 - m)=x(0)h(0)=1×2 = 2。
- 计算y(1)：- y(1)=∑_m = -∞^∞x(m)h(1 - m)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=1×1+2×2 = 1 + 4=5。
- 计算y(2)：- y(2)=∑_m = -∞^∞x(m)h(2 - m)=x(0)h(2)+x(1)h(1)+x(2)h(0)=1×0+2×1+3×2=0 + 2+6 = 8。
二、连续信号卷积运算公式。
1. 定义。
- 设连续时间信号x(t)和h(t)，它们的卷积y(t)定义为：y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ- 同样，在连续线性时不变系统中，如果x(t)是输入信号，h(t)是系统的冲激响应，那么y(t)就是系统的输出信号。
2. 计算示例。
- 设x(t)=e^-tu(t)（u(t)是单位阶跃函数），h(t)=u(t)。
- 计算y(t)：- 当t<0时，因为x(τ)h(t - τ)=e^-τu(τ)u(t-τ)，对于t<0，u(t-τ)=0当τ，所以y(t)=0。
- 当t≥slant0时：- y(t)=∫_-∞^∞x(τ)h(t-τ)dτ=∫_0^te^-τ×1dτ=1 - e^-t。
离散时间信号的表示及运算
第2章 离散时间信号的表示及运算2.1 实验目的● 学会运用MATLAB 表示的常用离散时间信号；● 学会运用MATLAB 实现离散时间信号的基本运算。
2.2 实验原理及实例分析2.2.1 离散时间信号在MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。
stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill ”、“filled ”，或者参数“.”。
由于MATLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列)(n δ，也称为单位冲激序列，定义为)0()0(01)(≠=⎩⎨⎧=n n n δ （12-1）要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。
在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n 必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:3;>>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位冲激序列')>>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
2.连续时间信号卷积和离散时间信号卷积
二．连续时间信号卷积和离散时间信号卷积1．连续时间信号卷积)()()(21t f t f t f *=；2．离散时间信号卷积)()()(21n f n f n f *=连续时间信号卷积function [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)%计算连续信号卷积积分f(t)=f1(t)*f2(t)%f: 卷积积分f(t)对应的非零样值向量%K: f(t)的对应时间向量%f1: f1(t)的非零样值向量%f2: f2(t)的非零样值向量%K1: 序列f1(t)的对应时间向量%K2: 序列f2(t)的对应时间向量%p: 取样时间间隔f1=0.5*(0:0.01:2);f2=0.5*(0:0.01:2);k1=0:0.01:2;k2=0:0.01:2;p=0.01;f=conv(f1,f2); %计算序列1与序列2的卷积和f=f*p;k0=k1(1)+k2(1); %计算序列f 非零样值的起点位置k3=length(f1)+length(f2)-2; %计算卷积和f 非零样值得宽度k=k0:p:k0+k3*p; %确定卷积和f 非零样值的时间向量subplot(3,3,1)plot(k1,f1) %在子图1绘制f1(t)时域波形图title('f1(t)')xlabel('t')ylabel('f1(t)')subplot(3,3,4)plot(k2,f2) %在子图2绘制f2(t)时域波形图title('f2(t)')xlabel('t')ylabel('f2(t)')subplot(3,3,7)plot(k,f); %画卷积f(t)的时域波形 