3.2 离散时间信号卷积的定义

离散周期卷积
~
f 0 xi y 0 i x0 y 0 x1 y 1 x2 y 2
i 0 ~ ~ ~ ~ ~
2
~
~
~
~
~
~
~
~
x0 y 0 x1 y 2 x2 y 1 1 3 1 1 2 0 4
• 因此，x(n)和y(n)的3点循环卷积序列t(n)为
i 0 2 i 0 2 i 0
t n 4,5,5
离散循环卷积
• 和例3.3中周期卷积序列 f n 的主值序列相对照，可以看出，t(n)和 f n 完全相同。 它表明周期序列的周期卷积和有限序列的循环卷积之间有着确定的内在联系。 • 在一般情况下，有限序列x(n)和y (n)往往长度不同。例如，序列x(n)的长度为N1 序列y(n)的长度为N2 。在这种情况下，为了对x(n)和y(n)作循环卷积运算，选择某 个正整数N，使 N N1 , N N1 .容易看出，可以把x(n)和y(n)都当作长度为N的有限序 列，只不过在各自新的区间中包含了较多的零值。 例如，序列 x(n)={-2,3,4} 是一个3点有限序列，若将它写成如下形式： x(n)={-2,3,4,0,0} x(n)就可以看作是5点有限序列。而序列x(n)本身并没有改变，仅仅是主值区间的范 围扩展了，这种通过考虑零值而使有限序列主值区间加长的过程通常称为补零。
0
• x(n)=0 (n< N 或n> N2 • 可得： x(i ) y (n i ) • x(n) y(n)= i N 1
1
N ,
2
N ≧
2
N )
1
• 上式是有限项求和，不存在不收敛的问题，涉及有限序列的线性卷积一定收敛。
• 对两个同周期的周期序列，可以定义周期卷积。 ~ ~ • 设周期序列 xn 和 y n 的周期均为N，称下列运算： • N -1 ~ ~ •
~
~
f 2 xi y 2 i x0 y 2 x1 y 1 x2 y 0
i 0
2
~
~
~
~
~
~
~
~
1 1 1 0 2 3 5
离散周期卷积
xn 和 y n 的周期卷积序列 f n 为 • 因此：
x(i) yn i
i 0
~
（-∞<n<+∞）
~ ~ ~
• 为周期序列 xn 和 y n 的周期卷积，记作 xn y n
~
•
xn yn xi yn i
i 0
~
~ ~
N 1 ~
~
容易看出，周期卷积也确定了一个新的序列，并且可以证明，这一序列也是周期为N ~ 的周期序列。若记这序列为 f n
离散循环卷积
2
t 0 x(i ) y 0 i 3 x0 y 0 0 3 x1 y 0 1 3 x2 y 0 2 3 x0 y 0 x1 y 2 x2 y 1 1 3 1 1 2 0 4 t 1 xi y 1 i 3 x0 y 1 0 3 x1 y 1 1 3 x2 y 1 2 3 x0 y 1 x1 y 0 x2 y 2 1 0 1 3 2 1 5 t 2 xi y 2 i 3 x0 y 2 0 3 x1 y 2 1 3 x2 y 2 2 3 x0 y 2 x1 y 1 x2 y 0 1 1 1 0 2 3 5
i max(0,n2 )

当n<0时，由上式可得g(n)=0. 当0≦n≦2时，则min(n,2)=n,max(0,n-2)=0,因此，可 n 得：
x(i ) y (n i ) g(n)=
i 0
g(0)=3
g(1)=-3
g(2)=5
离散线性ຫໍສະໝຸດ Baidu积
• 当3≤n≤4,则min(n,2)=2,max(0,n-2)=n-2可得， • g(n)= x(i) y(n i)
• 可以看出，循环卷积序列t(n)也是有限序列，并且它与参与卷积的两有限序列 具有相同的长度N。通常，若只考虑主值区间的值，则可简化为
xn yn xi y n i
i 0 N 1
0 n N 1
在循环卷积式中，对有序列y(n)的下标应用了模N运算。由于卷积式中也是有 限项的和，因此也不存在收敛的问题。 • 例3.4 对例3.2中的3点有限序列x(n)和y(n),试计算N=3的循环卷积序列t(n). • 解： 由于N=3的循环卷积序列t(n)也是3点序列，因此，只需求出主值区间 • [0,2]中循环卷积序列t(n)就可以了。
i
x(i) y(n i)
离散线性卷积
• 容易看出，和一般的相加、相乘运算相比，卷积运算要复 杂得多，它是有移位、相乘、和相加组成的综合性运算。 对于不同的n,序列的线性卷积值构成了一个新的序列g(n). •即 • g(n)=x(n) y(n)