h=get(gca,'position');h(3)=2.5*h(3);set(gca,'position',h) %将第三个子图的横坐标范围扩为原来的2.5倍title(' f(t)=f1(t)*f2(t)')xlabel('t')ylabel('f(t)')离散时间信号卷积function [f,k]=dconv(f1,f2,k1,k2)%The function of compute f=f1*f2%f: 卷积和序列f(k)对应的非零样值向量%k: 序列f(k)的对应序号向量%f1: 序列f1(k)非零样值向量%f2: 序列f2(k)非零样值向量%k1: 序列f1(k)的对应序号向量%k2: 序列f2(k)的对应序号向量f1=[1,2,1];f2=ones(1,5);k1=[-1 0 1];k2=-2:2;f=conv(f1,f2) %计算序列f1与f2的卷积和fk0=k1(1)+k2(1); %计算序列f非零样值的起点位置k3=length(f1)+length(f2)-2; %计算卷积和f的非零样值的宽度k=k0:k0+k3 %确定卷积和f非零样值得序号向量subplot(3,3,1)stem(k1,f1) %在子图1绘制序列f1(k)时域波形图title('f1(n)')xlabel('n')ylabel('f1(n)')subplot(3,3,4)stem(k2,f2) %在子图2绘制序列f2(k)时域波形图title('f2(n)')xlabel('n')ylabel('f2(n)')subplot(3,3,7)stem(k,f) %在子图3绘制序列f(k)时域波形图title('f1(n)与f2(n)的卷积和f(n)')xlabel('n')ylabel('f(n)')h=get(gca,'position');h(3)=2.5*h(3);set(gca,'position',h) % 将第三个子图的横坐标范围扩为原来的2.5倍wigb.mfunction wigb (a,scal,x,z,amx)%WIGB: Plot seismic data using wiggles%% WIGB(a,scal,x,z,amx)%% IN a: seismic data% scale: multiple data by scale% x: x-axis;% z: vertical axis (time or depth)% x and z are vectors with offset and time.%% If only 'a' is enter, 'scal,x,z,amn,amx' are decided automatically;% otherwise, 'scal' is a scalar; 'x, z' are vectors for annotation in% offset and time, amx are the amplitude range.%% Author:% Xingong Li, Dec. 1995% Changes:% Jun11,1997: add amx% May16,1997: updated for v5 - add 'zeros line' to background color% May17,1996: if scal ==0, plot without scaling% Aug6, 1996: if max(tr)==0, plot a lineif nargin == 0, nx=10;nz=10; a = rand(nz,nx)-0.5; end;[nz,nx]=size(a);trmx= max(abs(a));if (nargin <= 4); amx=mean(trmx); end;if (nargin <= 2); x=[1:nx]; z=[1:nz]; end;if (nargin <= 1); scal =1; end;if nx <= 1; disp(' ERR:PlotWig: nx has to be more than 1');return;end;% take the average as dxdx1 = abs(x(2:nx)-x(1:nx-1));dx = median(dx1);dz=z(2)-z(1);xmx=max(max(a)); xmn=min(min(a));if scal == 0; scal=1; end;a = a * dx /amx;a = a * scal;fprintf(' PlotWig: data range [%f, %f], plotted max %f \n',xmn,xmx,amx);% set display rangex1=min(x)-2.0*dx; x2=max(x)+2.0*dx;z1=min(z)-dz; z2=max(z)+dz;set(gca,'NextPlot','add','Box','on', ...'XLim', [x1 x2], ...'YDir','reverse', ...'YLim',[z1 z2]);fillcolor = [0 0 0];linecolor = [0 0 0];linewidth = 0.1;z=z'; % input as row vectorzstart=z(1);zend =z(nz);for i=1:nx,if trmx(i) ~= 0; % skip the zero tracestr=a(:,i); % --- one scale for all sections = sign(tr) ;i1= find( s(1:nz-1) ~= s(2:nz) ); % zero crossing pointsnpos = length(i1);%12/7/97zadd = i1 + tr(i1) ./ (tr(i1) - tr(i1+1)); %locations with 0 amplitudes aadd = zeros(size(zadd));[zpos,vpos] = find(tr >0);[zz,iz] = sort([zpos; zadd]); % indices of zero point plus positives aa = [tr(zpos); aadd];aa = aa(iz);% be careful at the endsif tr(1)>0, a0=0; z0=1.00;else, a0=0; z0=zadd(1);end;if tr(nz)>0, a1=0; z1=nz;else, a1=0; z1=max(zadd);end;zz = [z0; zz; z1; z0];aa = [a0; aa; a1; a0];zzz = zstart + zz*dz -dz;patch( aa+x(i) , zzz, fillcolor);line( 'Color',[1 1 1],'EraseMode','background', ...'Xdata', x(i)+[0 0], 'Ydata',[zstart zend]); % remove zero line%'LineWidth',linewidth, ...%12/7/97 'Xdata', x(i)+[0 0], 'Ydata',[z0 z1]*dz); % remove zero lineline( 'Color',linecolor,'EraseMode','background', ...'LineWidth',linewidth, ...'Xdata', tr+x(i), 'Ydata',z); % negatives lineelse % zeros traceline( 'Color',linecolor,'EraseMode','background', ...'LineWidth',linewidth, ...'Xdata', [x(i) x(i)], 'Ydata',[zstart zend]);end;end;。
离散时间系统及卷积-精品
回答：有，而且实际的处理中，结合FFT， IFFT，就是用这种方法来处理的。
我们知道：
对x(n)，h(n)，n[0,N)，其周期拓展后的信号 的离散付里叶变换(DFT)为X(k)，H(k)， k[0,N)。
从广义上看，任何一个系统h(n)，都 可以看成是一个滤波器。因为它们均 实现了一定的频率选择性。
解释同连续时间系统
10.6 系统冲激响应函数的求解
对差分方程， y 为输出信号， x 为输入信号：
N
M
bk y(n k) ar x(n r) ，有：
k 0
r 0
N
M
bkY ( )e jk a r X ( )e jr ，所以
系统1 系统2
输入
h1(n)
h2(n)
输出
系统4
系统3
h4(n)
h3(n)
系统h(n) 此种情况下，系统的冲激响应函数：
h(n)={[h1(n)h2(n)]+ h3(n)} h4(n)
H()={H1()·H2()+H3()} ·H4()
2、输出信号的求解
设输入信号为 si(n) ，系统的冲激响应为h(n) ，输出信
k 0
r0
H ( )
Y ( ) X ( )
M
a r e jr
r0
N