离散线性卷积
• 例 3.2：设序列x(n)={1,-1,2}和y(n)={3,0,-1},试计算x(n)和y(n)的线性卷积序列g(n) • (-∞<n<+∞) 解：由于x(n)和y(n)都是3点典型的有限序列，因此，n<0和n>2时，x(n)=y(n)=0, 即i<0和i>2时，x(i)=0.而对y(n-i),则n-i<0和n-i>2时，y(n-i)=0,这时i>n和i<n-2，因此， 可得： min( n , 2 ) x(i) y(n i) g(n)=
~
~
~
~
f n 4,5,5
离散循环卷积
• 对N点有限序列来说，除了作线性卷积运算外，还有一种特殊的卷积运算，这就是循 环卷积。 • 设N点有限序列x(n)和y(n)，称下列运算：
i 0 • • • 为有限序列x(n)和y(n)的循环卷积，记为 xn yn N 1 • 即：
~
~
f 1 xi y 1 i x0 y 1 x1 y 0 x2 y 1
i 0 ~ ~ ~ ~ ~
2
~
~
~
~
~
~
~
~
x0 y 1 x1 y 0 x2 y 2 1 0 1 3 2 1 5
xi y n i r n
N
N -1
- n
xn yn xi y n i r N n
i 0
• 循环卷积也确定了一个新的序列，若把循环卷积序列记为t(n),则
t n xn yn
离散循环卷积
~
~
~
f n xn y n
~
~ ~
离散周期卷积
• 在上式中，可以看出，周期卷积的求和区间是周期序列对的主值区间。但是，若 用任何长为N的区间求和，容易证明和值都是相同的，这正是周期序列的周期性 带来的结果。由于周期序列周期卷积的求和区间是有限的，因此，它不存在收敛 的问题。若把非周期序列看作周期无限大的周期序列，这时，周期卷积和线性卷 积完全一致。 ~ ~ • 例 3.3：设 xn 和 y n 都是周期N=3的周期序列，它们的序列值分别为 ~ ~ ~ 1,1,2和 y n 3,0,1， 试计算它们的周期卷积序列 f n 。 • xn ~ ~ • 解：由于 f n 也是周期N=3的周期序列，故只需计算n=0,1,2时 f n 的值即可 •
i n 2 2
• 代入可得： • g(3)=1 g(4)=-2 • 当n>4时，g(n)=0 • 因此，x(n)和y(n)的线性卷积序列 • g(n)={3,-3,5,1,-2}
离散线性卷积
• 线性卷积的求和限为-∞到+∞，因此，它一般有收敛问题。 x(n) y(n) n n • 对于线性卷积x(n) y(n),当 <∞, 则称卷积在n= 处收 n0 敛，若在-∞<n<+∞时线性卷积处处收敛，则称线性卷积收敛。 • 若x(n)和y(n)中有一个序列是一般有限序列，不失一般性，设这个 序列是x(n）
数字信号处理
离散时间信号卷积的定义
数字信号处理
1
离散线性卷积
2
离散周期卷积
3
离散循环卷积
离散线性卷积
• 设序列x(n)和y(n) (-∞<n<+∞),称下述运算： •
i
x(i) y(n i)

为序列x(n)和y(n)的线性卷积，记作x(n) y(n),即 x(n) y(n)=