b k e jk
k 0
得到H()之后可以通过逆离散付里叶变 换反解出系统冲激响应函数h(n)。
10.7 DFT和圆周卷积
1、园周移位
x(n)，n=0,1,2,…N-1的信号的圆周移位 又写成<x(n-k)>N
最通俗易懂的卷积解释
最通俗易懂的卷积解释在深度学习和计算机视觉领域，我们常常会听到一个词汇：卷积。
那么，卷积到底是什么？如何通俗易懂地解释它？本文将为大家详细解析卷积的概念、原理和应用。
让我们一起来探讨这个有趣且实用的技术。
卷积的概念卷积是一种数学运算，它描述了两个函数相互作用的过程。
在深度学习中，卷积通常用于处理图像、声音等数据。
通过卷积操作，我们可以有效地提取数据中的局部特征，从而实现更高层次的抽象表示。
卷积的应用卷积在许多领域都有广泛的应用，其中最为典型的是图像处理、信号处理和卷积神经网络。
图像处理在图像处理中，卷积可以用于实现边缘检测、模糊、锐化等功能。
通过将图像与特定的卷积核进行卷积操作，我们可以突出或抑制图像中的某些特征，从而达到处理的目的。
信号处理在信号处理中，卷积用于分析和处理信号。
例如，通过卷积可以消除噪声、平滑信号，从而提高信号的质量。
卷积神经网络卷积神经网络（CNN）是一种常用于计算机视觉、语音识别等领域的深度学习模型。
通过使用卷积层，CNN能够在大量数据中自动学习并提取有用的特征，进而实现高效的分类、检测等任务。
卷积的数学原理为了更好地理解卷积，让我们深入探讨一下它的数学原理。
卷积核卷积核是一个小型矩阵，用于在卷积过程中与输入数据进行运算。
根据任务的不同，卷积核的形状和取值也会有所不同。
例如，在图像处理中，我们可以使用不同的卷积核来实现边缘检测、模糊等效果。
卷积过程卷积过程是通过在输入数据上滑动卷积核，并将卷积核与局部数据相乘累加，从而得到输出结果。
这个过程可以用下面的公式表示：输出(x, y) = Σ(卷积核(i, j) * 输入(x + i, y + j)) 其中，Σ表示求和，i和j表示卷积核的坐标。
步长与填充在卷积过程中，我们可以通过调整步长和填充来控制输出结果的尺寸。
步长表示卷积核每次滑动的距离，填充表示在输入数据周围添加额外的元素。
通常情况下，我们使用零填充，即添加数值为零的元素。
卷积的物理含义
卷积的物理含义卷积是在信号处理和图像处理中广泛使用的一种数学运算。
它可以在时域或频域中进行计算。
这个运算的物理含义是，它可以用来描述一个信号或图像在空间或时间上的变化。
卷积的定义比较复杂，但其物理含义可以通过以下步骤逐步阐释：第一步：定义卷积运算卷积运算是对两个函数的一种运算。
其中一个函数是输入函数，另一个函数是卷积核（也称作卷积矩阵）。
卷积核对输入函数进行卷积运算，得到一个新的函数，称为卷积输出。
卷积的数学定义可以表示为：$f(t) * g(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t-\tau) d\tau$这个定义描述了输入函数在卷积核上的移动，并按照一定比例进行加权。
第二步：卷积的物理含义卷积的物理含义是在时域或空间中的信号处理。
它可以用来描述一个系统对于输入信号的响应。
在物理学中，系统描述了一个物理模型，输入信号则可以表示为外部激励。
卷积运算将输入信号映射到输出信号。
为了理解卷积的物理含义，可以考虑一个典型的例子：图像卷积。
第三步：图像卷积图像卷积可以帮助我们识别图像中的模式和特征。
计算机程序可以使用卷积运算来实现图像模糊、边缘检测、锐化、颜色过滤和形态学算法等图像处理技术。
从物理学的角度来看，图像卷积可以描述一种空间域操作。
图像卷积通常使用一个3*3或5*5的矩阵，称为卷积核。
卷积核可以通过不同的数值来控制不同的卷积效果。
例如，一个卷积核的值在边缘检测中可以将边缘变成白色，而在其他区域保持颜色。
图像卷积的物理含义不仅在于其实际操作，还在于其可以描述图像的变化。
它可以帮助我们理解图像的纹理和特征，从而为我们提供更好的处理图像的方法。
第四步：应用卷积在现实世界中，卷积运算有着广泛的应用。
例如在语音识别、自然语言处理和计算机视觉中，卷积可以用来提取特征。
在无线电通信中，卷积可以用来消除通信中的干扰。
在信号处理领域，卷积可以用来重建受噪声影响的信号以及卷积学习等。
信号卷积计算公式(一)
信号卷积计算公式(一)信号卷积1. 什么是信号卷积？信号卷积是一种在时域中计算两个信号之间的乘积并求和的方法。
它是一种重要的信号处理技术，广泛应用于图像处理、语音识别、音频处理等领域。
2. 信号卷积的计算公式信号卷积的计算公式可以表示为：∞[k]⋅ℎ[n−k]y[n]=∑xk=−∞其中，x[n]和ℎ[n]分别表示输入信号和卷积核（也称为系统的冲击响应）的值。
3. 信号卷积的示例解释离散信号的卷积信号x[n]：考虑一个离散信号x[n]，其数值如下所示：n 0 1 2 3x[n] 1 2 -1 3信号ℎ[n]：接下来，我们定义另一个离散信号ℎ[n]，其数值如下所示：n 0 1 2 3ℎ[n]-1 0 1 2计算卷积结果y[n]：现在，我们可以使用信号卷积的计算公式来计算卷积结果y[n]，如下所示：∞[k]⋅ℎ[n−k]y[n]=∑xk=−∞当n=0时，有：y[0]=x[0]⋅ℎ[0−0]+x[1]⋅ℎ[0−1]+x[2]⋅ℎ[0−2]+x[3]⋅ℎ[0−3]=1⋅(−1)+2⋅0+(−1)⋅1+3⋅2=4依此类推，可以计算出当n=1、n=2、n=3时的y[n]。
最终，卷积结果y[n]如下所示：n 0 1 2 3y[n] 4 -1 -1 7连续信号的卷积信号x(t)：如果考虑连续信号的卷积，我们可以将卷积公式稍作修改。
考虑一个连续信号x(t)，其函数表达式为：x(t)=δ(t)+2δ(t−1)−δ(t−2)+3δ(t−3)其中，δ(t)表示单位冲激函数。
信号ℎ(t)：接下来，我们定义另一个连续信号ℎ(t)，其函数表达式为：ℎ(t)=−δ(t)+δ(t−1)+2δ(t−2)计算卷积结果y(t)：现在，我们可以使用修改后的信号卷积公式来计算卷积结果y(t)，如下所示：∞(τ)⋅ℎ(t−τ)dτy(t)=∫x−∞具体计算过程略。
总结信号卷积是一种重要的信号处理技术，可应用于离散信号和连续信号的处理。
通过计算输入信号与卷积核的乘积并求和，我们可以得到卷积结果。
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• x(n)=0 (n< N 或n> N2 • 可得： x(i ) y (n i ) • x(n) y(n)= i N 1
1
N ,
2
N ≧
2
N )
1
• 上式是有限项求和，不存在不收敛的问题，涉及有限序列的线性卷积一定收敛。
• 对两个同周期的周期序列，可以定义周期卷积。 ~ ~ • 设周期序列 xn 和 y n 的周期均为N，称下列运算： • N -1 ~ ~ •
i
x(i) y(n i)
离散线性卷积
• 容易看出，和一般的相加、相乘运算相比，卷积运算要复 杂得多，它是有移位、相乘、和相加组成的综合性运算。 对于不同的n,序列的线性卷积值构成了一个新的序列g(n). •即 • g(n)=x(n) y(n)
离散线性卷积
• 例 3.2：设序列x(n)={1,-1,2}和y(n)={3,0,-1},试计算x(n)和y(n)的线性卷积序列g(n) • (-∞<n<+∞) 解：由于x(n)和y(n)都是3点典型的有限序列，因此，n<0和n>2时，x(n)=y(n)=0, 即i<0和i>2时，x(i)=0.而对y(n-i),则n-i<0和n-i>2时，y(n-i)=0,这时i>n和i<n-2，因此， 可得： min( n , 2 ) x(i) y(n i) g(n)=
• 可以看出，循环卷积序列t(n)也是有限序列，并且它与参与卷积的两有限序列 具有相同的长度N。通常，若只考虑主值区间的值，则可简化为
xn yn xi y n i
i 0 N 1
0 n的下标应用了模N运算。由于卷积式中也是有 限项的和，因此也不存在收敛的问题。 • 例3.4 对例3.2中的3点有限序列x(n)和y(n),试计算N=3的循环卷积序列t(n). • 解： 由于N=3的循环卷积序列t(n)也是3点序列，因此，只需求出主值区间 • [0,2]中循环卷积序列t(n)就可以了。
离散循环卷积
2
t 0 x(i ) y 0 i 3 x0 y 0 0 3 x1 y 0 1 3 x2 y 0 2 3 x0 y 0 x1 y 2 x2 y 1 1 3 1 1 2 0 4 t 1 xi y 1 i 3 x0 y 1 0 3 x1 y 1 1 3 x2 y 1 2 3 x0 y 1 x1 y 0 x2 y 2 1 0 1 3 2 1 5 t 2 xi y 2 i 3 x0 y 2 0 3 x1 y 2 1 3 x2 y 2 2 3 x0 y 2 x1 y 1 x2 y 0 1 1 1 0 2 3 5
~
~
~
~
f n 4,5,5
离散循环卷积
• 对N点有限序列来说，除了作线性卷积运算外，还有一种特殊的卷积运算，这就是循 环卷积。 • 设N点有限序列x(n)和y(n)，称下列运算：
i 0 • • • 为有限序列x(n)和y(n)的循环卷积，记为 xn yn N 1 • 即：
数字信号处理
离散时间信号卷积的定义
数字信号处理
1
离散线性卷积
2
离散周期卷积
3
离散循环卷积
离散线性卷积
• 设序列x(n)和y(n) (-∞<n<+∞),称下述运算： •
i
x(i) y(n i)
为序列x(n)和y(n)的线性卷积，记作x(n) y(n),即 x(n) y(n)=
• 因此，x(n)和y(n)的3点循环卷积序列t(n)为
i 0 2 i 0 2 i 0
t n 4,5,5
离散循环卷积
• 和例3.3中周期卷积序列 f n 的主值序列相对照，可以看出，t(n)和 f n 完全相同。 它表明周期序列的周期卷积和有限序列的循环卷积之间有着确定的内在联系。 • 在一般情况下，有限序列x(n)和y (n)往往长度不同。例如，序列x(n)的长度为N1 序列y(n)的长度为N2 。在这种情况下，为了对x(n)和y(n)作循环卷积运算，选择某 个正整数N，使 N N1 , N N1 .容易看出，可以把x(n)和y(n)都当作长度为N的有限序 列，只不过在各自新的区间中包含了较多的零值。 例如，序列 x(n)={-2,3,4} 是一个3点有限序列，若将它写成如下形式： x(n)={-2,3,4,0,0} x(n)就可以看作是5点有限序列。而序列x(n)本身并没有改变，仅仅是主值区间的范 围扩展了，这种通过考虑零值而使有限序列主值区间加长的过程通常称为补零。
i max(0,n2 )
当n<0时，由上式可得g(n)=0. 当0≦n≦2时，则min(n,2)=n,max(0,n-2)=0,因此，可 n 得：
x(i ) y (n i ) g(n)=
i 0
g(0)=3
g(1)=-3
g(2)=5
离散线性卷积
• 当3≤n≤4,则min(n,2)=2,max(0,n-2)=n-2可得， • g(n)= x(i) y(n i)
离散周期卷积
~
f 0 xi y 0 i x0 y 0 x1 y 1 x2 y 2
i 0 ~ ~ ~ ~ ~
2
~
~
~
~
~
~
~
~
x0 y 0 x1 y 2 x2 y 1 1 3 1 1 2 0 4
~
~
f 1 xi y 1 i x0 y 1 x1 y 0 x2 y 1
i 0 ~ ~ ~ ~ ~
2
~
~
~
~
~
~
~
~
x0 y 1 x1 y 0 x2 y 2 1 0 1 3 2 1 5
x(i) yn i
i 0
~
（-∞<n<+∞）
~ ~ ~
• 为周期序列 xn 和 y n 的周期卷积，记作 xn y n
~
•
xn yn xi yn i
i 0
~
~ ~
N 1 ~
~
容易看出，周期卷积也确定了一个新的序列，并且可以证明，这一序列也是周期为N ~ 的周期序列。若记这序列为 f n
xi y n i r n
N
N -1
- n
xn yn xi y n i r N n
i 0
• 循环卷积也确定了一个新的序列，若把循环卷积序列记为t(n),则
t n xn yn
离散循环卷积
~
~
f 2 xi y 2 i x0 y 2 x1 y 1 x2 y 0
i 0
2
~
~
~
~
~
~
~
~
1 1 1 0 2 3 5
离散周期卷积
xn 和 y n 的周期卷积序列 f n 为 • 因此：
~
~
~
f n xn y n
~
~ ~
离散周期卷积
• 在上式中，可以看出，周期卷积的求和区间是周期序列对的主值区间。但是，若 用任何长为N的区间求和，容易证明和值都是相同的，这正是周期序列的周期性 带来的结果。由于周期序列周期卷积的求和区间是有限的，因此，它不存在收敛 的问题。若把非周期序列看作周期无限大的周期序列，这时，周期卷积和线性卷 积完全一致。 ~ ~ • 例 3.3：设 xn 和 y n 都是周期N=3的周期序列，它们的序列值分别为 ~ ~ ~ 1,1,2和 y n 3,0,1， 试计算它们的周期卷积序列 f n 。 • xn ~ ~ • 解：由于 f n 也是周期N=3的周期序列，故只需计算n=0,1,2时 f n 的值即可 •
i n 2 2
• 代入可得： • g(3)=1 g(4)=-2 • 当n>4时，g(n)=0 • 因此，x(n)和y(n)的线性卷积序列 • g(n)={3,-3,5,1,-2}
离散线性卷积
• 线性卷积的求和限为-∞到+∞，因此，它一般有收敛问题。 x(n) y(n) n n • 对于线性卷积x(n) y(n),当 <∞, 则称卷积在n= 处收 n0 敛，若在-∞<n<+∞时线性卷积处处收敛，则称线性卷积收敛。 • 若x(n)和y(n)中有一个序列是一般有限序列，不失一般性，设这个 序列是x(n）